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Full text of "Oeuvres de P.L. Tchebychef"

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OEUVRES 

DE 



P. L. TOHEBYOHEF, 



PUBLIEES PAR LES SOINS 

(le MM. A. MARKOFr et N. SONIN, 

MEMBRES ORDINAIRES DE l'aGADÉMIE IMPÉRIALE DES SCIENCES. 




TOME II. 
(Jlvec deux porfraits.) 



ST.-PÉTERSBOURQ, 1907. 

Commissionaires de l'Académie Impériale des Sciences. 

J. fJlasoimof et C. Ricker à St.-Pétersbourg; % Karbasiiikof à St.-Pétersbourg, Moskou, Varsovie 

et Vilua; M. Rliiklne à Moscou; >'. Oglobline à S.-Pétersbourg et Kief ; E. Raspopof à Odessa; 

i\. Kyimnel à Riga; Voss' Sortiment (G. VV. Sorgenfrey) à Leipsic; Liizac & Cie à Londres. 

Frix: 17 Mrjc. 50 Pf. 



3j5f 



Imprimé par ordre de l'Académie Impériale des sciences. 

S. d'Oldenbourg, Secrétaire perpétuel. 



IMPRIMERIE DE L ACADEMIE IMPERIALE DES SCIENCES. 
Vaae. Ostr., 9 Ligne, J6 12. 



TABLE DES MATIÈRES DO TOME SECOND, 



Notice biographique I — VI 

Rapport du professeur extraordinaire de l'université de St.-Péters- 

bourg Tcliebychef sur son voyage à l'étranger VII — XIX 

Résumé de la thèse sur l'intégration à l'aide des logarithmes . . . XX 



1. Des maxima et minima des sommes composées de valeurs d'une 

fonction entière et de ses dérivées 3 — 40 

2. Sur l'intégration des différentielles les plus simples parmi cel- 

les qui contiennent une racine cubique . ,#: 43 — 47 

3. Sur un mécanisme 51 — 57 

4. Sur les fonctions analogues à celles de Legendre 61—68 

5. Sur la détermination des fonctions d'après les valeurs qu'elles 

ont pour certaines valeurs de variables 71 — 82 

6. Sur les parallélogrammes 85 — 106 

7. Du régulateur centrifuge 109 — 126 

8. Sur les engrenages 129 — 161 

9. Sur les quadratures 165 — 180 

10. Sur les valeurs limites des intégrales 183 — 185 

11. Sur les fonctions qui diffèrent le moins possible de zéro .... 189 — 215 

12. Sur l'interpolation des valeurs équidistants 219 — 242 

13. Sur les expressions approchées linéaires par rapport à deux 

polynômes 245 — 264 

14. Sur la résultante de deux forces appliquées à un seul point. . 267 — 270 

15. Les plus simples systèmes de tiges articulées 273 — 281 

16. Sur les parallélogrammes composés de trois éléments et symé- 

triques par rapport à un axe 285—297 

1 7. Sur les parallélogrammes composés de trois éléments quel- 

conques 301 — 331 

18. Sur les fonctions qui s'écartent peu de zéro pour certaines va- 

leurs de la variable 335 — 356 

19. Sur les plus simples parallélogrammes qui fournissent un mou- 

vement rectiligne aux termes du quatrième ordre près .... 359 — 374 

20. Sur le rapport de deux intégrales étendues aux mêmes valeurs 

de la variable . 377 — 402 

21. Sur une série qui fournit les valeurs extrêmes des intégrales, 

lorsque la fonction sous le signe est décomposée en deux 

facteurs 405—417 



1(;258îl 



IV 



PAGES. 



22. Sur la représentation des valeurs limites des intégrales par 

des résidus intégraux 421 — 440 

23. Sur les résidus intégraux qui donnent des valeurs a])prochées 

des intégrales '. 443—477 

24. Sur deux théorèmes relatifs aux probabilités 481—491 

25. Sur le système articulé le plus simple donnant des mouve- 

ments symétriques par rapport à un axe 495 — 540 

26. Sur les expressions approchées de la racine carrée d'une va- 

riable par des fractions simples 543 — 558 

27. Sur les sommes composées des valeurs de monômes simples 

multipliés par une fonction qui reste toujours positive .... 561 — 610 

28. Sur le développement en fractions continues des séries procé- 

dant suivant les puissances décroissantes do la variable . . . 613 — 666 

29. Sur les polynômes représentant le mieux les valeurs des fonc- 

tions fractionnaires élémentaires pour les valeurs do la va- 
riable contenues entre deux limites données 669 — 678 

30. Sur les sommes qui dépendent des valeurs positives d'une 

fonction quelconque 681 — 698 

NOTES ET EXTRAITS. 

Sur la limite du degré de la fonction entière qui satisfait à cer- 
taines conditions 701 

Sur la généralisation de la formule do M. Catalan et sur une for- 
mule arithmétique qui en résulte 702—704 

Sur une transformation de séries numériques 705 — 707 

Sur la coupe des vêtements 708 

Sur les parallélogrammes les plus simples symétriques autour d'un 

axe 709 — 714 

Théorème relatif à la courbe de Watt 715 

Sur les expressions approximatives des intégrales définies par les 

autres prises entre les mômes limites 716 — 719 

Sur la rectification des courbes 720 

Une machine arithmétique à mouvement continu 721 — 724 

Sur les fractions algébriques qui représentent approximativement 
la racine carrée d'une variable comprise entre les limites 

données 725 

Sur la transformation du mouvement rotatoiro en mouvement sur 

certaines lignes, à l'aide do systèmes articulés ......... 726 — 732 

Sur les sommes composées des coefficients dos séries à termes po- 
sitifs 733—735 

Règle de Tchebychef pour l'évaluation approximative des distances 

sur la surface do la Torro 736 




NOTICE BIOGRAPHIQUE 

Traduit par M-me C. Jossa. 



Pafnouty Lvovitch Tcliebychef naquit le 14 mai 1821 dans la 
propriété de son j)ère, le village d'Okatovo (district de Borovsk, gou- 
vernement de Kalouga). Sa famille était de vieille noblesse; son père 
était un homme instruit (selon les idées de ce temps-là) et jouissait 
d'une fortune considérable. 

L'instruction primaire, jusqu'à l'entrée à l'université, fut reçue 
j)ar P. L. chez ses parents. La mère lui ajDprit à lire et à écrire et 
quelques autres matières, l'arithmétique et la langue française lui fu- 
rent enseignées par sa cousine germaine, A. K. Soukharef, personne 
très instruite et qui semble avoir joué un rôle important dans son 
éducation. 

En 1832 la famille Tchebychef se rendit à Moscou afin de pré- 
parer P. L. et son frère aîné à l'université. On prit les meilleurs 
maîtres de tout Moscou, entre autre le mathématicien alors bien 
connu Pogorelsky, dont Tchebychef déclarait dans la suite „rAl- 
gèbre" le meilleur manuel écrit en russe, comme étant „le plus 
court". 

A cette époque les talents mathématiques de P. L. se mani- 
festèrent définitivement et il arrêta son choix sur la faculté des 
mathématiques. 



*) Cette Notice est empruntée, presqu'en entier, d'un article (russe) de M. le prof. C. A. 
Possé inséré dans le Dictionnaire des écrivains et savants russes rédigé par M. Vénguerof; 
cet article contient encore un aperçu des travaux de Tchebychef. 

Parmi d'autres aperçus de la vie et des travaux de Tcliebychef on peut mentionner un 
article (russe) de M. le prof. A. M. Liapounoff inséré dans le t. IV de la II série des Commu- 
nications de la Société mathématique de Kharkof et un travail (français) de M. le prof. A. Vas- 
silief sous le titre: «P. L. Tchebychef et son oeuvre scientifique» inséré dans le Bolletino 
di hibliografia e storia délie scienze matematiche puhblicato po- cura di Gino Loria, 1898, et 
publié en allemand par B. G. Teubner à Leipzig. 

I 



— H — 

Entré à l'université de Moscou en 1837, Tchebychef écrivit au 
bout d'un an un ouvrage intitulé ,,Calcul des racines d'une équation", 
qui lui valut une médaille d'argent et, prouvant les capacités du jeune 
auteur, tourna vers lui l'attention du professeur de grand renom 
N. D. Braschmann. Celui-ci devina un homme de génie dans son 
jeune élève et se mit dès lors à guider soigneusement ses occupa- 
tions et à le persuader constamment de se consacrer exclusivement 
aux mathématiques. A ce savant Tchebychef, ainsi que ses autres 
élèves, voua un sentiment de profond respect et garda jusqu'à sa 
mort comme une relique une photographie que Braschmann lui avait 
donnée jadis. 

Tchebychef termina ses études à l'université en 1841. 

En 1840 une partie considérable de la Eussie fut en proie à la 
famine et les affaires de beaucoujD de j)ropriétaires, entre autres des 
parents de Tchebychef, tournèrent très mal. Toute la famille se vit 
obligée de s'installer dans ses propriétés et il devint impossible au 
père de donner à son fils de quoi subsister à Moscou. 

Pour ne pas tomber dans la misère, un jeune homme, ayant ré- 
cemment terminé ses études à l'université, serait tout naturellement 
entré au service quelque part ou se serait procuré de leçons; mais 
Tchebychef ne fit ni l'un ni l'autre. Il considérait non sans raisons 
que ces occuiDations le détourneraient de sa science de prédilection et 
choisit la misère. Depuis 1841, n'ayant pas encore atteint sa majorité, 
P. L. ne recevait de son père que le logement gratuit dans sa maison 
à Moscou. Il s'installa dans cette maison avec ses deux frères, après 
avoir pris comme pensionnaires deux jeunes garçons, qui se préj^a- 
raient à entrer au collège en même temj)s que les deux jeunes Tche- 
bychef. Pendant un certain temps il essaya de leur enseigner lui- 
même les mathématiques, mais ces leçons ne durèrent pas longtemps, 
car, de son propre aveu, il s'y montra pédagogue peu patient, se 
fâchant contre ses élèves et criant après eux. 

C'est à cette époque que parurent les premiers travaux scienti- 
fiques de Tchebychef et sa thèse de licence (es sciences) „Essai d'une 
analj^se élémentaire de la théorie des probabilités" qu'il soutint à 
l'université de Moscou en 1846. 

En 1847 Tchebychef s'installa à St. Péter sboug, où, après avoir 
soutenu sa thèse „De l'intégration à l'aide des logarithmes", il reçut 
i'emj)loi de professeur adjoint à l'université de St. Pétersbourg, à la 
j)lace du professeur AV. A. Ankoudovitsch. Cette thèse dont le sujet 
entra dans les travaux ultérieurs de Tchebychef, ainsi que son dis- 



— III — 

cours d'ouverture est conservée en manuscrit et accompagnée d'un 
résumé imprimé. Cette thèse valut à Tchebychef le droit défaire un 
cours à l'université; il fut nommé docteur en mathématiques en 1849 
pour sa troisème thèse qui fut son oeuvre célèbre „La théorie des 
congruences"- 

Presque en même temps que Tchebychef, V. J. Bouniakov- 
sky, un des plus célèbres mathématiciens russes, qui était à cette 
époque académicien ordinaire de l'Académie des Sciences, entra à l'uni- 
versité de St. Pétersbourg comme professeur ordinaire. La chaire de 
mathématiques appliquées était alors occupée par un autre mathémati- 
cien non moins célèbre, J. J. Somof. Ces deux hommes, si éminents 
non seulement par leurs mérites scientifiques, mais aussi par leurs 
qualités morales, furent les premiers avec lesquels Tchebychef se 
lia à son arrivée à St. Pétersbourg et garda les meilleures relations 
jusqu'à leur mort. C'est surtout avec Bouniakovsky qu'il était lié 
et celui-ci, ayant aperçu dans Tchebychef une énorme force scienti- 
fique, l'attira à l'Académie des Sciences d'abord en qualité de son 
collaborateur dans l'édition des travaux du célèbre Eu 1er, et puis 
comme membre (en 1853 Tchebychef fut élu adjoint et en 1859 — 
membre ordinaire de l'Académie des Sciences). 

La position pécuniaire de Tchebychef lors son installation à 
St. Pétersbourg était très pénible. Les affaires de ses parents se trou- 
vaient en désarroi et il n'avait jDour vivre que ses modestes appointe- 
ments de professeur-adjoint. Cette gène le forçait d'être très éco- 
nome; tel il est resté jusqu'à la fin de ses jours. 

La seule chose, pour laquelle il ne ménageait pas son argent, 
c'étaient les modèles des mécanismes de son invention; pour leur con- 
struction il dépensait des centaines et des milliers de roubles. Dès son 
enfance il aimait à construire différents a23pareils. Parti d'un joujou 
fait avec son canif, il arriva à la construction de sa fameuse machine 
arithmétique très-compliquée qui se trouve au „Conservatoire des 
arts et métiers" à Paris; beaucoup de ses aj^jDareils sont conservés à 
l'université de St. Pétersbourg et à l'Académie des Sciences. 

Tchebychef ne fréquentait qu'un cercle très étroit de connais- 
sances; le plus souvent il allait chez Bouniakovsky, où se réunis- 
saient beaucoup de mathématiciens, entre autres le célèbre M. V. 
Ostrogradsky. 

Dans sa jeunesse, Tchebychef allait souvent voir J. J. Somof 
pour lui conter ses découvertes et pour mettre au jDrofit la grande 
érudition de son collègue plus âgé, afin de savoir, si la découverte 



— IV — 

n'avait pas été déjà faite par quelque autre mathématicien. A en 
croire le frère de J. Somof, cela arrivait parfois. Il va sans dire que 
ce ne pouvait être qu'à l'époque où Tchebychef n'avait pas encore 
abordé les questions mathématiques que personne n'avait touchées 
avant lui et où il ne courait ])SiS le risque d'être devancé. Il est à 
remarquer que Tchebychef préférait les investigations originales à 
l'étude des travaux d'autres mathématiciens, des contemporains sur- 
tout. Ayant étudié à fond les oeuvres des grands mathématiciens 
Euler, Lagrange, Gauss, Abel etc., Tchebychef ne prêtait pas 
d'imjDortance à la lecture de la littérature mathématique courante, 
affirmant que le trop de zèle à étudier les travaux des autres nuisait 
à l'originalité des ses propres travaux. 

Les voyages à l'étranger furent les distractions favorites de 
Tchebychef. D'abord il entreprit ces voyages non pas pour se repo- 
ser, mais avec un but tout scientifique. Dans le rapport (reproduit 
jilus bas) de sa mission à l'étranger on trouve la description de son 
voyage, de ses visites d'usines pour l'étude de la mécanique ajD- 
pliquée, de la fréquentation des séances des sociétés scientifiques, et 
de ses entretiens avec les savants illustres de différents pays. 

Dans les années suivantes, Tchebychef, sans négliger le but 
scientifique des ses voyages, en profita aussi pour se reposer de 
ses occupations continuelles. Il aimait surtout à voyager en France, 
où il avait beaucoup de relations parmi les savants, allait aux con- 
grès et y faisait des communications sur ses découvertes scienti- 
fiques. 

Très-économe, Tchebychef descendait lors ses premiers voyages 
à Paris dans un hôtel très modeste (,, Hôtel Corneille" vis-à-vis de 
l'Odéon), ne dînait que dans de petits restaurants et allait en omni- 
bus; ce n'est que beaucoup plus tard qu'il changea ses habitudes et 
même invita ses amis français à dîner. 

Lorsqu'il restait pour les vacances en Russie, il passait l'été le 
plus souvent près de Reval à Catherinenthal. 

L'activité de Tchebychef comme professeur au sens propre du 
mot dura juste 35 ans, — de 1847 à 1882 (de 1847 à 1853 professeur 
adjoint, de 1853 à 1857 — professeur extraordinaire et depuis 1857 — 
ordinaire), et fut consacrée exclusivement à l'université de St. Pé- 
tersbourg sans compter un cours de mécanique de peu de durée au 
Lycée de l'Empereur Alexandre I. A diverses époques il fit des cours 
de géométrie analytique, d'algèbre supérieure, de théorie des nom- 
bres, de calcul intégral, de théorie des probabilités et de calcul des 



différences finies, de théorie des fonctions elliptiques et de théorie 
des intégrales définies. 

Tchebychef comme professeur était d'une rigueur pédantes- 
quo; presque jamais il ne manquait, n'était jamais en retard, mais 
ne restait pas une minute après l'heure, dût-il interrompre la leçon 
au milieu d'une phrase. S'il lui arrivait de ne pas achever une dé- 
duction, il la reprenait depuis le commencement à la leçon suivante, 
si cette leçon ne faisait pas une suite immédiate de la leçon ]3récé- 
dente. Il précédait chaque calcul tant soit peu compliqué par une expli- 
cation de son but, et en indiquant la marche à grands traits. Il fai- 
sait son calcul presque toujours silencieusement de sorte que les étu- 
diants devaient le suivre à l'aide des yeux et non des oreilles. Le 
calcul se faisait assez vite et d'une manière très détaillée de sorte 
qu'il était facile d'en suivre la marche. Pendant les leçons Tcheby- 
chef faisait souvent des digressions du cours systématique, commu- 
niquait ses opinions et ses entretiens avec d'autres mathématiciens 
concernant les questions traitées pendant les leçons et expliquait 
l'importance comparée et la liaison réciproque des diverses questions 
mathématiques. Ces digressions animaient l'exposé, donnaient un re- 
lâche à l'attention tendue des auditeurs et éveillaient l'intérêt pour le 
sujet étudié. 

Les cours de Tchebychef n'étaient pas gros, mais substantiels, 
d'une exposé accessible et aisé à comprendre. 

Aux examens des étudiants Tchebychef n'était ni trop sévère, 
ni trop indulgent, mais toujours extrêmement retenu et courtois. Ses 
objections aux soutenances de thèses à l'Université concernaient tou- 
jours les questions générales sans toucher les détails et se distin- 
guaient par leur finesse et leur ingéniosité. 

Les mérites de Tchebychef comme professeur resteront tou- 
jours gravés dans la mémoire de ceux qui ont eu l'honneur de l'avoir 
pour maître. Il continuait d'instruire ses anciens élèves même après 
leur sortie de l'université. C'était lui qui guidait les premiers pas de 
ceux de ses auditeurs qui s'étaient voués aux mathématiques, donnant 
de précieuses indications à tous ceux qui voulaient et savaient en ti- 
rer profit. 

Une fois par semaine à heure fixe, sa porte était ouverte pour 
tous ceux qui voulaient apprendre au grand mathématicien le résul- 
tat de leurs études et recevoir de lui quelque indication. Rarement le 
visiteur s'en allait sans emporter de nouvelles idées et sans être encou- 
ragé dans ses études. 



— YI — 

Un des mérites inoubliables de Tchebychef comme maître des 
mathématiciens russes fut, dans ses conversations scientifiques, de 
faire trouver à ses élèves, par ses travaux et ses indications, des su- 
jets féconds de recherches jiersonnelles, et d'appeler leur attention 
sur des questions dont les résultats avaient toujours une certaine va- 
leur scientifique. 

Tchebychef mourut dans sa 74-ième année, il vit les deux ju- 
bilés (celui de 25 ans et celui de 50 ans) de son activité scientifique, 
sans cependant les fêter. Toutes les tentatives de ses admirateurs et 
de ses élèves de souligner ces époques par quelque manifestation usi- 
tée furent déclinées ]Dar le grand savant d'une façon très énergique. 

Sur la fin de Tchebychef on sait seulement qu'il avait con- 
tracté, quelques jours avant sa mort, une forme légère d'influenza, et 
tout en ne se sentant j^as bien, n'avait jtas pris le lit. 

La veille de sa mort il reçut ses visiteurs à l'heure habituelle et 
personne ne croyait sa fin si j^roche. Le matin du 26 novembre 1894, 
en prenant un verre de thé assis à son bureau, il eut une faiblesse, 
et, après une courte agonie, succomba à une paralysie du coeur. 



RAPPORT 

du professeur extraordinaire de l'université de St. Pétersbourg Tchebychef 
sur son voyage à l'étranger. 



.: ' Traduit par M-me C. Jossa. : _, 

(/RypHa-it MmiiicTepcTBa HapoAHaronpocBfcii;cHin. ^acxb LXXVIII. OrAt-ieaie IV, cxp. 1-14}. 

'-. Le 21 juin 1852, après avoir obtenu le j)asseport pour passer la. 
frontière, je me suis embarqué sur un vapeur pour Stettin, où j'ai dé- 
barqué le 24 Juin et me suis rendu le môme jour à Berlin. Suivant le 
plan que j'ai tracé pour mon voyage, je n'ai j^assé à Berlin que 12 
heures et je suis j)arti pour Paris, choisissant le chemin le plus court. 
Passant près de Lille, j'ai cru nécessaire de visiter cette ville dans 
les environs de laquelle se trouve une quantité de raoulins-à-vent . 
construits d'après le système hollandais et connus dans la Mécanique 
aj^pliquée d'après les observations de Coulomb. L'instabilité du vent 
le rend inadmissible comme moteur dans les fabriques, où l'interrup- 
tion continuelle des travaux causerait des pertes considérables, mais, 
d'autre part, le vent nous présente lemoteur le moins cher, c'est pour- 
quoi il est souvent emj)loyé pour moudre le grain, pour faire l'huile, 
pour piler le lin etc. Les moulins-à-vent de Lille sont j)articulièrement 
intéressants au point de vue dé la théorie actuelle du vent comme 
moteur: cette théorie vérifie ses résultats à l'aide des observations de 
Coulomb. Ilfaut constater cependant que la théorie et les observa- 
tions, tout en étant d'accord dans les traits généraux, diffèrent sé- 
rieusement dans le détail. Ainsi, d'après la théorie, l'inclinaison des 
ailes du moulin-à-vent vers l'axe de rotation devrait diminuer conti- 
nuellement en s'éloignant de leurs extrémités; au contraire, les obser- 
vations de Coulomb, faites sur les moulins-à-vent de Lille, nous dé- ^ 



— VIII — 

montrent que la courbure de la surface des ailes suit une autre loi: 
au commencement l'angle formé par les éléments de l'aile et l'axe de 
rotation décroît en s'éloignant de l'extrémité de l'aile, mais, arrivé à 
une certaine limite, il commence à croître, de sorte que ses différences 
premières vont constamment en décroissant, tandis que la théorie 
enseigne qu'elles doivent s'accroître. Ce désaccord entre la théorie 
actuelle et les résultats de beaucoup d'observations faites par Cou- 
lomb sur les moulins-à-vent, dont la construction est tenue par les 
mécaniciens-praticiens pour modèle, nous suggère naturellement l'i- 
dée que, peut-être, certaines circonstances que la théorie actuelle ne 
prend généralement pas en considération, comme le changement de 
direction et d'intensité du vent sous l'influence de l'édifice même du 
moulin, la courbure de l'axe des ailes, etc., exercent une influence 
considérable sur la marche du moulin. En tenant comjite de cela, on 
trouve aisément des expressions analytiques pour la quantité de tra- 
vail du moulin-à-vent et la forme la plus avantageuse de ses ailes; il 
n'y a que quelques constantes, différentes pour chaque type de mou- 
lin, qui restent inconnues. Pour vérifier ces expressions à l'aide des 
observations de Coulomb sur les moulins-à-vent de Lille, il faut avoir 
des données plus détaillées que celles qui suffisaient pour l'exposé de 
l'ancienne théorie des moulins-à-vent. C'est ^^ourquoi en passant j)rès 
de Lille j'ai trouvé utile de visiter cette ville et je suis resté deux 
jours à examiner les moulins-à-vent des environs. 

Le 28 juin je me suis rendu de Lille à Paris, où j'arrivai le soir 
même. A cette époque les études dans les hautes écoles étaient déjà 
finies; mais j'ai trouvé la plupart des professeurs à Paris, ce qui était 
d'une grande importance pour le succès de mon voyage, car, vu sa 
courte durée, il me fallait des renseignements sur place pour trouver 
immédiatement ce qui était d'intérêt principal pour mes études de la 
Mécanique appliquée et, outre cela, pour obtenir des recommandations, 
sans lesquelles on n'arrive pas à voir beaucoup de choses, ou on les 
voit d'une façon superficielle. 

Arrivé à Paris, je me suis adressé au célèbre géomètre Liouville, 
Membre de l'Académie des Sciences de Paris et éditeur d'un journal 
de mathématiques, auquel je collabore de2:)uis 1842. Grâce à l'obli- 
geance de ce géomètre, j'ai trouvé l'occasion délier connaissance avec 
les savants dont le concours était d'une grande importance pour le 
succès de mon A^oyage. 

D'après les renseignements que j'ai tirés des entretiens avec eux, 
j'-ai conclu qu'il me serait utile d'emj^loyer une j^artie de mon séjour 



en France (ce séjour devait durer 3 mois) à examiner les machines et 
les modèles du „Conservatoire des ^rts et métiers", à observer la con- 
struction des machines dans les usines de Paris et des environs, sur- 
tout dans celle de M. Cave, connue par ses machines-à-vapeur à cylin- 
dres oscillants, et d'autres établissements mécaniques, présentant un 
intérêt particulier, ou se rattachant aux sujets de mes investigations 
do Mécanique appliquée; l'autre partie de mon séjour à l'étranger de- 
vrait être employée à voyager en France pour étudier divers objets 
intéressants, à visiter les usines métallurgiques d'Hayange, où sont 
fabriquées aussi diverses machines; les célèbres fabriques de papier 
des environs d'Angouleme; la fonderie de l'Etat de Ruelle etc., dont 
la visite ne me prendrait pas beaucoup de temps. 

Conformément à ce projet, j'ai étudié jusqu'au 8 août les objets 
se trouvant à Paris et aux environs. Ayant à ma disj)Osition très peu 
do temps, que je devais partager entre le „Conservatoire des arts et 
métiers", les usines de M. Cave et autres établissements touchant à 
la Mécanique appliquée, ainsi que le chemin de fer atmosphérique de 
St.-Germain, le chemin de Sceaux, réputé j)ar sa sinuosité, la machine 
de Marly etc., je tâchais néanmoins d'enrichir mes connaissances théo- 
riques à l'aide d'entretiens avec les célèbres géomètres français. Je 
passais en conséquence les après-midis tantôt au „Conservatoire des 
arts et métiers", tantôt aux fabriques, surtout chez Cave, et les soi- 
rées étaient consacrées tant aux conversations avec M.M. Cauchy, 
Liouvillo, Bienaimé, Hermite, Serret, Lebesgue et d'autres savants, 
qu'aux études théoriques en rapport immédiat avec les données four- 
nies par l'examen des machines de différents systèmes, ou avec les 
questions d'Analyse, vers lesquelles mon attention était tournée par 
la conversation avec les savants. C'est ainsi que M.M. Liouville et 
Hermite m'ont suggéré l'idée de développer les j)rincipes sur lesquels 
fut jadis fondée ma dissertation, présentée en 1847 à l'université de 
St. Pétersbourg j?ro vcnia legendi. Dans cet écrit j'examinai le cas, où 
la différentielle à intégrer renferme la racine carrée d'une fonction 
rationnelle — le cas le plus simple et le plus fréquent dans les appli- 
cations. Mais il était intéressant sous plusieurs raj)ports d'étendre ces 
principes au cas d'un radical de degré quelconque. 

Ainsi dans le calcul intégral l'attention est surtout attachée à 
l'intégration des différentielles connues sous le nom de binômes; on 
propose pour cela un certain nombre de procédés particuliers, en expli- 
quant dans quels cas ces procédés réussissent. 

Excepté ces quelques cas on ne pouvait rien affirmer de positif 



— X — 

à propos de l'intégrale des différentielles binômes. Sont-ce nos procé- 
dés qui sont insuffisants, ou ces intégrales n'existent pas sous forme 
finie? On ne pouvait certainement trancher cette question à l'aide de 
procédés particuliers, si grande que soit la quantité des cas que ces 
procédés embrassent; il fallait unjirocédé général, embrassant tous les 
cas particuliers, et ce procédé se trouvait dans les principes dont j'ai 
parlé plus haut. 

Je me suis occupé du développement de ces principes j)Our dé- 
terminer les cas, où les intégrales des différentielles binômes existaient, 
sous forme finie, et ceux, oh. elles se j^résentent sous forme de trans- 
cendantes j)articulières. 

Mes recherches m'ont mené à la conclusion que les procédés ])ar- 
ticuliers proposés pour l'intégration des différentielles binômes (algé- 
briques) embrassent tous les cas, où cette intégration est possible 
sous forme finie, et, par suite, la question de leur intégration sous forme 
finie doit être considérée comme résolue définitivement. Entre autres 
je suis arrivé à un théorème qui contient, comme un cas particulier, 
le fameux théorème d'Abel qu'il a laissé sans démonstration*). 

Des nombreux sujets d'étude qui se sont j^résentés pendant l'exa- 
men de différents mécanismes de transmission de mouvement, surtout 
dans la machine-à-vapeur, où l'économie du chauffage et la stabilité 
de la machine dépendent des procédés de transmission du travail de 
la vapeur, je me suis occupé surtout de la théorie des mécanismes 
connus sous le nom de parallélogrammes. En recherchant les moyens 
de tirer de la vapeur le maximum de travail dans le cas, où l'on exige 
un mouvement de rotation, Watt a inventé un mécanisme spécial pour 
transformer le mouvement rectiligne du j^iston en mouvement circu- 
laire du balancier, mécanisme connu sous le nom de parallélogramme. 
L'histoire de la Mécanique ajoj^liqi^iée nous apprend que l'idée d'un 
pareil mécanisme fut suggérée au célèbre transformateur desmachines- 
à-vajDCur j)ar l'examen d'un disj^ositif spécial, où la combinaison de di- 
vers mouvements de rotation formait des courbes dont quelques-unes 



forme ^-= , où p et 12 sont des fonctions entières de x, est exprimable par des logarithmes, 



*).... le théorème suivant très remarquable a lieu: «Lorsqu'une intégrale de la 
rpax 

on peut toujours l'exprimer de la manière suivante: 

fP-S^^log ^^^^^g , 
iVM . p — qVE 

où A est constant et x> et q des fonctions entières de x. Je me réserve de démontrer ce théo- 
rème dans une autre occasion. Abél, Oeuvres complètes, T. I, p. 65. 



— XI — 

étaient presque rectilignes. Mais nous ne savons pas, comment il est 
arrivé à la forme la j)lus avantageuse de son mécanisme et à la di- 
mension nécessaire de ses éléments. Les règles que suivait AYatt dans 
la construction des parallélogrammes ne pouvaient garder leur sens 
pratique que jusqu'au moment, où l'on a reconnu la nécessité d'en chan- 
ger la forme; ce changement de forme demanda de nouvelles règles. 
La pratique et la théorie actuelle tirent ces règles d'un principe suivi 
sans doute par Watt pour la construction de ses parallélogrammes. 
Les raisonnements que l'on fait pour démontrer ce principe ne peu- 
vent certainement soutenir aucune critique; il arrive souvent que les 
éléments du parallélogramme trouvés à l'aide de ce princij^e ne con- 
viennent pas en pratique, et il a fallu tracer des tables spéciales pour 
les corriger. 

On voit bien la nécessité de soumettre les parallélogrammes de 
Watt et leurs modifications à une analyse rigoureuse, substituant au 
principe en question les propriétés essentielles de ce mécanisme et les 
conditions de la pratique. Pour arriver à ce but je me suis mis à étu- 
dier les conditions dont dépendaient plusieurs des éléments de ce mé- 
canisme dans les machines des usines aussi bien que sur les bateaux- 
à-vapeur, et d'autre part — l'effet nuisible de l'irrégularité de sa 
marche, dont les traces étaient visibles sur les machines longtemps 
en usage. 

Me proposant de déduire les règles pour la construction des pa- 
rallélogrammes de la nature même de ce mécanisme, je me suis trouvé 
en présence de questions d'Analyse fort peu connues jusque-là. 
Tout ce qui est fait sous ce rapport est dû au Membre de l'Académie 
des Sciences de Paris, M. Poncelet, qui s'est créé un nom dans la Mé- 
canique appliquée; on emploie souvent les formules, trouvées par lui, 
pour calculer les résistances nuisibles des machines. La théorie du 
parallélogramme de AVatt demande des formules j^lus générales et 
leur application ne doit pas se restreindre à l'étude de ces mécanismes. 
La Mécanique appliquée et les autres sciences apj)liquées contiennent 
beaucoup de questions pour la solution desquelles ces formules sont 
nécessaires. 

Comme j'avais très-peu de temps à ma disposition pour traiter 
un sujet de si grande étendue, je n'ai achevé que la première partie 
de mon Mémoire, qui a été présenté à l'Académie Impériale des Sci- 
ences. 

La question des parallélogrammes de Watt est étroitement liée 
à la question de la construction des machines-à- vapeur sans balancier, 



c'est à dire — sans ce mécanisme. Le système de machines-à-vapeur 
de Cave à cylindres oscillants est des plus remarquables sous ce rap- 
port. Cela me fit m'intéresser à sa fabrique. A l'aide de ces cylindres 
oscillants la composition de la machine-â-vapeur devient beaucoup 
plus simple. Mais la mobilité des cylindres présente beaucoup de diffi- 
cultés dans leur construction, surtout dans l'aménagement des soupa- 
2:)es. C'est surtout pour cette raison que je suivais avec un vif intérêt 
la construction de divers organes de ces machines, très avantageux 
dans certains cas. 

Outre la fabrique de M. Cave, la collection de modèles de machi- 
nes du ,, Conservatoire des arts et métiers" (ou se trouve entre autres 
le modèle d'une machine-à-vapeur très originale, inventée par le comte 
Eoumiantzef), la machine mobile, achetée par le Gouvernement Fran- 
çais à Londres à l'Exposition Universelle, mon attention fut surtout 
attirée par deux machines: celle du chemin de fer atmosphérique de 
St. -Germain, et celle de Marly. Cette dernière présentait j)Our moi 
un intérêt tout spécial non seulement grâce à la combinaison ingéni- 
euse de plusieurs machines-à- vapeur, mais surtout parceque son tra- 
vail, consistant à élever l'eau à une hauteur considérable, est facile- 
ment déterminé par l'indication d'un manomètre ajouté aux pompes; 
en même temps d'autres manomètres déterminent la pression de la 
vapeur dans le cylindre et dans le condenseur. Cette machine prouve 
nettement l'influence que différentes conditions, généralement négli- 
gées par la théorie actuelle, exercent sur la quantité de travail. Ce 
n'est que d'observations pareilles que l'on joeut espérer de tirer des 
formules déterminant avec une exactitude suffisante la quantité de 
travail de la machine-à-vapeur ainsi que les dimensions les plus avan- 
tageuses de ses parties. 

M'occupant ainsi des machines-à-vapeur, je ne négligeais pas, 
autant que le temps me le permettait, les roues hydrauliques. Le 
,,Conservatoire des arts et métiers" me fournissait une collection nom- 
breuse de modèles de diverses roues, entre autres d'une turbine, qui 
se trouve dans un moulin à St.-Maur que j'avais visité trois fois. Cela 
m'a procuré l'occasion de trouver quelques données sur l'usage de ce 
moteur, qui n'est pas encore entièrement étudié théoriquement. 

En outre, le ,, Conservatoire des arts et métiers!', ainsi que les usi- 
nes que j'ai visitées, me fournirent d'amples matériaux concernant 
les différents mécanismes pour la transmission du mouvement et les 
machines destinées à un travail sj)écial. Mon attention fut attirée 
entre autres par les machines d'un mécanicien très-intéressant Yau- 



— XIII — 

canson, par la machine arithmétique de Pascal, par des dispositifs 
pour l'élévation de l'eau, par des machines de filature de coton et de 
lin, et par des machines métallurgiques. 

Le 8 août je suis parti pour Metz. Je me suis arrêté pour quel- 
ques heures à Meaux pour y examiner les roues d'un moulin-à-eau, 
après quoi j'ai repris mon voyage pour Metz, où je suis arrivé le 9 août. 
Dans cette ville j'ai rencontré les Membres de la Commission Mathé- 
matique pour l'examen d'entrée à l'Ecole Polytechnique. Cette ren- 
contre m'a fourni l'occasion d'assister à cet examen. C'est à Metz que 
j'ai rencontré M. de Polignac, connu en France par ces recherches en 
Mathématiques. Lui et moi, nous nous sommes occupés des mêmes 
questions, — nous avons cherché la démonstration du postulat de 
Bertrand et d'autres ^propositions de ce genre, et en suivant des voies 
différentes, nous sommes venus à bout des difficultés, présentées par 
ces questions. Le 15 octobre 1849 M. de Polignac donnait à l'Acadé- 
mie des Sciences de Paris un rapport sur l'étude des séries S|)éciales 
nommées diatomiqiies et sur les applications qu'on peut en faire. Il 
disait en particulier être arrivé, en partant de ces séries, à démontrer 
rigoureusement que dans les limites «" et a""*"^ il se trouve au moins 
un nombre premier. Quoique cela soit insuffisant pour faire la démon- 
stration du postulat de Bertrand, dans lequel les limites données sont 
plus étroites, même dans ces limites la présence d'un nombre premier 
ne pouvait être démontrée qu'à l'aide des procédés spéciaux. Les 
limites dans lesquelles on démontrait auparavant la présence d'un 
nombre premier étaient beaucoup plus larges. 

Les recherches de M. de Polignac ont attiré l'attention des Mem- 
bres de l'Académie des Sciences de Paris, surtout du géomètre Cauchy 
qui présenta à l'Académie, peu de temps avant mon départ de Paris, 
la seconde partie de ses recherches. Cependant en 1850 j'ai présenté 
à l'Académie des Sciences de St. Pétersbourg un article sur les ..nom- 
bres premiers" contenant la démonstration du postulat de Bertrand; 
dans cet article j'ai démontré la présence des nombres premiers dans 
les limites plus étroites, et tout cela sans me servir des séries dia- 
tomiques. En publiant l'année suivante la première j^artie de son 
ouvrage, M. de Polignac compare, dans la préface, les procédés aux- 
quels il a eu recours avec ceux dont je me suis servi et insiste sur 
les avantages présentés par les séries diatomiques. Cette différence 
d'opinions sur le même sujet, très peu étudié jusqu'à ce tenq^s, ex- 
plique bien le grand intérêt qui nous poussait l'un vers l'autre, et 
c'est à Metz que nous trouvâmes l'occasion de causer. — J'employais 



mes après-midis à causer avec M. de Polignac et les Membres de la, 
Commission Mathématique, les célèbres géomètres Hermite et Serret, 
et les matinées étaient consacrées à la visite des usines de fer avec 
des fabriques de machines qui se trouvent en grand nombre près de 
Metz. Mon attention fut spécialement attirée par l'usine de Charles 
Wendel à Hayango connue pour son excellente prépartion de fer et 
sa construction de machines. Je suis resté à Metz jusqu'au 16 août 
et je suis retourné à Paris le 17. 

Arrivé à Paris, j'ai repris mes travaux de Mécanique appliquée. 
En outre, M. Liouvillo s'était offert à m'exposer un abrégé de la nou- 
velle théorie des fonctions elliptiques, professée par lui au Collège de 
Franco. Jusqu'à ce temps cette théorie, si intéressante et si impor- 
tante par ses applications, no consistait principalement que dans l'é- 
tude des procédés spéciaux, propres à elle. M. Liouville, célèbre par 
ses découvertes dans l'Analyse, eut l'idée de baser cette théorie sur 
un principe général, déterminant l'importance des fonctions elliptiques 
entre les matières de l'Analyse pure. Sans s'arrêter sur la considé- 
ration des fonctions déterminées par une telle ou telle intégrale, il 
commence jiar l'étude des proj)riétés générales des fonctions, et les 
partage en deux classes: les fonctions bien déterminées et celles qui ne 
le sont pas complètement. 

S'arretant sur les premières, qui sont les j^lus simples, il démon- 
tre quelques-unes de leurs propriétés générales; piiis, passant au cas 
où elles sont périodiques, il démontre sur elles des théorèmes d'au- 
tant plus intéressants qu'ils ne dépendent aucunement ni de la forme 
des fonctions, ni de leur origine, mais uniquement de leurs propriétés 
essentielles, — détermination complète, continuité, périodicité. 

Partant de là, il fait une théorie des fonctions doublement pério- 
diques, les supposant partout bien déterminées. Il partage ces fonc- 
tions en classes, suivant le nombre des zéros et des infinis: il donne ces 
dénominations aux valeurs de la variable indépendante, qui, dans l'é- 
tendue d'une période, annulent la fonction ou la rendent infinie. Il 
démontre ensuite que le plus ^^etit nombre de ces zéros et de ces in- 
finis est 2, et trouve l'expression de la fonction avec un nombre quel- 
conque des zéros et des infinis au moyen des fonctions, dans lesquel- 
les ces nombres ont la moindre valeur, c'est à dire sont égaux à 2. 
Ceci démontre l'importance des fonctions doublement périodiques à 
deux zéros et deux infinis. S'arretant sur ces fonctions, il recherche 
l'équation différentielle, à laquelle elle doivent satisfaire, en ^^artant 
des propriétés générales des fonctions périodiques. L'équation qu'il 



•— XV — 

trouve ainsi est la même, qui sert à déterminer les fonctions ellip- 
tiques inverses de première espèce. C'est ainsi que M. Liouville passe 
des principes généraux aux intégrales elliptiques, qui ont d'abord 
attiré l'attention des savants par leur forme et leurs différentes ap- 
plications: c'est à une de ces applications qu'elles doivent leur nom. 

Jusqu'à présent les investigations de M. Liouville présentent un 
intérêt purement théorique; mais nous n'avons aucune raison d'ad- 
mettre qu'ici, ainsi que dans les autres parties de l'Analyse, un pro- 
fond coup d'oeil ne découvre quelque chose de nouveau, si variées 
que soient les investigations antérieures. 

Outre la théorie des fonctions elliptiques de M. Liouville, j'ai 
trouvé l'occasion d'en connaître les principes fondamentaux élaborés 
par un autre géomètre français, M. Hermite. Les principes de ce géor 
mètre sont inférieurs comme théorie à ceux de Liouville, mais ils leur 
sont préférables dans les applications, surtout dans les fonctions ellip- 
tiques ■ de seconde et de troisième espèce, auxquelles les principes 
de Liouville ne peuvent être appliqués immédiatement. 

Comme mon cours do l'université de St. Pétersbourg comj)ortait 
entre autres matières la théorie des fonctions elliptiques, il m'était 
bien utile d'apprendre ce que les deux célèbres géomètres français 
avaient fait sur ce sujet. Il m'était aussi intéressant de vérifier mes 
propres idées sur la périodicité des fonctions en général. 

Le 28 août M. Liouville se rendit à Toul après m'avoir chargé 
de publier dans son journal deux de mes articles. Je j^assai les soi- 
rées à les rédiger, tout en continuant à m'occuper de Mécanique ap- 
pliquée. 

Le 16 septembre je suis parti à xVngoulême connu par sa pro- 
duction de papier à lettre d'excellente qualité. En route j'ai trouvé 
l'occasion d'examiner une quantité d'objets très curieux touchant à 
la Mécanique, surtout la fabrique d'armes à Châtellerault. Je suis 
arrivé à Angoulême le 16 septembre au soir et j'y suis restéjusqu'au 
26 septembre. 

Excepté les trois jours que j'ai mis à visiter Bordeaux (ce qui 
m'a procuré, entre autres, l'occasion de voir le pont suspendu sur la 
Garonne), j'ai employé tout mon temps à étudier la fabrication du j^a- 
pier c\ Angoulême et aux environs, surtout à la fabrique de M. Comte, 
avec lequel j'ai lié connaissance en route. J'ai visité en outre la fa- 
brique de canons de Ruelle, près Angoulême. A Coronne j'ai eu aussi 
l'occasion de visiter une fabrique de papier dont une partie était mise 
en niouvement paf deux turbines. 



— XYÏ — 

Le 28 septembre je suis rentré à Paris pour obtenir de notre 
ambassadeur l'autorisation d'aller en Angleterre, où je suis parti le 
2 octobre. 

Arrivé à Londres, je me suis adressé aux deux géomètres an- 
glais, M. M. Sylvester et Cayley. C'est à l'amabilité de ces savants 
que je dois d'un côté les conversations intéressantes concernant dif- 
férentes branches des Mathématiques, — auxquelles je consacrais les 
soirées et les dimanches, pendant lesquels toutes les fabriques chô- 
ment, — et d'un autre côte la connaissance que j'ai faite avec le cé- 
lèbre ingénieur-mécanicien Gregory. x\yant apj)ris le but de mon 
voyage et s'intéressant aux questions de Mécanique appliquée, qui 
étaient l'objet de mes recherches, il s'était offert à m'aider de trouver 
dans les fabriques de Londres tout ce qui m'était le plus indispen- 
sable. A cet effet il m'accomjoagna dans plusieurs fabriques, ou il 
croyait pouvoir trouver des machines construites par Watt lui-même. 
Ces machines m'offraient le plus grand intérêt, comme données sur 
les principes suivis par AYatt dans la construction de ses parallélo- 
grammes, et que je devais comparer aux résultats de mes recherches 
dont j'ai parlé plus haut. Il se trouva malheureusement qu'une des 
plus anciennes machines de Watt, longtemps conservée, en ces der- 
niers temps fut vendue pour être détruite; mais M. Gregory a eu la 
chance de trouver deux machines, qui, suivant les documents, avaient 
été refaites par Watt et sont gardées comme des raretés. En ce 
qui concerne la construction des machines, M. Gregory m'a conseillé 
de visiter les fabriques de Maudsley, de Nipper et de Penn, et sa re- 
commandation me fut d'une grande utilité. Outre plusieurs machines- 
II- vapeur de différents systèmes, j'ai vu dans la première de ces fabri- 
ques une machine rotative construite d'aj)rès le plan de Maudsley 
père lui-même. 

Londres ne possède pas un Musée pareil au ,, Conservatoire des 
arts et métiers", mais il possède un établissement d'un autre genre, 
qui aide beaucoup à répandre dans la population les connaissances 
en Technologie et en Mécanique appliquée, — c'est le ,, Royal Poly- 
technic Institution". Dans cet établissement se trouve une collection 
considérable de modèles qui ont rapport aux différentes branches 
de la Mécanique appliquée, ainsi que de différentes machines-à-va- 
peur. Plusieurs de ces machines sont en mouvement. Dans cet ,, In- 
stitution" on expose diverses nouvelles inventions dont on démontre 
sur place l'utilisation. Dans un des salons est aménagé un énorme 
bassin constamment alimenté à l'aide de canaux; on y démontre la 



— XVII — 

mise en mouvement des roues hydrauliques, rarrangemeiit des éclu- 
ses, le mouvement des vaisseaux, l'oro-auisation des travaux sous- 
marins etc. En outre, les expériences cliimiques faites au lal)oratoire 
sont très intéressantes par leurs applications pratiques. Cet établis- 
sement est très visité par le public. 

Faute de temps, j'ai du me borner seulement a l'examen des 
objets que j'ai trouvés a T^ondres et aux enviroiis. 

Le 14 octobre je suis parti de Londres pour Paris, où j'attendis 
des instructions du Lycée do l'Empereur Alexandre I pour l'achat 
de quehiues appareils ])0ur mon cours do Mécaiiicpie a])[)li(piée. (Jela 
fait, j'ai profité de l'occasion pour aller, accompagné de M. Her- 
mite, voir M. Foucault et assister à ses expériences nouvelles; a])rès 
(juoi je suis parti le 22 octol)re pour Berlin. Comme le chemin do 
]3erlin passe près de ]3ruxelles, où se trouve luie quantité d'objets 
ayant trait à la Mécanique appliquée, et où sont laites des leçons pu- 
bliques de cette science, j'ai résolu do visiter cette ville. N'ayant pas 
à ma disposition assez de temps, je me suis borné à visiter le ^Lusée 
des machines, où se trouvent, entre autres, beaucoup de machines 
agricoles très intéressantes, et, en outre, beaucoup de modèles des ma- 
chines-à-vapeur de différents systèmes, ainsi qu'une machine rotative 
d'une construction spéciale. C'est encore ici que j'ai vu nojnbre de 
produits de l'industrie belge et assisté à une leçon de la Mécanique 
apjiliquée faite par M. Kent. Après avoir passé 3 jours a Bruxelles, 
j'ai continué mon voyage pour Berlin, où je suis arrivé le 2G octobre. 

Il m'intéressait beaucoup de faire la connaissance du célèbre géo- 
mètre Lejeune-Dirichlet. Parmi les investigations faites par ce sav^ant 
en l'Analyse, la première place appartient à ses principes de l'appli- 
cation du calcul des inflniment petits a la recherche des propriétés 
des nombres. Mais il n'a été publié jusqu'à ce jour qu'un(; certaine 
partie de ses recherches sur cette question; quant au reste de ses tra- 
vaux, nous n'en savons rien, excepté quelques résultats défmitifs re- 
stés sans démonstration. Los investigations do M. Lejeune-Dirichlet 
m'intéressaient particulièrement, car je m'occupais des mêmes que- 
stions; dans mon article, présenté à l'Académie Impériale des Sciences 
de St.-Pétersbourg sous le titre „Sur la l'onction qui détermine la to- 
talité des nombres premiers inférieurs à nue limite donnée'", j'ai dé- 
montré que la formule trouvée, par analogie, par Legendro pcnu- dé- 
terminer la quantité des nombres premiers inférieurs à une limite don- 
née, devait être remplacée par une autre; ce résultat était d autant 
plus inattendu que M. Lejeune-Diricldet, parlant de ses rechci-ches 



— XVIII — 

touchant cette question, ne dit rien de l'inexactitude de la formule de 
Legendre. 

Pendant mon séjour à Berlin je trouvai chaque jour l'occasion 
-de m'entrotenir avec ce géomètre sur les roclierches susdites ainsi 
que sur d'autres points d'Analyse pure et appliquée. 

J'assistai avec un plaisir particulier à une de ses leçons sur la 
Mécanique théorique. 

A Berlin j'ai appris, à mon grand regret, que, grâce aux gelées 
imprévues, la navigation au golfe de Finlando vient de cesser. Comme 
il ne restait que 10 jours jusqu'au terme de mon voyage, je courais 
le risque, en restant plus longtemps à Berlin, de retarder mon arrivée 
à St.-Pétersbourg. C'est j)Ourquoi je suis jiarti le 30 octobre pour 
Tauroggen et je suis rentré a St.-Pétorsbourg le 7 ]"iovembrc. 

C'est ainsi que j'ai profité de la joermission Impériale de me 
rendre à l'étranger. La courte durée de mon voyage m'ôtant la pos- 
sibilité d'embrasser toutes les questions faisant l'olyet de la Mécani- 
que appliquée, j'avais néanmoins étudié en détails les questions les 
plus importantes, ainsi que la construction des machines-à-vapeur de 
différents systèmes; le mouvement de ces machines suivant diverses 
conditions; les roues hydrauliques en général et en particulier les 
turbines; la construction des moulins-à-vent suivant le système hol- 
landais; différents ap2:)areils j^our la transmission du mouvement, la 
fabrication du papier à lettre, le filage du lin et le travail du fer. En 
outre je me suis beaucouj^ intéressé à la disposition de différents ate- 
liers dans les fabriques, — ce qui est très important au point do vue 
pratique. 



XIX 



RESUME 

de la thèse sur l'intégration à l'aide des logarithmes. 
I. 

Dans la théorie do rint6£>:ration des différentielles irrationnelles, 
la [)remiore place appartient aux différentielles qui contiennent ration- 
nellement la racine carrée d'une fonction rationnelle. 

II. 

Si ces différentielles ne s'intègrent pas sans l'aide des logari- 
tliinos, on ne possède aucun procédé général d'intégration dans l'état 
actuel de l'Analyse. 

III. 

Un tel j)rocédé est indispensable pour le perfectionnement de la 
théorie des fonctions d'Abel. 

IV. 

Il exige la solution de la question suivante: trouver des nombres 
entiers sous la condition que la somme do leurs produits par dos quan- 
tités données (irrationnelles ou imaginaires) soit nulle, si c'est pos- 
sible; dans le cas contraire, démontrer l'impossibilité. 

V. 

Dans l'état actuel de la Théorie des nombres nous no pouvons 
résoudre cette question que dans certains cas j^articuliors. 

VI. 

Cotte question étant résolue, l'intégration se ramène à la déter- 
mination de fonctions à l'aide d'équations indéterminées. 

VII. 

La solution de ces équations par la méthode des coefficients 
indéterminés présente de grandes difficultés. 



— XX — 

VJll. 

La solution s'obtient à l'iiiilc dos Tractions continues. 

IX. 

Ia' i'a|)|)(»i'i (les iiilruTalcs. à l'aiilc (Icsinicllcs .lacohi détcniiine 
les indices des J'onctions iiuerscs d'AIxd et d'auli'es de la niejue espèce, 
peut avoir une valeur irj-a( ioimclle et réelle. 



St.-Pétersbourg, 
le 8 (20) mai 1847 r. 



DES MAXÏMA ET MÎNIMA DES SOMMES 

COMPOSÉES m VALEURS D'UNE FONCTION ENTIÈRE 
ET DE SES DÉRIVÉES 

(TKADUXT PAÏl 3YC. N. 303S KKANIKOr.) 



(Liouville. Journal de mathématiques pures et appliquées. II série, T, XIII, 1868, 
p. 9-42.) 



G Hau6OA'bUill0C'6 tù naUMCHhlUtlX'& écAUX^UHaX'6 CîfMMIi^ 

cocmaêAcuuux'& U3is SHazcniû tpsjioû c^oyufmiu u est npousêodHuxu. 



(ÏIpajiosBHie k-b XIE TOMy SanncoKT. HunepaTopcKOH ÂKa^eMia HayRt, A'a 3, 1867 r., 
CTp. 1—47.) 




Des maxlma et minlma des sommes compo- 
sées de valeurs d'une fonction entière et de ses 
dérivées. 



§ 1 Le calcul des variations nous donne le moyen de déterminer les 
valeurs maxima et minima des intégrales uniquement dans le cas, oii la 
forme des fonctions inconnues, renfermées sous le signe de l'intégration, 
est supposée entièrement arbitraire. Mais si, d'après la nature de la question, 
la forme de ces fonctions inconnues est limitée par quelques conditions, 
leur détermination, en vue de rendre maximum ou minimum une intégrale, 
ou en général une somme quelconque de leurs valeurs, exige des procédés 
particuliers. 

Nous nous bornerons ici à considérer le cas le plus simple de ce genre 
de questions; savoir, celui oii la fonction inconnue est supposée entière et 
d'un degré déterminé, et où tous les termes de la somme proposée s'expri- 
ment au moyen de cette fonction, de ses dérivées et de la variable indépen- 
dante, et forment une fonction également entière et de forme déterminée. 

Ce cas mérite une attention particulière à cause de ses applications, 
qui comprennent, entre autres, la solution de la question de l'interpolation 
parabolique d'après la méthode des moindres carrés. 

§ 2. Soit 

F{x,y, y\ y", ) 

une fonction donnée et entière de la variable indépendante x, du polynôme 
inconnu 

y =1 Aq-^ A^x-i- ....-+- AiX^ -\~ . . .-+-^,„_i^'"~^ 

et de ses dérivées 

y, y", — 



— 4 — 
Désignons par 

une série de valeurs quelconques de la variable indépendante ic, que pour 
plus de simplicité nous supposerons différentes entre elles, et par 

y^Fix., Vi.yî.yï, ) 

la somme des valeurs de la fonction 

F{x, y, y\ y\ . . . . ) 

pour ces valeurs de la variable x. La valeur de cette somme dépendra de 
celle des coefficients 

^0, ^1,. ... A^,. . . . A^_^ 
du polynôme 

y = A^-^A^x-+- -^A^é-^ -^A^_^x'^~\ 

et les valeurs de ces coefficients qui rendront la somme 

^Fix., yi,yl,yï, ) 

un maximum ou un minimum, d'après les principes du calcul différentiel, 
seront données par les équations: 

d^Fjxj, yi,yi\yi",-.--) 

dlF{xi,yi,yi,yi",....) 



cl A, 



dl.F{xi, yi,yi,yi",...) _ 

dAi ~ ^' 

d^F{xi,yi,yi,yi",... .) 



dA„ 

Mais comme les quantités 



Ao, A^,. . . . A^,.... ^,„_j 
n'entrent pas dans la formule 



— 5 — 

indépendamment des fonctions y, y\ y\ . . . . , la dérivée de cette somme 
par rapport à A^ s'exprimera en général ainsi: 

d^F{xi,yi,yi',yi",....) _ -yç d Fjxj, yj, y/, y/^. . . .) _ 
dAi ^^ dAi 

%;7 d Fjxj, yj, y/, yj",. . . .) dyj _^ -y d Fjxj, yj, y/, y/',. . . .) dyi' ^ 
^^ dyi dAi ^ dy( dAi 

2 dF{xi,yi,yi',y^',....) clyj^ _^ 
dyi" dAi 



Or la forme de la fonction 

y = A^-\-A^x-\- -^ÂiX^-h- -t-A^_^x'^~' 

et de ses dérivées 

y'=l.A,-i-. .. .-t-lAiX^~' -f- .... -4- (m— 1) A^,^_^x'^-\ 
y"=1.2A^-^....-¥-l{l—l)AiX^~'-*-....-i-{m~- l) (m — 2) A^_y-\ 
) 

nous donne 

En mettant ces valeurs des dérivées 

dyj dyY dyj" 

dAi^ dAi^ dAi^' ' ' ' 

dans l'expression trouvée pour la dérivée 

d^F{xi,yi,yi' yj",...-) 
dAi 

et en désignant, pour abréger, les valeurs des dérivées 

dF{x,y, y', y",....) dF{x,y,y', y",...-) d Fjx, y, y', y",. . . ) 

dy ' dy' ' dy" ' ' 

pour X quelconque par 

M, N, P,...., 
et pour X = X. par 

M„ N„ F„...., ■ 



— G — 
nous aurons 

En déterminant, à l'aide de cette formule, les valeurs de la dérivée 

d'2F{xi,yi,yi\yi",....) 
clAi 

pour 

^ = 0, 1, 2, m—1, 

nous verrons que les équations qui déterminent les valeurs des coefficiens du 
polynôme 

qui rendent la somme 

^Fix., y., y.\ y^\ ) 

un maximum ou un minimum, se réduisent donc à: 

S^3I.x.'^=0, 

yM,x,-^^\.N,x'=0, 



^M.x;^-'-^^{m—\)N.x;^-'-^-^{m—\)(m—2)P.x;''-'-^-....=Q,. 
§ 3. Faisant, pour abréger, 

{x — x;) {x — x^) (x — x^) (a? — a;^_J = cp(ir) 

et désignant par 

les fonctions entières qu'on obtient en divisant les produits 

M(^\x), N<^'{x), P9' (ic), . . . . 
par cp (x), nous remarquons que les fractions 

Mç'{x) N<f>' (x) rç' (x) 



transformées en fractions simples, s'expriment ainsi: 

9 (a;) ^x—Xi'> 9(1) ^x — Xi'> 9(0;) '^ ^œ — a-^-'* " ' 

OÙ, d'après notre notation (n® 2) 

J^-, AT, P„.... 



désignent les valeurs de 

M, N, P, 

quand on y fait x=^x.^ et les sommations doivent être étendues à toutes 
les valeurs de x, depuis x = x^ jusqu'à x = x^. 

Si, à l'aide de ces formules, nous déterminons la valeur de l'expresion 

^ N(9' {x) ^2 P<p' (x) 
J/cp'(a;) 9 {x) 9 {x) 



9 (a?) (7a; 

nous trouverons qu'elle se réduit à 
dv d^w 



jj dF dyw -S^f Mj Ni 2Pi \ 

dx dx^ • . . • .^j \a; — Xi {x — x^)^ {x — xî)^ • ' ' ' ji 

où les termes 



dx dx^ 



expriment une fonction entière. Quant à la somme 

^\x — Xi {x~Xif [x — xif ■ ' ' • jy 
après y avoir transformé les fractions 



en séries 



Mj Nj 2Pi 

X — Xi^ {x — Xi)^ ' {x — Xi)^ ' 

Mi Xi^ Mi Xi Mi Xi^ 

X X^ x^ 

mxiO 2 Ni Xi SNiXi^ 



1.2. PiXi^ 2.3 PiXi ^.A.PiXi^ 
X^ iC* x^ 



et après y avoir réuni les termes de dénominateurs communs, elle nous 
donne la série suivante: 

2 Mi XiO 2 Mi Xi -*- 2 Ni XiO 2 Mi Xi^ -i-22NiXi-*-^1.2 Pi xi> 

— z^ 1 zô 1 ::r^ »- 



Donc il résulte que les sommes 

y^M.x."^-' -^^{m — l)N.x/^-' -i-^{m— 1) (m — 2) P. a;. "*-'-!-...., 
sont les coefficients de 

J_ Jl i. _L 

dans le développement de l'expression 

31<?'{x) (f>(x) ^ 9(0:) 

(p{x) dx dx"^ 

selon les puissances décroissantes de la variable x. Mais nous savons, d'après 
le n" 2, que ces sommes forment les premiers membres des équations qui 
déterminent les valeurs des coefficients du polynôme 

y = AQ-t-A^x-i~. . . . -H ^,„_i x^~'^, 

pour lesquels la somme 

^F{x., y., y!, y!', . . . .) 

devient un maximum ou un minimum, et nous concluons que ces équations 
s'obtiennent en réduisant à zéro les coefficients de 

Jl J_ J_ _L 

a; ' «2' a;3' ' * ' •' x^ 

dans le développement de l'expression 

^ N<?' (x) ^2 -Py' (^) 
M(p' (x) 9 (x) 9 (x) 



9 {x) dx dx^ • • • • 

suivant les puissances décroissantes de la variable x. Partant sous cette con- 
dition: 

L'expression 

^ Ncf>'-(x) ^2 ^<p' (^) 

/IN M(f'{x) (?(x) (p(x) 

^^^ 9(x) dx dx2 • . . -, 



— 9 — 

avec une approximation poussée jusqiCaux puissances x~^ inclusivement^ 
est égale à une fonction entière où M, N, P, . . . . sont, comme nous l'avons 
vu dans le n^ 2, les dérivées partielles de la fonction F (ic, y, y, y", ....)) 
prises par rapport à y, y, y'\ .... 

§ 4. Nous avons supposé, dans tout ce qui précède, que les coefficients 
du polynôme 

y = A,-i-A,x-\-A^x''-+- -^A^_y~' 

étaient entièrement arbitraires: examinons maintenant le cas où le choix de 
ces coefficients est limité par plusieurs équations de la forme 



2 A ^^i-' 2/,-' 2//, yî', — ) = «1, 



/i(^5 2/, y\ y\ — ), 4(^, y, y\ y\ — \ — 

sont des fonctions entières quelconques de a?, du polynôme y et de ses déri- 
vées y\ y\ .... Nous supposerons d'abord que les sommes que nous 
venons d'écrire s'étendent aux mêmes valeurs de la variable x 



amsi que la somme 



^15 ^2 J ^3 5" • • • ^n— 1 5 



2^o(^t' 2/p yi 2//', — ), 



dont on cherche la valeur maximum ou minimum. 

Par les propriétés connues des maxima et minima relatifs, les valeurs 
des coefficients 

  À A 

qui rendent la somme 

y^fM^ y^yn^i'^ — ) 

un maximum ou un minimum sous les conditions exprimées par les équa- 
tions 

y,/i(^i, yi^y^ 2//',- •••) = «!, 



(2) 



y^f^i^i^ yv yl^ 2/A-- .•)=a2» 



— 10 — 

se déterminent en égalant à zéro les dérivées partielles prises par rapport 
k Aq, A^, . . . . , Aj^ de la somme 

2^0 (^i^yt^yn ^//V-OA^/o i^i,yi, yi yi'r-h\y,f2 i^i, yi^yi yiv->-, 

où les quantités X^, X^, . . . . sont des facteurs constants. 
Cette somme se ramène à la suivante: 

2L^o(^» ' ^f yi yi\"')-^\ A (^,-5 y^yi yl\-')-^\ f. (^^ 2/,-, ?//, ^/V-)-*--], 

qui peut être remplacée par 

y^F{x.,y^, y!, y!', ), 

en supposant que 

F{x, y, y\ y',...) =f^ {x, y, y\ y',...)-*-\ f^ {x, y, y\ y"...)+\ f\ {x, y, y\ y",...) +... 

Ainsi, d'après ce qui vient d'être exposé dans les n"*' 2 et 3 concer- 
nant les équations 



dI,F(xi,yi,yi',yi",....) 
dI.F{xi, yi, y/, yf,....) 



= 0, 
= 0, 



dA„ 



= 0, 



nous concluons que, dans le cas actuel, les équations propres à déterminer 
les coefficients du polynôme 

y = Aq ■+- A^X -+- A^X^ -¥-,... -^ ^m-i ^'"~S 

se réduiront à la condition trouvée à la fin du n*^ 3, eu ne perdant pas toutefois 
de vue que la fonction 

^X«, y, y\ y\ — ) 

doit être remplacée par la somme 

/é(^j 2/j y, y"y"')^\f[ix, y, y\ y"y...)-*-\f,{oc, y, y, /,....)-+-...., 

où X^, Xg, . . . . sont des facteurs inconnus constants. Cette condition nous 
donnera les moyens de déterminer les coefficients du polynôme 

2/ = ^0-*-A^-+-^2^'-*- -t-^;„_i«"'~\ 



— li- 
en fonction des facteurs X^, X^, .... En mettant enfin ces coefficients du 
polynôme y dans les équations (2), nous aurons autant d'équations qu'il y 
a de facteurs X^, Xg, . . . . , d'où nous obtiendrons leurs valeurs. 

§ 5, Passons maintenant au cas où il s'agirait de rendre maximum ou 
minimum une somme 

y,*o(^, y^y\ y\-' • •) 

étendue aux valeurs 

« = «n «2' «3, 5 

mais de façon que le choix des coefficients du polynôme 

soit limité par les équations de condition 

^^^{x, y,y\y\.. .0 = ^,, 
^%{x,y,y\y'\.. ..) = (i^, 



où les sommes s'étendent respectivement à toutes les valeurs de x: 
x = \, 6a, 63, , 



différentes entre elles et différentes aussi des valeurs 

x = a^,a^,a^, 

Pour réduire ce cas à celui que nous venons d'examiner dans le numéro 
précédent, nous remplacerons toutes ces sommes, étendues à différentes va- 
leurs de la variable x, par des sommes étendues aux mêmes valeurs de la 
variable indépendante. Pour y parvenir, nous poserons 

{x — a^ {x — a^ {x — «3) = 9o(^)î 

{x—\) {x—h^ {x—b,) = ?i(a:), 

{x— c,) {x^c^) (x—c^) = (?^{x). 



— 12 — 

et 

9o(^)9i(^) 92i^) = <?{x) = 

(x—a,){x—a^){x—a^)....{x—b,){x—b;){x—\)....{x—c^){x—c^)ix—c^)...., 

Puis nous déterminerons des fonctions entières 

T T T 

de manière à ce qu'elles satisfassent aux équations 

r (^'(x) ^o = ?(^) ^o-<-9o'(^) 9l(«) ?2(^) ) 

(3) I 9 (^) S, = (?(x) i;-+-9;(a;) c^,{x) <^^{x) , 

?'(^) '^2 = 9(^) ^2-^92'(^) 9o(^) 9i(^)- • • -, 



Ces équations auront toujours une solution, car, par hypothèse, les ra- 
cines de l'équation (p(x) = 0, égales h a^, a^, . . . . , h^, b^, . . . . , Cj, 
Cg , . . . . , diffèrent toutes entre elles; donc la fonction cp (x) n'aura pas de 
facteur commun avec sa dérivée 9 (a;). Il sera aisé de montrer, à l'aide de 
ces équations (3), que les sommes 

2^o<î>o(^,^,2/',/,....), ^S,^,{x,y,y,i/,...), '^S^<^^{x,y,y\y\....),...,, 

étendues à toutes les valeurs de 

x = a,, a^, «3, , b,, &2, &3, , c,, c^, c,, , 

se réduiront: à la somme 

2*«^^' ^'^''^"' — )» 

étendue uniquement aux valeurs de x ^ a^, a^, a^, . . . . ; k Isl somme 
étendue uniquement aux valeurs de x = b^, b^, b^, . . . .: k la, somme 

51*2(^j y^y^ y\ — )> 



— 13 — 

étendue imiquement aux valeurs de a; = Ci, Cg, Cg, . . . . , et ainsi de suite. 
Pour le faire voir à l'égard de la somme 

nous remarquons que, d'après l'équation 

<?' (^) S^ = 9 (^) ^0 -»- ?o' (^) 9i {^) 92 (^) 

et d'après la manière dont les fonctions 

?(^), 9o(^), ?iH %{^\ ■ • ', 

sont formées^ la fonction ^'^ deviendra zéro pour x=:b^, h^, tg, . . . ., 
Cj, Cg, Cg, . . . . ; c'est-à-dire pour les racines communes aux équations 

et 

9i(a;)9,(:r) . . . . = 0; 

car, pour ces valeurs de la variable x, la dérivée 9' (a?) ne pourra pas de- 
venir zéro, n'ayant pas, comme nous venons de le dire, de facteur commun 
avec (f{x). 

D'un autre côté, pour 

x = a,, «2, «3, . . . ., 
racines communes aux équations 

c?{x) = 0, (^,{x) = 0, 
nous voyons que la dérivée 

T \ J dX 

= 9o'(^) 9i(^) 92(^)-----^9i'(^) 9o(^) 92(^)---*-92'(^)?o(^)9i(^)"--+-- 
se réduit au produit 

9'o(^) 9i(^) 92 (^) 

et par conséquent, en vertu de l'équation 

9 (a:) ^o^9(^) ^o-^9o'(^) 9i(^) 92(^) ^ 

pour ces valeurs de ic, ou bien pour a; = «^ , «2 » ^3 » • • • • ? ^" ^"^^ 



— 14 — 
D'où il est évident que la somme 

^S,<P,{x, y,y\ y", ....), 
étendue à toutes les valeurs de la variable x, 

X = a^, «2 ) ^3 J • • • -5 ^11 ^2 J ^3 3 • • • '3 ^13 ^2 3 ^3 3 • • • «3 

se réduit à la somme 

2'^0(^3^3^'3/3 ), 

étendue uniquement aux valeurs de 

X =■- a^^ a^, cigi . . . . 
Nous trouverons de même que les sommes 

S S, ^,ix, y, y, y\ ....), ^'^2 ^2(^3 V, V, /, ).•..■ 3 

étendues aux valeurs de la variable x, 

x = a^, «2, a3, . . . ., 6,, &2, &3, . . . ., Cj, Cg, Cg, . . . ., 
Se réduisent à la somme 

2^1(^3 ^3 y,y\ •'•'), 

étendue seulement aux valeurs de 

^ = ^3 ^23 ^33 . . • .3 

à la somme 

2<[^2(^3 y, y\y\ • • • 03 

étendue seulement aux valeurs de 

a? = Cj , Cg , Cg , . . . . , 

et ainsi de suite. 



^%ix, y,y,y% ....}, 

2*1 (^3 y, y, y"), ), 



— 15 — 
En remplaçant, d'après ce qui vient d'être dit, les sommes 

2^1 'I'i(^'2/, 2/', 2/", .-..), 
^S,<P,ix,y,îj,y\ ), 



étendues chacune à des valeurs différentes de la variable x, par les sommes 
étendues aux mêmes valeurs de la variable x données par l'équation 

nous concluons que dans ce cas les coefficients du polynôme 

y = J^-i-A^X-^A.-,X^-h- . . . . -i~Â^_^x^~^ 

se détermineront par la méthode indiquée dans le numéro précédent, quand 
on remplacera dans les formules de ce numéro les fonctions 

/o(^, y, y\ y", ••••), /i(^, y, y\ y\ ••••), 4(^' ^' y'^ y"^ ....),.... 

par les produits 

S, <î>o {x, y, y\ y\ ...,), S, ^1\ {x, y, y\ y", ....), S, ^P, {x, y, y\ y'\ ....),...- 

et par conséquent ils se détermineront par la condition établie à la fin du 
u° 3 si l'on y pose 

F{x,y,y\y\....) = S,^^,{x,y,y\y\....)-^\S,^^{x,y,ij\y\....) 

^ \ ^2 fl>2 {x, y, y\ y\ ....)-*-•■•- 



où \, Xg, . . . . , sont des facteurs constants, mais inconnus. 

En déterminant, pour cette forme de la fonction F [y, y, y\ /, . . . . )j 
la valeur des dérivées 



7,/- dF( x,y,y',y",....) 



N-- 



dF(x, y, y', y", — ) 
= dii' ' 

„ dFix,y,y',y'\...-) 



— 16 — 
et en désignant les dérivées partielles des fonctions 

^o(^, y^ y\ y'\ ••••), ^ï\ (^^ 2/, y\ y'\ ••••), "^^^^^ 2/, y\ y\ ....),.... 

prises par rapport à 



par 



y, y^ y , ' 

^\, N,, N,, 
P P P 



nous obtenons 

P = S,P,-^\S,P,-^\S,P,-^- . . . ., 

Donc l'expression (1), qui d'après le vP 3, doit être égale, pour la va- 
leur clierchée du polynôme 

à une fonction entière, avec une approximation poussée jusqu'à la puissance 
x~"^ inclusivement, s'exprimera ainsi: 



(4) 



SqMqç'jx) 



P(t) 



^\ 



Si 3Ii (?' (X) 
9(x) 



+-X. 



(f(x) 



^, S„N,,-i.) ^ S,Nç'(.) .S,N,'(.) X 



SoFo^>'{x) _^ ^ Si Pi <?' (j) _^ y S^P^ç'jx] 



(?(x} 



(x) 



2 9(X) 



Mais les équations (3), qui servent à déterminer les fonctions S^, S^, 
/Sg, . . . . , nous donnent 



^0 9' jx) _ 
<p(x) 



■T,-^ 






ç(x) 



= %-+ 



0(({x) (P|(a:) 92(3;) 

9 [X) ' 

<?\(x)<9o{x)(^2{x)--'- 
ç(T) ' 

9t{x) cpo(a;) 9i{x).... 
9{x) ' 



— 17 — 

En remplaçant, dans les seconds membres de ces équations, cp {x) par le 
produit 

^,{x) Çi(a;) <^^{x) . . . . , 
nous aurons 



So 9' (x) _ 


= ^0 


9o'(^) 
9o{^)' 


Si 9' (x) 
cp(a;) 


■-T, 


. 9,' {x) 
9i(x)' 


S,<?'ix)_ 
cp(x) 


T, 


92' W 
92 («^)' 



D'oii l'on voit que les fonctions 

Sq 'V [x) Si 9' (x) S2 9' (a.-) 
<?(«)' 9(^) ' 9(«) '■ ' ' ■ 

et 

9p'_(^) 9/ W 92' (^) 

9o («) ' 9i {X) ' 92 l^") ' ' ' * ' 

ne diffèrent entre elles que par des parties entières. Donc, si dans l'expres- 
sion (4) nous mettons ces dernières fonctions à la place des premières, 
nous ne changerons que la partie entière de cette expression; quant au degré 
d'exactitude avec lequel cette formule représente une fonction, il restera le 
même, et par conséquent elle pourra toujours servir à déterminer le polynôme 

y = Aç, -h- Al X -i- A^x'^ -*- . . . . -♦- A^^_^ x^~\ 

En exécutant cette substitution nous obtenons l'expression suivante : 

Mgcpo'jx) y 3/1 9/ (-y) y M^Çjix) , 

, / iVo 9o' (x) _^ y iVi9/(^) . ■> N^^i'jx) ) 

^\ cpoGr) -*"^ çi(x) ~^^ 92(^) ) 



dx 

i Po<?o'{x) . f, 9/(3^) , -. F2 92' (x) . , 
1 90 (a:) "^^ cp.(a-) "^ ^2 92 (^) 
dx- 



Cette expression, d'après ce qui vient d'être exposé, doit se réduire à une 
fonction entière, qui la représentera exactement jusqu'à la puissance — m 
de la variable x inclusivement, toutes les fois que le polynôme 

y=A,-*-A^x-t-A,x^-^- -«-^^_i^'"~S 

aura des coefficients voulus pour que la somme 

y ^i'o(^, 2/, y\ y", — ) 



— 18 — 
devienne un maximum ou un minimum, sous les conditions 

^^,{x, y, y, y\ ) = aj, 

^^,{x, y, y, y\ ) = f^^, 



Nous sommes parvenus à cette conclusion en supposant que les séries 

«j ; «2 ) ^3 5 • • • • J 

\, \, \, , 

^\} ^2 5 ^3 ? • • • • 5 



ne contenaient pas des termes égaux entre eux; mais, par la méthode des 
limites, il nous serait aisé de l'appliquer aussi au cas où ces séries auraient 
des termes communs. 

§ 6. Nous avons établi, dans ce qui précède, la condition qui sert à 
déterminer la valeur du polynôme d'un degré donné ^, qui rend la somme 

2<ï>o(rz:, y, y,y\ ) 

un maximum ou un minimum, et nous n'avons fait que deux hypothèses con- 
cernant les coefficients de ce polynôme. D'après l'une, leurs valeurs étaient 
supposées arbitraires, et d'après l'autre, elles devaient satisfaire aux 
équations 

2^i(^, y, y, y\ )^ai, 

2*ï'2(^5 y^y\ y\ — )==a25 



Dans ce dernier cas, la condition qui sert à déterminer le polynôme 
cherché contient des constantes inconnues X^, Xg, . . . . , dont les valeurs se 
trouvent par les mêmes équations de condition auxquelles doit satisfaire le 
polynôme ^, et qui sont en nombre égal à celui des inconnues \^\^ . . . . 

La détermination du polynôme y^ limité par la condition de rendre la 
somme 

un maximum ou un minimum, a de l'analogie avec la solution des questions 
semblables dans le calcul des variations. Dans le cas particulier, quand cette 
somme se réduit à une intégrale, le polynôme ^, déterminé comme il vient 



1 



— 19 — 

d'être dit, peut être considéré comme une valeur approchée de la fonction 
qu'on obtient à l'aide de la méthode des variations. Mais dans le calcul des 
variations la fonction cherchée, étant déterminée par une équation différen- 
tielle, s'obtient en l'intégrant par les méthodes connues, tandis que, dans le 
cas que nous examinons, la détermination du polynôme y exige des procédés 
spéciaux, car elle se réduit à une condition qui ne se laisse pas exprimer 
par des équations de formes connues. 

Pour montrer comment des polynômes peuvent être déterminés à l'aide 
de ces conditions, examinons le cas très-simple où les fonctions 

^0(^,^,2/',/, ), 

^l\{x, y, y',y\ ), 



ne contiennent y qu'à une puissance qui ne dépasse pas la seconde, ses dé- 
rivées 

y\ y\ 

à une puissance qui ne dépasse pas l'unité, et avec des coefficients qui ne 
dépendent que de la variable x. 
Dans ce cas les dérivées 

-M à^QJx, y, y', y",....) -,j- d<i>^{x, y, y\ y",. . . .) 

ne contiendront pas y\ y\ . . . , , et ?/ ne s'y trouvera qu'à la première 
puissance. Quant aux dérivées 

AT à^ç,{x,y,y\y",....) -^ à^^[x,y,y',y",. . . .) 

^^o~ dy' > -^M— dy' ?••••) 

p ^•^(i{x,y,y', y",....) p d'^^jx.y.y^y" ,. . . .) 

-^0 — dy" ' ^ 1 ~ dy" >••••> 



elles ne contiendront pas du tout f/, y ^ y'\ .... Partant l'expression 

Mq cp o^ {x) _^ ^ M^ 9/ {x) _^ ^ M^ (9^ {x) _^ 

dx 

x 9o(x) 1 <9y{x) 2 <p^(a;) ) 



— 20 — 
qui d'après le ii° 5, moyennant le polynôme cherché 



doit devenir égale à une fonction entière jusqu'au terme en a; "* inclusi- 
vement près, se réduira au binôme 

uy — V, 

dans lequel u ti v sont fonctions de la seule variable indépendante x. 
Ainsi, dans ce cas, la recherche du polynôme 

2/ = Jo -^ ^1 ^ -+- -+- ^m-i ^"""^ 

assujetti à la condition de rendre la somme 

un maximum ou un minimum, se réduit à la détermination d'un polynôme «/, 
de degré m — 1, tel que le binôme uy — v, jusqu'au terme en x~^ inclu- 
sivement près, soit une fonction entière. Nous allons montrer que les poly- 
nômes qui jouissent de cette propriété s'obtiennent facilement à l'aide de la 
série que j'ai publiée dans mon Mémoire intitulé: Développement des fonc- 
t en séries à Vaide des fractions continues *). 



§ 7. Nous avons établi dans ce Mémoire, qu'en développant une fonc- 
tion quelconque u en fraction continue 









20-+- 


i_ 


1 
âz-*-. 


en 


désignant, de plus, 


par 
















^2 


Ps 

«3' 


se 


3 fractions réduites. 


par 














A 


i?., 


i?3,.. 


les 


5 différences 











€t par 

«1, «25 «3» 



♦) T. I, pages 617-636. 



— 21 — 

les fonctions entières qu'on obtient à l'aide de la formule 

«„ = (- 1)""' E g„ («„ « - E Q„ V), 
nous aurons pour développer la fonction v d'après les valeurs 

^15 -^25 ^3J- • • • 

la série que voici 

(5) V = rj v -*- G)j i?j -*- «2 i?2 -+- «3 i?3 -H . . . . 

où rj désigne la partie entière de la fonction, et où l'on admet que w et t; 
sont des fonctions développables suivant les puissances entières et décrois- 
santes de la variable x. 

Pour déterminer, à l'aide de cette série, le polynôme 

y z= Aq-^ A^x -\~ A^x^ -+- . . . . H- ^^_i i»'"~S 

au moyen duquel la différence 

uy — v^ 

est réductible à une fontion entière, exactement jusqu'aux termes en x~^ 
inclusivement, désignons par 

le dernier dénominateur des fractions convergentes 
A A ^ 

dont le degré soit inférieur à m, et par 

FF FF 



V-l'" 



. . ^2» n 



les quotients et les restes obtenus par la division du polynôme y par Q^^ du 
premier reste r^ par ^ ^ du second reste par Q^_^^ et ainsi de suite. 

En égalant les dividendes aux produits des quotients par diveseurs 
ajoutés aux restes, nous obtenons une suite d'équations 

En éliminant des équations les restes 



— 22 — 

et eu observant que le dernier reste r^ , qu'on obtient par la division de 
l'avant-dernier reste par ft = 1 est zéro, nous sommes conduits à l'expres- 
sion de y que voici 

2/ = -f^ G, -H i^,_. «,_, H- . . . . -H J", e. - F, ft , 

Mais comme notre polynôme cherché 

ne sera jamais d'un degré supérieur à m — 1 , il est évident que la fonction 
F^, qui s'obtient par la division de y par , ne pourra pas être d'un degré 
plus élevé que celui de 

xm~i 

et par conséquent son degré sera inférieur à celui du quotient 

Qp. ' 
car, par hypothèse, Ç„_^^ est d'un degré supérieur à m — 1. 
Quant aux fonctions 

FF FF 

leurs degrés seront inférieurs à ceux des quotients 
Vfji, Q[}. — 1 T3 Qi 

Q\i. — 1 V[J. — 2 V2 Vl 

car elles résultent de la division des restes 

par 

et ces restes eux-mêmes obtenus par la division de y par 

et ainsi de suite, seront nécessairement de degrés inférieurs à ceux de 

Pour déterminer les facteurs 

FF FF 

dans le développement de y par la formule 
(6) y = F^Q^-^F^-,Q^--,-^' ' ■ '^F,Q,-^F,Q,, 



— 23 — 

nous observons que le binôme 

uy — v^ 

devient, en y substituant pour y sa dernière valeur, et en y exprimant v par 
la formule (5), 

— Et; — G)ji?^ — Ogi?^ — "3^3----, 
d'où, en y remplaçant 

par leurs valeurs déduites des égalités 

nous obtenons la formule que voici 

uy~v=-'¥Jv-^F,P,-^-F,P,^ .... -^F^_^P^_^-^F^P^ 
-t-(F, -«,) i?^-H(F, — c,) B,-^ ■+- 

En examinant cette nouvelle expression de la différence 

uy — V, 
nous voyons que ses termes 

-"Èv-^F.P.-^F.P,-^ .... -^F^_^P^_^-^F^P^ 

forment une fonction entière, et que les autres, comme il est aisé de le voir, 
sont tous de puissances négatives qui vont en décroissant. En effet, confor- 
mément à notre notation, 

\=Q^^-p^^ V.=«^^+.«- V.' • • • ; 

et ces restes, d'après les propriétés des fractions réduites, sont de degrés 
égaux à ceux des fractions 

1 1 1 JL_ 1 1 

En rapprochant ces considérations de ce qui a été dit, dans le numéro 
précédent, sur les fonctions 

F F F F , F 



— 24 — 
et, dans le Mémoire cité, sur les fonctions 

«1, «2. «3. , %_n %^ "ix-^P 

il devient évident que dans les derniers termes de la formule 

{F, - «.) B, -h- (F, - s) i?2 H- . . . . -^ {F^_, - ",_,) i?,_r 






les facteurs de 

-^n ^2J -^8) • • • • 

seront des fonctions entières de degrés inférieurs à ceux de 

Donc le premier de ces termes (F^ — Oj) B^ sera d'un degré inférieur 
^^ n TT = TT ^t 116 sera pas inférieur à 7^ ; le second terme (Fg — «jg) -^'^2 

Vi V2 Vi V2 

sera d'un degré inférieur à -^ 7^ = -^ et ne sera pas inférieur à 7^, .... ; 

V2 V3 V2 Va 

le terme o.._^, B„_^, sera d'un degré inférieur à 7^*^^^*^ 7^ ^7^ , 

{J.-+-1 fX-4-l o V[J.-|-1 V(J.-*-2 V.a-H-i 

et ne sera pas inférieur à j^ , et ainsi de suite. 

VjJI.-f-2 

D'où il résulte que dans l'expression ci-dessus trouvée pour le bi- 
nôme 

uy — V 

la partie fractionnaire sera exprimée par la série 

(F, - O.) B, -H (F, - O,) i?, -H .... -4- (F^_, - 0^_ J Jî^_, -,- 



(■f;-%)-B,-%.^. V.- 



OÙ les puissances des membres vont en décroissant. Donc le degré d'exacti- 
tude avec lequel notre binôme se réduit à une fonction entière sera déter- 
miné par le degré du premier de ses termes qui ne devient pas zéro. 

A l'aide de ce résultat, il nous sera aisé de trouver les valeurs des 
fonctions 

FF FF 

qui entrent dans l'expression (6) du polynôme cherché, ou de nous con- 
vaincre de son impossibilité. 
Les termes 



— 25 — 

comme nous venons de le voir, ne peuvent être de degrés inférieurs à ceux 

des fractions 

1 1 1 

donc ils ne peuvent être d'un degré inférieur à 

car, d'après notre notation, dans la suite des dénominateurs 

il n'y en aura pas un seul d'un degré supérieur km — 1. Ain?i la différence 
ne peut se ramener à une fonction entière uy — v qui la représente 
exactement jusqu'au terme contenant la puissance x~"^j que dans le cas où 
tous ces termes disparaissent, ce qui entraîne forcément les équations sui- 
vantes: 

F,-o, = 0, K-o,= 0,....,F^_,-o>^_, = 

qui nous donnent 

(7) J', = »,, 7?, = «„...., i?^_, = «^_,. 

Avec ces valeurs des fonctions 

FF F 

l'expression ci-dessus trouvée pour la partie fractionnaire du binôme 

uy — V 
se réduit à la série 

où, comme nous venons de le voir, les termes 

sont de degrés inférieurs à ceux des fractions 

1 1 

et par conséquent inférieurs à 

car, d'après notre notation, les dénominateurs 



— 26 — 

ne sont pas de degrés inférieurs à m. Nous voyons ainsi que pour réduire 
l'expression ci-dessus trouvée de la différence 

à une fonction entière qui la représente exactement jusqu'aux termes oii la 
variable x est à la puissance — m, il est nécessaire et suffisant de donner 
aux fonctions 

FF F 

les valeurs (7j et de rendre la puissance du membre 

intérieure a — m. 

Mais comme, d'un autre côté, pour que le polynôme cherché, repré- 
senté par la formule 

2, = F, e, -4- J?, e, -H . . . . -^ F _, «^_, H- F^ Ç^, 

reste, comme l'exigent les conditions de la question, d'un degré qui ne soit 
pas supérieur à m, il est nécessaire et suffisant qu'avec les valeurs (7) des 
fonctions F^^ F^^ . . . . ^ ^u_i5 ^^ terme F Q ne soit pas d'un degré supé- 
rieur à m — 1, car tous les autres, comme il est aisé de le voir, seront de 
degrés inférieurs à m — 1 . 

En effet, conformément à ce qui vient d'être dit, les degrés des facteurs 

seront inférieurs à ceux de 

^ Si ^^ 

donc les produits 

F,Q„ F,Q„...., F^^Q^^ 

ne contiendront que des termes de degrés inférieurs à 

et par conséquent inférieurs à la puissance 

car, d'après notre notation, tous ces dénominateurs des fractions réduites 
de u ont des degrés moindres que m — 1 . 

En vertu de quoi nous concluons que le polynôme cherché 9/ sera donné 
par la formule 

2/ = F, e, -H F, e, -f- . . . . -H F^_, e^_, -+- y^ G^, 
où 

F, = (ù^, -^2=S.----V ^1.-1 = ^-1^ 



— 27 — 

et où le facteur F^ est une fonction entière déterminée par les conditions 
suivantes : 

La puissance du produit F^ Q^ ne surpassera pas m — 1, et la puis- 
sance du produit {F^ — w^) B ne surpassera pas — m — 1 . 

Or, d'après notre notation, 

de plus, d'après les propriétés des fractions réduites, 

étant du même degré que la fraction 

1 

on peut, en déterminant le facteur F par la méthode que nous venons 
d'exposer, remplacer i^„ par la fraction yr^ . 

Ceci nous permet d'exprimer les conditions qui déterminent le facteur 
F de la manière suivante: 

La puissance du produit F^ Q^ ne surpassera pas m — 1, et la puis- 

]P (^ 

sance du quotient -^ — ^ ne surprassera pas — w — 1 . 

V|j(.-f-i 

Quant aux fonctions 

Wj, «2, «3 , 

elles s'expriment généralement, comme nous l'avons dit dans le numéro pré- 
cédent, ainsi: 

Ayant déterminé à l'aide de cette formule les valeurs 

et les ayant mises, conformément à (7), à la place de 

F F F 

dans l'expression du polynôme cherché y, nous obtenons pour celui-ci la 
formule que voici: 

où le facteur F doit satisfaire aux conditions que nous venons d'énoncer. 
Nous allons donc nous occuper, dans le numéro suivant, de la manière 
de déterminer F sous ces conditions. 



— 28 — 

§ 8. D'après notre notation, 

Q 

est le dernier dénominateur de la suite 

dont le degré est inférieur à m; par conséquent le dénominateur 

sera ou du degré m, ou d'un degré supérieur à m. Dans le premier cas, 
comme il sera aisé de le faire voir, il n'y aura qu'une valeur de F propre 
à satisfaire aux conditions qui limitent le choix de cette quantité, c'est-à- 
dire qu'il faudra que F^ soit égal à o ; dans le second cas, ou il n'y aura 
pas du tout de valeur de F qui satisfasse à ces conditions, ou bien F 
s'exprimera au moyen d'une fonction à plusieurs coefficients arbitraires. 

En effet, d'après les conditions qui déterminent la fonction F . le degré 
du produit F Q ne pourra pas surpasser m — 1 , et celui du quotient 

-^ — 5i ue surpassera pas — m — 1, où le dénominateur Q,,., est de la 

puissance m. Ainsi quand le numérateur sera entier et différent de zéro, le 
degré du quotient 



sera nécessairement supérieur à — m — 1. Donc, dans ce cas, on est forcé 
d'admettre que 



ou bien 



^.-". = 0; 



F =(ù . 



Ensuite, d'après ce qui a été dit précédemment, le degré de la fonction w^ 
est inférieur à celui de 

Qii.-t-i 

donc, en donnant à F la valeur o nous rendons la puissance du produit 

F Q 

inférieure à celle de 

^1^-^-^" o — û 



— 29 — 

et par conséquent inférieure à celle de x^, car, dans le cas que nous exami- 
nons, le dénominateur ^„^i est du degré m. 

D'oii il résulte que si ^ _^i est du degré m, on peut toujours faire 



et qu'aucune autre valeur de ce facteur F ne satisfera aux conditions 
établies dans le numéro précédent. 

Dès lors, dans ce cas, le polynôme cherché y ne peut avoir qu'une 
seule valeur, et elle sera déterminée par la formule que nous venons d'écrire, 
c'est-à-dire par 

pourvu que nous y fassions 

F =o . 

[X 10.- 

Passons maintenant au cas où le dénominateur Q,J^_^_^ est d'une puis- 
sance supérieure à m. Conformément aux conditions qui déterminent le fac- 
teur F le produit F Q^^ doit être d'un degré qui ne soit pas supérieur à 
m — 1 , et le degré du quotient !^~"^ ne doit pas surpasser — m — 1 , ou 

Vu-Hl 

bien, ce qui est la même chose, le facteur F^ ne doit pas avoir un degré 
supérieur à celui de ^ — , et le degré de la différence F^ — o^ ne doit pas 
surpasser celui de ^^. Or cette propriété est évidemment exprimée par les 
deux équations suivantes: 

(8) F^ = C,x'-i-G,x'-' -*-...., 
et 

(9) F — o = G'x'^ -+- G"x^'-~' -4- , 

où V désigne la puissance de la fonction ^q""' ^i ^^^^^ ^^ ^^ fonction -^i'. 
et les quantités 

Cl, 6^2, ... ., C, G\ . . . . 

sont des coefficients indéterminés. 

L'élimination de F à l'aide de ces deux équations nous donne 

(^^=G,x' H- G,x'-'-t-. ... — G'x'^ — G"x'^-\ . . ., 

équation qui ne peut être satisfaite par aucune valeur des coefficients 
Cl, Cj, , C, G", , si le degré de la fonction o^^ surpasse v et v,. 



— 30 — 

D'où il est aisé de voir que si la puissance de o est supérieure à v et v^, 
il est impossible de satisfaire aux conditions qui déterminent F dans l'ex- 
pression du polynôme cherché, et par conséquent, dans ce cas, notre problème 
n'a pas de solution. Dans le cas contraire, quand la puissance de o n'est 
pas supérieure au moins à l'un des nombres v et v, , la valeur du facteur F 
sera facile à trouver, et, comme il est aisé de le voir, elle sera déterminée, 
ou par la seule équation (8) ou par la seule équation (9), selon que v sera 
ou ne sera pas < v^ . 

En effet, mettons l'expression de F , donnée par l'équation (8), dans 
la formule (9), nous aurons 

G^x* -+- G^x^~^ -i- .... — 10 = G' x^^ -i- C" x'^^^ -^ .... 

Si le nombre v est inférieur au nombre Vj , le degré de la première partie de 
cette équation ne surpassera pas celui de la seconde, car si v < v^ la puis- 
sance de la fonction w ne peut être supérieure à v^, puisque dans ce cas, 
contrairement à l'hypothèse, cette puissance serait supérieure aux deux 
nombres v et v^ . Donc, par un choix convenable des coefficients G\ 0", . . . . , 
on pourra toujours satisfaire, dans ce cas, à l'équation 

C^x' -i- G^x'"' -I- .... —(ô^=G'x'^-^G"x'^~'-¥- .... 

quels que soient les coefficients G^, G^,. . . . du premier membre de cette 
équation. 

De même si v n'est pas < Vj, l'équation (9) nous donne 

F^ = (ô^-i- G'x'^ H- C'^ic'!"' -+-...., 

et, en y laissant tous les coefficients arbitraires, nous obtenons une valeur 
de F^ qui satisfait à l'équation (8) si l'on donne des valeurs convenables 
aux coefficients C^, (7^, . . . . 

Ainsi, il est bien établi que toutes les fois que le degré de la fonction 
co n'est pas supérieur au moins à l'un des deux nombres v et v^ (degrés 
des fonctions ^ — et -^S Y la valeur du facteur F„ , satisfaisant aux con- 

ditions du numéro précédent, peut tixQ trouvée. De plus, la valeur de F 
sera déterminée par l'équation 

F^^^G.x^-^G.x'-'-i- 

ou par l'équation 



— 31 — 

selon que l'on aura v < v^ ou bien v^v^. Quant aux coefficients 

^15 C'a ' • • • • > 
G\ C'\ .... 
ils restent arbitraires. 

§ 9. Pour donner un exemple, cherchons à déterminer le polynôme 
sous la condition de rendre maximum ou minimum la valeur de la somme 
étendue aux valeurs 

a; = OJj , 0^2 1 ^3 5 • • • • 

Nous commencerons par supposer que le choix des coefficients 

^0) ^n ^25 • • • • ^m— 1 

du polynôme cherché y n'est limité par aucune condition particulière, et 
puis nous traiterons le cas oii la valeur d'un de ces coefficients 

^0 5 -^U ^2:» .... 4,„_i. 

est donnée. 

La première hypothèse, avec les valeurs réelles de ^r^, a^g, rCg,. . . . et 
l'invariabilité de signe de la fonction (a;), nous donnera la formule déjà 
connue de l'interpolation parabolique d'après la méthode des moindres carrés 
dans les cas ordinaires; la seconde, avec les mêmes conditions pour les quan- 
tités ojj, ^2 5 ^3? • • • • ^^^^ fonction 0{x)^ nous conduira aussi à une formule 
d'interpolation parabolique d'après la méthode des moindres carrés, mais 
dans les cas particuliers oii l'un des coefficients de l'expression y est assu- 
jetti à la condition d'avoir une valeur donnée. 

Si dans les formules du n** 2 nous faisons 

Fix, y, y\ y\ ....)- y (}J — i\^))' 0{x), 

nous trouverons 

Jf= "^-'V^lf--' = [y -f(x)) ix), 

j\r__ dF{x,y,y',y",....) _ ^ 
dy' ' 

p __ dF(x,y,y',y",....) __ q 
dy" ' 



— 32 — 

Avec de telles valeurs des fonctions 

M, N, P, . . . . 

et dans l'hypothèse que le choix des coefficients du polynôme n'est limité 
par aucune condition spéciale, nous aurons à remplir d'après le n** 3 la con- 
dition suivante: 

^expression 

doit être réductible à une fonction entière, avec une approximation poussée 
jusqii'au terme x~"^ inclusivement. 
Désignant par 

+i(^). +2(«), , %-,i^)^ %{^)^ *(x-^-i(^): 

les dénominateurs des réduites qu'on obtient en développant la fonction 





*w 


n continue 




*«-*-?;-H.^ 









et supposant que dans la suite des fonctions 

^^{x), ^,ix), , ^^_,(x), %ix), ^^_^,{x), 

la dernière fonction d'un degré inférieur à m soit 

nous trouverons que le polynôme 

y = Ao-^A,x-+-A,x'-^ .... -^A^_^x"'-' 
qui satisfait à cette condition, sera donné par la formule 

OLi les facteurs 



— 33 — 
seront déterminés par la formule 

"n-1— -^i t^^n[ ^) ~\^ ^) j; 

et le facteur F , d'après le n^ 8, n'aura qu'une valeur déterminée 
F = (d , 

IX |J.' 

si la fonction t)j {x) est du degré ni. Dans le cas contraire, si notre pro- 
blème admet une solution, c'est-à-dire si la somme 

peut devenir un maximum ou un minimum, le facteur F contiendra plu- 
sieurs coefficients indéterminés et sera donné par l'une des formules 

F^ = G,x'-^G,x'-'-^...., 

F^ = o,^ -+- (f x"^ -t- C" x^^~' -+- , 

où V et Vj désignent les degrés des fonctions 

Comme précédemment, on appliquera la première de ces deux formules si 
V < Vj , et la seconde dans le cas de v ^ Vj . Quant au critérium qui permet 
de reconnaitre que notre problème a une solution ou n'en a pas, nous avons 
déjà vu (§ 8) que le facteur F qui satisfait aux conditions de notre pro- 
blème n'existe que dans le cas où le degré de la fonction co ne surpasse au 
moins l'un des nombres v, v^. 
Quand les quantités 

^\1 ^21 ^3 5 • • • • 

ont des valeurs réelles, et que la fonction 

ûix) 

ne change pas de signe, la fraction continue, qu'on obtient en développant 

l'expression 

e jx) 9' jx) 

9 [x) ' 

comme il est connu, sera de la forme 



— 34 — 

où ^j, B^^ A^, J?25- • • • sont des quantités constantes*). Dans ce cas les 
fonctions 

2n Ï2' : Qn-' 

ont pour valeurs 

q^ = Â^x-^B^, q^ = A^x-^B^, , g„ = J^a:H-7?^,. .. 

et les dénominateurs 

des fractions réduites de l'expression 

seront de degrés 

0, 1 , . . . . , m — 2, m — 1 , w, .... 

Comme dans ce cas le dernier dénominateur d'un degré inférieur à m, 
est 4*771 (^)' ^^ Q'Ç^lyn qui le suit immédiatement, c'est-à-dire '^^_^_^{x), est du 
degré m, d'après ce qui a été établi, le polynôme clierclié y sera donné par 
la formule 

y = «1 'l^l («) -^^Aii^)^ -^ «m-i "^m-x (^) -^ "m *m (^)- 

Mettons à la place de q„ sa valeur q„ = J^a; -t- B„ dans la formule du 
n" 7 qui sert à calculer les facteurs 



nous aurons 
„ ^(_lf-^'V(A X I j? ) / '^" ^^^ ^^-^^ ^ (^^ ^' ^"^^ T? ^» ^^^-^(^^ ^ ^^^ ^' ^^^ '^ 

n '^ ^ J]j '^ n n^ \ <p (a;) J]j cp (,r) /* 

Si nous désignons par JJ la fonction entière qu'on obtient en divisant 
le produit 

^^{X)ax)0{x)r^'{x) 

par 9 (a:), nous aurons, par notre notation 

<p(^) ~ ' 

*) Voyez le Mémoire intitulé: Kecherches sur les fractions continues (T. I, pag. 203 — 

-230). Du reste cela résulte aussi de ce que a?!, a-g, %, étant réels, 0(x) conservant toujours 

le même signe, notre problème a toujours une solution, quel que soitw?, car cela suppose d'après 

le ifi 8 que dans la série ^^ {x), <|<2(^)i > ^^ J ^^^^ toujours un dénominateur du degré m, et 

que par conséquent il s'y trouvera des dénominateurs de tous les degrés, ce qui n'est possible 
que quand la fraction continue dont il s'agit a la forme que nous venons d'indiquer. 



— 35 — 
et 

ç {x) X — X^ X — X2 



X — .T.- ' 



d'où nous tirons 

(?[x) Jli cp (x) 

Ainsi l'expression trouvée ci-dessus pour le facteur 6)^ se réduit à la sui- 
vante : 

o„ = (- 1)"- ^(A^,-^ B„) V /W « W ^.. W . 



Cette formule peut s'écrire ainsi: 



".=(-ir^E(^^ 



,^\ x^/MlM^M^ 



" a; / .^^ ^ _ 



Le terme placé sous h signe Tj est du degré zéro; donc, eu faisant x = oo^ 
nous aurons sa partie entière, et nous trouverons ainsi: 

En calculant d'après cette formule les valeurs des facteurs 

et en les mettant dans l'expression du polynôme y, nous obtiendrons la for- 
mule que voici: 

y = A^ f{x,) {X,) ^, (X,) . ^, (x) -A,y^ f{x^) (x.) ^, (^,) ^\>,ix) -*-..., 

C'est ainsi que l'on détermine le polynôme du degré m — 1 qui rend 
maximum ou minimum la somme 



— 36 — 

étendue aux valeurs réelles de x et dont le facteur û {x) ne change pas de 
signe. 

Cette formule sert pour l'interpolation parabolique, d'après la méthode 
des moindres carrés^ quand il n'existe aucune condition particulière relative 
à ses coefficients. 

§ 10. Passons maintenant au cas où dans le polynôme cherché 

y = A^-\- A,x -^ A^x'' -^ -^A^_^x^~^ 

le coefficient de x\ où l est un des nombres 0, 1, 2,. . . ., m — 1, est sup- 
posé donné. 

La condition que le coefficient de x\ dans le polynôme y, doit être 
égal à un nombre donné peut être exprimée par l'égalité 

2^\ (^, y, y\ y", — ) = »,, 

pourvu toutefois qu'on n'étende cette somme qu'à la seule valeur de la va- 
riable ic, a? = 0, et que la fonction 

^\ (^, y, y\ y\ — ) 

se réduise à un seul terme 2/' = -^. Dans ce cas, d'après la notation du 
n° 5, nous aurons 

m (x) = x\ -^-SW = — ; 

et toutes les dérivées partielles de 

^\ (^, y,y-> y, — ) = y^ 

prises par rapport à ?/, ?/', y\ y"\ .... seront zéro, excepté la seule déri- 
vée par rapport à y\ qui sera égale à 1 . 

Supposant, comme ci-devant, que la somme qu'on se propose de rendre 
un maximum ou un minimum est 

et qu'elle s'étend aux valeurs de la variable ic, telles que 
a7j , a^2 ) ^3 5 • • • • 5 



nous aurons, en conservant la notation du n° 5, 

*o (^, y. y\ y\ ■•'•) = \[y— mY o {x\ 

AT à^Q{x,y,y\ y",....) ^ 

p d^Q{x,y,y',y",....) ^ 

^0 — d^' — ^1 

et 

{x — x,) ix — x^) {x — x^) = cpo(^)- 

Avec ces valeurs des fonctions 

M„ N,, Po,...., 9o(^), ?i(^) 

et ayant en vue la remarque que nous venons de faire sur les dérivées par- 
tielles de la fonction 

'ï\ i^,y,y,y\ — ) = y^ 

prises par rapport à y, y", ....,?/',...., le polynôme cherché sera déter- 
miné, d'après le n° 5, par la condition suivante: 
L^ expression 

(il h 

doit se réduire à une fonction entière avec une approximation poussée jusqic'aïc 
terme x~^ inclusivement. 

Comme cette expression, après la différentiation et la multiplication 
indiquées, se réduit à la différence 

pour déterminer le polynôme y nous devons, conformément à ce qui a été 
dit au n*^ 7, développer en fraction continue l'expression 

Q jx) Çq (x) 

En nous bornant à examiner le cas où toutes les valeurs de 

^1 ) ^2 5 ^3 ) • • • • 



— 38 — 

sont réelles, et où la fonction 

0{x) 

ne change pas de signe, nous aurons, d'après ce qui a été dit dans le nu- 
méro précédent, 

Q (^) yp' (^) _ ., . ^ 1 

^2 a: -t- jBj -»- 

où ^j, J5j, ^2) -^25- • • -5 s^^^ ^^^ constantes. 
Ce développement de la fonction 

(a^) 9o' [x) 
9o(x) 

nous donnera la suite de dénominateurs des réduites 

qui seront de degré 

0, 1, . . . . m — 2, m — 1, m, . . . . 

Comme le dernier dénominateur de degré inférieur à m est -J;^ ix), et 
comme celui qui le suit immédiatement, '^^_^.^ {x)^ est de degré m, le poly- 
nôme cherché 

y =^ ÂQ-i-Â^x-t- . . . . -H Â^__^ x'^~^ 

d'après le n^ 8, s'exprimera par 

2/ = "i ^1 (^) -*- «2 1^2 (^') -^- -^ "m-1 *m-i (^) -^ "m '^m (^)' 

Mais comme dans le cas que nous examinons 

q^=A^x-^B„ q^^A^x-t-B^, . . . ., 

ft=*i(^), Q, = ^,i^): , 

et 

^,^ /(^)eN9o^(^) 1.2.... 7.x, 

nous aurons, d'après le n° 7 , pour déterminer les facteurs 

"n «2, "m-P "m 

la formule que voici: 

r ( f{x)0{x)r?,'ix) 1.2...J.ÀA . .„ ] 



|_J^(/J,)^0^ 



— 39 — 
ce qui peut être écrit ainsi: 

o =(—lf-'V(A rr -i-B) (- ^^"^^ " ^""^ "^"^ ^^^ ^» ^^^ 1? -^^-^^ ^^ ^^^ ^"' ^^^ ^» ^^^\ 

-(-ir-i.2...i.x,]^;(.4„.-.ij„)(^>-j;^;^)). 

Mais, d'après ce qui a été établi dans le numéro précédent, l'expression 

se réduit à 

et la fonction ^„(a:;), développée par la série de Maclauriu, nous donne 

a;/-t-i a;'-^-! 1 a' . • • • 1.2. ..J a; 

-^ 1.2.. ..ui-..) 4'-.'*' W-^ i......(,:i),iH-.) l'"'(0)-^--; 

par conséquent 

et la différence 
se réduit à la série 

1.2 i œ 1.2 [l— \) x^ .... 

En multipliant cette expression par A^x -+- B^ et en rejetant dans ce produit 

1.2... J ~*"V 1.2....Z 1.2....(^ — 1)/ a; • • • • ) 

les termes oii la variable x a des exposants négatifs, nous aurons pour la 
valeur de 

l'expression 

1.2.. ..l ' 



— 40 — 
Par conséquent la formule qui sert à déterminer o^ se réduit à 

»„=(- yf" A„{^f(x,) tf(^,.)lK.)-X,l'(0)). 
Ayant déterminé d'après cette formule les valeurs des facteurs 

"n «25 • • • • "m-i5 "m' 

et les ayant mises dans l'expression du polynôme cherché 

y = Q,^, (x) -^ Q^^^^(x) -+-.... -^ o,„_^ 4)^_^ (x) -4- o^ ^^ (x), 
nous verrous qu'il se réduit à 

2/ = ^, (2 fi^i) (X,) i/, (^,) - \ i,,' (0)) ■i/, (X) 

- A, (2 f(.x,) (^,) il, (x^ - X, 4,,' (0)) *, (rs) -H . . . . 

où Xj est une constante inconnue qui, dans notre cas, sera déterminée par 
la condition que le coefficient de é doit avoir une valeur donnée. 

On trouvera aussi de la même manière l'expression du polynôme 7/, 
dans le cas où plusieurs de ses coefficients sont donnés, et les autres sont 
déterminés par la condition de rendre maximum ou minimum la somme 

^\{}i-f{x)yo{x\ 

étendue à des valeurs données de la variable x. 



UNIVERS,, y 

OF 



2. 
SUR L'ÎNTÊGRATION 

PARMI CELLES QUI CONTIENNENT UNE RACINE CUBIQUE 

(TÏ^ADUXT PAR A. V. VASSILXE]?.) 



6'(5s îiwmczpupcêamiL npoc'mmûiaiix'6 diichchepcuKiiajioê'& 

codcpolcavu^iicciû âtfStizccfiiû Âopcwb. 



(MaTeMaTH^ecKÏH CdopHiiK-B. T. II. 1867 r., cip. 71—78.) 



Sur l'intégration des difïérentielles les plus 

simples parmi celles qui contiennent une 

racine cubique. 

Dans le mémoire: Sur V intégration des différentielles qui contiennent 
une racine cubique *) il a été montré par quelles fonctions le plus simples 
s'exprime l'intégrale \ ~= dx sous forme finie lorsque cela est possible; 
on y a supposé que le radical VR n'a pas de diviseur rationnel et que le 

terme algébrique de l'expression de l'intégrale ! ~= dx a été chassé. 

J y B 

Le calcul de ces fonctions qui conduisent à la détermination de l'inté- 
grale {-— dx correspond, comme il est facile de voir, au développement du 

radical Vlî en fraction continue; c'est ce qui a conduit Abel dans son mé- 
moire connu sur ce sujet à l'expression de l'intégrale f-^ dx par les fonc- 
tions de la forme A log ^"^^ ,— . 

^ p — qVB 

En appliquant ce procédé aux exemples, Abel trouve quelques cas 
particuliers de l'intégrabilité de la différentielle 

^^-"^ -.dx, 



Vx* -+- ax~ -i- bx- 

sous forme finie. 

On peut, d'après le mémoire cité plus haut, procéder de la même ma- 
nière par rapport aux différentielles qui contiennent une racine cubique. 
Ainsi, en appliquant notre méthode à la différentielle 

= dx, 



3/— ï— 



*) Tome I, pag 563—608. 



— 44 — 

nous trouvons que, outre le cas où la fonction a?^ -♦- aa; h- 6 a un facteur 
multiple, cette différentielle s'intègre sous forme finie dans les suppositions 
suivantes 

1) b = 0; 
;,2 1 

2)^ = -- [; 

Dans tous ces cas l'expression de l'intégrale 
[ 3 P -dx 

est donnée par la formule générale 

K log [9 a^B) . 9" (a fË) . 9»' U' fE}] , 

où K est un facteur constant, a une des racines imaginaires de l'équation 
a^ — 1 = 0; la fonction 9 [y^BJ se ramenant au produit 

dont les facteurs 

déterminés successivement l'un au moyen de l'autre, ont, comme il est fa- 
cile de voir, dans le cas 

B = x^-^ax-\- bj 
les valeurs suivantes: 

^^{^B)=x — fB; 



Le nombre ^, qui exprime combien des facteurs 

entrent dans l'expression de la fonction 9 {^^b) peut avoir toutes les gran- 
deurs de zéro à l'infini. 



-- 45 — 

La supposition 

b = 
s'obtieut dans le cas 

et dans ce cas nos formules donnent 

f i7=- dx = K log [9 {fïî) . <p« (a fB) . (p«^ U' fm , 

•' > x^ -H ax L ' J ' 

Oll 

9 (i^B) = x — l^x"^ -+- ax. 

La supposition 

62 _ j_ 

«3 6 

a lieu quand 

{. = 2, 

et dans ce cas la fonction 9 (l^i?) qui entre dans l'expression de l'intégrale 

[ 3 ' dx 
au moyen de la formule 

K log [9 ( fB) . 9°^ (a fB) . 9^^^ (a^ fBJ'j 

a la forme suivante 

Dans le cas 

b2 1 _^_ V^^ 

«3 6 18 

on a la même valeur de jjl et, par conséquent, la même forme de la fonction 
9 ifB). 

Dans tous ces cas p reste une quantité constante et a les valeurs sui- 
vantes: 

1) — 2Zpour h = 0, 2) —QK, pour^ = — |-, et 
os ç)±yzrs yi 1 _. >^^3 

3) 2 — ^' P«"^' ^ = — (r--ï8-- 

Mais l'application du procédé qui a été donné par nous pour l'inté- 
gration de la différentielle 

■^dx 



— 46 — 

sous forme finie, n'est pas bornée à ces résultats particuliers et à d'autres 
semblables; ce procédé de l'intégration mérite toute l'attention d'autant 
plus qu'il donne la condition nécessaire pour que l'intégrale 



\^dx 



puisse être exprimée sous forme finie. En effet, pour qu'il soit possible d'' ex- 
primer Vintégrale 

J y x'-'' -i~ ax -\- h 

SOUS forme finie, il est nécessaire qu'au moins l'une des équations 

3(„^3jX'-He^4(X^-H2Z)=l 

puisse être satisfaite par une quantité X qui est rationnelle en -3. 
En appliquant cette condition aux cas mentionnés de l'intégrale 

J y' x^ -^ ax -i- h ' 

nous trouvons que la quantité 



a les valeurs suivantes: 



_1 —l-f-^^. 

^' 6 ' G — 18 



Pour les deux premières valeurs de —, l'équation 



en se réduisant à 

Z^=:l, X^=— |, 

a évidemment une solution rationnelle en -3. 
Pour la dernière valeur de -5, l'équation 



4 a^ 



se ramené a 



A. — — -^ :zi — 5 , 



47 



qui ne peut être satisfaite par une valeur rationnelle en ^ = — — ± - . 
Mais dans ce cas l'équation 

3(f^yx*-.-6^{2^H-2X)=l 
se réduit à l'équation 

et cette équation, comme il n'est pas difficile de s'en assurer, est satisfaite 
par 

2 2 ' 

ce qui s'exprime rationnellement en ^^ — y=t-^; à savoir 
Dans le cas où la quantité 

fc2 



est rationnelle, pour qu'il soit possible d'obtenir l'intégrale 

; dx 






y x"^ -t- ax -i- b 

SOUS forme finie il est nécessaire, d'après ce qui précède, qu'au moins une 
des équations 

ait une racine rationnelle. 

D'après cela on reconnaît facilement l'impossibilité d'obtenir sous 
forme finie plusieurs intégrales de la formule 



r ^ P dx. 

J y x^ -t- ax-i-b 



8. 
SÏÏR ÏÏH MÉGIHÏSMI. 

(TTIADUXT PAH X. W. 3YC3SSTSGK3S3RSKY.) 
CXw le 8 (20) octobre 1868.) 



©6l3 odHOM'6 MQ^00aHU3Mn>, 



(3anHCKH HMnepaTopcKOH AKa^eMin HayKt, t. XIV, 1868 r., cip. 38—46.) 



Sur un mécanisme. 



Dans le mémoire intitulé: Théorie des mécanismes connus sous le nom 
de parallélogrammes *), nous avons montré, de quelle manière par les appro- 
ximations successives on peut trouver avec un degré désiré d'exactitude les 
dimensions les plus avantageuses des éléments du parallélogramme de Watt 
ainsi que d'autres mécanismes du même genre, qui réalisent le mouvement 
peu différent du mouvement rcctiligne. 

Nous avons réduit cette question par le développement en séries à la 
détermination des fonctions entières^ qui s'approchent le plus de zéro, et 
nous avons traité dans un mémoire spécial sous le titre: Sur les ques- 
tions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des 
fonctions **) la détermination des fonctions entières et fractionnaires , rem- 
plissant cette condition. 

Cela suffit pour trouver les solutions approximatives; mais pour la 
résolution exacte il faut appliquer la même analyse aux fonctions irration- 
nelles, qui se présentent dans ce cas. 

L'application aux fonctions irrationnelles du théorème général que 
nous avons démontré dans le second des mémoires cités à l'égard des expres- 
sions, qui se rapprochent le plus de zéro, est intéressante sous plusieurs 
rapports, et comme un des résultats de telle application nous allons montrer 
la construction d'un mécanisme remarquable tant par sa simplicité que par 
la précision, avec laquelle il réalise le mouvement rectiligne. 

Ce mécanisme est composé des mêmes éléments articulés de la même 
façon que le parallélogramme réduit de Watt; il ne diffère de celui-ci que 
par les directions des leviers, qui tournent autour des axes fixes: ils sont 
dirigés du même côté et se croisent. 

On prend les leviers de la même longueur et le point, qui exécute le 
mouvement désiré, se trouve au milieu de la bielle, c'est-à-dire, de l'élément 
relié aux extrémités des leviers par les charnières. 



*) T. I, p. 111—143. 
**) T. I, p. 273-378. 



— 52 — 

En appliquant le théorème mentionné plus haut à la fonction, qui dé- 
termine le mouvement de ce point, nous trouvons, que son mouvement s'ap- 
proche le plus possible du mouvement rectiligne dans l'étendue plus ou 
moins considérable sous les conditions suivantes: 

1) La distance des axes de rotation des leviers doit être égale au tiers 
de la longueur de tous les trois éléments du mécanisme^ c'est-à-dire, de deux 
leviers et de la hielle. 

2) La lo72gueur de la hielle doit dépasser le quart de celle des leviers. 
A mesure que diminue l'étendue, où l'on désire réaliser le mouvement 

approché du mouvement rectiligne, la longueur de la bielle doit de plus en 
plus s'approcher du quart de celle des leviers et en même temps avec une 
plus grande précision on obtient le mouvement rectiligne. 
La longueur de la bielle est déterminée par l'équation: 

72 _ (5 -2a) (2a -4-1) (4a -1) 
^ — ■ (a -4- 2)2 ' 

OÙ l'on désigne par a la longueur de la bielle et par / celle de la corde de 
l'arc, qu'on cherche de rendre s'écartant le moins possible d'une ligue 
droite. (On prend pour l'unité la longueur des leviers). 

Il est facile de se convaincre que cet arc sera compris tout entier 
entre deux parallèles dont la distance aux axes de rotation des leviers est 
égale respectivement à 



}/-i(l — «)(2-i-a), )/i-(l- 



-a) (2-i-a)- 



12 (a -4- 2)2 



Soit en efiPet CAAfi^ (fig. 1) le mécanisme considéré, où AG= 1, 




^j(7j=l sont deux leviers, qui' tournent autour des axes Cet C^, AA^=a 
la bielle, dont le point milieu M exécute le mouvement désiré. 



— 53 — 

D'après ce que nous avons dit, la distance CG^ des axes de rotation 
des leviers AG et Afi^ doit être égale à 

3 3 * 

En élevant du milieu de GG^ la perpendiculaire OH et prolongeant les 
droites GG^ et AA^ jusqu'à leur rencontre au point F, et considérant le 
triangle MXV^ le rectangle MXOY et les triangles AGV et Afi^V, nous 
obtiendrons pour la détermination des distances du point ilf aux droites CV 
et OH les équations suivantes: 

MX=MVsmOVM', 
MY=OX = OV— MV cos OVM; 

AG'={MV—AMf-^{0V-+~0Gf—2 {MV—AM) (OV-i-OG) cos OVM] 
A^G,'={MV-^A,Mf-\-{0V—0G,f—2 {MV~i-A,M) {OV—OG,) cos OVM. 

En posant 

. OVM cr 

sin —j- = b 

et observant que, d'après ce qui a été dit plus haut, 
AG=l, Afi, = l, 
AM==A,M==^ = ~, 



OG = OG, = 
nous trouvons des équations ci-dessus: 

1) MX=a 



CCi 2-t-fl 



2 6 ' 



V 



(4 (1- 
[ 3a 


^--)(^^- 


\2 




{l-^2a)^ 
3{2-*-a)a 




74(1- 
[ 3a 


_^ _,_ 52\ (1 _ 52) 52 






{l + 2a)^ ^2 





et 



2) MY= a 

3 (2 -t- a) a 

En déterminant d'après la formule (1) les valeurs des différences 
ilfX^ — |(l-a)(2-t-a) 

MX'-^{l-a){2-*-a) — ^^^^,, 



— 54 — 
on trouve, qu'elles se représentent respectivement sous la forme: 



a^ls^- 


(l-4-2a)2 ' 
3 (2 -*- a) a 

(4a-l)(H-2a)\2/ 


Aa — \\ 
(2-1- a) a/ 


6 (2 -4- a) a } \ 




J!o-"'^!' S^ 





3 (2 -i- a) a 



par suite le produit 



est égal à 



'2/92 liZli\/ç2 (4«-l)(l-v-2a) \ , 
" i"^ - -3^)1'^ - 6(2-4-a)a )' 



(1 -t- 2a)2 
3 (2 -*- a) a 



(2 -f- a) a/ 



Puisque le carré 



3 (2 -I- aj a 



pour toutes les valeurs réelles de *S' est positif et le facteur 



S^ — 



(2 -t- a) a 



pour S'^ < ~ — ^ est négatif, le produit 

yÀ — i— (Xj Cl 

reste négatif lorsque S^ varie depuis jusqu'à ^^^^^ ; d'où il résulte que 
les facteurs 

doivent être de signes contraires; par conséquent la valeur de 



— 55 — 
doit être comprise entre les quantités: 

|(l-a)(2H-a), 

On voit de là que la distance du point M à la droite CC^ depuis 
S^ = jusqu'à S^ = ^2^_^a)a ^^^^ comprise entre les limites 

par suite le point M ne sortira pas de l'espace limité par les droites paral- 
lèles à C(7i , dont les distances à CG^ sont égales à 



y±(l-a){2-^a), 



D'ailleurs d'après la forme du mécanisme considéré le mouvement du 
point M est le même de part et d'autre de la droite OH; c'est pourquoi 
l'arc de la courbe décrite par ce point, lorsque S^ croît depuis jusqu'à 
Vo .~N , sera disposé de la même manière de part et d'autre de la droite 
OH et la corde soutendaut cet arc est égale à la double distance de ses 
extrémités à OH. 

Cette distance d'après la formule (2), où l'on pose 



"(2-f-a)a' 

peut être représentée sous la forme 



3ÎI 



:^=)/^^ 



5 — 2a) (1 -t-2a) (4a— 1) , 



4 (2 -+- af 

par suite 



-'V 4,. 



(5 — 2a) (l-»-2a)(4q — 1) 



d'où, élevant au carré, ou obtient 



• 2 (5 — 2a) (1 H- 2a) (4a — 1) 

''"— (2-t-a)2 



— 56 — 

Ainsi nous nous assurons que pour la valeur de /, satisfaisant à cette 
équation, l'arc soutendu par la corde ?, dont le milieu se trouve sur la 
droite OH^ est réellement compris tout entier entre deux droites parallèles 
indiquées plus haut. 

Toutes les fois lorsque la quantité a diffère peu de -j, la distance de 
ces parallèles est petite et par conséquent l'arc que nous considérons 
s'écarte peu d'une ligne droite. 

Mais à mesure que a s'éloigne de y, la distance des parallèles aug- 
mente et la courbure de l'arc devient de plus en plus grande. 

Pour une valeur de a plus grande que 0,546*) (ce qui correspond à 
^ > 1,222) ces écarts sont si considérables que l'arc se courbe à ses extré- 
mités vers la droite OH^ en vertu de quoi les points de cet arc les plus 
éloignés de la droite OH ne se trouvent plus à ses extrémités, mais à cer- 
taine distance d'elles. 

Pour faire voir avec quel degré de précision le mécanisme traité réa- 
lise le mouvement approché du mouvement rectiligne dans l'étendue assez 
considérable, nous appliquons les formules obtenues au cas 

? = 0,64, 

ce qui a lieu dans le parallélogramme de Watt, dont le fonctionnement a 
été examiné parP rony, qui l'a trouvé bien satisfaisant. (Annales des mines. 
Tome XII). 

En résolvant l'équation 



l^ = 



(5 — 2a) (1 H- 2a) (4a — 1) 



(2-Ha)2 

oii l'on fait ^ = 0,64, on trouve 

a= 0,327. 

Substituons cette valeur de a dans les expressions, qui déterminent 
les distances des parallèles aux axes de rotation des leviers: 



y|(l-a)(2-Ha), 



27 

*) C'est une racine de l'équation (a^ — 6a -+- 2) (2a — 5) (2a -*- 1) — — (4a — 1) = 0, 

4(j \ 

qu'on obtient, en égalant à zéro la dérivée de MY^ par rapport à <S et posant S2 = — — . 



— 57 — 

on trouve alors que ces distauces sont égales respectivemeut à 

0,83428, 
et à 

0,83457. 

Donc la distance des parallèles est égale à 

0,83457 — 0,83428 =-. 0,00029. 

D'après les calculs de Prouy le parallélogramme de Watt dans la 
machine à vapeur, où le bras du balancier était de 2,515'° de longueur, 
donnait les déviations, qui atteignaient 0,002"" ou 0,00079, si l'on prend 
pour l'unité la longueur du bras du balancier. 

Tandis que lorsqu'on se sert du mécanisme que nous avons examiné 
les écarts ne surpasseront pas, comme nous venons de trouver, 0,00029, ce 
qui fait moins que la moitié du nombre 0,00079. 

Notons en dernier lieu que la construction connue, qui sert à passer 
du parallélogramme réduit de Watt au parallélogramme complet, s'applique 
sans aucun changement au mécanisme que nous avons considéré ; de cette 
manière on obtient le parallélogramme complet de Watt ayant un tige- 
guide, qui est dirigé en sens contraire et coupe le balancier. 

Le parallélogramme de cette espèce est représenté sur la figure 2, où 
le point i^ décrira la courbe, qui, comme on voit de ce qui précède, s'écar- 




tera moins de la droite verticale, que celle qu'on obtient dans le cas de la 
disposition ordinaire du tige-guide A,, G,, . 

Mais quand la forme du parallélogramme de Watt est modifiée de la 
manière indiquée, la courbe décrite par le point M, comme on voit de la 
figure, fait avec le balancier ÂG un angle trop aigu, ce qui présente un 
inconvénient très important. 



SUR LES FONCTIONS ANALOGUES 

(TRADUIT PAR A. V. VASSILXEr.) 



6 chyufit^isioo'ii 

nodoSHUxiè cjounâiAiijvMis c/lc:^aHdpa. 



(SanHCKH HMnepaTopcKOH AKaTi,eMiH HayKi., t. XVI, 1870 r., cip. 131—140.) 



Sur les fonctions analogues à celles de Le- 
g-endre. 



La propriété remarquable des fonctions de Le gendre 
qui conduit facilement au développement en série de la forme 



se déduit, comme on sait, d'une manière très simple de l'expression de 
l'intégrale 

1 



J y 1 — 2s: 



- 2sa; -H s2 y 1 — 2tx -4- «2 
-1 



dx"^). 



En eifet on a, d'après la définition de ces fonctions, 

yi-2SXH-s2 1 2 

yi_2te-H<2 ° ^ 2 ' 

donc l'intégrale 



J y 1 — 2sa 



-2sa;-4-s2 y 1 _ 2te h- «2 
-1 

est égale à l'intégrale 



I (Xo-i-Z.s-f-XaS^-H. . . .) iX,-^X,t-i-X,t'-t-. . . .) dx, 



*) Legendre, Exercices de calcul intégral, T. II, p. 250. 



— 62 — 

la quelle se ramène, si l'on ouvre les parenthèses, à la somme suivante du 
nombre infini des termes: 



ÏJ(^"'"'/Ï^^«<^-)- 



Mais en déterminant la valeur de cette intégrale sous forme finie, nous 
trouvons qu'elle s'exprime par la formule 

1 , 1 -f- VTt 

qui se développe en série procédant suivant les puissances du produit st; 
par conséquent, dans le développement de cette intégrale il n'existe pas des 
termes de la forme 

où n est inégal à m. 

En comparant entre elles ces deux expressions de la même intégrale 



J 



1 ; 

1 



dXs 



nous remarquons que leur identité suppose l'égalité 



— 1 



1 



pour toutes les valeurs de w et de m inégales entre elles. 
De la même manière l'intégrale plus générale 

y^} J(l_Ha;)A(i_a;)l^^*'^' 

— 1 

OÙ 

■j^ , . (l-«-s-4-y 1 — 2sa;-4-s'r (l — s-4-y 1 —2sx-\-siY' 



^ , . _ (l H- ^ -t- y 1 — 2te -♦- i'^f (l - < -f- / 1 — 2<a; H- f^T 
^ ' ' y 1 — 2te -*- t2 ' 

se ramenant à l'intégrale 



— 63 — 

qui se développe en série procédant suivant les puissances du produit st, 
montre que les fonctions entières de la variable x 

T T T 

-^0' -'^l 1 -'-21 • • • • j 

qui s'obtiennent par le développement des expressions 

(l + g H- y 1 — 2ga; -f- s-^f {\—s-i-Vl — 28X-*- g-^T 
V \—2sx-^ s2 ' 

{\-i-t-^-V \ — 2tx-+- t^ (l — ^ -^- y 1 — 2te -«- ^2)!^ 
y 1 — 2te -+- «2 

en séries 

T,-\-T,t-^T^f-^...., 
vérifient l'équation 

-1 

(3) 



j (1 -t-a;/^ (1 —xy^ 



pour toutes les valeurs de n et de m inégales entre elles. 

Quant à la réduction de l'intégrale (1) à la forme (2), elle s'effectue 
facilement si l'on fait disparaître de la façon usitée les radicaux contenus 
dans les fonctions F{s,x), F{t,x). 

En effet, en posant 

(4) y 1 — 2sx -\- s^ = VYs y, 
nous trouvons que 

/ r \ 1 -4- «2 

(5) X = -j-^ y^ 

et 



En faisant le dernier radical égal à l'expression 

VYt {y -+- u), 
et en posant 

rr\ 1 -1- s- 1 -+- ^2 Q 

nous obtenous 

3 — a — ît2 
^ = 2il ' 

et 

(7) ]/ l — 2tx-i-t' = yjt {y-t-u} = y 2t^^=^^^. 



— 64 — 
En portant la valeur de y dans les expressions (4), (5) du radical 



Vl — 2 sa; -f- s ^ et de la variable x^ nous avons 



2s \ 2m / ' 

Cette dernière égalité, d'après (6), peut être écrite plus succinctement 

/P — a — m2\2 



V 2m / • 

D'après ces valeurs de la variable x et des radicaux 



V 1 — 2sa; -f- s2, V 1 — 2tx -+- f 
nous trouvons que 

[4 (g ^ 1) u2 — (3 — g — M=^)21^ - 

(2m)2^ 

(2>^a-HlMM-3 — g— M^y^ (2 -/Tn M — 3 -H g - 4- U^)^^ 

[(3 — g — u2)2 — 4 (g _ 1) ^gjM . 

^(^' ^) = a-g-.2 -^^—^ 



A-t-|X— 1 , 

, 2 r2i^„_4_3_,_„2rr2kzi„^3_g_„2T 

L y2s J L V2s J_ 

X-t-[JL-l 

2 ^ «À-^f^— 1 (3 — g — U-) 



^+|X-1 



[2 l±l „ -^ 3 _ g -H î,2T [2 ^* M -t- 3 _ g -4- «2T 

L- t/2« J L V 2t J 



y2« J L ^2^ 

2 ^ «>^-*-f^-i (3 — a-+-«2) 



— 65 - 
Mais en remarquaut que d'après (6) 



(8) 






nous pouvons écrire les dernières expressions de F {s, x), F{t, x) plus 
succinctement ainsi: 

S ^ j^2 y a -H 1 M -f- 3 ~ a - «2I T2 V^r^^l M H- 3 - a - î^^T 



jF' (s, a;) — , - 



w>-+-(i 



2 MA-+-(i— 1 (3 _ a _ m2) 

^-♦-(1-1 
t ^ 12 y 3 -H 1 « -f- 3 — a -t- «2"! r2>/'3"Zri„^B_a-+-„2T 

^('.^) = ^ ç^5 ^^ i. 

2 ^ M>^-Hfx-i (3 _ a -f- 1*2) 

En multipliant ces quantités 

F (s, rr), F {t, x), dx 
et en divisant leur produit par les quantités 

{l-^r-xf, {\~xf, 

nous trouvons après la réduction des facteurs communs du numérateur et 
du dénominateur que la différentielle 



F{s,x).F(t,x) 
(l-t-a;)^(l— xf 

s'exprime ainsi: 



dx 



nX-H-fX / ,x 2 /n2 H- 2 y 3 -H 1 ^ -»- fi — Q^ \ / M2_t,2y3 — lM-t-3— g^ ^ 

\it2 H-2yaH-l7( — 3-+-a/ \— 7*2 _ 2 y a — 1 tt -f- 3 — a/ "' 

Mais, en décomposant le numérateur et le dénominateur des fractions 

lt2 -t-2y3-4-llt-4-3 — g i<2 _t- 2 y 3 — 1 M -4- 3 — (X 

«2 -4- 2 y a H- 1 îi — 3 -<- a ' — ît2_2ya — 1-^-3 — a 

en facteurs linéaires, nous remarquons que la première, après la réduction 
par 

u -t- y^-*- 1 -i- Va-i-l, 
se ramène à 

»-f-y3-«-i — ygn-i ^ 
M — y 3-f-i -H y a -t- 1 ' 



— 66 — 
et la seconde, après la réduction par 



w-i-y§— iH-Va— 1, 
se ramène à 

U-t-V ?> — l — VlX.— 1 ^ 

y&— 1— -/a — ï — u' 

eu vertu de quoi l'expression de la différentielle 

F{s,x).Fit,x) , 

(1-HX)>^(1— xf ""^ 

se ramène à la suivante qui est la plus simple: 

X+lx-l 



^ ' \î« — y p -H 1 -+- ■/ a H- 1/ V/fi — 1 — /a — 1 — u/ «* 



Pour trouver les limites de la quantité u, correspondant aux limites 

de l'intégrale 

-1 

F(s,x).F[t,x) , 
- 1 



/; 



nous remarquons que d'après (1), (4) et (6) la quantité u s'exprime par x 
ainsi: 

u = V ^ — X — Va — x; 

d'où, en prenant x = — 1 etrc = H-l, nous trouvons que la valeur de u 
correspondant h x = — 1 , est 



et celle qui correspond h x = -t-l est 



ît = yp— 1— Va— 1. 
D'après cela, l'intégrale 

4-1 

dx 



-1 

F(s,x).Fit,x) 
{l -*- x)^' {l — xf 
-1 

s'exprime ainsi: 



h 



y ii — 1 — y a — 1 



•+|i— 1 y 

2 fu-i-V ?>-¥-l — y aTl\ /m -4- y !i — 1 — V OL—IY' du 



ï— yôm 



— 67 — 

Cette intégrale, comme il n'est pas difficile de remarquer, se simplifie 

considérablement par l'introduction de la variable v = - ^* 

ypH-i — y a-+-r 

En faisant cette substitution et en remarquant qu'aux valeurs 



M = l/|3-i-l— Va-*-!, w = yp_l_-]/a — 1 
correspondent 

' yi5-+-i — ya-+- 1' 

nous trouvons que cette intégrale se ramène à la forme suivante 

1 



— quantité qui d'après (8) s'exprime au moyen de s et de ^ par la formule 

1—^ 1— s 

__ V^t VTs {\ — t)V^s — [\ — s)VYt 

LtJ _ i:^ ~ (1 -+- <) / 2^ — (1 -♦- s) y 2Ï * 

V2t V2s 

En réduisant la dernière fraction par 

y 2s— y 27, 

nous trouvons 

^ i-*-VTt 

^^~ i-Vlt' 

On voit ainsi que l'intégrale (9), à laquelle se réduit l'intégrale (1), 
est une fonction du produit st. Pour obtenir cette intégrale sous une forme 
plus simple, nous posons 

1 — V^z ' 



(10) 

ce qui donne 




2V stdz 

~ {l-^VTt z) (l - VÏfz) ~l-stz^^ 

-1 1 ^ V-\-'( 1 — stz 



— 68 — 

En portant ces valeurs dans l'expression de l'intégrale (9) et en re- 
marquant que d'après (10) aux valeurs de v 

, Vç,— 1 — -/g — 1 

correspondent 

= 0, z=l, 

nous trouvons que l'intégrale considérée se ramène à l'intégrale suivante: 



J 



zk (1 _ zf. (1 _ atz'i) ^^' 





ce qu'il fallait montrer. 



8, 
SUR LA DÉTERMINATION DES FONCTIONS 

D'APRÈS LKS VALEURS 
QU'ELLES ONT POUR CERTAINES VALEURS DE VARIABLES. 

(TKADOUÏT PA]R G. A. DP0SS3S.) 



(95% onp^drôAcniu chyuâtiilû no 3HazcHijiM'6f 
âomopuji on?5 UMmiomu npu nfsÂomopiiccË êcAuztmax'è nepcMf&nnoû. 



(MaTeMaTH^ecKifi C6opHHKi>. T. IV, 1870 r., CTp. 231—245.) 



Sur la détermination des fonctions d'après les 

valeurs qu'elles ont pour certaines valeurs de 

variables. 



§ 1. La formule de Lagrange donne l'expression d'une fonction u 
d'après n de ses valeurs 

Wj , «/g î • • • • 7 ^'n ' 

qui correspondent à n valeurs différentes de la variable 

dans le cas où u représente un polynôme dont le degré n'est pas supérieur 
à n — 1. 

Caucby a donné une formule pour la détermination de la fonction u 
dans le cas où elle représente une fraction 

N 
D ' 

D étant un polynôme dont le degré ne surpasse pas une limite donnée X et 
N un polynôme dont le degré n'est pas supérieur h n — X — 1. 

En passant aux fonctions irrationnelles, nous remarquons que la plus 
simple parmi elles représente la racine de l'équation du second degré 

u^-+-Lu — M=0, 

L et M désignant des polynômes de degrés les plus petits possibles. 
Nous allons montrer que ce dernier cas, ainsi que le cas de 

N 

peut être traité au moyen du développement en fraction continue d'une 
même expression avec la seule différence que dans le cas de 



— 72 — 

la question se résout à l'aide de l'application ordinaire des fractions conti- 
nues, tandis que le cas de 

demande l'application spéciale dont nous avons parlé dans la lettre à M. le 
professeur Brasclimann *). 

§ 2. En abordant la détermination d'une fonction u de la forme 

N 

d'après ses n valeurs 

correspondant à n valeurs différentes de la variable 

X := X^, X^j. . . . X^, 

nous remarquons que les équations qui déterminent les polynômes N et D 
s'obtiennent en égalant à zéro la différence 

uD — N 

pour 

X = X^, ^2 5 • • • • > ^n • 

La différence 

uD — N 

peut être remplacée dans ce calcul par la différence 

UD — N, 

où U désigne un polynôme entier de degré n — 1 ayant pour x = x^, 
x^,. . . . x^ des valeurs égales à celles de la fonction cherchée u, polynôme — 
qui, d'après la formule de Lagrange, se représente par l'expression 

IT~^ (X) r ""' I "^ I , "n "I 

^^ ''L{!e — xy)ci>'{xi) [x — X2) <?' {X2) •••• (x — a;„) 9' (x„)J ' 
OÙ 

(1) ^{x) = {x — x;} (x — x^) (x — xj. 

L'annulation de la différence 

UB — N 

pour n valeurs différentes de la variable 

constitue la condition nécessaire et suffisante pour la divisibilité de cette 
différence par 

Q^{x) = {x — x;) {x — x^) {x — x^), 



*) T. I, p. 611-614. 



— 73 -— 

d'où il suit l'égalité suivante: 

(2) UD — N=^{x)W, 

W étant une fonction entière. 

Cette équation sera satisfaite par un nombre infini de systèmes des 
fonctions D, N, W et chacun de ces systèmes donne une fraction 

D ' 
qui pour 

X X. j Xij j • . . . ^ X 

se réduit à 

w,, Wg, , u^. 

Si l'on restreint le choix des fonctions N et D, comme le fait Cauchy, par 
la condition que le degré de D ne soit pas supérieur à X, et celui de N ne 
surpasse pas n — X — 1, nous remarquons que dans ce cas le degré de N 
sera plus petit que celui de ^^ et de ^-^, (^ (x) étant, d'après (1), du 
degré n. L'équation (2), étant divisée par (^(x) D, donne: 
u w_ N 

ç{x) D Z) 9 (x) ' 

OÙ, d'après ce qu'on a remarqué à l'égard du degré de N, le degré du se- 
cond membre sera plus petit que celui de ^ et de — y 
Donc, la fraction 

D 

donnera l'expression approchée de 

u 



aux termes près d'ordre de 
et de 



(?{X) 



1 



1 

Dx^-*-^' 



La première de ces approximations n'est possible, comme on le sait, 
que dans le cas où la fraction 

D 

est une des réduites de l'expression 

u 

c?{x) 

qu'on obtient en la développant en fraction continue. La seconde exige que 



— 74 — 

w 
dans la série des réduites successives la fraction ^ soit suivie par une 

fraction dont le dénominateur est de degré plus grand que X, par ce que 

l'approximation fournie par une réduite quelconque se détermine par l'unité 

divisée par le produit des dénominateurs de cette réduite et de la suivante. 

On voit d'après cela que la fraction 

D ' 

où, d'après la condition, le degré de D n'est pas supérieur à X, sera la der- 
nière des réduites de l'expression 

u 

9 (a;) 

avant un dénominateur dont le degré ne surpasse pas X. 
Représentant par 



1 



la fraction continue, obtenue par le développement de l'expression 

u 

9W ' 

et par 

^ h ^ 

iV Qi' Q2' ' 

la série des réduites successives, où 
(3) { 

et supposant que 

Qij. 
est la dernière dans la série 

Po Pi I2 

Ço' ^1' Q2' 

ayant un dénominateur Q de degré non supérieur à X, nous aurons, d'après 
ce qui précède, 

(4) D=e,, ir=p,. 



— 75 — 
C'est ainsi qu'on trouve le dénominateur D de la fraction cherchée 

et la fonction W qui, D étant connu, détermine, à l'aide de l'équation (2), 
le numérateur N de la même fraction. 

§ 3. Il est facile de même de montrer que le numérateur N peut être 
déterminé immédiatement par le développement en fraction continue de 
l'expression 

u 

En effet, d'après nos notations, la fraction continue provenant du dé- 
veloppement de cette expression est 

1 



?lH 



q2-\ 



Qi^ Q21 Qs^' • ' ' ét^^t les quotients obtenus dans les divisions successives de 
9 (x) par U, de U par le premier reste, du premier reste par le second etc. 
Or, en désignant par 

les restes dans ces divisions, nous remarquons qu'ils seront liés entre eux 
et aux fonctions cp (x), V, q^, Çç^, q^,. . . . par les équations 



(5) 



^{x) = Uq,-^B„ 
U=B,q,-*-B,, 
B, = B,q,-v-B.,, 

B._=B._^q.-^B.. 



Mettant dans la première de ces équations la valeur de U tirée de la 
seconde, nous aurons 

^{x) = {B,q,-^B^)q,^B, = B,{q^q^-^\)-^B^q^, 
et remplaçant d'après (3) 



par 






— 76 — 
nous trouvons 

Or, d'après (3), on a 

A = ^2, Px=h 

nous pouvons donc écrire la seconde des équations (5) ainsi: 

Les égalités 

U = B,P,~*~B,P,, 

où l'on remplace, d'après (3), Q^ et P^ par 

ft— ft?3 et P. — P^q, 
et, d'après (5), B^ par 

B^-\-B^q^, 
donnent 

9 (x) = (i?3 -I- B, q,) ft -I- B, (ft — Q, q,), 

U= {B,-^B,q,) P, -H B, {P, - P,q,\ 
ce qui se réduit à 

U=B,P,-^B,P,, 
Remplaçant ici, d'après (3) et (5), les fonctions 

ft, P., ^2 

par 

et réduisant, on obtient 

^{x)=:B,Q,-^B,Q„ 

U=B,P,-i-B,P,. 
En procédant ainsi nous trouverons en général 



— 77 — 
L'élimination de R.^^ entre ces équations donne 

UQ,-^ {X) P. = R. {Q. P.^^ _ Q.^^ p.). 
et comme, en vertu des propriétés des réduites, on a 

on réduira l'égalité précédente à celle qui suit: 

(7) UQ, — ^{x)P. = {—iyR.. 
En y posant i = ji et remarquant que, d'après (4), 

on trouve 

UD — o(x) W=i—lfR^, 

ce qui donne, étant comparé avec (2), 

(8) N^i-lfPy 

On voit de là qu'un des restes 

Aj -^25 ^35 : 

pris avec le signe h- ou — sera égal au numérateur iV" de la fraction 
cliercliée 

N 

Comme le signe avec lequel R est égal à iV se détermine par le signe 
de ( — 1)'^ il sera -*- ou — selon que ji est pair ou impair. 

§ 4. Dans la série des restes 

qu'on obtient dans les divisions successives de 9 {x) par U de U par le 
premier reste, du premier reste par le second etc., il est facile d'indiquer 
le reste R qui, d'après (8), donne la valeur du numérateur i\^ de la fraction 
cherchée 

N 



— 78 — 

Remarquons pour cela que, d'après nos notations (§ 3), le reste R cor- 
respond au quotient g auquel correspond à son tour dans la fraction continue 



la réduite 

dont le dénominateur fournit, d'après (4), la valeur du dénominateur D de la 
fraction cherchée. Ou voit d'après cela que B, est le reste dans la dernière 
division nécessaire pour obtenir la réduite 



et par conséquent, d'après (4), la valeur de D. 

D'ailleurs, il est aisé de montrer que dans la série 

le reste B est le premier dont le degré est inférieur à n — X. 

En effet, comme le degré de B. est plus grand que celui de B.^^ et 
le degré de Q.^^ plus grand que celui de Ç,., le degré du produit 

est supérieur au degré de 

En vertu de cela, d'après l'équation (6), le produit B. Q.^^ sera de degré 
égal à celui de 9 (x) ou ic", donc le degré de B. sera égal à celui du quotient 



marqu 
mière fonction dans la série 



En posant é = [i et remarquant que, d'après le § 2, ^^ est la pre- 



■«[ji-f-i 5 • • • • 



dont le degré est supérieur à \ nous concluons que B est le premier dans 
la série des restes 

^n -^2» ^3J 

dont le degré est moindre que le degré de ^, c'est à dire moindre que w —X. 



— 79 — 

Ou voit d'après cela que pour déterminer le numérateur et le dénomi- 
nateur de la fraction cherchée 

N 

il faut prolonger les divisions successives de 9 (x) par U, de U par le pre- 
mier reste, du premier reste par le second etc. jusqu'à ce qu'on arrive à un 
reste de degré inférieur h n — X. Le dernier reste avec le signe -*- ou — 
sera le numérateur iV; quant au dénominateur D = Q , on l'obtiendra à 
l'aide des quotients Q'i, ^2' • • • • Qu. ^^^^ donnent ces divisions, au moyen des 
formules (3); le signe avec lequel le dernier reste est égal au numérateur 
N sera -*- ou — , selon que \l, le nombre de toutes les divisions, sera pair 
ou impair. 

§ 5. Passons maintenant au cas où la fonction u représente la racine 
de l'équation 

îi^-^Lu — M=0. 

Pour que la fonction u ayant les valeurs 

«1, ^2, , u^ 

pour 

X =: X^, ^2 ' • • • • 5 '^rj ) 

satisfasse à l'équation 

il faut et il suffit que pour les mêmes valeurs de x on ait 

U étant (§ 2) une fonction entière de degré n — 1 et ayant les mêmes va- 
leurs que u pour x = x^, x^, x^. Cela se réduit à l'égalité 

(9) œ-t-LU—M=<^ix)W, 

où 

cp (x) = {x — x^) {x — x^) {x — x^), 

et W une fonction entière inconnue. Tout système de fonctions ZetiW pour 
lequel cette égalité peut être satisfaite par une fonction entière W conduit 
à une équation 

u~-t-Lu — M==0 

à laquelle satisfait une fonction u prenant les valeurs «^ u^, \ P^ur 

x = x^,x^, x^, et le nombre de ces équations est infini. Ayant en vue 



— so- 
les équations les plus simples, nous allons chercher celle dans laquelle le 
degré de L ne surpasse pas une limite donnée >., M étant en même temps 
du degré le plus petit possible. 

L'équation (9) se réduit aisément à la forme 



(•«) ^^r 


-TF= 


9(x)~*~ 


M 

cp(x) 


qui fait voir que la difiPérence 










T ^ 


— w 




représente la valeur de 







aux termes près d'ordre de la fraction 

M 

9(x)' 

et, par conséquent, pour que M soit, conformément à ce qui précède, de 
degré le plus petit possible, il faut que la différence 

cp [x) 

représente le plus près possible la valeur de 

<p {x)' 

Or, la détermination des polynômes L et W sous cette condition est 
justement l'objet de cette application spéciale des fractions continues dont 
il s'agissait dans la lettre mentionnée ci-dessus. En appliquant au cas actuel 
la formule y établie pour la détermination du polynôme X, nous trouvons 
que le polynôme L se détermine par la série suivante 

OÙ 

IP_ 

^ 9(»)' 

et 

^1, q2, — > Qo^ ftî — 

ont le même sens que dans les paragraphes précédents. 



— 81 — 

Cette série arrêtée au dernier des termes dont le degré ne surpasse 
pas X, donnera le polynôme cherché L. Supposant que ce terme soit 

et désignant pour abréger une expression de la forme 

Eg,.^, QiV — qi^, YjQ.v 
par 

nous aurons d'après ce qui précède 

L = % ^0 — "i ft-*-. . . .-♦-(- If "^^^. 

Quant à la fonction W, la formule de la lettre mentionnée qui détermine le 
polynôme y, donnera d'après nos notations, pour l'expression de W la for- 
mule suivante: 

17=_Et;-f-o,Po — o, P,-f-....H-(— If o^P^. 

Pour déterminer le polynôme M mettons dans l'équation (10) les 
expressions trouvées des polynômes L et W, ainsi que le développement de 

la fonction 

m_ 

en série procédant suivant les valeurs 
qui donne 

On en tire, en multipliant par cp {x) et réduisant, l'expression suivante du 
polynôme M: 

Or, remarquant que d'après (7) 



nous trouvons que l'expression du polynôme M se réduit à celle-ci : 



— 82 — 

C'est ainsi qu'on détermine les polynômes L et M conduisant aux équations 
les plus simples de la forme 

auxquelles peut satisfaire une fonction u qui prend les valeurs 

w,, u,, w„ 

pour 



6. 



(Dédié à l'Ecole Impériale teclmique.) 
(TIRADUXT PAK G. X. SOUSLOr.) 



e 



napajiACAOzpajiijiiaX'o . 



apajiACAOzpi 



Tpy;[,ii BToparo ct'ÉBAa pyccKHxi, ecTecTBOHcnuTaTdeH b-b Mockb-ê. nponcxo^nBinaro 

CB 20-ro no 30- e aBrycia 1869 ro^a. 1870 r. Oi^ii.TB TexHOJioriii ii UpaRTiiiecKoii 

MexaHHKH. CTp. 9 — 30. 



6* 



Sur les parallélogrammes. 

(Dédié à l'Ecole Impériale teclinique). 



§ 1. Jusqu'à présent on n'emploie en pratique que trois parallélo- 
grammes différents: les deux parallélogrammes de Watt, réduit et complet, 
et le parallélogramme connu sous le nom du mécanisme d'Evans. Mais il est 
possible de composer beaucoup de mécanismes semblables qui fournis- 
sent le mouvement plus ou moins approchant du mouvement rectiligne. 
Dans les séances de l'Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg 
(18 oct. 1861, 8 oct. 1868) et de la Société mathématique de Moscou 
(18 nov. 1867) nous avons parlé de la construction des parallélogrammes 
qui par leur précision surpassent tous ceux qu'on emploie aujourd'hui. 
Maintenant nous montrerons, comment on peut construire différents paral- 
lélogrammes qui produisent le mouvement rectiligne avec l'approximation 
aussi grande que l'on voudra. Nous allons voir qu'avec le même nombre 
d'organes que celui du parallélogramme complet de ^Yatt il est possible de 
construire un parallélogramme qui fournit le mouvement rectiligne exact 
jusqu'au 13-e degré, tandis que les parallélogrammes de Watt et le méca- 
nisme d'Evans ne produisent ce mouvement qu'avec l'exactitude qui ne va 
que jusqu'au 5-e degré; quant aux parallélogrammes, proposés par nous, leur 
degré d'exactitude balance entre 6 et 8. Un tel parallélogramme, comme on 
va voir, présente d'ailleurs cet avantage que, tout en conservant dans son 
jeu la précision encore suffisante pour la pratique, il peut remplacer par ses 
organes la bielle et la manivelle pour exécuter la transformation du mouve- 
ment rectiligne alternatif en mouvement rotatoire continu. En parlant de 
différents parallélogrammes nous ne considérerons que les mouvements infi- 
niment petits, pour lesquels le degré de précision des parallélogrammes 
peut être défini avec une facilité particulière; pour passer des mouvements 
infiniment petits aux mouvements finis 11 faudra faire quelques changements 



— 86 — 

dans les diracnsious des organes. Ces cliaugemeuts seront en général peu 
sensibles, si les limites pour le mouvement du parallélogramme sont assez 
rapprochées; alors ou peut évaluer ces changements à l'aide de séries par la 
méthode que nous avons exposée dans le mémoire: Théorie des mécanismes 
connus sous lenom de parallélogrammes'^''). Mais pour le dernier des cas men- 
tionnés, quand le parallélogramme remplace par ses organes la bielle et la 
manivelle, on aura besoin d'un procédé tout à fait particulier parce que dans 
ce cas qui s'écarte trop de celui des mouvements infiniment petits l'emploi 
de séries n'est pas efficace. Nous examinerons ce cas particulièrement et 
nous donnerons tgutes les formules qui s'y rapportent. 

§ 2. Les mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes peuvent 
être considérés généralement comme des systèmes de droites qui se meu- 
vent dans un plan et qui sont liées entre elles à l'aide des charnières; ces 
dernières empêchent aux points d'intersection des droites de glisser sur 
celles-ci, mais elles permettent aux angles faits par ces droites de varier. 
D'ailleurs quelques unes des charnières sont invariablement liées à certains 
points du plan de manière que les droites correspondantes ne peuvent que 
pivoter sur ces points fixes. En désignant par m le nombre des droites dont 
le parallélogramme est composé, par n le nombre des joints liant deux droites 
entre elles et jjar v celui des pivots fixes, on aperçoit que la position sur le 
plan de chacune des m droites du système considéré est défini par trois 
grandeurs (par exemple, on peut prendre pour ces grandeurs les deux coor- 
données d'un bout de la droite avec son inclinaison sur l'axe des abscisses). 
De l'autre côté chacune des n charnières, unissant les deux droites, et 
chacun des v pivots fixés au plan fournissent deux équations entre les gran- 
deurs qui définissent la position du système considéré (savoir: l'accouplement 
de deux droites par une charnière suppose l'égalité des coordonnées de deux 
points appartenants à ces deux droites; le pivotement d'une droite sur un 
point fixe du plan suppose que les coordonnées de ce point sont connues). 
On voit ainsi que la position de tous les points du système se définira par 
?)m grandeurs, liées entre elles par 2 {n-\-v) équations et par conséquent le 
nombre des variables indépendantes s'exprimera par la différence 

3w — 2{n-+-v). 

Mais ce nombre doit être égal à l'unité pour que les points du système 
considéré ne puissent se mouvoir que sur les trajectoires déterminées, 
comme cela doit avoir lieu pour les parallélogrammes; donc 

(1) ?>m — 2{n-^v)=\. 



*)T. I, pag. 111 — 143. 



— 87 — 

De l'autre côté on aperçoit: 1) que le système considéré ne doit pas se 
mouvoir librement dans un plan et 2) que toutes les droites qui appartien- 
nent au système doivent être liées entre elles. 

Le premier point suppose nécessairement l'existence des pivots fixes; 
par conséquent, ?; > 0. 

Le second point suppose que l^, le nombre des charnières, est plus 
grand que m — 2, parce que m — 2 joints ne suffisent pas évidemment pour 
lier une à une toutes les droites du système. Mais de l'équation (1), pour 
w > m — 2, on trouve 

^ wi -f-3 

On voit ainsi que v, le nombre des charnières, doit satisfaire aux iné- 
galités suivantes: 
(2) v>Ç>,v<"-^. 

§ 3. En prenant dans l'équation 3m — 2 {n-^v)=^\ les nombres m 
et w H- V pour des inconnus et eu la résolvant, on trouve pour w et n-\-v 
les valeurs suivantes: 

m = l,w-H«; = l; m = 3, %-+-î^ = 4;w = 5, »^-^-^;=7, ht. a. 
En considérant les premières valeurs de m et de »î -4- î; : 
m= 1, »^-^-î; = l, 
on aperçoit que d'après (2) pour m = 1 il faut avoir 
z;>0,z;<i^ = 2, 

ce qui suppose que v=l. Donc en ce cas le parallélogramme dégénère en 
une droite pivotant sur un de ses points. — Ainsi on trouve le mouvement 
circulaire qui ne peut remplacer le mouvement rectiligne qu'avec l'approxi- 
mation du second degré. En passant aux valeurs suivantes de m et de 

w -H ^;, on a 

w = 3, n-i-v = 4:. 

D'après (2) pour w = 3 on trouve 
cela suppose que v a une des valeurs suivantes: 



— 88 — 
Mais d'après l'équation: 

à ces valeurs de v correspondent les valeurs suivantes de w: 
n = d, n=2. 
Donc pour m = 3 on aura 

v= 1, n= 3, 
ou v = 2, n^2. 

Dans le premier cas le système considéré consiste en une droite qui 
pivote autour d'un de ses points et qui est articulée avec deux autres droites 
à l'aide de trois joints ou, ce qui revient au même, le système n'est qu'un 
triangle qui tourne autour d'un point fixe, situé sur un de ses côtés. Ainsi 
tous les points ne peuvent se mouvoir que sur les cercles et par conséquent 
ne peuvent fournir le mouvement rectiligne qu'avec l'approximation du 
2-e degré. 

Dans le second cas, quand 

m = 3, v = 2, n = 2, 

le système considéré consiste en deux droites qui pivotent sur deux points 
fixes et qui sont articulées avec la troisième par deux joints. C'est le plus 
simple système des parallélogrammes qui peuvent produire le mouvement 
rectiligne avec l'exactitude plus grande que celle du 2-e degré; savoir: le 
parallélogramme réduit de Watt, le mécanisme d' Evans et le parallélogramme 
que nous avons proposé l'année passée. Les deux premiers parallélogrammes 
fournissent le mouvement rectiligne exact jusqu'au 5-e degré; le derniet* 
jusqu'au 6-e degré. 

Dans le troisième groupe des valeurs pour m et n -t- v on a. 

m = 5, n-i-v:=7j 

et d'après (2) pour m = 5 on trouve 

^>0,^;<^^ = 4, 

D'où il est clair que v, le nombre des pivots fixes, ne peut avoir que 
les valeurs suivantes: 

v==l, v = 2, v=3. 

Mais d'après l'équation 

n-t-v = 7 



89 — 



on trouve qu'à ces valeurs de v correspondent les valeurs suivantes de la 
quantité n: 

n = 6, n = 5, w = 4. 

Les premières valeurs de v et de w 

v= l, n = 6 

correspondent au cas, lorsque les 5 droites sont liées par 6 charnières et 
tournent autour d'un point fixe, situé sur l'une d'elles. Ainsi ces droites 
représentent un système invariable et tous leurs points ne peuvent décrire 
que des cercles. 
Pour 

v = 2, n:= 5 

on trouve des parallélogrammes qui consistent en deux droites, qui pivotent 
sur des points fixes et sont articulées avec les trois autres droites à l'aide 
de 5 joints; ainsi sont construits le parallélogramme de Watt et le parallé- 
logramme que nous avons proposé sous le nom du parallélogramme modifié 
de Watt*). Le premier de ces parallélogrammes fournit le mouvement recti- 
ligne exact jusqu'au 5-e degré, le second — jusqu'au 7-e degré. 

En conservant la même combinaison des pièces comme celle du paral- 
lélogramme de Watt, mais en leur don- 
nant une autre direction on trouve le pa- 
rallélogramme que nous avons mentionné 
à la fin de notre mémoire portant le titre 
«Sur un mécanisme» **). Si l'on donne aux 
organes du dit parallélogramme des dimen- 
sions convenables, il fournira le mouve- 
ment rectiligne exact jusqu'au 6-e degré. 
Si l'on combine les organes de la même 
manière comme dans le parallélogramme 
modifié de Watt, mais en changeant leur 
direction, on trouve le parallélogramme 
représenté sur la fig. 1. Ce parallélo- 
gramme, comme il n'est pas difficile de 
le montrer, peut produire le mouvement 
rectiligne exact jusqu'au 6-e degré; pour 
cela les dimensions de ses organes doivent 
être évaluées de la manière suivante. 

Si l'on prend pour unité des longueurs celle de la droite BG pivotant 



Fig. 1. 




*) T. I, pag. 533 — 538. 
**)T. II, pag. 51 — 57. 



— 90 — 

sur le point Cet si l'on pose GF=f, BF^=h (la longueur de ces droites 
est arbitraire), on trouve pour toutes les autres parties du parallélogramme 
et pour le point A, situé sur la droite AF et exécutant le mouvement désiré, 
les formules suivantes : 

• ., r7>_ a-/)(i-/^) . 

^-''' ■ ■■• '■ • ■ ■ jpp'_ {^-fVii-*-f) T. .'■:.^ :;. . 



/(i -/) 



On choisit la position du point (7', pivot de la droite G'E, de telle 
manière que dans ,1a position moyenne du parallélogramme la droite DE 
se confonde avec la droite CD et le pentagone EDBFG dégénère en un 
rectangle. 

§ 4. Passons maintenant aux dernières valeurs de v et de w, possibles 
pour 

wï = 5. 

Ces valeurs sont 

?;== 3, ?l=: 4, 

elles donnent, comme on va voir, des parallélogrammes particulièrement 
remarquables par la précision de leur jeu. Comme v = ^, il y a dans ces 
parallélogrammes trois droites pivotant sur des points fixes; toutes ces droi- 
tes doivent être liées entre elles à l'aide de deux autres droites; donc ce 
n'est possible que dans le cas où du moins l'une des deux droites qui unis- 
sent les autres est immédiatement articulée avec deux droites pivotant sur 
les points fixes; ces deux droites qui pivotent sur les points fixes et la droite 
qui les unit nous désignerons pour plus de brièveté par l'expression: la 
première partie du parallélogramme; quant aux autres droites, celle qui 
tourne autour d'un point fixe et celle qui unit cette dernière avec la pre- 
mière partie, elles seront désignées par l'expression: la seconde partie du 
parallélogramme. 

Le parallélogramme dont nous avons parlé dans la séance de la société 
mathématique de Moscou le 18 novembre 1867 appartient à la catégorie 
des parallélogrammes mentionnés. Sa première partie est le parallélogramme 
réduit de Watt; sa seconde partie est ainsi construite que dans la position 
moyenne du parallélogramme les trois droites qui pivotent sur les points fixes 
deviennent parallèles entre elles, tandis que les deux droites qui les unis- 



91 



Fig. 2 



sent se confondent en une seule, perpendiculaire aux premières. Ce parallé- 
logramme (fig. 2), comme on peut le montrer par des calculs, fournit le 
mouvement rectiligne exact jusqu'au 8-e degré, si dans les dimensions de ses 
organes sont remplies les conditions 
suivantes : 

1 ) Toutes les trois droites BC\ 
C'D, G"Eqm pivétent sur les points 
fixes C, C^V G" doivent être égales. 

2) Les (Jistances du point À, 
exécutant le mouvement désiré aux 
bouts F, E du segment FE doivent 
avoir des grandeurs suivantes: 




AF=- 



§ 5. On peut construire beaucoup de parallélogrammes de la dite 
catégorie en variant l'aspect de la première partie et eu donnant aux 
droites de la seconde partie des directions différentes. Pour que les pa- 
rallélogrammes ainsi construits produisent le mouvement rectiligne avec la 
précision désirée, il faut que leurs organes satisfassent aux certaines équa- 
tions qu'on trouve facilement pour chaque cas particulier. Mais ces équa- 
tions sont assez compliquées et leur nombre augmente avec le degré de 
précision du parallélogramme; c'e?t pourquoi ,1a résolution de ces équations 
présente d'insurmontables difficultés, quand on veut obtenir des parallélo- 
grammes qui se distinguent par la précision particulière de leur jeu. Cette 
difficulté dans la construction des parallélogrammes disparaît, si dans la 
seconde paiiie du parallélogramme la droite qui pivote sur un point fixe et 
la droite qui unit celle-ci avec le reste du parallélogramme satisfont aux 
conditions suivantes: 

1) La seconde droite est deux fois plus longue que la première; elle 
est divisée en deux parties égales par la charnière qui l'unit avec la première. 

2) Un bout de la seconde droite fournit le mouvement voulu, l'autre 
bout est articulé avec le reste du parallélogramme. 

3) Dans la position moyenne du parallélogramme le bout de la seconde 
droite, celui qui exécute le mouvement désiré, coïncide avec le pivot de la 
première droite. 

Quand ces conditions sont remplies par la seconde partie du parallélo- 
gramme, celui-ci produit, comme il n'est pas difficile de s'en convaincre, le 



— 92 — 

mouvement rcctiligne exact jusqu'au degré 2X-h1, si sa première partie 
fournit ce mouvement avec la précision qui va jusqu'au degré X et si la di- 
rection du dit mouvement se confond avec celle des droites de la seconde 
partie du parallélogramme dans sa position moyenne. 

^ , En effet, soient (fig. 3) GB, CD 

<ï>Hr. 3. , / 

et GB y AD les deux positions des 

■^1 droites appartenant à la seconde partie 

I du parallélogramme; la première cor- 

1 respond à la position moyenne du pa- 

i rallélogramme, quand le point A exé- 

^T\ — —SL entant le mouvement voulu coïncide 

vj ^^.^^^^iiril^^^^^^^-^^^' ^^'cc le point G, pivot de la droite GB'; 

çj\^?^^^rr^r:r::^:ZZZ-^ ^0^7 la seconde correspond au moment, 

' quand le point A a décrit l'arc infini- 

ment petit G A et quand le point i), dirigé en son mouvement par la pre- 
mière partie du parallélogramme, a décrit l'arc infiniment petit DIl . 
D'après ce qu'on a dit, la droite GD sera tangente à l'arc DJJ parce que 
cette droite représente la direction du mouvement du point D. 

Unissons les points A avec C, G avec D' par les droites AG^ GD\ éle- 
vons du point G la perpendiculaire GL à la droite GD et des points A^ D' 
abaissons les perpendiculaires Aa.^ D'p sur les droites GL, GD. 
Par hypotlisèe, on a 

AD' = GD = 2GB', 

AB' = B' D'; 

on voit ainsi que l'angle AGD' est droit; mais, comme d'après la construc- 
tion l'angle LGD est aussi droit, les angles AGa.^ D'GD sont égaux; donc 
les triangles rectangles ^Ca, D'GD sont semblables. La similitude de ces 
triangles conduit à l'équation 

A<x ^^ 

AC ~ CD'i 

d'où l'on aura pour Aa, déviation du point A de la droite GL, l'expression 
suivante : 

Du triangle rectangle CZ)'^ on a 

GD'' = G§'-i-i^D'^; 
mais, comme 

Gi^ = GD^'-iD 
et 

GD = AD\ 



— 93 — 



l'expression précédente donnera: 

GlP = (AD' — ^Bf -H ^B'\ 
En apercevant que du triangle rectangle AGB' on a: 
GB'^ = AB'' — AG\ 
on conçoit de cette équation que 

AB'^ — AG' = {AB' — §Bf -+- pZ)'% 
d'où, en ouvrant les parenthèses et en réduisant, on aura 
— AC^= — 2AB' • p7) -H pZ)2 -♦- ^B'\ 

Dans cette équation AB' est une quantité finie, mais les quantités AG, 
PD, (3D' sont infiniment petites et l'ordre d'infiniment petit (31)' est plus haut 
que celui d'infiniment petit ^D, parce que la droite GB est tangente à l'arc 
BB'; donc l'équation précédente suppose que pD est infiniment petit du 
second ordre par rapport à AG. Mais, par hypothèse, (3D' est infiniment 
petit de l'ordre X par rapport à ^B, parce que l'arc BB', décrit par le 
point B, représente la droite GB avec la précision qui va jusqu'au degré X. 
Par conséquent, le segment ^7)' par rapport au segment J(7 sera infiniment 
petit de l'ordre 2X, donc de l'équation trouvée 

on conclut que Aol, déviation du point A de la droite LG, sera par rapport 
à ^(/infiniment petit de l'ordre 2X-i-l. 

§ 6. En se basant sur ce qu'on vient de 
démontrer, on peut très facilement augmenter 
la précision des parallélogrammes en y ajou- 
tant le système des deux droites dont on a 
parlé auparavant. Ainsi, du parallélogramme 
réduit de Watt qui produit le mouvement 
rectiligne exact jusqu'au 5-e degré on passe 
à celui qui est représenté sur la fig. 4; ce 
dernier, si les conditions posées en § 5 
sont remplies, fournira le mouvement recti- 
ligne avec la précision qui va jusqu'au 11-e 
degré. Ce parallélogramme consiste en trois 
droites BG, B'G', B"G" qui pivotent sur 
les points fixes (7, C, C", et en deux droites 
articulées avec celles-ci à l'aide des trois joints J5, B', B"; le bout A de la 
droite AB exécute le mouvement voulu. Exactement de la même manière 
on passe du mécanisme d'Evans, produisant le mouvement rectiligne exact 




94 



jusqu'au 5-e degré, au parallélogramme qui est représenté sur la fig. 5 et qui 
peut fournir le mouvement rectiligne exact aussi 
jusqu'au 11-e degré. Ce parallélogramme présente 
les mêmes organes que le précédent; la différence 
ne se manifeste que dans la position des points 
fixes 0', G'\ sur lesquels pivotent les droites 
B'G\ B"G" et dans la position du joint I) unis- 
(jn SJ_\ gj^Qt igg droites AD et B'B". On a vu au § 3 




qu'avec les mêmes pièces que ceux du parallélo- 
gramme réduit de Watt et du mécanisme d'Evans 
on peut composer le parallélogramme dont la 
précision ira jusqu'au 6-e degré. Si l'on ajoute 
à ce parallélogramme les deux droites satisfaisant 
aux conditions qu'on a exposées dans le para- 
graphe précédent, on aura le parallélogramme qui fournira le mouvement 
rectiligne exact jusqu'au 13-e degré. Le parallélogramme ainsi construit 
est représenté sur la fig. G. Il consiste aussi 
en cinq droites dont les trois BC\ B'O', B"G" 
pivotent sur les points fixes C, C', G'\ et les 
"deux autres B'B'\ AD sont liées avec les 
premières à l'aide des trois charnières B, 
B\ B". Le mouvement en question est 
fourni par le bout libre de la droite AD. 
Ce parallélogramme ne diffère du premier 
de ceux qu'on a décrits que par la position 
des points fixes C', G'\ sur lesquels pivotent 
les droites B'G\ B"G\ 
Le parallélogramme mentionné produit le mouvement rectiligne avec 
la précision qui va jusqu'au 13-e degré; donc d'après § 5, si l'on le combine 
avec deux autres droites, on peut construire un parallélogramme fonction- 
nant avec la précision qui ira jusqu'au 27-e degré; en y ajoutant encore 
deux droites on augmente le degré de la précision jusqu'à 55 etc. Mais, 
comme nous regardons la précision qui va jusqu'au 13-e degré comme tout 
à fait suffisante pour la pratique, nous nous arrêterons au dernier des paral- 
lélogrammes mentionnés et nous n'examinerons pas les parallélogrammes 
plus compliqués. 

§ 7. Comme le degré de précision, avec laquelle ce parallélogramme 
fournit le mouvement rectiligne est poussé si loin, le segment de la droite 
produit par le mécanisme considéré, avec la précision suffisante pour la pra- 
tique, peut avoir la longueur assez considérable relativement aux dimensions 




— 95 — 




des organes du parallélogramme. Si l'on garde la longueur des droites ÂBt 
BG, mais si l'on augmente la longueur de la 
trajectoire du point A en haut et en bas du point 
G (fig. 7), on parviendra à ce que la droite BG 
exécute un demi-tour au côte droit de la droite 
LM qui passe par le point G et qui est perpen- 
diculaire à la droite G'G". Si, d'ailleurs, on mo- 
difie les positions des points G', G" en les dispo- 
sant symétriquement des deux côtés de la droite 
LM (fig. 8), toutes les positions du parallélo- 
gramme seront symétriques par rapport à la même 
droite LM. Donc à une oscillation du point A 

entre les limites extrêmes dont ou a parlé tout à l'heure correspondront éga- 
lement et le demi-tour du segment BG au côté droit de la ligne LM, et le 
demi-tour du segment BG au côté 
gauche de LM. Par conséquent, les 
points G\ G", pivots des droites B'G\ 
B"G'\ étant ainsi disposés, à la révo- 
lution complète de la droite BG autour 
du point G correspondra l'oscillation 
du point A d'une limite extrême à 
l'autre et le retour de ce point à sa 
première position. Le degré de préci- 
sion que possèdent les parallélogram- 
mes de l'espèce considérée est poussé 
si loin qu'il devient possible de faire 
suffisamment approchée de la ligne 
droite toute la trajectoire décrite par 

le point A pendant la révolution complète du segment ^(7 autour du point G. 
On atteint ce but, comme le montrent les calculs, si l'on donne aux organes 
du parallélogramme les dimensions évaluées comme il suit: 

«On prend pour unité des longueurs celle des droites B'G\ B"G" qui 
pivotent sur les points G', G"; alors la longueur a de la droite B'B" liée 
avec celles-ci et la distance b entre les points G\ G" s'exprimeront ainsi: 

(3) 




(4) 



b = - 






15 
-64^ 



3_.)|/i_i-o 



1-^1/4 



15 
-64' 



3-0) j/l 



— 96 — 

où a est le sinus-versus de l'angle de rinclinaisou de la droite B'B" sur la 
droite G'C" dans la position extrême du parallélogramme; les segments CJ5, 
AB^ BD et AB sont définis par l'équation: 

(5) BC=AB = BD = ^ = \ l, 

où / est égal à la longueur du pas du point A, qu'on peut trouver à l'aide 
de la formule 



(6) 

en posant 

(7) 



, ï /(!» + I) (2 - 0) 

' 9À 



n ' 



4 _ (g H- b)2 



Le point B, où la droite B'B" est articulée avec la droite AB, doit 
être pris au milieu du segment B'B"; il faut choisir la position du point C, 
sur lequel pivote la droite BG de manière, que dans la position moyenne 
du parallélogramme, quand les droites B'B" et C'C" deviennent parallèles, 
le point B coïncide avec le point C». 

§ 8. Il n'est pas difficile de montrer que pour le parallélogramme ainsi 
construit les déviations du point A de la droite LM pendant la révolution 
complète du segment BC autour du point C ne surpasseront pas la limite 
suivante : 

où M est la valeur maximum qu'atteignent les fractions 

2n — 2Xo -♦- — — 2Xs — «2 



(X -^ 1 _ s)Mk -*- s)2 ^^A:^ _ s^ (2 _ s)' 

2tJL — 2Xo -+- ~ — 2ls — «2 
2XK(fx-i-s)((^^-s)'(2-5) 

entre s = et s = ff. 

Nous commencerons la démonstration par la recherche des formules 



97 




qui définissent la position du point B (fig. 9) pour les inclinaisons diverses 
de la droite B'B' sur la droite 
G'G" . Ou prend la droite G'G" 
pour l'axe des abscisses, la droite 
LM pour celui des ordonnées et 
le point 0, intersection de ces 
droites, pour l'origine des coor- 
données; alors, comme, d'après ce 
qu'on a dit, les points G\ G" sont 
disposés symétriquement par rap- 
port à la droite LM^ on aura: 

G'O = G"0 
et par conséquent 
G'0=G"0 = ^ G'G"=^ h. 

En prolongeant la droite B'B' jusqu'à son intersection avec l'axe des 
abscisses au point V, ou aperçoit que les coordonnées du point B à l'aide 
des longueurs des segments BV, OV et de l'angle B'VG"=aL s'expriment 
ainsi : 

x=^OV—BV cosa, 

y = BV sin a. 

De l'autre côté on voit que 

B'V=BV-i-BB'; B"V=BV—BB"; 

G'V=OV—OG'; G"F=::OV-^OG"; 

d'où d'après les équations: 

BB' = BB"=^^ B"B'= f; 



on déduit: 



0G' = ^; OG"=jr 



B'V = BV-^~', B"F=:BV—^', 

G'V=OV—^; G"V=OV:-^^; 



mais, comme on a pris pour unité des longueurs celle des droites B G , B G , 
les triangles G'B'V, G'B'V donnent 



i=(i>rH-|)V(oF-^y-2(z)r-.l)(or-|) 

-" '0F-.-Ar_2(DF-f)(0F-.|) 



1= i)F-f 



cos a, 



COS a. 



— 98 — 

En résolvant ces équations par rapport aux quantités DV, OV et en 
posant pour abréger 

1 — cosa = s, 

h 

'a = ^' 
4 — (g -f- b)2 



on trouve 

J)V=^(k-^l- 



■Vf 



-ip 



2k 



— 8) 8{2—s) 



('^'-')'(-» 



En introduisant ces valeurs pour DV et OV dans les expressions déjà 
obtenues pour les coordonnées x et y du point D et en remarquant que 
l'équation 

1 — cos a = s 
donne 

on trouve 



cos a = 1 — s, sin a = Vs (2 — s), 



■)s{2-s) 



^~ 2 y (A -H 1)2 

y:^|-(XH-l-s)l/ ^^j;y 



Ainsi s'expriment les coordonnées du point B à l'aide de sinus-versus 
de l'angle qui mesure l'inclinaison de la droite B'B" sur la droite (7(7". 

§ 9. En abordant la détermination des déviations du point A de la 
droite Lilf, menons du point A la droite Aol perpendiculairement à la 
droite LM: la longueur de cette perpendiculaire représente la déviation du 
point A de la droite LM. Pour déterminer cette longueur abaissons du 
point B la perpendiculaire BB' sur l'axe des abscisses et du point C éri- 
gons la perpendiculaire CP à l'axe des ordonnées; les segments (75, BB' 
seront les coordonnées du point D; donc, d'après les expressions pour x 
et y qu'on a déduites dans le § 8, on aura 

n^ a •|/(f^-^«)s(2-s) 
^ "~2X ' 

^^' = |(^-*-l-^))/(TT^- 



2X -* 



— 99 — 

En annulant dans la dernière de ces expressions la quantité s = l- cos a 
et en remarquant que cela a lieu, lorsque les droites B'B'\ C'C" devien- 
nent parallèles et le point J) d'après le § 7 coïncide avec le point (7, on 
trouve pour la détermination du segment OC la formule suivante: 






oc=f(X-*-i)l/,^,=fy2x^. 



D'ailleurs, en unissant le point G avec B par la droite GB et le point 
A avec G par la droite AG^ on conçoit que d'après l'égalité des segments 

(§7): 

BG=AB = BB, 

l'angle AGB est droit; donc, comme l'angle a (75 est aussi, d'après la con- 
struction, un angle droit, les triangles rectangles AGol^ BGh sont semblables; 
par conséquent: 



ce qui nous donne 


A^ B9 
AC ~ CD ' 


(8) 


A. = Di§^. 



Mais Bh = BB' — B'h et B'l = GO; d'où, en introduisant les valeurs 
trouvées pour (70, BB', on déduit 



J98 = ^(X-4-l-s)l/-j^^9^ |-y2Xit 



2X 

ou, ce qui revient au même: 



En multipliant ici le numérateur et le dénominateur par la somme 



(X -+- 1 — s) Vp. -4- s -+- V]L ((X -+- If— 2Xs) , 
on trouve 

(X -*- 1 - «)2 ((1 -f- 8) — fA ((X -t- 1)2 — 2X«) 



Da = f 



y^-^^ - 5 [(X -.- 1 - .) >/im -*- V,x ((X -*- 1)2 - 2X,)] 



d'oiî, ouvrant les parenthèses du dénominateur, on obtient l'expression 
suivante: 

a s3 -^ (PL - 2X - 2) <2 -*- ((X -+- 1)» - 2ti) 8 



2 



— 100 — 
En introduisant dans les expressions pour les quantités auxiliaires X et ji. 

^ — a ' l^ — 2ab 

les valeurs de a et & trouvées au § 7, on aperçoit que ces quantités 
s'expriment ainsi à l'aide de a: 







1 = 


L-f-l/4 — 2 


3 9 




(^ 


= 4 — 


G-\-2 1/4- 


-^«'-Hàa»; 


donc 














!^ 


— 2X— 2 = 


— ff. 


(9) 











et l'expression trouvée pour D5 se transforme de la manière suivante: 

3 

7)8 =: 



j/^-^r^ - s [(X -,- 1 - s) >^^ -+- s -^ Vl. ((X H- 1)2 - 2Xs)] 

Pour passer au second facteur 



AC 
CD 



de l'expression de Âv. donnée par la formule (8), on aperçoit que AC 
comme cathète du triangle rectangle AGD est égal à 



VAD^ — CD'; 
donc 



AC __ VAD^—CD'^ 
CD ~ CD 



y CD-' 

Mais d'après le § 7 
et d'après la construction 



An = ^ 



CD > (7â, 

Ch = OB' = X, 



Par conséquent, on trouve 



AC . 



fV-'-- 



— 101 — 
d'où en mettant pour x sa valeur trouvée dans le § 8, on aura 



"^.< 



r a«(n-*-s)«{2— s) ^' 



CD 

expression qu'on peut écrire de la manière suivante: 



AG ^ , 



Vs ((A -H S) (2 — S) 



Mais d'après l'équation (6), qui détermine la longueur du pas l, 
l'expression 

s'annule pour s = a, ce qui suppose que cette expression est divisible par la 
différence s — a. En ouvrant ici les parenthèses et en divisant par s — o-, 
on trouve le quotient: 

S^ H- ({1. -4- a 2) s -H (li -+- 0- 2) (T — -^ — 2[X, 

où d'après (9) 

Par conséquent, on peut remplacer cette expression par le produit des 
deux facteurs suivants: 

(a — s)(2i». — 2XaH-^ — 2ls — sA, 
donc l'inégalité déjà trouvée se transforme en celle qui suit: 

y (a — s) (21JI — 2Xo -»- ^- — 2Xs — «2) 



AC ^ 

Vs (fx -*- s) (2 — s) 



CD ^ 



§ 10. La déviation Âoc du point A de la droite LM étant égale au 
produit 



où 



et 



^^•i. 



s^ — as^-t-^0^8 



l/(A^_lI' _ , [^(X H- 1 - s) ViJ^TS -- Vi^ ((X -H 1)2 - 2Xs)] 



AG ^ 



l/(a — s) (2fJi — 2Xa -♦- ^ - 2Xs — sA 

Vs ([i. -H s) (2 - «) 



— 102 — 

On voit que Â<x sera plus petit que le produit de ces deux expressions; 
mais ce produit peut être décomposé en deux facteurs suivants: 







l^' 


3 


02iys(0-S) 




(À 


a 


1 — 


s)Vll-^8-i- 


V!x((X-^-l;2- 


- 2Xs) 




1 2!X— 2Xa 


/2 


s* 



\ 2X 

En s'arrêtant au premier de ces facteurs, on aperçoit que l'expression 

après être élevée au carré, donne 

_[se_3,.'-H^ ,.,._^ ,3,._^105 ^.^,_^9_ ,,^-j^ 

où le polynôme en parenthèses est égal au carré du polynôme 



Q 3 o 9 o 1 '^ 



moins 

322' 

donc cette expression peut être représentée comme il suit: 



D'où l'on conclut que les valeurs numériques de cette expression ne 
surpassent pas la limite 

y 322 32 • 

D'ailleurs on aperçoit que le dénominateur du facteur considéré 



(X -f- 1 — s) Vil. H- s -+- Vil ((X -»- 1)2 — 2Xs) 
est plus grand que la double valeur du plus petit des deux termes 



(X-i-1— s) ~V^-\-s, yp.((X-f-l)2— 2Xs), 



— 103 — 

par conséquent, ce dénominateur sera plus grand que la plus petite des 
deux quantités: 



Mais on a déjà remarqué que le numérateur du facteur considéré ne 
surpasse pas la limite 



donc ce facteur sera plus petit que la plus grande des fractions suivantes: 



03 






32 




o3 


2(k-hl — s)Vii-i-s 


64 (X -H 1 


-s)Vy.-t-s' 


03 

32 




03 



2 yjx((XH-l)2— 2Xs) 64 y,jL ({X -t- 1)» - 2Xs) ' 

par conséquent, son produit par le second facteur 

/2fA-2X0 -4- -V — 2Xs — s2 
_1 ^! 

sera plus petit que le plus grand des produits: 



■ 2{JL-2X<î-t--^-2Xs-52 



64 (X - 



_^ / 2^-2X0-.^- 



((l.^i)^_.)(,.,,_,' 



/ 2^.-2X.-H^- 



64l/^((X-t-l)2-2Xs) 2 y ^(A|l^'_,j(^^s)(2-s) 

qu'on peut réduire comme il suit: 






^2 
2{A— 2X(7 H ;^ — 2Xs — «2 



^)2(^^^'-s)(l*-*-*)M2-s)' 



72 

2|x— 2Xo-*- -^ — 2Xs — 6- 
2Xfx(^-^-^_s)V + s)(2-s) 



— 104 — 

Mais, comme s uc peut avoir que les valeurs entre s = et s = a, la 
plus grande de ces deux quantités ne surpassera pas la limite 

128 ^ -^^^' 

OÙ l'on a désigné par M la valeur maximale qu'atteignent les expressions 

p. 

2(j.— 2Xa -f- — ^ — 2ÀS — s2 



(X-^ 1 _ s)2 (9^:^-s^ (p,^s)2(2_s)' 

l'Z 

2|A— 2Xo -H -^ — 2Xs — s2 

pour les valeurs de s entre s = et s = a; par conséquent, la quantité 
trouvée sera la limite pour les valeurs de Aol, déviation du point A de la 
droite LM, ce qu'il fallait démontrer. 

§ 11. Pour donner un exemple de l'application des formules que nous 
avons déduites et pour montrer en même temps le grand degré de précision, 
avec laquelle le parallélogramme considéré fournit le mouvement rectiligne, 
posons 

(7=1. 

En faisant dans les formules (3) et (4) qui définissent a et & 

(7=1, 



on trouve 






: 0,30992; 



f-Ê-^V 



: 0,76831. 



En mettant ces valeurs par a et h dans les expressions (7) qui déter- 
minent les valeurs des quantités auxiliaires X et [i, on trouve 

^ = ^2 = 2,47902, 



' 0,30992 " 

— (0,30 
2.0,30992.0,76831 



_ 4 -(0,30992-4-0,76831)^ _ . ^r.oQA 
^ — ^ n.snfl99 7fift3i — »5-^^»^4- 



— 105 — 

Pour ces valeurs de X, pi, a et pour ct — 1 la formule (6) qui définit la 
longueur du pas l donne 

l = 0,30992 l/ '-g^rriJ î/- ^ = 0,68099. 



7 (5,95804-1-1). 1.(2 — 1) 
1/ (2,47902 -i- \f _ ■ 
f 2,2,47902 



Pour cette valeur de / les équations (5) nous donnent 



i?C=»^ = 0,17025, 



JB=?£55?_9 = 0,17025, 
BD = ^ = 0,17025, 



JZ) = ^»?? = 0,34049. 



Telles doivent être les dimensions des diverses pièces du parallélo- 
gramme que nous avons décrit, si l'on donne à la quantité a la valeur 1 . 

La déviation du mouvement rectiligne dans ce parallélogramme d'après 
le § 8 sera plus petite que 

— -y M 

128 ' 

OÙ M est la valeur maximale que peuvent atteindre les fractions 

72 
2|X — 2À(J -4- -^ — 2Xs — S2 

o^ 

(X-^l_s)2(f.^s)2(^A±ii'-sj (2-s)' 

^2 

2u, — 2Xo -t- -V — 2Xs — «2 

2lix{i,-^ s) {^^^^ - sj (2- s) 

pour s variant entre et a = 1 . 

En mettant dans les expressions de ces fractions les valeurs de a, a, X, 
IX, l et en s'arrêtant aux deux décimales, on trouve que les fractions consi- 
dérées sont égales à 

11,79 — 4,96 g — s- 

(3,48 — s)2 (5,96 H- s)2 (2,44 — s) (2 — s) » 

11,79 — 4,96 s — s'i 
29,54 (5,96 -+- s) (2,44 — s)2 (2 — s) ' 



— 106 — 

Ces fractions comme il n'est pas difficile d'apercevoir vont en crois- 
sant de s = jusqu'à s = 1; donc entre ces limites leurs valeurs maximales 
correspondent à s = 1 . En faisant 

s=l, 

on trouve que la première fraction s'approche de 0,0136 et la seconde frac- 
tion— de 0,0137. La dernière quantité, comme la plus grande, sera donc la 
valeur maximale que peuvent atteindre les fractions dans l'intervalle entre 
s = et s = 1 ; par conséquent, d'après nos désignations 

ilf= 0,0137. 

Eu mettant cette valeur de M avec les valeurs de a, a dans la formule 

128 ^^^' 

on trouve que les déviations du mouvement parfaitement rectiligne dans le 
cas que nous avons examiné seront plus petites que 

^^^^^ y0,0137 = 0,000283, 

ce qui ne fait pas même 0,00042 de la longueur du pas 1 = 068099, tandis 
que dans le parallélogramme de Watt qui fut l'objet des recherches de Prony 
(Annales des mines T. XII) les déviations surpassent 0,00060 de la longueur 
du pas '•'•). 

D'où l'on conçoit qu'un pareil parallélogramme comme effectuant im- 
médiatement la transformation du mouvement rectiligne alternatif en mou- 
vement circulaire continu peut suppléer dans les machines à vapeur aux 
parallélogrammes employés aujourd'hui ainsi qu'à la bielle avec la manivelle. 
Remarquons pour conclure que dans ce cas le rapport des vitesses se montre 
égal à celui que peut fournir seulement la manivelle de la longueur infi- 
niment grande. 



*) La limite de ces déviations diminue rapidement avec la diminuatiou de o. Ainsi 
4 
pour 0= y, quand a = 0,29533, & = 0,7G415, î = 0,5967G, cette limite est plus petite que 

0,00014; pour o = y, quand a = 0,28648, 6 = 0,76175, l = 0,53716 cette limite est plus petite 
que 0,00007. 



7. 

(TRADUIT PAK G. G. SOUSLODP.) 



& t(;Cunipo6n>c^HOM^ pezi^AJimoprô . 



OiqeTi. II p'tiH, npoH3HeceHHHfl b-b TopacecTsemioMt coôpaain HMnepaTopcKaro 
MocKOBCKaro TexHHiecKaro y^HJinma 8-ro ceHTaôpa 1871 ro^a. 



Du régulateur centrifuge. 



§ 1. On connaît aujourd'hui plusieurs régulateurs centrifuges, dont la 
vitesse de rotation reste la même quelle que soit la position de la douille ou 
du manchon mobile. Mais cette propriété, si importante dans la pratique, 
n'est atteinte qu'en ajoutant de nouveaux organes au régulateur centrifuge 
de Watt au détriment de la simplicité de sa forme primitive. Certainement, 
l'un des moyens les plus simples de rendre isochrone un régulateur consiste 
à le munir d'un ressort, comme l'a fait Foucault pour son appareil; mais 
pour que l'isochronisme fût parfait dans ce cas, il faudrait que l'action du 
ressort suivît, invariablement et avec une rigueur absolue, une loi déter- 
minée, condition qu'on ne saurait réaliser dans la pratique. Quant aux mé- 
canismes qu'on a cherché de rendre isochrones sans l'aide d'un ressort, leur 
complication les exclut de tout emploi utile. Mais s'il est impossible de 
rendre le régulateur de Watt rigoureusement isochrone, en lui conservant 
sa forme primitive, il est, d'ailleurs, facile de remarquer que le degré de 
ses écarts de l'action des régulateurs parfaits dépend de la dimension et de 
la disposition de ses organes. Donc, avant de le compliquer dans le but de 
le rendre plus isochrone (l'isochronisme absolu n'étant pas réalisable en 
pratique) il est nécessaire de déterminer le plus grand degré d'approximation 
à l'isochronisme parfait que peut atteindre le régulateur centrifuge sous sa 
forme la plus simple. Les recherches du genre de celle que nous venons 
d'indiquer se réduisent à une question d'analyse semblable à celle qui se 
présente dans le problème de déterminer !a forme la plus avantageuse du 
parallélogramme de Watt, et elles établissent, comme on va le voir, qu'en 
donnant des dimensions et des dispositions convenables aux différents orga- 
nes du régulateur de Watt on s'approche de l'isochronisme parfait en tel 



Flg. 1. 



— no- 
degré, qu'il est superflu de compliquer encore le mécanisme pour atteindre 
ce but définitivement. Eu efl"et, le degré d'approximation à Fisochronisme 
absolu pour le régulateur de Watt peut être poussé si loin qu'il est douteux 
qu'on puisse obtenir des résultats plus satisfaisants en construisant réelle- 
ment même des appareils parfaitement isochrones. 

§ 2. En considérant le régulateur 
centrifuge de Watt (fig. 1), nous sup- 
poserons que les tiges portant des 
sphères oscillantes sont prolongées au 
delà de leur point d'attache à l'axe 
vertical du régulateur, et qu'elles sont 
articulées par leurs bouts sur les bras 
qui soutiennent le manchon mobile, 
comme cela se fait souvent dans la 
pratique. Pour plus de généralité nous 
ne nous bornerons pas au cas oii les 
tiges sont droites, mais nous les sup- 
poserons brisées et formant un certain 
angle ^. Nous désignerons pour plus 
de brièveté par l'expression: première 
partie de la tige, sa partie supérieure 
et nous prendrons sa longueur pour 
unité. La partie inférieure de la tige 
depuis le point d'attache à l'axe du régulateur jusqu'au centre de la sphère 
oscillante sera désignée par l'expression: seconde partie de la tige, et sa lon- 
gueur sera r. Nous noterons o la vitesse angulaire de rotation, en général, 
et sa valeur normale dite de régime par Oq. L'angle d'inclinaison de la pre- 
mière partie de la tige sur l'axe vertical du régulateur pour sa vitesse de 
rotation normale Oq sera désigné par cp, et sa valeur pour toute autre vi- 
tesse o sera 9 -+- a, de façon que a sera la mesure de la variation de cet 
angle pour tout écart de la vitesse « de sa valeur de régime Oq. 

Si l'on forme d'après le principe des vitesses virtuelles l'équation 
d'équilibre entre la force de gravité, agissant constamment sur le manchon 
mobile et sur les sphères oscillantes, et la force centrifuge développée par 
leur rotation avec la vitesse o, on obtient l'équation que voici: 

^ [^ *7rai=b)] ^"' (î *«)= 2'- [>-7'-<=«^ (+-'-«)] ^'"('i'-^-»'' 




où l'on a pris pour unité de poids celui d'une des sphères oscillantes et où 
P est le poids du manchon, m étant la longueur des bras. 



— 111 — 

En tirant de cette équation la valeur de o^, on trouve : 

[, cos (cp -t- a) n . 
^~^ V 2 ■ •>/ T sm(9-i-a)P-2r3in(^-cp- 
___ rm^ — sm^(y-t-a) J 



2 — sin (4^ — 9 — a) cos (<|^ — 9 — a) 

En divisant par (si^^ on aura 

r, cos (9 -*- a) 1 . , 2r 
1 -•- , siQ (cp -f- Qc) — sin («L — m — a) 

-^8in2(4>-?-a) 

OU bien 

1, cos (9 -I- a) I . , 

_«f L vm^ — siii'^ (9 -+- g) J 

«0* ~ S sin 2 (-J^ — 9 — a) ' 

en posant 

0) ^=4 ^ = B. 



Or, comme par hypothèse 



a = 



pour 

il est clair que la fonction 

[, cos (9 H- a) ~] . , . j . ,, 

^ "*" ,/ 9 ■ ,/ =^ ^^"^ (9 H- a) - ^ sm (4^ — 9 - a 
y m2 — 8m2 (9 -+- a) J 



'^ ^ JS sin 2 («^ - 9 — a) 

deviendra 1 pour a = 0. 

Mais l'isochronisme parfait du régulateur n'est atteint, comme on a 
vu, qu'à la condition que la vitesse angulaire o conserve toujours sa valeur 
«0 quelle que soit la position du manclion mobile et, par conséquent, quelle 
que soit la valeur de l'angle a qui détermine cette position; la fonction (2) 
devient alors nécessairement égale à l'unité. Or, quoique cette fonction ne 
satisfasse rigoureusement à cette condition pour aucune valeur des con- 
stantes 

Â, B, m, ^, 9, 

qui entrent dans son expression, néanmoins, par un choix convenable de ces 
valeurs ses écarts de l'unité peuvent être rendus très petits pour toutes les 
valeurs de a usitées en pratique. Par conséquent, le régulateur centrifuge, 
dont les paramètres A, B, m, ^ et a^ auront ces valeurs, différera très peu 
d'un régulateur rigoureusement isochrone. 



— 112 — 

§ 3. Quand on détermine les paramètres d'une fonction donnée de 
façon à rendre minima ses écarts d'une valeur constante quelconque pour 
toutes les valeurs possibles que puisse prendre, entre certaines limites, la 
variable indépendante, il faut distinguer deux cas: P quand ces limites 
sont infiniment rapprochées entre elles; 2" quand leur différence est une 
quantité finie, plus ou moins considérable. Les valeurs des paramètres, obte- 
nues dans la première hypothèse, comme nous l'avons fait voir dans notre 
mémoire intitulé: Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélo- 
grammes *) offrent une première approximation et permettent d'obtenir fa- 
cilement leurs valeurs plus exactes, dans la seconde hypothèse, par une 
méthode exposée dans ce mémoire. 

En nous arrêtant au premier cas, où les limites de a sont infiniment 
rapprochées et, par conséquent, diffèrent peu de zéro, nous remarquerons 
que le degré d'approximation de l'expression 

[, cos (<p -H a) ~1 • , , A ' n ^ 

1 -I ^r^==^===: 8in ((a -\-a.) — A sm (J> — œ — a) 
/ot2 — siD2(y-f-a)J 

i^ sia 2 (4* — cp — a) 

à l'unité est déterminé par la plus petite puissance de a dans le développe- 
ment de la différence: 



r, cos (p H- a) n . 

1 -4- sin (? 

|_ y «(2 — siu2 (9 -i- a) J 



-H a) — J. sin (4< — 9 — a) 

-— 1 



JS sin 2 (4» — cp — a) 

suivant les puissances ascendantes de a. 

En développant cette différence en série suivant les puissances de a 
et en égalant à zéro les coefficients de 

a'', a, a^, a^, a*, 

on obtient cinq équations qui devront être satisfaites pour que la plus petite 
puissance de a dans ce développement soit 5, ce qui est l'approximation 
maximum de la fonction (2) de l'unité, car ces cinq équations nous don- 
neront les valeurs de tous les cinq paramètres qui entrent dans l'expression 
de cette fonction. 

La solution des équations ainsi obtenues nous a fourni les valeurs 
suivantes pour A^ B, m, ^, cp, à savoir: 

^ = 0,84713, 
^=0,65616, 



*)T. I, pag. 111- 



— 113 — 

w=l, 31271, 
tl^ = 119°10', 
(p= 58°46'. 

En mettant ces valeurs dans la formule (2), nous obtenons une expres- 
sion qui ne différera de l'unité que par des termes contenant a à la cinquième 
puissance et à des puissances supérieures à 5; donc cette fonction pour les 
valeurs de a peu sensibles (comme c'est toujours le cas en pratique) restera 
toujours peu différente de l'unité. En effet, si l'on calcule la valeur de la 
dite expression pour différents a, on trouve que la différence entre la fonction 
(2) et l'unité n'atteint la valeur de 0,001 que pour a=14°40' et ne 
s'abaisse jusqu'à — 0,001 que pour a = — 13°50', tandis qu'à mesure 
que la valeur numérique de a devient plus petite, cette différence diminue 
très rapidement, c'est-à-dire à peu près comme la cinquième puissance de a. 

D'autre part, en calculant *) l'élévation du manchon pour 

a=14°40', a = — 13°50', 

on trouve qu'il s'élève de 0,62 de la longueur de la première partie du 
bras, que nous avons prise pour unité, pendant que a varie de 14°40'jusqu'à 
— 13°50'. Mais au fur et à mesure que ces valeurs limites de a se rap- 
prochent, la hauteur de l'élévation du manchon diminuera presque propor- 
tionnellement à la première puissance de a, comme on peut le montrer par 
des calculs. Il en résulte que si l'on donne aux différentes parties du régula- 
teur de Watt les dimensions et les dispositions pour lesquelles le rapport ^, 
devient égal à l'expression trouvée, on rendra ce mécanisme très peu diffé- 
rent d'un régulateur parfaitement isochrone, car dans ce cas,* comme on 
vient de le voir, le rapport ^ restera toujours entre l-*-0,001 et 1—0,001 
pour toutes les positions du manchon sur la longueur de 0,62, et par suite 
la différence o) — w^ sera comprise entre —^ et — — ^ . Mais si l'on 
diminue la portée des déplacements du manchon de 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 de 
sa valeur première, les limites de la différence o — «o diminueront pro- 
portionnellement à 

0,9^; 0,85; o,7^ 0,6^, 

donc elles seront réduites aux valeurs: 

dt0,00029oo; ±0,00016oo; ±0,00008oo; =»= 0,00004oo. 

§ 4. Quoique les limites trouvées pour les écarts de la vitesse angu- 
laire G) de sa valeur de régime % soient assez rapprochées, néanmoins on 



*) Par l'expression cos (cp -♦- a) -h Vm- — sin^ (9 -t- a). 



— 114 — 

peut encore les restreindre et même considérablement. Ces limites, comme 
on vient de voir, correspondent au cas, où l'on détermine les paramètres 
qui entrent dans l'expression (2), en supposant que la variable a est infini- 
ment petite. Quand on passe du cas, où a reste infiniment petit, à celui, où a 
diffère de zéro par une quantité finie, mais peu sensible, on est en état, à 
l'aide des méthodes exposées par nous dans le mémoire mentionné, de 
rendre ces limites 2"^ =: 1 6 fois plus petites. Mais comme les valeurs trou- 
vées pour les quantités A, B, m, ^, cp fournissent l'approximation tout-à- 
fait suffisante pour la pratique, nous ne nous arrêterons pas à l'évaluation 
des paramètres qui donnent l'approximation encore plus grande. Remarquons 
seulement, que pour les valeurs de 

A, B, m, ^, 9, 
ainsi trouvées, la différence 

[cos (ç -♦- a) I . , V i • / 1 \ 
1 -f- ^ sm (cp -+- a) — ^ sin (<]> — 9 — a) 
Vm^ — 3in2 (g) -+- g) J ^ 

«o^ "~ -^ ~" 1? sin 2 (<j> - 9 - a) 

s"annule pour cinq valeurs différentes de a; par conséquent, cinq positions 
différentes du manchon mobile correspondront à une même vitesse angu- 
laire «o- Quant aux valeurs des paramètres 

A, B, m, cp, tj>, 

pour lesquelles à chaque vitesse angulaire ne correspond qu'une seule posi- 
tion du manchon, on peut les trouver par la méthode exposée par nous 
dans le mémoire mentionné, seulement on doit ici au polynôme qui diffère de 
zéro le moins possible sans restrictions suppléer le polynôme qui diffère de 
zéro le moins possible en croissant continuellement, ou en décroissant. Si l'on 
détermine les différents polynômes qui satisfont à cette condition, on trouve 
que celui qui est nécessaire pour le cas présent peut être représenté par la 
formule: 



(a-ïi:pj-i<îl^(a. 



*-«oV . 5 (ai — gp)* (^ «i-»-«o \ 

OÙ l'on a désigné par a^, ca^ les limites des valeurs de la variable a pour 
lesquelles le polynôme inconnu 

a^ -♦- aa* h- ba? -+■ c^ -*- rfa -*- e, 

diffère de zéro le moins possible en continuant toujours à croître ou à 
décroître; à l'aide de ce polynôme les limites qu'on a trouvées dans le § 3 
pour des écarts de l'expression (2) de l'unité, peuvent être diminuées dans 
le rapport 4:9. 



— 115 — 

§ 5. En se bornant à la première approximation, on aura d'après le § 3: 

^ = 0,84713, 
5=0,65616, 
m=l, 31271, 
tjj = 119°10', 

cp == 58°46', 



oii d'après (1) 




(3) A=^, 


B^^4f. 


De ces équations on tire 




A V 


p_ 4B 9 . 

^— A^ 0)o25 



en mettant pour ^ et 5 les valeurs trouvées, on obtient: 

r=l,54906 f-^; P== 3,65719 ^,. 

Nous avons ainsi tout ce qu'il faut pour déterminer les dimensions de 
toutes les pièces du régulateur. 
Supposons, par exemple 

-^' = 9 

les formules ci-dessus nous donnent 

r= 1,72115; P=: 4,06355. 

Si l'on fait une épure du régulateur centrifuge conformément aux va- 
leurs trouvées r, m, <);, on apercevra que cet appareil aura la forme repré- 
sentée sur la fig. 2, où CD et CE sont ce que nous avons nommé les pre- 
mières parties des tiges; leur longueur est prise pour unité (§ 2); AG et BG 
sont les secondes parties des tiges, dont la longueur r est égale pour notre 
exemple à 1,72115; DF, EF sont les bras soutenant la douille F; leuj- lon- 
gueur est constamment égale à 1,31271; les angles ^C£J, 5(72) formés pas les 
premières et les secondes parties des tiges ont chacun 119°10'. Quant aux 
angles FCZ), EGF qui mesurent l'inclinaison des premières parties des tiges 
sur l'axe du régulateur, ils aui'ont chacun 58°46' pour la vitesse normale 
de rotation du mécanisme. 

Le régulateur centrifuge ainsi composé aura ses tiges dirigées en haut, 
comme cela se voit sur la figure 2; les centres de ses sphères oscillantes se 



— 116 — 

trouveront élevés au dessus des points d'attache des tiges à l'axe du régula- 
teur. En outre ce mécanisme se distinguera du régulateur de Watt dans sa 
forme habituelle par le poids P de la douille qui sera toujours plus con- 
sidérable que celui des sphères oscillantes. Ainsi dans notre exemple 
P=4, 06355; donc le manchon sera plus de 4 fois plus lourd qu'une sphère. 

Fig. 2. 




Remarquons encore que les secondes parties des tiges doivent être recour- 
bées (comme cela est indiqué sur la figure 3) pour que leur mouvement 
n'entrave pas le jeu des premières parties des tiges. En recourbant ainsi les 
tiges il faut observer que les centres des sphères doivent être rigoureuse- 
ment à la distance r du point G et que l'angle entre les premières et les 
secondes parties des tiges doit être égal à 11 9° 10'. 

§ 6. Jusqu'à présent nous n'avons pas examiné l'action des masses des 
tiges et des bras, comme c'est toujours l'usage dans la théorie des régula- 
teurs centrifuges; mais, ayant en vue un si grand degré d'approximation à 
l'isochronisme, nous ne pouvons pas nous dispenser de considérer l'influence 
de ces parties du mécanisme. En introduisant dans l'équation de l'équilibre 
l'action de la pesanteur et de la force centrifuge sur les particules des tiges 
et des bras, on trouve pour le rapport -^ une expression qu'on peut mettre 
sous la forme (2) du § 2, si seulement la distribution des masses dans les 
tiges et les bras satisfait à une certaine condition. Il n'est pas difficile de 
donner à cette condition une expression analytique tout-à-fait rigoureuse, 
mais pour les besoins de la pratique, à cause de cette circonstance que les 
masses des tiges et des bras sont peu sensibles relativement à celles des 
sphères oscillantes, elle peut être exprimée avec la précision suffisante 
comme il suit: 



— 117 — 

«Si l'on donne au bras EF (fig. 3) séparé du manchon F une telle di- 
rection que la projection de son bout F sur le plan du régulateur*) coïncide 

Fig. 3. 




avec le point (7, il faut que le moment d'inertie de la tige entière ACE 
avec le bras EF qui y est attaché soit le même relativement aux deux 
plans qui sont perpendiculaires au plan du régulateur et qui font avec la 
droite AC au point A les angles égaux chacun à |-». 

Quand chacune des deux tiges avec le bras qui y est attaché satisfait 
à la condition exposée et quand leurs masses sont peu sensibles relativement 
à celles des sphères oscillantes, on peut mettre l'expression pour le rap- 
port ^ sous la forme (2) avec la précision tout-à-fait suffisante pour la 
pratique, si l'on pose: 

9 = Z AGE -f- arcsin ^^^"^^^^ ', 



(4) 






9 



-iP-*-Pi) W--K'} , 



où p est le poids d'une tige; ^^ — celui d'un bras; p est la distance entre le 
centre de gravité d'un bras et son point d'attache au manchon; X et T" 



*) Le plan qui passe par l'axe du régulateur et par les centres des sphères oscillantes 
s'appelle le plan du régulateur. 



— lis- 
sent les coordonnées du centre de gravité; Ç, y; — les bras d'inertie *) rela- 
tivement aux plans yz, zx d'une tige avec le bras correspondant, quand 
celui-ci a pris la direction indiquée. On prend pour l'axe des x la droite AG; 
l'axe des y est une droite perpendiculaire à la première et située sur le 
plan du régulateur; l'axe des z est perpendiculaire à ce dernier plan (fig. 3). 
Par r on a désigné la distance entre le centre A et le point G. 
L'angle AGE mesure l'inclinaison de ce segment sur la première partie de 
la tige AGE. Ainsi, après avoir considéré l'action des masses des tiges et 
des bras, on peut mettre l'expression pour la quantité ~ sous la forme pré- 
cédente (2) et l'on construira un régulateur qui même sous l'action de ces 
masses différera très peu d'un appareil rigoureusement isochrone, si l'on 
donne aux paramètres 

A, B, m, ijj, 9, 

les valeurs trouvées au § 2. En mettant ces valeurs pour -4, 5, «^ dans les 
formules (4), on aura les trois équations suivantes: 

Z ^(7^H-arcsm ^i|^^^= 119^10' 



(5) 



^^"-'^^;'"^^^^ =: 0,84713, 



qui remplaceront celles du § 5. Quant aux quantités m et cp, elles resteront 
les mêmes. 

§ 7. Pour donner un exemple et pour montrer, comment on doit faire 
l'application des formules déduites, supposons qu'on a besoin de construire 
un régulateur centrifuge, pour lequel 

^' = 0,9. 
g ' 

Nous avons pris partout pour unité des longueurs celle de la première 
partie de la tige; donc g^ l'accélération de la pesanteur, sera un nombre 
plus ou moins grand dépendant de la longueur du segment pris pour unité. 
Par conséquent, on peut toujours choisir la longueur de ce segment de ma- 
nière que le rapport 



*) C'est à dire les quantités l/ïi!4iltl^^i±iil , l/^i^^^ 



yî'M^- 



où l'on a désigné par Mi, M^;.. . les masses des particulea.de la tige avec le bras correspon- 
dant et par aîi, 2/i, ^'i, «2, ^2» '2> • • • les coordonnées des particules Mi, M2, ... 



119 — 



prendra la valeur 0,9 indépendammeut des valeurs que prennent la vitesse 
angulaire coo et l'accélération g. 

En commençant l'évaluation des diverses parties du régulateur, nous 
négligeons d'abord, dans la première approximation, l'influence des masses 
des tiges et des bras; donc dans les formules (5) on peut poser 



Or pour ces valeurs de i 
on tire les résultats suivants: 



p = 0, i;, = 0. 

', de 2?i et pour ^' = 0,9 des expressions (5) 



Fig. 4. 



L ^CJ^=119°10', 

^=0,84713, 

0,9- ■|- = 0,65616. 

La solution des deux dernières équations nous donne: 

P= 4,063, 

r = 1,721. 

F est le poids de la douille, si l'on a pris pour unité des poids celui 
d'une sphère oscillante; par r est dé- 
signée la distance entre le centre de 
la sphère et le point d'attache de la 
tige à l'axe du régulateur. 

Pour évaluer ces quantités plus 
exactement, cherchons la position ap- 
proximative du centre de la sphère 
relativement à la première partie de 
la tige, position qui correspond aux 
valeurs déjà trouvées pour r et pour 
l'angle EGA. Prenons donc une droite 
quelconque EC pour la première partie 
de la tige et sa longueur pour unité; me- 
nons (fig. 4) une droite AC inclinée sur 
celle-ci sous l'angle ^C£'= 119° 10' 
et faisons 

AC=r=\,12l. 

Le point A sera la position du 
centre de la sphère dans la première 
approximation; le point G indiquera la position du point d'attache de la tige 




~ 120- 



Fig. 5. 



à l'axe du régulateur, et toute la ligne brisée AGE sera située au plan du 
régulateur. En menant du point A les deux droites AG, AG^ qui font avec 
la droite .-1(7 les angles GAG, GAG^, ayant chacun 45°, et eu construisant 
sur ces droites les deux plans P, Pj, perpendiculaires au plan du régula- 
teur, on trouve les deux plans du § 6: relativement à ces plans doivent être 
égaux les moments d'inertie de la tige avec le bras qui y est attaché et qui 
a pris une telle direction que la projection de son bout libre sur le plan du 
régulateur coïncide avec le point G. Ainsi tout le bras sera situé, évidem- 
ment, plus près du plan P que du plan I\, et la même chose aura lieu 
pour EG, la première partie de la tige. Donc l'égalité déjà mentionnée des 
moments ne peut subsister qu'au cas où il y a sur la seconde partie de la 
tige des points situés plus près du plan P^ que du plan P, mais alors cette 
partie de la tige doit être menée en bas au delà de la droite AG, car, les 
angles GAG et GAG^^ étant égaux, tous les points de cette droite sont équi- 
distants des plans P et P^. D'où il est clair que la courbure des tiges (fig. 3), 
qui leur donne la possibilité de se mouvoir librement, est en même temps 
nécessaire pour qu'on puisse satisfaire à la dite condition de l'égalité des 
moments tout en laissant droits les bras et les premières parties des tiges. 

Au fur et à mesure que les points de 
la seconde partie de la tige s'abaissent 
au delà de la droite AG la différence 
de leurs moments d'inertie relative- 
ment aux plans P et P^ augmente con- 
stamment, donc après quelques tâtonne- 
ments successifs il ne sera pas difficile 
de donner à ces points une telle po- 
sition que l'égalité pour les moments 
d'inertie de toute la tige avec le bras 
soit atteinte. Evidemment, nous pou- 
vons arriver à ce but en donnant à la 
tige des formes différentes. Ainsi, en 
supposant que le fil central de la tige 
(fig. 5) consiste en deux droites Cm, 
An, unies par l'arc mn du cercle qui 
les touche, et en laissant droites les 
premières parties des tiges avec les 
bras, nous avons trouvé que lorsque 
les sphères oscillantes ont au diamètre 
0,8, l'égalité des moments est assurée, si l'on a observé les conditions 
suivantes: 




a, 



— 121 — 

1) L'angle ECm que font au point G les fils centraux de la première 
et de la seconde partie de la tige a 198°; la longueur du fil droit Cm est 
égale à 0,5; le rayon de l'arc mn est égal à 0,6. 

2) La seconde partie de la tige GmnA, là où elle reste droite, doit 
avoir la largeur égale à une certaine quantité constante X. Mais la largeur 
de la partie recourbée de la tige va en croissant du commencement de la 
courbure jusqu'au milieu où cette largeur devient égale à -|- X; après quoi 
elle commence à décroître et à la fin de la courbure revient à sa valeur 
première X. La loi de la variation qu'éprouve la largeur de cette partie de 
la tige est telle que les fils extérieurs sont représentés par le arcs des cercles. 

3) La largeur de la première partie de la tige près du point G est 
égale à X; mais dans la direction vers le bout E cette largeur diminue uni- 
formément et au point E devient égale à -^ ^• 

4) Sur toute l'étendue de la tige l'épaisseur reste constamment égale 
à une quantité quelconque [jl. 

5) La surface des sections des bras reste sur toute leur étendue égale 
à 0,52 Xix. 

6) La charnière qui sert à joindre la tige au bras (par cette expression 
on désigne tout ce qui est situé à l'endroit où la tige et le bras se touchent, 
et qui surpasse les limites prescrites pour la longueur, la largeur, l'épais- 
seur des tiges ou la surface de leurs sections) renferme 0,13 Xjx de nos 
unités cubiques. 

Quand nous avons parlé de la figure du fil central CnmA de la seconde 
partie de la tige, nous n'avons rien dit de la longueur de l'arc mn et du 
segment nA, parce que la longueur de ces lignes est définie par cette cir- 
constance que la droite An représente une tangente à l'arc mn, menée du 
point A. Quant aux cercles qui définissent la figure des fils extérieurs de la 
partie recourbée de la tige on peut les déterminer facilement, si l'on con- 
naît la largeur de cette partie à ses deux bouts et au milieu, comme nous le 
montrerons plus loin (§ 9). 

Remarquons encore que les proéminences et les échancrures des tiges 
près de G, leur point d'attache à l'axe du régulateur, n'influencent pas con- 
sidérablement l'égalité des moments, dont nous nous occupons, car en cet 
endroit pour chaque point la difî'érence des distances aux plans P et P^ est 
peu sensible. On peut dire la même chose de ce bout du bras qui est arti- 
culé avec la douille, parce que l'égalité des moments ne doit subsister qu'au 
cas où la projection du bout considéré sur le plan de la figure coïncide avec 
le point G, ce qui suppose l'égalité de ses distances aux plans P et P^. 

§ 8. Si l'on s'arrête au cas, où les tiges, les bras et les charnières qui 
les joignent sont construits conformément à ce qui était dit, et si l'on évalue 



— 122 — 

dans cette hypothèse les quantités p, i\, Y, ^, t), p qui entrent dans les for- 
mules (5), on trouve 

p =13,8X[i., X= 0,292, 

;;,= 2,5X11., r= 0,205, 
^2_ç2_0,044, ? = ^. 

Ici l'on a pris pour unité des poids celui de la sphère oscillante; dans 
le cas considéré, cette sphère a, comme nous l'avons vu, le diamètre égal à 
0,8 et, par hypothèse, est faite de la même matière que les tiges, les bras 
et les charnières. 

En mettant les valeurs trouvées dans les expressions (5) et en substi- 
tuant au rapport — sa valeur 0,9, on a les équations suivantes qui déter- 
minent r, P et l'angle ACE: 

(6) 1^ = 0,84713, 
0,9.î;^|^ = 0,65616, 

(7) L AGE -i- arc • sm „ ^;Vit p = H 9° 1 0^ 



0,84713 P" 

En divisant la première de ces équations par la seconde, on obtient: 

2f -4- 9,6 ly. 0,84713 

(r2 -H 0,72 lix) • 0,9 0,65616 ' 

ce qui donne l'équation suivante pour r: 

r2—l,72124r= 7,5X11; 
d'où il suit 



r = 0,86062 -t- 1/0,86062^ -h 7,5 Xji.. 

Si l'on développe cette expression en série et si l'on s'arrête au pre- 
mier degré de X[i., on trouve 

(8) r=l,7212-H4,4Xp.. 

Pour passer à l'évaluation de P nous remarquons que l'équation (6) 
nous donne: 

^^'^'^''^ — 0,84713^0,84713' 



— 123 — 

si l'on y met pour r sa valeur, trouvée plus haut, on en déduit 
(9) P= 4,0636 -f- 19X11.. 

Ayant évalué la quantité P, nous tirerons de l'équation (7) la valeur 
de l'angle AGE] enfin, connaissant cet angle et le segment AG=r, nous 
trouverons la position du point A, centre de la sphère oscillante. 

Ainsi, avec la précision suffisante pour la pratique, se détermineront 
la tige et le poids du manchon. Quant aux bras, leur longueur m, comme 
on l'a vu (§ 5), reste toujours égale à 1,31271; la surface de leurs sections, 
par hypothèse, ne varie pas sur toute l'étendue des bras et reste égale à 
0,52X|i-. Mais, évidemment, on ne changera rien dans les conditions de 
l'équilibre, si l'on considère les particules de la douille qui avoisinent le 
bras comme n'appartenant pas à celle-ci, mais au bout du bras qui y est 
attaché. De la même manière on peut attribuer à l'autre bout du bras une 
partie des masses, qui sont destinées à former le joint, articulant le bras 
avec la tige. 

D'ailleurs, il n'est pas difficile de remarquer que, grâce à cette circon- 
stance que les bras ont une masse peu sensible, les changements dans la 
distribution de la matière sur leur étendue n'influencent pas considérable- 
ment le mouvement du régulateur, si seulement le centre de gravité des 
bras conserve sa première position. D'où il suit, que dans la construction 
des régulateurs il n'est pas indispensable d'observer strictement notre sup- 
position relativement aux sections des bras: on peut augmenter la masse 
des bras aux frais de celle du manchon et des charnières. 

§ 9. Pour donner un exemple de l'application des formules trouvées 
plus haut, posons que les quantités X, jt qui déterminent d'après § 8 la 
largeur et l'épasseur de la tige, ont la valeur suivante: 

X = 0,16; fi. = 0,12. 

En mettant ces valeurs dans les expressions (8) et (9), on trouve 

r=: 1,7212-*- 4,4 -0,16 -0,12 = 1,8057; 
P=4,0636-*- 19-0,16-0,12 = 4,4283. 

Si l'on introduit ces valeurs pour P,X, \l dans l'équation (7), on obtient: 

/ An-P • 6,7-0,16-0,12 iiooia'. 

Z ACE -H arc ■ sm ^^^^^;^ . ,^^,33 =119 10; 
d'où, en remarquant que 

«'■«■«"' 0:84715.4.4283 = «'-«^ ' «^« «'^^^S = 1°58', 

on déduit 

£ACE-^l%8'=Ud°lO\ 



— 124 — 

ce qui nous donne 

L ACE= 119°10'— 1°58'= 117°12'. 

Pour commencer l'évaluation des différentes parties de la tige nous 
choisissons, d'après ce qu'on a dit au § 7, la longueur de la première partie 
de la tige et traçons la droite EG (fig. 6) ayant cette longueur. En prenant 

Fig. 6. 




^(7 pour unité, menons par le point G sous l'angle EGm^ ayant 198°, la 
droite Gm égale à 0,5. Au bout de ce segment au point m érigeons la per- 
pendiculaire mO et faisons la égale à 0,6; d'après ce qu'on a dit au § 8, le 
point sera le centre du cercle dont l'arc représente la partie recourbée 
du fil central de la tige. D'ailleurs, si du point G on mène la droite AG 




inclinée sur la droite GE sous l'angle 117°12' et si l'on fait^(7=r=l,8057, 
on trouvera le point A^ position du centre de la sphère oscillante; la tan- 
gente An du cercle 0, menée du point A^ détermine le point w, bout de la 
partie recourbée du fil et commencement de la dernière partie droite ixA. 
Ainsi se déterminera le fil central de la tige tout entière. 



— 125 — 

Pour passer à la construction des fils extérieurs, menons (fig. 7) les 
normales au fil central EGmnA par les points E, C, m, w, A et par le point 
S, milieu de l'arc mn. Sur ces normales, de l'un et de l'autre côté du fil 
central, prenons des segments égaux à la moitié de la largeur de la tige 
dans l'endroit considéré (§ 7), en faisant 






•|X = 0,06, 
X = 0,08, 
X = 0,08, 



mm^ = mm^ = Y X = 0,08, 
SS, = SS, =^-^\ = 0,10, 
nn, = nn^=ir X = 0,08, 
AA^ = AA^ = -^ X = 0,08. 
Si l'on mène par les points 

Cl, m^, 

■^2) ^2 5 



les droites et par les points 



n,, S,, m, 

^2, S^, m^ 



les arcs des cercles, on obtient le contour des fils extérieurs de la tige. 

Remarquons ici que, si l'on élargit la tige près du point G, ce qui est 
nécessaire pour l'attacher à l'axe du régulateur, cette circonstance n'influ- 
encera pas considérablement nos équations, car dans le voisinage du point G 
les coordonnées de tous les points (fig. 3) ont une grandeur peu sensible. 
Par conséquent, on peut élargir la tige au point G autant qu'il est néces- 
saire pour sa solidité. Mais, quand on augmente la masse au bout E de la 
tige pour y former une charnière, il ne faut pas perdre de vue que le vo- 
lume de toute la charnière aux bouts de la tige et du bras doit être égal à 



0,13Xii., 



— 126 — 



ce qui pour X = 0,16; ii. = 0,12 donne 



0,002496. 



Quant à l'autre bout de la tige, sur lequel est fixée la sphère oscil- 
lante, on trouvera l'endroit de la tige oii celui-ci ' touche la surface de la 
sphère, si l'on mène par le point ^4, lieu du centre de la sphère, dans la di- 
rection nA la droite AL, égale à 0,4, c'est-à-dife au rayon de la sphère. 

Pour passer aux bras remarquons que leur longueur d'après le § 5 
reste toujours égale à m= 1,31271. De l'expression 



pour 



0,52^11., 
X = 0,16, i). = 0,12, 



Fig. 8. 



on trouve qu'au cas considéré la surface des sections des bras doit être égale 
à 0,01. Nous avons supposé que les sections restent les mêmes sur toute 
l'étendue des bras, mais, comme on a remarqué dxins le § 8, il est permis de 
modifier la distribution des masses sur l'étendue des bras à condition que le 
centre de gravité conserve sa première position. Donc au lieu du 
bras avec les sections identiques sur toute son étendue on peut 
en prendre un qui consiste en deux barres parallèles, liées au 
milieu par une troisième petite barre transversale (fig. 8): le 
centre de gravité du bras ainsi construit se trouvera aussi au 
milieu de sa longueur. Si le poids du bras devient plus grand que 
celui qui correspond aux sections uniformes ayant la surface égale 
à 0,01, il faut, comme on l'a déjà vu, enlever une moitié du poids 
surabondant de celui de la douille et l'autre moitié de celui de la 
charnière qui joint le bras à la tige. En agissant ainsi avec les 
deux bras, on ne devra ôter à chacune des deux charnières que la 
moitié de l'excès du poids d'un seul bras, mais au poids du 
manchon P= 4,4283 il faudra enlever tout ce poids surabondant. 

L'épaisseur de la tige, comme on l'a vu, est égale par hypothèse, à 
ix= 0,12 sur toute son étendue. 



8. 
MÉMOÏRI SÏÏR LIS 11H6EIH16IÎS. 

(THADUXT PAK ï. W. MESTSGK38RSKYJ 



(3 3y6zafnt^ia:>'6 fio. 



zaim^iccis ftOACcaoois. 



OiqeTŒ. H piqn, npoHsneceHHHJi Bt Top'-KecTBeHHOMi. co6paHin HinepaiopcKaro 
MocKOBCKaro TexHa^ecKaro JmMm,di 10 cenia^pii 1S72 ro;i;a. 



Revue Universelle des Mines. T. 38, 1875, p. 523—546. 



Sur les engrenages*). 

§ 1. Dans les recherches théoriques sur le tracé des engrenages on 
suppose ordinairement donnée la forme du profil de la dent de l'une des 
roues et on en déduit celle du profil de la dent de l'autre. On peut trou- 
ver ainsi une infinité de différentes formes des engrenages, mais il n'y en 
a que très peu, qui sont employées dans la pratique. Pour que la pratique 
puisse, sans se borner à ces formes particulières, se servir de telle forme qui 
est la plus avantageuse dans le cas donné, il faut avoir une méthode géné- 
rale pouvant donner un moyen facile pour tracer les profils des dents d'un 
couple des roues qui satisfont le mieux aux exigences de la pratique. Si l'on 
veut tracer les profils des dents mathématiquement exacts, on rencontre 
des obstacles insurmontables, mais la pratique n'exige pas cette rigueur; pour 
lui suffisent les procédés approximatifs, qui consistent en ce, qu'on donne 
aux faces et aux flancs des dents la forme des arcs de cercle convenablement 
choisis. Quand on n'a en vue que les profils des dents en arcs de cercle 
(ces profils peuvent en général remplacer tous les autres avec une approxi- 
mation suffisante pour la pratique), la question de la détermination de la 
forme des dents le mieux satisfaisant aux exigences de la pratique devient 
considérablement simplifiée, parce qu'il ne s'agit alors que de déterminer 
les centres et les rayons des quelques cercles. Eu étudiant le mouvement 
des engrenages profilés en arcs de cercle, on voit qu'ils ne peuvent jamais 
donner lieu à l'invariabilité du rapport des vitesses angulaires, qui présente 
une condition nécessaire pour que le mouvement de l'engrenage soit régulier; 
par suite eu déterminant le profil de ces engrenages il faut se proposer pour 
but de diminuer autant qu'il est possible les irrégularités du mouvement 



*) Ce mémoire a paru eu français sous le titre: «Mémoire sur les engrenages par M. 
Tchebycheff. Traduction de MM. Dwelshauvers-Dery et Couharevitch.» dans la «Eevue uni- 
verselle des mines» 1875, pp. 523—546; la traduction de M. Mescherskiy se distingue de la 
précédente en ce qu'elle reproduit de plus près le texte original. 

9 



— 130 — 

de l'engrenage, qui proviennent de la variabilité plus ou moins considérable 
du rapport des vitesses angulaires. 

Tel est notre objet; nous allons montrer, comment on trouve, en satis- 
faisant aux exigences de la pratique, la forme des faces et des flancs des 
dents de l'engrenage profilé en arcs de cercle, pour laquelle les irrégula- 
rités du mouvement de l'engrenage sont les moindres possibles. 

§ 2. Soient: (7, G^ (fig. 1) les centres des roues dentées (que nous appel- 

Fig. 1. 




lerons en abrégé: la roue G et la roue (7^), et de leurs circonférences pri- 
mitives; B = GD, R^ = G^D les rayons de ces dernières; ç=:AD, ç^ = BD 
les rayons des arcs de cercle DE et DF, dont le premier est le profil de 
la face de la dent de la roue G et le second celui du flanc de la dent de la 
roue (7j ', A et B les positions respectives des centres de ces arcs au moment, 
où leur point de contact est sur la ligne des centres GG^ au point D; A^ et 
B^ les positions de ces centres à un autre moment, lorsque les arcs sont en 
contact au point quelconque G. Les angles AGA^ = 'k et BG^B^ = jx sont 
ceux, dont les roues G et G^ tournent en même temps que le point de con- 
tact des dents se déplace de D en G. L'angle \l est une fonction de X que 
nous désignerons par F(k); la dérivée de cette fonction F' (k) représentera 
alors le rapport des vitesses angulaires des roues G et G\ correspondant 
aux diff'érentes valeurs de X =: AGA^ . 

Pour À = on a [j. = 0, donc la fonction F(k) devient nulle quand 
X = 0; d'autre part il est facile de voir que pour cette valeur X = la dé- 
rivée F'(k) doit être égale à^. En efî"et, quand X = 0, le point de contact 



— 131 — 

des dents est sur la ligne des centres au point D; donc le rapport des vi- 
tesses angulaires des roues G et G^ pour cette valeur de X, comme il suit 
d'une propriété générale des engrenages, est égal à §^^=§-] mais nous 
avons vu que ce rapport est égal à la dérivée -F'(X), par conséquent 
i/(X)= |-pourX = 0. 

Avant d'examiner les irrégularités du mouvement des roues G et C^, — 
inévitables, quand les dents sont profilées en arcs de cercle, — remarquons 
que dans le cas considéré, oii les rayons des circonférences primitives sont B 
et E^ , le rapport des vitesses angulaires devrait être constant et égal à -^ 
de manière qu'à un déplacement 1 = AGA^ de la roue G devrait corre- 
spondre un déplacement angulaire ^X de la roue C^, mais le déplacement 
réel de cette roue, comme nous avons posé plus haut, est égal à [x = iP(X); 
par suite la différence 

représente l'erreur dans le déplacement de la roue G^ correspondant au dé- 
placement angulaire X de la roue G^. 

Or, nous venons de voir que F(k) s'annule pour X — 0, donc pour 
cette valeur de X la différence 

devient nulle également. Pour les autres valeurs de X cette différence n'est 
pas nulle en général, mais elle s'écarte plus ou moins de zéro pendant que 
X croît de zéro jusqu'à sa limite l qu'elle atteint, lorsque les extrémités E 
et F des arcs DE et BF, profils des dents, sont en contact. 

Donc pour diminuer autant que possible les irrégularités du mouve- 
ment de l'engrenage considéré il faut choisir les arcs de cercle DE et DF 
de manière que la différence 

s'écarte le moins possible de zéro, tandis que X varie entre les limites 
X = et X :== ?. 

La détermination exacte des arcs de cercle DE et DF, qui rempli- 
raient cette condition est excessivement difficile à cause de la complication 
de la forme de la fonction F(X); mais, si l'on se borne à une approximation 



— 132 — 

suffisante pour la pratique, on pourra bien se débarrasser des difficultés, pro- 
venant de la complication de la fonction F(X), en substituant à l'expression 

son déveloi3pement suivant les puissances ascendantes de X; puisque entre 
les limites et l l'angle 1 est toujours fort petit, on n'a pas besoin de 
prendre un nombre considérable de termes de ce développement; pour la ré- 
solution des questions, qui se présentent dans la pratique, il suffit, comme 
on verra, s'arrêter à la troisième ou à la quatrième puissance de \ de ma- 
nière que l'expression de la différence 

prendra la forme de l'un des deux polynômes suivants: 
ou 

§ 3. D'après ce qui précède, la détermination des arcs DE et DF, qui 
forment le profil de l'engrenage le plus régulier, se réduit à la recherche 
des coefficients des polynômes 

pour qu'ils se rapprochent le plus possible de zéro entre des limites don- 
nées de A. Ces polynômes ressemblent à ceux qui se présentent, quand on 
cherche la meilleure forme du parallélogramme de Watt: ceux-là ne diffè- 
rent de ceux-ci que par quelques particularités, résultant de ce que nous 
avons remarqué plus haut par rapport aux valeurs de la fonction F(k) et de 
sa dérivée F'(k) pour X = 0. La fonction F Ça) s'annule pour X = 0, donc 
dans le développement de la différence 

n'existe pas le terme, qui ne contient pas X; la dérivée F'Çk) pour X = 
devient égale à -^, par conséqueiit le coefficient de X dans ce développe- 



— 133 — 

ment est égal à zéro. Il s'en suit que nos polynômes prennent l'une des deux 
formes: 

Dans ces derniers polynômes comme dans ceux qui se rapportent à la 
théorie du parallélogramme de Watt, le premier coefficient étant supposé 
connu, les autres doivent être choisis de manière que les valeurs des poly- 
nômes s'écartent le moins possible de zéro entre les limites X = et X=:/. 
D'après ce qui a été démontré dans notre mémoire intitulé: TJiéorie des mé- 
canismes connus sous le nom de parallélogrammes *), la détermination de 
tels polynômes dans le cas général n'est possible qu'à l'aide des fonctions 
elliptiques, mais dans le cas des polynômes du troisième et du quatrième 
degré elle est très facile. En s'arrêtant aux millièmes dans les valeurs des 
coefficients, on trouve que les polynômes prennent les formes suivantes: 

K,(k^ — 0,894:11'), 

K^(k'— 1,669 W-t- 0,6781'!')**^ 

Ces polynômes entre les limites 1=0 et 1^=1 s'écartent de zéro 
moins que tous les autres de la même espèce, cependant il n'est pas difficile 
de voir que leur écart de zéro devient le plus grand, lorsque X atteint sa va- 
leur limite l, par conséquent dans les engrenages, où les variations du rap- 
port des vitesses angulaires s'expriment par les polynômes ci-dessus, la 
poussée est la plus défectueuse au moment, où une dent échappe et où la 
suivante va se remettre en prise à la ligne des centres. Cette circonstance 
est très desavantageuse dans la pratique, qui exige, qu'à la fin comme au 
commencement de la prise le rapport des vitesses soit le même; c'est pour- 
quoi il faut remplacer les polynômes, trouvés plus haut, par les autres, qui. 



*) T. I, pag. 111—143. 

*) Les expressions exactes de ces polynômes sont: 






27 
OÙ a est déterminée par l'équation: a3-t-— (a — 1) = 0, 



-.yi 



_ ./20-4-24y3 



83 

1— _p2 -t- Vp^ -♦- 2p V\—p^ 



— 134 — 

s'écartant le moins de zéro entre les limites X ^ et X = ^, s'annuleraient 
non seulement pour X = 0, mais aussi pour A = l. D'après le § 9 du mé- 
moire précité on trouvera les polynômes cherchés, si l'on remplace l par 



dans l'expression écrite plus haut du polynôme du troisième degré et 



î 

0,894 

par ô"^ dans celle du polynôme du quatrième degré. On obtient ainsi 

^3(X^-^X^), 

^^(X*— l,638/X3-f- 0,638^^X2), 

polynômes, qui serviront à déterminer les profils des dents remplissant la 
condition que le rapport des vitesses angulaires aie la même valeur nor- 
male à la fin ainsi qu'au commencement de la prise et qui pendant la durée 
de la prise s'écarte les moins possible de cette valeur. 

4. Nous commencerons par le cas, où dans le choix des profils des 
dents, les exigences de la pratique étant satisfaites, il ne reste qu'une quan- 
tité disponible, qu'on peut déterminer de manière, que les irrégularités du 
mouvement de l'engrenage soient les moindres possibles. Dans ce cas, en 
nous arrêtant à la troisième puissance dans le développement de la diffé- 
rence 

nous devons poser 

(1) F{i)--§-i=K,{i'-m 

Or, en vertu de la nature de la fonction F(X), le premier membre de 
l'équation (1) peut être réduit toujours à la forme suivante exacte jusqu'à X^ 

comme nous l'avons vu au § 3; donc l'équation (1) nous donne une relation 
entre les coefficients K^ et K^ et, par conséquent, aussi entre les quantités, 
qui déterminent le profil cherché. 

Pour obtenir cette relation nous pourrions trouver l'expression de la 
fonction F(k) et puis comparer les coefficients de X^ et de X^ dans les deux 
membres de l'équation (1), mais on peut procéder plus simplement, en re- 
marquant, que l'équation (1) différenciée donne 

^'W-^ = ^3(3'^'-2rA) 



— 135 — 
ce qui suppose avec une approximation jusqu'à X^, que la dififérence 

devient nulle pour X = et X = |- ^. 

La première valeur X=: 0, annule toujours la différence 

comme nous l'avons vu au § 2; l'annulation de cette différence pour 
\ = — l nous servira à trouver la relation entre les quantités, lesquelles 
contient la fonction jP(X). 

Dans ce but rappelons que, d'après le § 2, la dérivée F' (k) représente 
le rapport réel des vitesses angulaires des roues considérées et la fraction 
p la valeur normale de ce rapport; si donc la différence 

s'annule pour X = y?, c'est qu'à ce moment le rapport des vitesses angu- 
laires a sa valeur normale et par conséquent la normale commune aux deux 
profils en prise passe par le point de contact D des circonférences primi- 
tives sur la ligne des centres CC\. Or, il est facile de trouver l'inclinaison 
de la normale commune sur la ligne des centres dans la position, où 
X = y ^, ce qui servira à établir la relation entre les quantités qui déter- 
minent le profil cherché. 

§ 5. Conservant les mêmes notations que dans la figure 1, nous 
aurons (fig. 2): CjD = jR, C^D=B^ les rayons des circonférences primitives, 
AD = p, BD^=p^, les rayons des arcs de cercle DE et DF-, A et B les po- 
sitions des centres des arcs DF et DF au moment, où leur point de con- 
tact est sur la ligne des centres GG^ au point D; A^ et B^ les positions re- 
spectives de ces centres après une rotation de l'angle X = AGA^ := y Me la 
roue C, quand la normale commune AJ^^ aux profils D^E^ et D„_F^, comme 
il est dit au paragraphe précédent, passera par la point de contact primitif 
D; soient: r = ^6'= A fi et les angles 

L = AGD, N= ADG, v == ADA^ . 



— 136 — 
Le triangle A^DC donne la relation 

tang {ADG- ADA,) = en - a,c . co\ a,cd '^ 

Fig. 2. 




en employant les notations adoptées on a donc 



tang {N — v) - 



iî — r cos i — -^ 



tangiV— tangr? 

1 -H tang JV.tang v " 



2 \ 



B — r cosi i — Z| 

En résolvant cette équation par rapport à tang v, on trouve 

LR — rcos(i — — Zj tangiV— r sin (i —l\ 



tang V = ~ 



R — rcoslZ —Û-t-rBiulL —U tang N 



ou 

(2) 



tang V = 



B sïn N — r sin II -i-N —l\ 

B cos N— r cos I L -f- N — -^ 1 1 

Développant ici 



— 137 — 

suivant les puissances ascendantes de /, ou exprime par les séries suivantes: 
le numérateur 

R sin N— r%m{L-+-N)-\-~r cos {L-^N),l-^ |- r sin {L-^N).?-^ , 

et le dénominateur 

RcosN— rcos{L-^N)— ^r sin {L-*-N).l-^^r cos (L-*-N).P-*- 

Mais du triangle AGD on tire 

CD . sin ADC = AG. sin CAD. 
GB . cos AI)G-¥-AG. cos GAB = AB, 

d'où, en remplaçant l'angle GAB par 

Tz — {ABG-\-AGB\ 

avec les notations adoptées on reçoit 

BsmN=r sm{L-^N), 

R cos N — rcos{L-h-N) = p, 

ce qui réduit les expressions trouvées du numérateur et du dénominateur 
dans la formule (2) aux formes suivantes plus simples: 

j{RcosN—ç) l-^^RsinN.P-*- 

p--~ R sin N.l -^ ^ (Rcos N— p)P -t- 

En divisant la première de ces séries par la seconde on trouve 



(y cosiV— l)^-f-i- ^ (^f cos N— I) sinN.P-^. . . ., 



2^ / B 
3 



et par suite, d'après l'équation (2), la valeur de tang v exacte jusqu'à la 
deuxième puissance inclusivement sera 

tmgv = ^(fcosN—l)l-*--l-f[fcosN—^)sinN.P. 



— ISS- 
Mais l'approximation admise permet de remplacer la tangente par son 
arc, ce qui donne 

(3) „ = |(|cosi^-l);-H||-(f cosi^-i)sinA'.P. 

Telle doit être la variation de l'inclinaison de la normale commune aux 
profils en prise après une rotation de l'angle ACA^ = y ^ de la roue G, 
pour que cette normale passe par le point de contact des circonférences pri- 
mitives lorsque AGA^ = Yh ce qui doit avoir lieu pour l'engrenage con- 
sidéré. 

Cela posé, il est facile de trouver une relation entre les quantités 

qui déterminent les arcs DE et DF; à cet effet il faut connaître la valeur 
de V pour des valeurs quelconques de 

C'est ce que nous allons chercher. 

§ 6. Soient (fig. 3) A et B les positions des centres des arcs consi- 

Fig. 3. 




dérés, quand leur point de contact est sur la ligne des centres; 
AGD = L, ADG==:N, GD = E, G,D = B„ 



— 139 — 

A^ et B^ les positions des centres des arcs après que la roue C a tourné de 
l'angle quelconque AGÂ^ = X, 

AfiD = L — \ A,D,G=N—v', 

soient aussi BG^D = Jf et pt. l'accroissement de cet angle correspondant à 
l'angle de la rotation JC4j = X de la roue G; alors 

B,G,D = M-^lj,. 

Pour obtenir l'équation qui détermine la valeur de v pour une valeur 
quelconque de X, projetons le polygone GA^Bfi^ sur la direction de la ligne 
des centres et sur une perpendiculaire à cette direction; nous aurons 

^1 (7. cos J^i CD -»- ^1 1?i cos ^1 Do (7 -H ^1 C, cos ^, (7i D = (7(7i 
A^G sin A^GD — A^B^ ûnA^D^G-\-B^G, sin B^G.B = 0, 

d'oii, en remarquant que 

A^G=r, B,C\ = r^, A,B, = ç-i-ç,, GG, = B-i-E, 
A,GD = L — \ A,D,G=N—v, DG,B, = M-\-^, 
on trouve 

r cos (L — X) -H (p -+- pi) cos {N— v) -+- i\ cos(ilf -*- fx) = i? -h i?j, 
r sin (L — X) — (p -♦- Pi) sin {N — v) h- r^ sin {3I-+- \l) = 0. 

Éliminant (ilf h- ji.) entre ces équations, on a: 

rj2 = [B-^B, — r cos (X — X) — (p -*- ?i) cos (iV— î;)]^ 
-+- [— r sin (Z — X) H- (p -»- p/) sin (lY— v)]\ 

ou en supprimant les parenthèses 

r^i = (i^_+-i2j2_j_ (p _^_ ç)^)2-+-r2 H- 2r(p -4- p^) cos {L-^N—l — t;) 
— 2 (i? -f- B,) [r cos (D — X) -f- (p -*- p,) cos {N— v)] . 



— 140 — 
Pour les valeurs particulières X = 0, v = 0, cette égalité devient: 

r^2 = (Jî -4- B^f -t-ip-i- PiY -*- ^2 _^ 2r (p -H p,) cos {L -+- N) 
— 2iR-i-B,) [rcos L -4- (p -h p^) cos iV] . 

Soustrayant cette équation de la précédente, on obtient 

C03 {L -i- N — "k — y) — cos {L h- N) cos {N — v) — cos JV cos {L — X) — cos J, ^ 

B-*-Bi r p-t-pj ' 

Pour en déduire la valeur de l'angle v développée suivant les puis- 
sances ascendantes de l'angle X posons 

v = K,'k-^K,'k^-+- 

et déterminons les coefficients K^, K^,. . . . 

En portant cette expression de v dans l'équation précédente et déve- 
loppant suivant les puissances de \ nous aurons 



- JBi ^ 1 ^ r 1 p -t- Pi j 



B- 



2 sin (L -i-N)E2 — cos {L ■+- N) {Ki + 1)2 \ 

B-^B^ I X2 

2 sin N.K^ — co&N.Ei^ cos Z | ^ 
r "*'p-i-pi I 



:0, 



d'oiî pour la détermination des coefficients K^, K^ on tire les équations 
suivantes : 

a'm {L -t- If) , j^ ,N sin N -rr sini ^ 

B-i-Bi ^ ^ ' r 1 p-*-Pi ' 

2 sin (X -f- JvQ gg — cos (X -h i^) (.gi -f- 1)2 2 sia i^. g^ — cos .ZV. .g^g cos-L __ q 

jR-t-iîi »* P -*- Pi ' 



qui donnent 



K, 



sinX sin (i -♦- iV) 
___ p-^Pi~ -R-^-i^i . 
sin (X -t- iV") sin N ' 

B-t-Bi r~ 



K.- 



/ sin(X-t- JV^ 3iniV \ 



— 141 — 
Afin de chasser de ces expressions les angles 

L==AGDetL-t-N^AI)G-\-AGD 
remarquons, que le triangle ACD donne 

sin^C/) = ^sin^iDC, 
sin {ADC-i- ACD) = sin CAD = ^ sin ADG; 



cosAGD-- 



_ CD — AD. co% ABC 
AC ' 



ces {AI)G-\- AGD) = — cos G AD = — -^-P-^-P-cqs^JC^ 
ou, d'après la notation adoptée, 

sinjL = |-sinJ\^; sin (Z -+- iV) = -^ sin JV; 

^^g^_^-^^. cos(Z~f-iVr)__P:z_^^^. 

En portant ces valeurs de 

sinL, sin (L -f- i\0, cosi, cos(L-i-iV) 

dans les expressions précédentes des coefficients Z^, Zg, on trouve, toutes 
les réductions faites, 

T^ -RPl — if?! P . 

^1— i?l(p-f-Pl)' 

(p — B COS iV) (Zi -t- 1)2 -+- (E -f- El) fcos iVr.^ 2 ^. -R — pcosiSr -j 

E^ L P -^- Pi J 

2 2^1 sin N 

Telles sont les valeurs des coefficients K^ et K^ de la série 
(4) v^K.X-^K^-k^-A-...., 

qui donne la valeur de l'angle v correspondant à une valeur quelconque de 
l'angle 1 pour toutes les valeurs de 

§ 7. En posant dans la formule trouvée 



— 142 — 

nous aurons la valeur correspondante de l'angle v 

Or dans le cas de l'engrenage considéré d'après la formule (3) (§ 5) 
cette valeur particulière de v est 

|(f cosiV-l) «-h| f (f cos IV- 1) sinJV. P. 



Comparant ces deux valeurs du même angle on obtient une équation, 
qui, étant divisée par — l, prend la forme 

(5) ff,-|cosiV-Hl-.-|[K,-f (f cosiV-|)siniv]z = 0, 

où K^ et ffg ont les valeurs indiquées au § 6. 

La valeur de K^, comme nous avons vu, est très simple: 

Quant à l'expression de la valeur de K^ elle peut être considérable- 
ment simplifiée en vertu de l'approximation, à laquelle on se borne. 

Remarquons que dans le calcul de cette valeur on peut négliger même 
les premières puissances de l, puisque cette quantité n'entre comme facteur 
que dans le dernier des termes retenus. En outre, d'après l'équation (5), si 
l'on néglige le second terme, on a 



(7) 



équation, à l'aide de laquelle on simplifie facilement l'expression de la va- 
leur K^. 

En eifet le numérateur de cette expression, K^ étant remplacé par la 
différence 

— cosA^— 1, 
devient 

(p -t- B^ cos N) 1^ cos^ N—2{R'-^B,)— cos^ N-+- ^^' {R -+- ç, cos N). 



— 143 — 
Mais la formule (7), d'après (6), donne 



|pLz:^_^cosiY-t-l=0, 



formule, qui se réduit à 



(8) ^^^^^' = ^' cosN. 



p-t- 
En remplaçant le facteur 



p^- Pi 
dans le dernier terme de l'expression précédente par 

^^ cos iV, 

ppi ' 

on la réduit à la suivante: 

—^ cos^ N — ^ ^-^ cos Yh cos /v, 

L p^ p ppi J ' 

qui après la substitution 



au lieu de 
devient 

ou 



^AlLi^iPil cos N 

ppi 



B-i-B, 



B-^Bi 



(1 — cos^iV^) cosiV 

ppl ^ 





^'^i sin^iY.cosiV. 

PPi 


Remplaçons ici 


cosiV 
PPi 


d'après la formule (8) par 






B-i-Bi 1 
p-^p, BB^' 


et nous aurons 






^(^-"^•^sin^iY, 



P-+-P1 
expression réduite du numérateur de K^, donné à la fin du § 6. 



144 — 



Par suite on obtient pour la détermination du coefficient K^ la formule 
suivante très simple: 

(9) 



K. = ^^^smN. 



2Bi p-*- Pi 



Portant les valeurs trouvées de K^ et K^ dans l'équation (5) et rem- 
plaçant dans son dernier terme, d'après (8), 



par 



on obtient, la réduction faite, 



B.cos N 



B-t-Bi Pi 
Bi p-^pi' 



(10) COSN—^^-^-^^ (7g^-^2E)p,-(E-^-2E.)P g.^^^^^^Q^ 
^ ^ BBi p -+- Pi oBi P -*- Pi 



§ 8. Cette équation exprime une propriété géométrique très-simple 
des arcs de cercle qui forment les profils de la face et du flanc de la dent 
de l'engrenage considéré. Mais avant de la faire ressortir cherchons la for- 
mule qui sert à déterminer les longueurs de ces arcs. 

Conservant les notations précédentes des arcs DE, DF et de leurs 
centres ^ et 5 au moment, où le point de contact des dents est sur la ligne 
des centres, soient (fig. 4) D^E^, A-^d Aj ^n ^^^ positions extrêmes des 

Fig. 4. 




arcs et de leurs centres au moment, où les dents vont se quitter, ce qui 
correspond, comme on l'a vu, à la rotation de l'angle AGA^=l de la roue 0. 



— 145 — 

Traçons la droite AE; l'angle GAE est égal à GA^E^, parceque A et 
Al de même que E et E^ représentent les mêmes points de la roue G dans 
ses deux positions; donc l'angle DAE qui est égal à GAE — CAD sera égal 
aussi à GA^H — GAD; or 

GA,E=iz — A,GH—A,EG, 

GAD =T. — AGD —ADG, 
donc 

DAE = AGD — A,GH-i-ADG—A,HG. 

D'après nos notations: 

AGD~AfiH= AGA, = l, 

ADG—A^HG=N—iN—v)=:v, 

où la valeur de v s'obtient de la formule (4) pour 1 = 1; il s'ensuit, que 
si nous appelions w l'angle DAE, qui détermine la longueur de l'arc DE, 
profil de la face de la dent de l'engrenage considéré, on a pour la valeur de 
cet angle 

ce qui, après la substitution des valeurs de Z^ et K^ trouvées au § 7, se ré- 
duit à la forme suivante: 

11) w = — ^ — ^ — ^^^— l -H —^ ^ sin N. r. 

A l'aide de cette expression de l'angle w = DAE il est facile à faire 
voir, que l'équation (10) représente une simple propriété géométrique de 
l'arc DE, à savoir: 

«Au moment où le point de contact des deux dents est sur la ligne des 
centres, le point extrême E de l'arc DE (fig. 5) se trouve sur la circonfé- 
rence, qui passe par le point D de contact primitif et par les extrémités P 
et Pj des deux arcs DP et DP^ des circonférences primitives, qui corre- 
spondent à l'angle de rotation de la roue C pendant la durée de la prise des 
arcs DE et DF». 

Pour le démontrer traçons la circonférence, passant par les points i>, 
P et P^, et la corde DE; soit E^ le point de leur intersection; cherchons la 
longueur DE^. 

D'après nos notations 

ADG=N; DAE=(ô, DGP=-.l, GD = B, G,D = B„ 

10 



— 146 — 

et l'angle BG^P^ est celui dout a tourué la roue G^ pendant toute la durée 
de la prise des arcs DE et DF, de sorte que 

DGJ\==§^DGP=§-1 



•Fig. 5. 




Menons par le point D la droite DG perpendiculaire à GG^ et DT 
perpendiculaire à AD; ces droites étant tangentes aux arcs DP, DP^ et 
DE respectivement fout avec les cordes de ces arcs les angles 

PDG = I DGF, P,DG = ^ DG,P, , EDT= | DAE, 
ou d'après les notations adoptées 



PDG = ~', P^DG- 



'2Bi 



; EDT-=- 



Quant à l'angle GDT, ses côtés étant perpendiculaires à ceux de l'angle 
ADG, on a GDT= ADG et par suite GDT = N. 
On en déduit: 

PDP, = PDG-^P,DG = ^-^^h 

P,DE, = GDT— GDP, - EDT=.N- ^l — ^, 



2Bi 



PDE, = GDT-t- PDG — EDT= N - 



— 147 — 
D'autre part ayant 

on trouve les longueurs des cordes DP et DP, : 



DP=2.Ci>.sin^ = 2i^sin|, 



2E, • 

Connaissant les longueurs de ces cordes ainsi que les angles qu'elles 
forment avec la corde DE^, on trouve facilement la longueur de cette der- 
nière à l'aide de l'équation: 

DP. sin {P,DE^) — DP, sin {PDE,) -+- DE, sin (PDP,) = 0, 

qui a lieu pour trois cordes quelconques passant par un même point de la 
circonférence. 

En y portant les valeurs trouvées des longueurs de DP et DP, et des 
angles P,DE,, PDE,, PDP,, on obtient pour la détermination de la lon- 
gueur de DE, l'équation suivante: 

Pour en déduire la longueur de DE, avec une approximation du deuxième 
ordre, développons les deux premiers termes jusqu'au troisième ordre et le 
facteur de DE, jusqu'au deuxième; nous aurons: 

l^i DE, . l _(A±A1^ cos N. P-^ [^i^-Ill- -^4^ "] sin ^ J2^ , 

d'où 

DE, = Rto^N.l-^R {-|--«-^6^^} siniYJ, 

Remplaçant w par sa valeur (11) on trouve 

expression exacte jusqu'à la deuxième puissance de l inclusivement de la 
longueur deD^^, qui détermine la position du point E„ où la circonférence 
passant par les trois points D, P, P, est coupée par la corde DE. 



— 148 — 

En déterminant d'après les formules trouvées plus haut la longueur de 
la corde J)E, on voit qu'avec une approximation dn deuxième ordre on peut 
remplacer cette corde par l'arc DE et par suite exprimer sa longueur par 
le produit 

p . «. 

A l'aide de la formule (11) on trouve 

DE = ^^' -^^ l -f- ^ ^^^^ sin N. l\ 

Nous aurons donc pour la différence des longueurs des cordes DE et 
DE^ l'expression suivante exacte jusqu'à la deuxième puissance de l: 

DE—DE,= 

(?^_PPi i^cos^)^_4 (^^-^^i)Pi-(^^i-^)P sini^Jl 

\ -Ri p-»-Pi / 3iîi p-t-pi 

Comparant cette expression avec le premier membre de l'équation (10) 
on voit, qu'elle ne diffère de celui-ci que par un facteur — IR; par suite en 
vertu de l'équation (10) on a 

DE-DE, = 0, 

donc le point E^ coïncide avec le points, qui est par conséquent sur la cir- 
conférence considérée, ce qu'il fallait démontrer. 

§ 9. Répétant relativement à l'arc DE, profil du flanc de la dent de la 
roue Cj, tout ce qui vient d'être dit relativement à l'arc DE, profil de la 
face de la dent de la roue (7, on arrive aux formules, qui se déduisent des 
formules précédentes en remplaçant des lettres relatives à la roue C par 
celles relatives à la roue G^ et réciproquement. 

Quant à la quantité Z, qui représente l'angle de la rotation de la roue 
G pendant la prise des arcs DE et DF, il faut la remplacer par 

parce que la roue G^ en même temps tourne de l'angle -^ l dans le sens opposé. 

Au lieu de l'angle co = DAE, qui mesure l'inclinaison réciproque des 

rayons AD et AE passant par les extrémités de l'arc DE, nous aurons 

G), = DBF 



— 149 — 

avec le signe — à cause de la position inverse des rayons BB et BF^ pas- 
sant par les extrémités de l'arc DF. 

L'équation (11) deviendra par ces changements 

(13) o, = — ^ — — l — ^ô ■ sin N. /2; 

l'équation (10) reste la même, quand on passe de l'arc BE à l'arc BF\ ces 
deux équations nous conduisent au même résultat relativement à l'arc DF, 
que nous avons obtenu dans le paragraphe précédent relativement à l'arc 
BE^ c'est à dire, l'extrémité F est située sur la circonférence passant par 
les points D, P et P^ . 

On arrive ainsi à la conclusion suivante, concernant l'engrenage con- 
considéré: 

«Au moment, où le point de contact des dents est sur la ligne des 
centres, les cinq points suivants sont sur une même circonférence : les extré- 
mités des profils de la face de l'une et de la partie vive du flanc de l'autre 
des deux dents qui sont en contact sur la ligne des centres, les points des 
circonférences primitives qui viennent à la ligne des centres à la fin de la 
prise de ces dents, et le point de contact des circonférences primitives». 

Cette propriété n'est exacte que jusqu'à la troisième puissance de l^ 
puisque en déterminant les positions des différents points nous avons négligé 
dans nos formules les puissances de l supérieures à la seconde. Mais cette 
approximation est suffisante dans la pratique en vertu de la petitesse de la 
quantité l, qui représente l'angle de la rotation de la roue pendant la prise 
d'un couple des dents de l'un ou de l'autre côté de la ligne des centres. 

En se basant sur les formules (11) et (13), on peut trouver une autre 
propriété de l'engrenage considéré. Ces formules étant ajoutées donnent 

mais d'après nos notations 

(ù = BAE, io, = BBF, l = BGP, 
et comme nous avons remarqué plus haut 

donc l'équation trouvée se réduit à la suivante: 

BAE -H BBF == BGP -+- BC\P, . 



— 150 — 

Cousidéraut les angles que forment les cordes des arcs DP, BP^ , DE 
et I)F avec leurs tangentes BG et BT, on voit que 

rBG = \BGP, P,BG=:^BG,P,, 
EBT=^BAE, FBT=^BBF, 

par suite l'égalité précédente donne 

EBT-*- FBT= PBG -+- P,BG, 
d'où 

EBF=PBP„ 

c'est-à-dire que les cordes des arcs BE et BF font entre elles le même 
angle que les cordes des arcs de retraite BP et DP^ ; les points P, P^ , F, 
E étant situés sur la même circonférence passant par le point B, il en ré- 
sulte, que les droites PP^ et EF sont égales entre elles. 

On peut énoncer cette propriété de l'engrenage considéré comme il suit: 

«La distance entre les extrémités des profils de la face de l'une et de 
la partie vive du flanc de l'autre des deux dents, dont le point de contact 
est sur la ligne des centres, est égale à la distance des points des circonfé- 
rences primitives, qui viennent à la ligne des centres à la fin de la prise de 
ces dents». 

Puisque dans le tracé des engrenages, on donne les circonférences 
primitives et les arcs de retraite et d'approche, on pourra toujours, d'après 
ce que nous avons montré plus haut, tracer la circonférence, où doivent 
être situées les extrémités des profils de la face et de la partie vive du flanc 
des deux dents et on connaîtra la distance de ces extrémités au moment, où 
les dents sont en contact sur la ligne des centres. 

Soient (fig. G) G et G^ les centres des circonférence primitives, B le 
point de leur contact. Ayant en vue de déterminer le tracé des profils des dents 
des roues G et Cj portons les longueurs BP et BP^ des arcs d'approche sur 
les circonférences primitives; puis traçons la circonférence passant par les 
points 7), P, Pj , sur laquelle doivent se trouver les extrémités E et F des 
profils de la face et de la partie vive du flanc des dents au moment, où le 
point de leur contact et sur la ligue des centres; la distance de ces extré- 
mités doit être égale à PP^. Quant au choix de la position des points E et 
F sur la circonférence, il dépend des exigences de la pratique: plus ces 
points seront éloignés du point P, plus longue sera la dent de la roue G et 
plus profond sera le creux de la roue G^; eu même temps sera plus mince le 



— 151 — 

bout de la dent de la roue G et plus étroit près du fond le creux de la 
roue (7,. 

Après avoir choisi les positions des points E et F sur la circonférence 
et la direction de la normale commune aux profils des dents en contact au 

Fig. 6. 




point D, nous aurons les profils cherchés, en traçant par le points D et E, 
D et F les arcs de cercle, ayant au point D la normale choisie. 

§ 10. Passons maintenant au cas, où l'on dispose de deux quantités 
dans le choix des arcs de cercle formant les profils des dents, en vue de 
diminuer autant qu'il est possible les irrégularités, qui sont inévitables une 
fois que l'engrenage est profilé en arcs de cercle. 

Développant la diff'érence: 

suivant les puissances ascendantes de X jusqu'à la quatrième puissance, on 
trouve, que d'après le § 3 cette différence se réduit au polynôme: 

D'où il suit que pour déterminer les valeurs de X, qui annulent la dé- 
rivée 

on à l'équation: 

4X3_l,638.3.a2-+-0,638.2./2X = 0. 

dont les racines sont: 

A = 0, X = 0,365/, X = 0,865/. 



— 152 — 

On conclut de là, d'après le § 4, que la normale commune aux profils 
des dents en contact passe par le point de contact des circonférences primi- 
tives pour les valeurs suivantes de l'angle X: 

X = 0, X = 0,365/, >V = 0,865^. 

Les équations qu'on peut déduire de cette circonstance dans le cas 
considéré s'obtiennent facilement, comme nous le verrons, si l'on fait usage 
de l'angle v, variation de l'inclinaison de la normale commune aux profils 
des dents en contact (§ 5) sur la ligne des centres. 

Cherchant d'après la formule (4) les valeurs de v correspondant aux 
trois valeurs de X ci-dessus trouvées, on remarque, que la première est 
nulle et les deux autres sont de la forme: 



où il faut poser successivement 

X = 0,365/, X = 0,865/. 

En désignant ces deux valeurs de v par v^ et v^ nous aurons 

V, = 0,365 Z,/h- 0,365^^2^^ 
^^2 = 0,865 Zj/ -H 0,865^^2^1 

Soient, conformément aux notations précédentes, G et G^ (fig. 7) les 

Fig. 7. 




centres des circonférences primitives, GD = R^ G^B = R^ leurs rayons; A 



— 153 — 

et B les centres des arcs de cercle DE et DF, lorsque leur point de con- 
tact est sur la ligne des centres; AD = p, BD = p^ les rayons de ces arcs: 
AG=r, BG^=t\ les distances des points A, B aux centres G, C^; ADG=N 
l'angle, qui mesure l'inclinaison de la normale commune aux arcs DE et 
DF sur la ligne des centres. Si A^ et B^ sont les positions des centres des 
arcs DE et DF au moment, où le décroissement de l'angle de l'inclinaison 
de la normale commune aux dents sur la ligne GG^ est égal k v^^ la droite 
A^B^ représente la position de cette normale, correspondant à >;=0,365/; 
et par suite elle doit passer par D, point de contact des circonférences pri- 
mitives. 

Considérant les triangles GAD, GA^D, G^BD, G^BJ)^ où d'après nos 

notations 

AG=A,G=r, BG, = B,G, = r,, 

AD = p, BD = p„ AB = A,B, = p-^p^, 

GD = B, G^D = B,, ADG = BDG, = N, 

A,DG=B,DG, = N—v,, 

et posant 

AD — A^D = B,D — BD = h, 

nous aurons les égalités suivantes: 

r^ = f-t-R'—2çBcosN, 

r^ = (ç — hy^B' — 2 (ç) — h) B cos {N— v,), 

r^ = 9^2 _^ji^_2 ç^B^ cos lY, 

r^2 = (p^ _+_ ky -^B,'—2 (pi -*- h) B, cos (N—v,), 

qui, après l'élimination de r et t\, nous donnent: 

ç^ -^ B^ — 2çB cosN= (p — hf -t- B' — 2 ip — h) B coè{N — V,), 
çy-^B;'—2ç,B,cosN = {p,-^hf-^~B,'—2 (p^-^h) B,co&{N—v,). 

Pour éliminer de ces équations la quantité h on peut les résoudre par 

rapport à 

Ç) — h et pi -f- h 

et ajouter les résultats. 

On arrive ainsi à l'équation: 



- p, — (i? H- B,) cos {N—i\) = 



yf—2BçcosN-t-B'cos\N—v,) -t-Vp,'— 2 B, ç, cos N-+~ B^' cos^ (N—v,), 



— 154 — 
qui peut être réduite à la forme: 

p -i- ?^ — {R-+- B^) cos {N — v^) = 

Vip — R cos Nf -f- 7?- [co?,\N—v^) — cos'^N] 

-*-y(pj— i?, cos Nf -+- B,' [cos'(N—v,) — cos^N]. 



Posons pour abréger 



(14) 

ce qui donne 



cos^iV 



= ^n 



cos(iV — ?;j) = cosiVyi H-^i, 

et nous pourrons écrire l'équation précédente comme il suit: 

9 -4- Pj — (i? -t- i?^) cosiVVl -+-t^ = 
V{g — B cos NY -+- R^ cos- N. t, -\- V{ç,— B.^ cos Nf-*- B,' cos' N.t,. 

Développant les radicaux suivant les puissances de ^j, on ramène tous 
les termes dans le premier membre; divisant par ^j, on trouve: 

R"^ cos N Ry^ cos N „ jj \ 

p — RcosN ~^ pi — i?iCOsiV "^-^-^-^1 



1_ r Ri 003^ N R^*cos^N j. _ ^-\ 

'4 L (P — J? cos iV)3 """(Pi — ieiC0SiV)3 ~*~^ *-^lJh 

1_ r fl6 cos5 N J?i6 C0S5 JVT „ 7? 1 / 2 

■ 8 L (P - i2 cos Nf ~*~ (pi - i^i cos Nf>~^^~^ ^ij ^i 



= 0. 



Faisons pour abréger 



(15) 



R cos N 



-X, 



i?l cos iV 



= r, 



p — E cos iV ^^' pj — E\ cosN 

et l'équation ci-dessus prendra la forme suivante: 

(16) ^ ' '' ' i=0. 

-^1 (7?X^-i^ i?,r5-+-7? -*- B,) t,'-^... j 

En répétant les mêmes opérations pour l'angle v^, qui correspond à 



— 155 — 

l'angle de la rotation >. = 0,8C5/, pour lequel la normale commune doit 
passer aussi par le point B et posant: 



nous obtenons l'équation 

(18) ^ [=0, 
-^.^{BX^-^B^T'-+-B-v-B,)t^^-^.., j 

analogue à l'équation (16). 

Des équations (16) et (18) on déduit les valeurs de X et T; en suite à 
l'aide des formules (15) on trouve les valeurs de ? et p^, rayons des arcs de 
cercle formant les profils des dents. 

§ 11. Pour faciliter la résolution des équations (16) et (18) nous né- 
gligerons d'abord les termes contenant les puissances de t^ et t^ supérieures 
à la première. Nous aurons pour les valeurs approchées de X et Zles 
équations: 

BX-^ R,Y -^ R-^ R^ — ^ {RX^ -^ RJ^ -^ R-^ R,)t^ = 0, 

RX-i- R,Y-^ R-i- R^ — -^ {RX' -+- R,Y' -i- R -^ R,)f, = 

qui se réduisent aux équations suivantes: 

RX-i~R,Y-^R-*-R, = 0, 
RX^-*- R, Y'-\~ i? -+- i?i = 0. 

On déduit de la première 

(19) Y=-4^X-^-\. 

Substituant cette valeur de Zdaus la seconde on arrive à l'équation: 

qui, les réductions faites, aura la forme: 

{R, — R)X' — 2>RX''—?> {R-i-R,)X — R — 2R, = 0, 



— 156 — 

Cette équation a deux racines égales à — 1 et la troisième, qui est 
égale à 

Or, remarquant que d'après la première des formules (15) X ne peut 
devenir égal à — 1 que si le rayon p devient nul, on conclut que les ra- 
cines égales à — 1 ne sont pas admissibles dans notre problème; donc il 
faut prendre pour la valeur cherchée de X la racine 

Substituant cette valeur de X dans l'équation (19) on trouve 

B,-i-2B 



Y= 



K — Bi' 



Telles sont les premières valeurs approchées de X et de Y. Pour les 
déterminer avec plus d'exactitude, posons: 

(20) ' 



|^=I^>P. 



OÙ a et (B sont les quantités négligées dans la première approximation. 

Introduisant ces nouvelles valeurs de Z et de T" dans les équations 
(16) et (18) et supprimant les termes, qui contiennent les puissances des 
quantités a, p, ^j, t^ supérieures à la première, on obtient: 






= 0. 



Si l'on se borne à la première puissance de t-^ et t^ dans la détermi- 
nation des valeurs de a et fl, les deux équations précédentes donnent immé- 
diatement l'équation 



— 157 — 

Pour obtenir une seconde équation simple entre a et j^ soustrayons 
l'une de l'autre les mêmes équations et, supprimant le facteur commun 

X (^2 — ^1)5 ^0"s aurons: 

Remplaçant dans cette équation 
on a 

d'où l'on tire 



et par suite 



_ i?t(E-4-22?i)(2?i-4-2J?) . 

a — -R(-R-^2.Ri)(i?, -4-2Ji;) (f .f^ 

P ~~ 2 (El — Bf ^^^ ^^>- 



En portant ces valeurs de a et [3, exactes jusqu'à la première puis- 
sance de t^ et ^2 dans les formules (20), on obtient avec le même degré d'ap- 
proximation : 

^— E,-B L 2{B^-Bf i^^^a'Jî 

^ Bi-*-2B fi . B{B-^2Bi) ^^ . ^ ^-] 

§ 12. Substituant les valeurs trouvées de X et Y dans les formules 
(15), on aura pour la détermination des valeurs p et p^ les équations sui- 
vantes: 

BcoaN i^-^2J?i r-. . Bi{B^-^2B) ^^ . ^ ^~] 

p-i^cosJN^ — X^n^ L^ "^ 2(Ei-E)2 ^^1-^'2'J' 

BiCoaN B,-^2B fi . B{B-^2By) ^^ . ^ ^~1 

Pi-iîjcosi^— iî-i?i L-^ "^ 2(E-Ji:.)2 ^^i-^-^sy- 

Si l'on se borne aux termes du premier ordre relativement à t^ et tr,, 
on en tire: 

_ SBB^cosN r, _ (El -«- 2E) (fi -4- /g) -] 
P — Eh- 2^1 L 6(Ei-E) J» 

_ 3EEi cos i\ r, (B-^^2B^)_^l-*-t£] 

Pi— Jîi-f-2E L G(E-Ei) J* 



— 158 — 

Quant à la valeur de la somme ti-*-t^, qui entre dans ces formules, 
on remarque que les expressions (14) et (17), étant développées suivant les 
puissances de v, donnent avec approximation jusqu'à la deuxième puissance 

' ni. Tvr j 2co3iV.sinJV ^, ^j 



Mais d'après le § 10 ou a avec approximation jusqu'à la deuxième 
puissance de l 

Vj = 0,365 /iTi/, î;2 = 0,865 7^1 /, 

donc avec la même approximation 

/^ _H ^2 = 2 (0,365 -*- 0,865) K, imgN.l = 2,460 K^ tang N. l, 

011 d'après (6) 



1 J^l(p-HPl) 

Si dans cette expression de K^ on remplace p et p^ par leurs valeurs 
trouvées ci-dessus, ou a avec approximation jusqu'à la première puissance de 
fj et ^2 exclusivement 



et par suite 



j^ B — Ej 

^^1 ~" 3i?i • 



, , 2,460 B — B.. X7 7 

^j -t- ^2 = -^ ^ tang N. l 



Substituant cette valeur de t^ h- t^ dans les expressions des valeurs de 
p et 9^ trouvées plus haut, nous obtenons 

dBB, C09.N r. ^ . r,rT B-i-2B. . ^ f.j 7~1 

?i = -ïvt2ïr I 1-0,137-^ tang iVJj. 

Tels sont donc les rayons des arcs de cercle, dont l'un forme le pro- 
fil de la face de la dent de la roue C et l'autre celui du flanc de la dent de 
roue G^. 

§ 13. Pour déterminer les longueurs de ces arcs, on a d'après le § 8 
avec approximation jusqu'à l^ 



— 159 — 

où (0 est la lougueur de l'arc de cercle, profil de la face de la dent de la 
roue (7i, supposant que le rayou de cet arc est pris pour l'unité, et les 
coefficients K^ et K^ d'après le § 6 ont les valeurs suivantes: 

K — ëhiz^. 

(p - E cos N) {R\ ■+- 1)2 -*- [B H- E,) fcos N. K.^ -h — ~ ^ ^°^ ^ 

j( L P -*- Pi J 

2 21{^ sin N 

Remplaçant p et p^ par leurs valeurs trouvées dans le § 12, nous sup- 
primons les termes contenant, comme facteurs, /^ dans l'expression de K^ et 
l dans celle de K^\ nous aurons ainsi: 

/f^ -4- 1 = ^:^ (l — 0,137 ^^^ tang JV . ^), 

^^2 — î8^;2 tang i\ . 

Après la substitution de ces valeurs dans l'expression ci-dessus de co 
on obtient avec approximation jusqu'à l^ 

Remplaçant dans cette formule o par — «i, ^ par — ^ /, R par R^, 
p par pi et réciproquement on parvient d'après le § 9 à la formule pour dé- 
terminer la longueur de l'arc de cercle, qui forme le profil du flanc de la 
dent de la roue C^: 

OÙ coj désigne la lougueur de l'arc, son rayon étant pris pour l'unité. 
On en déduit que la somme 

est égale à 



et le produit 



avec approximation jusqu'à P se réduit à 



j,,,,^j^EE^,inN.P. 



— IGO — 

Cette expression est la même que celle de la corde DE^ (§ 8), qui ré- 
sulte d^ la formule 

après la substitution de la valeur de co. Ou conclut de là, que dans le cas 
présent subsistent les propriétés que nous avons démontrées (§ 8, § 0) pour 
le cas, où dans le choix des arcs de cercle formant le profil de l'engrenage 
il n"y a qu'une seule quantité dont on peut disposer pour diminuer les irré- 
gularités du mouvement. 

Nous avons vu dans le § 9 que dans ce cas on peut modifier suivant 
les exigences de la pratique la direction de la normale commune aux dents 
qui sont en contact sur la ligne des centres, sans changer les positions choi- 
sies sur la circonférence DPP^ (fig. 6) pour les extrémités des profils de la 
face de la dent de la roue G et de la partie vive du flanc de la dent de la 
roue Cj. Au contraire, dans le cas que nous examinons à présent la position 
de ces extrémités définit complètement la direction de la normale commune 
mentionnée, puisque d'après le § 8 (fig. 5) on a: 

N = GDT = G DE -+- EDT = GDE -4- -|-. 

En portant l'expression connue de co, où p et p^ doivent être rempla- 
cés par leurs valeurs, on trouve une équation, qui détermine l'angle X, si 
l'angle GI)E est donné. Si l'on a égard cà ce fait que c'est dans ce cas no- 
tamment que l'on obtient la plus grande régularité possible avec des engre- 
nages profilés en arcs de cercle, on conclura de ce qui précède que toutes 
les fois, lorsqu'on choisit la direction de la normale commune AB confor- 
mément aux exigences de la pratique, il faut chercher donner à cette nor- 
male la direction qui s'écarte le moins possible de celle que l'équation 
précédente fait connaître. 

Les valeurs trouvées de to et co^ avec approximation jusqu'à / donnent 



or d'après le § 8 (fig. 5) 

iù = BAE=2ED2\ 
(^^=DnE=2FDT, 

donc on a avec approximation jusqu'à la première puissance de i 

FDT ._ jfîi^»-21i 
EDT i?-t-2i?i* 



— 161 — 

D'où il ressort que, si la normale commune aux dents en contact AB 
a la direction indiquée, leur tangente commune DT divisé l'arc EF en deux 
parties, qui sont entre elles dans le rapport 



ce rapport étant exact jusqu'à la première puissance de l. 

On en déduit une construction géométrique très-simple pour détermi- 
ner approximativement la direction de la tangente DT, correspondant à 
celle de la normale AB, pour laquelle les irrégularités du mouvement de 
l'engrenage considéré deviennent les moindres possibles. 

Remarquons pour terminer, que les angles que les cordes PD et P^D 
(fig. 5) font avec le diamètre passant par le point D ont pour valeurs appro- 
ximatives jusqu'à P, respectivement: 

E-f-2Ei j Ey-t~2R 

En comparant ces valeurs avec celles des angles 

PDG==:^, GDP, = ^, 

qui résultent des formules trouvées, on remarque qu'elles sont respective- 
ment égales avec approximation jusqu'à la deuxième puissance de l. On voit 
de là, qu'avec ce degré d'approximation le diamètre du cercle DPP^, pas- 
sant par le point D, fait avec les cordes DP et DP^ des angles respecti- 
vement égaux à ceux, que la tangente DT aux arcs DE et DF doit faire 
avec le cordes DE et DF, pour que l'irrégularité de la transmission du 
mouvement par l'engrenage soit réduite au minimum possible. 



9. 

SÏÏK LIS QÏÏIBRATÏÏRES. 



(Liouville. Journal de mathématiques pures et appliquées. II série, T. XIX. 1874, 
p. 19—34.) 



Lu au Congrès de l'Association française pour l'avancement des Sciences, à Lyon. 
Séance du 25 août 1873. 



Sur les quadratures. 



1. Dans l'Ouvrage très-important que M. Hermite vient de publier 
sur l'Analyse mathématique, l'illustre géomètre donne une nouvelle formule 
pour évaluer approximativement la valeur de l'intégrale 

r-m= dx. 

J_^l/l— a;2 

Dans cette formule toutes les valeurs de la fonction ^(x) entrent avec un 
même coefficient; c'est ce qui apporte une différence essentielle entre la 
formule de M. Hermite et celle de Gauss, et ce qui en rend très-commode 
l'application numérique. L'utilité des formules approximatives de ce genre 
m'engage à présenter quelques réflexions sur la recherche de ces for- 
mules. 

Nous supposerons que, la fonction F{x) étant donnée, on cherche à 
exprimer le plus près possible les intégrales de la forme 

-+-1 

f F{x) (^(x) dx, 
—1 

quelle que soit la fonction 9 (x), par la formule 

k [9 (x,) -H 9 (rr^) -I- . . . H-9 W], 

où A;, ajj, iCg, . . . x^^ sont des valeurs qui ne dépendent pas de la fonction <^{x). 
Comme cette formule ne contient que n-t-l quantités k, x^, x^,. . . x^ dont 
on puisse disposer, il est impossible de l'identifier avec la valeur de l'inté- 
grale 



[ F{x)r^{x)dx 



— 166 — 

au delà des termes qui contiennent les n premières dérivées de la fonction 
9(ic), et, par conséquent, on aura 

(1) fF{x) 9 (X) dx-k [ç (a;,Kç (^,K...-? ix^)]=k, ç^"-^^) (O)-hÂ;, cp^""*"^) (0)-h..., 
— 1 

en désignant par fep k^,. ■ . les coefficients de 9^""^'^(0), 9-""*"^^ (0), . . . dans 
l'expression de la diflféreuce 

[ F{x)^ (x) dx—k [9 (a:J-f- 9 (x^ -h ...-+- 9 {x^\ 
— 1 

que l'on trouve eu développant, d'après la formule de Maclaurin, la fonc- 
tion 9 (a;) sous le signe de l'intégrale et les valeurs 9(031) 9(2^2), . . . , ^{x^ 
qui sont hors ce signe. 

2. Pour trouver, d'après la formule (1), que l'on suppose possible, la 
valeur du coefficient k et les valeurs x^^ x^^ . . . ^ x^ de la variable rc, nous 
remarquons que cette formule, dans le cas particulieur où 

?(^) = ^, 
z étant une quantité quelconque, se réduit à l'égalité 

i s — X \Z — Xi z — x^ z — X^J 

1.2.3. . .(wH-l)/;;i^-"-"-Hl. 2.3... (ti -1-2)^2 ^;~"~'-*-. . . 

où A", Z^i, ^2, . . . , iCi, aîg, . . . , ic„ sont des valeurs qui ne dépendent pas de;?. 
D'autre part, en dénotant par f{z) le produit 

{z—x:;} {z — x^... [z—x^, 

on a 



f(B) Z — Xi Z — X2 

et, par suite, la formule précédente se réduit à celle-ci: 

/0^ V Fix) ._if'{z) 1.2.3... (n-4-l)fct 1.2.3.. ■(n-i-2)fca 




En multipliant cette formule par z et en remarquant que, pour z = oo, les 
valeurs 






-1 z 

zf {Z) ^ 1 , 1_ 

f{Z) . X^ ,0-2 



1.2.3... (n-»-l)fci 1.2.3... (nH-2)Â:2 

^n-t-i ) ^n-t-2 > • • • 

sont respectivement égales à 

J F(:r)cZa;, w, 0, 0,. . ., 
— 1 

on parvient à cette égalité 

-4-1 

f F {x) dx = nk, 
— 1 

ce qui nous donne, pour la détermination du coefficient k, la formule sui- 
vante : 

k = ^\ F{x)dx. 
—1 

3 Pour déterminer la fonction 

f{z) = {z — X;) i^ — X,). . .{8 — Xj, 

nous remarquons que la formule (2), étant intégrée par rapport à z, nous 
donne 



J F{x)\og{z — x)dx = k\og^-^ 



f{z) 1.2 3 .. nki 1.2.3... (n-t-l)^;; 



où G est une constante, et de là on trouve 

_L^I^._Lii-jj?iiiè_.., if;^,.„„g(,-.).. 

f{z) e =Ce 

Comme la fonction cherchée 

A^) = (^ — ^l) (^ — ^2)' • •(^ — ^n) 

est de degré n et que l'expression 

1.2.3. ..nTci 1.2.3... (n-i- 1)^2 

e 



— 168 — 

ne diffère de 1 que par les puissances de z inférieures à ^~", il est clair 
que la partie entière du premier membre de la formule trouvée est égale 
à la fonction f{z)^ et que, par conséquent, on aura 

-î F{x)\Qg{z-x)dx 

f{z) = EGe^^ 
ou 

1 +1 

— J F{x) log [z — x) âx 

(3) f{z)^CEe''-' 

en désignant par E la partie entière de la fonction mise sous ce signe. Dans 
cette formule, la valeur de la constante â;, comme nous l'avons vu, est don- 
née par l'équation 

(4) k=^\fF{x)dx. 

—1 

Quant à la constante C, on trouvera aisément sa valeur en remarquant 
que le coefficient de z^^ dans la fonction cherchée, est égal à 1; mais nous 
n'insisterons pas sur la recherche de la valeur de cette constante, vu qu'elle 
peut être toujours supprimée sans modifier l'équation 

1 +1 

— y F{x)\og{z — x)dx 

f{z) = CEe''-' =0, 

dont les racines présentent les valeurs de x^, x^,. . ., x^ dans la formule en 
question 

H-l 

I F{x)(?{x)dx = k[(^{x,)-i-o{x,)-t-...-^<^{xJ}. 

— 1 

4. Passant aux applications, nous ferons d'abord 

ce qui est le cas de M. Hermite, et où l'intégrale 

-♦-1 

J F{x)o (x) dx 
— 1 
se réduit à 

T-^dx. 







— 


169 — 












cette valeur de F{x), on 


trouve 














Xf{x) 


dx = 


-+-1 

f dx 




rie, 










-L/rr 


a;2 




fF{x)\og{z 
—1 


— x)dx 




log {z-x 
^ Vl—x"^ 


dx 


= 7U 


\o^- 


2 


-1 



donc, d'après (4), 

et, d'après (3), l'équation /'(^)=0, qui détermine les valeurs de iCj, iCg,..., a?^, 
se réduit à 

nlogi±2^ . ^^.-^ -s„ 

Ee - =0 n^H E\~{-^ =0, 

résultat identique avec celui de M. Hermite, vu que la partie entière de la 
fonction 

est égal à 

2ïï=^ cos(»^arccos^). 

5. Pour montrer une autre application des formules que nous venons 
de donner, nous poserons maintenant 

F{x)=\, 
ce qui est le cas où l'intégrale 

1 F{x) ^ {x) dx 
—1 
se réduit à 

-i-i 

f çp {x) dx; 
— 1 

intégrale pour laquelle Gauss a donné sa formule de quadrature. 
Comme on trouve 



\ dx=2, [ log (^ —x)dx= log {; :: ;p; - 2, 



jg yx> Uyj wju -^^ wj'l 

—1 

-t-i 

on conclut, d'après le n° 3, que la valeur approchée de l'intégrale J <!^{x)dx 
sera donnée par la formule 



— 170 — 

quand ou fait ^= |-, et que l'on preud pour jj, x^, . . . ^ x^ les racines 
de l'équation 

équation qu'on peut mettre, par le développement en séries, sous la forme 
suivante : 

n n n 

(5) Ez^e =0. 

6. En donnant à n les valeurs les plus simples, telles que 
n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
on trouve que, pour ces valeurs de n, l'équation (5) devient respectivement 



z'- 


1 

3 


= 


^0, 


t- 




z' — 


1 
2 


z 


= 0, 






z' — 


2 

T 


^2 


1 


= 






^5 A^3 i.^_Q 

6 72 ' 



75 119 3 149 ^ 

~6^ ~*"36Ô^ ""6480^ — ^' 



et, en resolvant ces équations, on obtient les systèmes suivants des valeurs 
de a;^ , rCg , . . . , a;^ : 

n = 2. 

rri = — 0,577350, 
a;2 = -H 0,577350; 

n = 3. 
a;i = — 0,707107, 
X, = 0, 
rr3 = -H0,707107; 



— 171 — 

n = 4. 

2^1 = — 0,794654, 
372 = — 0,187592, 
a:-3=: -H 0,187592, 
iC4 = -H 0,794654; 

w = 5. 

iCj = — 0,832497, 
ir2 = — 0,374541, 
x,= 0, 
rC4 = -t- 0,374541, 
iC5 = -+- 0,832497; 

n = 6. 

0;^ = — 0,866247, 
a;2 = — 0,422519, 
cc^= —0,266635, 
ir4 = -+- 0,266635, 
a;, = -H 0,422519, 
iCg== -H 0,866247; 

71 = 7. 

0;, = — 0,883862, 
a:;2= — 0,529657, 
a;3 = — 0,323912, 
x,= 0, 
a;5= -+-0,323912, 
a;g = H- 0,529657, 
a;^ = -f- 0,883862. 



— 172 — 
Avec ces valeurs de a;^, i^g, . . . , oc^, la formule 

|[?W-+-9(^2)-^----^?i^n)] 

donne l'expression approximative de l'intégrale 

-4-1 

qui, dans certains cas, est plus commode pour les applications que ne l'est celle 
de Gauss; car, dans cette dernière formule, les valeurs cp (a;j),cp(iC2)5---)?(^„) 
entrent munies de divers coefficients. Comme notre expression de l'inté- 
grale/ c^{x)dx n'est exacte que jusqu'aux termes en ç^""*"*^ (0), 9^""*"'^(0),..., 

on devt^a y prendre, en général, plus de termes que dans la formule de 
Gauss. Néanmoins, dans le cas où les valeurs de 9 (x^), cp {x^\ . . . , cp(a;J, 

d'après lesquelles on détermine l'intégrale (" 9 (x) dx, sont affectées d'erreurs 

-1 
inconnues, notablement plus grandes que celle qui résulte des termes rejetés, 

la formule approchée que nous venons de trouver doit être préférée à celle 
de Gauss même par rapport au degré de précision, vu que, dans cette for- 
mule approchée, la somme des carrés de coefficients, à cause de leur égalité, 
a la plus petite valeur possible. 

7. Revenant au cas résolu par M. Hermite, nous remarquons que 
l'intégrale 



pour ic = cos se réduit à 



f -^M=-dx 



J 9(cose)rf6; 



donc la formule donnée par lui peut avoir des applications très-utiles dans 
la recherche des valeurs approchées du premier terme du développement de 
9 (cos 0) en série 

Aq -+- Ay cos 6 -f- Jg cos 26 -4- . . . 

Pour trouver une expression pareille du coefficient A^, on devrait faire, 
dans les formules du n° 3, 

Or, pour cette valeur de F (x), l'intégrale J F{x)dx, qui entre dans 
les formules du n*' 3, se réduit à zéro, ce qui fait voir clairement que, pour 



— 173 — 

le cas en question, ces formules ne sont pas applicables. Nous allons mon- 
trer le parti qu'on peut cependant tirer, dans ce cas, de la méthode exposée 
plus haut. 

En remplaçant, dans l'intégrale 

-♦-1 

f F{x) (^ (x) dx, 

la fonction 9(2;) par son développement en série 

le terme du résultat qui contient 9(0) s'annule toutes les fois que l'iu- 

+1 
tégrale J F{x)dx est égale à zéro; mais il n'en est plus ainsi, évidemment, 

de son expression sous la forme 

k [9(2;,) H- 9(2:2)-»- . . . -+- 9(a;„)] 

à moins qu'on ne prenne, dans cette formule, la moitié des termes avec le 
signe — . Nous allons donc chercher à exprimer la valeur approchée de l'inté- 
grale 

fV(^) = 0, 

dans la supposition de 

[ F{x)(^{x) dx 
—1 
par la formule 

k [9 {x,) -y- 9 W -4- ... -f- 9 {xj — 9 (a;^^J - 9 K^,)— . . . — ? (a^2 J] , 
où il y a m termes avec le signe -i- et m termes avec le signe — , 
8. Comme, dans la formule 

il y a 2w-h1 valeurs, savoir: k, x„ x^, . . . ,x^, x^^,, x^^^, • • • , a^sm 

dont on peut disposer, et que par sa composition, le terme en 9(0) s'an- 

+1 
nule, on peut identifier cette formule avec l'intégrale J F{x)(p{x)dx 

jusqu'aux termes qui contiennent les 2m-\-\ premières dérivées de ç(a;), ce 
qui nous donne l'équation 

J F{x) 9(a;)rf:z;=fe[9(ir,)-»-9(a2)...-4-o(a;J— 9(^^^^)-9(a;^^3)...— 9(:^,^)J 
_*_ Z;^ cp^"»-^^ (0) -+- A;^ 9^'"-*-^ (0) -H . . . 



— 174 — 

En suivant la même marche que dans les n*" 2, 3, nous trouverons, 
d'après cette équatiou, les valeurs des quantités k, x^^ x^, . . . , x^^. En 
effet, posant 

l'équation précédente se réduit à celle-ci: 

f^ffo; = /t(^-H-^-...-H^ 1 '—... L_\ 

Jj — x V—^i s—x^ z—Xm ^ — «^m-t-i 3—Xm-i-2 '^ — ^zm/ 

1. 2.3... {2m-*-2)ki 1.2.3... (2m -4- 3)^;, 

Faisant ensuite 

fo{^) = {^ — ^l) (^ — ^2)- • '(^ — ^ml 

fl (^) = (^ — ^,„-^i) (^ — ^m^,) . . . (^ - ^,J, 

et remarquant que, pour ces valeurs de f^i^), fi{^), on a 

/o'(^) 11 1 
74-T = • H ... H , 

fi(^)^ 1 , 1 , ^ _^ 1_ 

J\ \^) ^ ^m-i-i ^ ^m-t-2 ^ ^zm 

on peut mettre l'équation sous la forme suivante: 

) z — x L /o (^) /l (^) J 



11 _ //(^)1 _a_ l-2.3...(2mH-2)fe| 
»2m-t-3 



1.2.3... (2m -1-3)^2 
~*~ 22m-«-4 ~*~ 

d'où, en intégrant par rapport à ^, on tire 

Xf (X) log (.-..) cb = 7. iogfg-i- ^-^-^-;,-i^-r.r"^- 

1.2.3... (2m-t-2)A;2 



22m-+-3 



La constante introduite par l'intégration se réduit à zéro, vu que tous 
I termes s'annulent pour ^ = 00. 

D'après cette équation et en faisant, pour abréger, 

1.2.3... (2m -f-l)fct J- 1.2.3... (2m -t- 2) ^2 r 

k —A' ir = ^2»---» 



— 175 — 

on trouve 

Les fonctions f^iz), f^{z) étant de même degré, la fraction '^^ est du 
degré zéro; de plus, l'expression 

— il z-im-2 _ x^ 2-2m-3 _ _ , 



séquent, l'équation trouvée nous montre que la fraction -^ ne diffère de 
l'expression 

~TF{x)\og{z-x)dx 



que par les termes qui renferment les puissances de z moins élevées que 
3—irn—i et, par suite, moins élevées que le degré de la fraction .^, ,.^ : car 
la fonction /i(^), comme nous l'avons vu, n'est que du degré m. Mais, on le 
sait, la fraction t^ ne peut donner une valeur approchée d'une fonction 
quelconque exacte jusqu'à l'ordre de TjYTim» ^ moins qu'elle ne soit Tune 
des fractions convergentes qu'on trouve par le développement en fraction 
continue, et que le quotient complet, correspondant à cette fraction conver- 
gente, ne soit dépourvu du terme en — . En partant de là, il est aisé de 
trouver et la constante Tz et les fonctions f^ {z), f^ (z), qui déterminent les 
valeurs de x„ x,, . . . , x^, a;,„^^, a;,„_^^, 

loppera l'expression 

1 +1 

— - (■ F(x) log (z — x) dx 
k -1 



en fraction continue, en s'arrêtant au quotient qui correspond à une fraction 
convergente dont les termes sont du degré m. Égalant à zéro le coefficient 
de — dans l'expression complète de ce quotient, on aura l'équation qui dé- 
terminera la valeur de la constante k, et, en mettant la valeur de k ainsi 
déterminée dans deux termes de la fraction convergente, on aura les fonc- 
tions cherchées f^ (z), f^ (z). 

9. Pour montrer, sur un exemple, l'usage de ce que nous venons 
d'exposer, supposons qu'il s'agisse de trouver l'expression approximative de 
l'intégrale 

I a;cp {x) dx. 



— 176 — 
Pour cela ou posera, dans les formules du numéro précédent, 

F(x) = X. 
Pour cette valeur de F{x), on obtient 

I F{x)\og{z — x)dx = ^ x\og{:2 — x)dx = ^-^\og^^ — e, 
—1 —1 

1+1 g2 l Z -t- l Z 

— j F{x) logis -x)dx -2F~ ^"^ r=n; — y 

e =e 

Eu développant la dernière expression en fraction continue, on trouve 
que le quotient complet, correspondant à une fraction convergente dont les 
termes sont du premier degré, est égal à 

3fo-Hl-(|A;-A)l-H..., 

et que cette fraction est égale à 

3kz — l 



Skz -♦- 1 ' 

d'où nous concluons que, dans l'expression approximative de l'intégrale 

f X(p (x) dx 
— 1 
par la formule 

on doit prendre, pour A;, une racine de l'équation 

^ k — ^ — 
et, pour a;^, iCg, respectivement, les racines des équations 
^kz—\ =0, Uz-^\=^0. 
On trouve ainsi deux valeurs de k\ 

et deux systèmes des valeurs de x^^ x^\ 



— 177 — 

mais de ces doubles valeurs de k^ x^^ x^, il ne résulte évidemment qu'une 
seule valeur de l'expression cherchée, savoir: 



>/SKyî)-t(-]/î)]. 



Pour trouver une expression approximative à quatre termes de l'in- 
tégrale 



f a:cp [x) dx 



on prendra le quotient de la même fraction continue qui correspond à la 
fraction convergente dont les termes sont du second degré. Comme la valeur 
complète de ce quotient s'exprime par la série 



243 A;2 — 45 z ' ' ' 

et qu'il correspond à la fraction convergente 

270 F gg — 90 fcg -t- 10 — 64 k^ 
270 Z;2 ^2 -I- 90 ft« -H 10 — 54 F ' 

on trouvera les valeurs de la constante k et de x^, x^, x^, x^ par les 
équations 

5832 ^4—945 fe^n- 35 = 0, 

270 A;2 ^2 __9ofc^_H 10 — 54/^2 = 0, 

270 /1;2 ^2 -t- 90 ^^ -4- 10 — 54 fc2 = 0. 

En les résolvant, on parvient à ces deux expressions approximatives 
de l'intégrale en question 

0,23937 [9(0,89224)-^-cp (0,50030) -cp(-0,50030)-9(-0,89224)]. 



et 



0,32363 [cp(0,84905)-»-cp(0,18093)- 9 (-0,18093)-(p(-0,84905)]. 
tassant à la recherche des expressions ap 

J cos 69 (cos 6) d^ ou I y=^ 9 (^) ^^' 



10. En passant à la recherche des expressions approximatives de 
l'intégrale 



— 178 
Dous poserons dans nos formules 

F{x) = 



Vl — x^ 

Pour cette valeur de F{x) on obtient 

-t-i -+-1 

f F{x)\og{2 — x)dx=^^ ,— ,, log {z — x)dx=^—Tz(z — Vz^ — l), 

—1 —1 " 

-; F {x)\og {z-x)dx _-^(^_>/^2_l-i) 

A; —1 K 

e =e 

Développant la dernière expression en fraction continue, on trouve les 
fractions convergentes 

4JCZ — TZ 48Z:2^2_12A;tc^-hti2— 12Â;2 



4fr2-+-TC' 48fc2^2_,_12ftK^_|-TC2— 12fc2' • ' 

qui correspondent aux quotients complets 

,, 12Jt2 — tc2 1 ,^, 720A;-' — 60ll2fc2H_Ti4 1 

^hz-x-r. ^^^__-t-..., \2kz 20(r2P -Tr2 )fc T-^---^ 

d'oiî, d'après le n*' 8: P, pour la détermination de U^ x^^ x^ dans l'expres- 
sion approximative de l'intégrale 

TC 

f cos (p (cos G) c?G 



par la formule 

h [o {x^) — cp {x^'\ 
résultent ces équations 

et 2^, pour la détermination d'une expression semblable à quatre termes, 
les équations 

720/c*— 60 7t:2â;2^-tc* = 0, 

48^2 ^2_ \2'kKZ-i-%—\2¥ = 0, 
4 8 ^2 ^2 _^ 1 2 â;tc0 H- Ti2 — 1 2 ^2 =r . 
Les expressions approximatives de l'intégrale 

f cos 6 9 (cos G) c?G, 



— 179 — 
que l'on obtient d'après ces équations, se réduisent à celles qui suivent: 

f cos 8 9 (cos 0) db = -L J9 (cos %) — 9 [cos (tu -+- 60)]}, 


K 

f COS 6 9 (cos 6) d^ = 


0,1 5 176 5 u {9 (cos 6^) -+- 9 (cos %) — 9 [cos(tc -♦- 6j)] — 9 [cos(ic h- ô^)]}, 

où 

60 = 30°, 6, = 12°, 02 = 48°*). 

On trouverait des expressions plus approchées de l'intégrale 

TU 

f COS G 9 (cos 6) (^8, 


en prenant plus de termes dans la formule 

Je [9 (x,) -i- 9 (x,) -f- ... H- 9 (xj — 9 (^^_^J - 9 (x^_^;} — ... — 9 {xJl 

Nous n'insisterons pas sur la recherche de ces formules; nous re- 
marquerons seulement que, en remplaçant dans toutes ces formules les ter- 
mes de la forme 9 (cos 8^) par 

|[,(cos^)-.î(cos^^^)^...^<p(cos^-M^)], 

où l est un nombre entier, on obtient les expressions approximatives de 
l'intégrale 

[ cos /e 9 (cos 8) (^6, 


Ainsi, en partant des formules précédentes, qui donnent les valeurs 
approchées, à deux et quatre termes, de l'intégrale 

f cos 8 9 (cos 8) d^, 



on passerait aux expressions approximatives à 21 et 41 termes de l'intégrale 

J cos ^8 9(cos 6)^8, 



*) Hormis cette expression, il existe une autre aussi aux quatres termes, où 
fc = 0,245562 TC, 61 = 240, 62 = 840. 



A. L. 
12* 



180- 



expressions qui peuvent être présentées ainsi: 

VÏ2 



oj5r766. -£ (_ ir [^ (cos ^') M- <!> (cos !^)],- 
où les signes de sommations s'étendent h 1^ = 0, 1, 2, . . . , 2/ — 1. 



iO. 

SUR 

LES VALEURS LîMïTES DES ÏNTÉGRÂLES. 



(Liouville. Journal de mathématiques pures et appliquées. II série, T. XIX, 1874, 
p. 157-160.) 



Lu au Congrès de l'Association française pour l'avancement des Sciences, à Lyon. 
Séance du 27 août 1873. 



Sur les valeurs limites des Intégrales. 

Dans un Mémoire très-intéressant, sous plus d'un rapport, que M. Bien- 
aymé a lu à l'Académie des Sciences, en 1833, et que l'on trouve imprimé 
dans les Comptes rendus^ et reproduit dans le Journal de Mathématiques 
pures et appliquées de M. Liouville (2-e série, t. XII, 1867), sous le titre: 
Considérations à V appui de la découverte de Laplace sur la loi de probabi- 
lité dans la méthode des moindres carrés, l'illustre savant donne une méthode 
qui mérite une attention toute particulière. 

Cette méthode consiste dans la détermination de la valeur limite de l'in- 
tégrale 

p« 
f{x) dx 

-^ 

d'après les valeurs des intégrales 

p-A rA r»A 

f(x) dx, X f\x) dx, x^ f{x) dx,. . . . 

•^0 •'o *^o 

où ^ > a et f{x) une fonction inconnue, assujettie seulement à la condition 
de garder le signe h- entre les limites d'intégration. La démonstration simple 
et rigoureuse de la loi de Bernoulli, que l'on trouve dans ma Note sous le 
titre: Des valeurs moyennes*), n'est qu'un des résultats que l'on tire aisé- 
ment de la méthode de M. Bienaymé, et d'après laquelle il est parvenu lui- 
même à démontrer une proposition sur les probabilités, d'où la loi de Ber- 
noulli découle directement. 

En cherchant à tirer tout le parti possible sur les valeurs limites de 
l'intégrale 

f{x) dx 



T. I, p. 687-694. 



— 184 — 
des valeurs des intégrales 



/%B /*B f%B f%S 

f{x) dx, X f\x) dx, x^ f{x) dx,...., hc"' f{x) dx, 

-^ Â -^ A '^ A -J A 

OÙ l'on a 

et où f{x) reste positive, je suis parvenu à reconnaître que ces recherches 
conduisent à des théorèmes d'un nouveau genre, concernant le développe- 
ment de l'expression 



1 



Z — X 



en fraction continue, qui joue un si grand rôle dans la théorie des séries. 
Voici, par exemple, un de ces théorèmes: 

Si ^ est une des fractions convergentes de 

fm. dx, 

\ z — X ' 



que Von trouve en développant cette expression en fraction continue 



ai « + Pi -- 



et que 

soient les racines de Véquation 

rangées suivant leur grandeur: toutes les fois que la fonction f{x) reste 
positive entre les limites x = A, x = B, la valeur de Vintégrale 

f[x) dx 
surpasse la somme 

?(^f-n) , .9(gf-4-2) • ■ 9(gn-2) , 9(g«-i) 



— 185 — 
et reste au-dessous de celle-ci: 

fin) <P(g/-t-i) 9(gn— i) <P(^n) 

Comme exemple des problèmes qu'on parvient à résoudre par cette 
méthode, je citerai celui-ci: 

Étant donnés la longueur, le poids, le lieu du centre de gravité et le 
moment d'inertie d'une droite matérielle de densité inconnue et variable 
d'un point à l'autre, trouver les limites les plus proches du poids d'un 
tronçon de cette droite. 

En supposant qu'il s'agisse d'évaluer le poids d'un tronçon de la ligne 
compté d'un de ses bouts, dont la distance du centre de gravité est égale 
à d, et en désignant par /, p la longueur et le poids de la ligne entière, 
par k son moment d'inertie autour de l'axe passant par son centre de gra- 
vité et perpendiculaire à celle, par x, z la longueur et le poids du tronçon 
en question, on parvient à cette solution: 

Tant que x est au-dessous de 



d 



le poids z reste compris entre 



dans le cas où x surpasse 

ce poids reste entre les limites 

P 
enfin, si x reste compris entre 



kp 



d— xj'p-i-k^ 






[d — x)'^ p -t- k^ 



^ et " • ^ 



la valeur de ce poids est comprise entre les quantités 

(x~d) {l — d)p-t-k . (l-^d — x)(l — d)p — k 

Ix ^^ l{l-x) 



il 

SUR LES FONCTIONS 
QUI DIFFÉRENT LE MOINS POSSIBLE DE ZÉRO. 

(XRADUXT PAK K. N. KKANXKOr.) 



(Liouville. Journal des mathématiques pures et appliquées. II série, T. XIX, 1874, 
p. 319-346.) 



(9 d>uHÂtiijix'& ^ uauMcurôd y&AOUJ^1o^UiUCCCJl Ofniè uyASi. 



(JIpHjioaceHie Kt XXIItomj SauHCOKt HMnepaïopcKoS AKa;neMiH HayR-B, JVà 1, 1873 r., 
cTp. 1—32,) 



(HHTano B1. saci^aHiH <i>H3HKO-MaTeMaTHHecKaro OTft-fejieHia 28 HOflôpa 1872 r.) 



Sur les fonctions qui diflèrent le moins pos- 
sible de zéro. 



1. J'ai montré, dans le Mémoire Sur les fonctions semblables à celles 
deLegendre*), comment le procédé que ce géomètre a employé **) pour éta- 
blir la propriété fondamentale des fonctions connues sous son nom pouvait être 
étendue à d'autres fonctions, plus compliquées, qu'on obtient en développant 
l'expression 

(l H- g -^- VT^ 2sx -t- s^T il—s-i-Vl—2sx-i- s'^)^ 
Vl — 2sx-i-8^ 

en une série de la forme 

n-i-T,s-^T,s'^ , 



Jacobi, dans son Mémoire intitulé: Untersuchungen ûber die Biffer en- 
tialgleichung der hypergeometrischen Eeihe ***), déduit la même propriété 
des fonctions 

T T T 

à l'aide d'une équation différentielle à laquelle on satisfait au moyen de sé- 
ries hypergéométriques. 

Je me propose ici d'appliquer ces fonctions à une recherche qui mon- 
trera plus clairement encore leur rapport intime aux fonctions de Legendre. 

Cette application consiste à déterminer les polynômes de la forme 

qui, sans cesser de croître ou de décroître constamment entre des limites 
données, diffèrent aussi peu que possible de zéro. Les polynômes de cette 



*) T. II, p. 61-68. 
**) Exercices du Calcul intégral, t. II, p. 250. 
**) Jacobi, Mathematische Werke. Band. III. 



— 190 — 

espèce, comme nous le verrons, s'expriment à l'aide des fonctions de Le- 
gendre uniquement dans le cas où n, le degré du polynôme, est un nombre 
impair, et le polynôme lui-même est une fonction croissante. Dans tous les 
autres cas, la détermination de ces polynômes exige l'emploi d'autres fonc- 
tions que nous venons de désigner par Tq, T^, T^,. . . et que l'on obtient 
en développant en série l'expression 

(l _^ g -4- VTI^sx -+- s^)^ (i — s-i-Vl — 2sx -*- s^Y" 



pour des valeurs de X et [ji différentes de zéro. Les polynômes déterminés 
de cette façon trouvent une application utile dans les recherches de l'Ana- 
lyse pure, comme dans les questions de Mécanique pratique, ainsi que nous 
l'avons montré dans notre Communication du 22 août 1871, faite à Kiev 
lors de la troisième réunion des naturalistes russes, de même que dans notre 
article sur le Bégulateur centrifuge^ imprimé à la suite du compte rendu de 
de l'École technique de Moscou pour l'année 1871. 

2. Pour simplifier les formules, nous supposerons que les limites des 
valeurs de la variable x sont réduites à — 1 et -+- 1 (ce qu'il est toujours 
facile de réaliser). 

En désignant par F {x) le polynôme 

ic" H- A^ is"~^ H- A^ x^^^ -I- .... -t- A^_^ ^ -»- A 

nous ferons remarquer que l'une des conditions de notre problème impose à 
la fonction F {x) d'être constamment croissante, ou constamment décrois- 
sante, depuis X =^ — 1 jusqu'à x = -\- \, de sorte que sa dérivée pre- 
mière 

F'{x) 

doit conserver toujours le même signe entre ces limites; par conséquent, les 
valeurs primitives 

F{-\1 F{-^\\ 

qui correspondent aux valeurs 

a; = — 1, x = -\-l^ 

représenteront les limites entre lesquelles la fonction F {x) variera dans le 
passage dea; = — làa;= -i-l. Pour que le polynôme F {x) puisse dif- 
férer aussi peu que possible de zéro, en passant de F { — 1) à jP(-h 1), il 
faut que le plus grand des nombres 

F{-1\ F(-i-l) 



— 191 — 

soit, en valeur numérique, aussi petit que possible et qu'il ne puisse deve- 
nir moindre par aucune variation du polynôme F (ic), compatible avec les 
conditions de la question, qui déterminent le degré et la forme du polynôme 

F{x) ^x^ -\-A^ x^~^ -I- A^ x^~^ -\- , . . . -V- A^_^ x-^A^ 

ainsi que le signe de sa dérivée F' {x). 

Il est facile de voir que le polynôme cherché doit être tel que l'on ait 
l'égalité 

F(-*-l) = -i^(-l). 

En effet, si cette égalité n'a pas lieu, nous n'aurons qu'à retrancher de 

F{x) 
la quantité constante 

F{-^\)-i^F{-\) 
2 ' 

ce qui, évidemment, ne change ni la forme du polynôme F{x)^ ni la valeur 
de sa dérivée, et nous obtcnous, au lieu des limites anciennes, 

F{—\), Fi-^1) 

deux nouvelles valeurs que voici: 

/<(— 1) 2 = 2 ' 

En comparant les carrés de ces quantités avec la moyenne arithmétique des 
carrés de 

F{~ 1), F(H- 1), 
nous verrons que 

/ F{-t.l)-F{-l) Y^f F(-l)-F(-^l) Y^ FH-^l)^FH-l) / F(-4-l)-t-F(-W 

D'où il résulte que le carré des nouvelles limites 

F(^])- Fi-\) F(-l)-F(-i-l ) 
2 ' 2 

sera inférieur au plus grand des carrés 



— 192 — 

et que, par suite, les nouvelles limites seront inférieures, en valeur numé- 
que, à la plus grande des anciennes limites. Ainsi nous sommes conduits à 
admettre que, dans la question qui nous occupe, tous les polynômes cher- 
chés doivent satisfaire à l'égalité 

FK1) = — F(-l). 

Cette égalité nous donne donc les moyens de trouver la valeur des po- 
lynômes que nous examinons, à l'aide de la valeur de leur dérivée. 
En effet, représentons le polynôme F{x) par l'intégrale 

F(x)=\F'{x)dx-^G 
— i 

et mettons cette expression dans l'égalité trouvée ci-dessus, nous obtenons, 
pour déterminer la constante (7, l'équation que voici: 



/' 



\F'{x)dx-i-G= — G. 

D'où l'on tire 

G=—^ÏF'(x)dx, 
— 1 

En mettant cette valeur de G dans l'expression de F{x), on a 



-1-1 

F{x)=\F'{x)dx-^ÏF'{ 



(1) F{x) = F' (x) dx — ^lF' {x)dx. 

— 1 —1 

En déterminant les valeurs limites du polynôme F{x) correspondant à 
a; = liz 1 , nous trouverons qu'elles sont égales à l'intégrale 



-4-1 

~\F'{x)dL 



— 1 



prise avec le signe -+- ou avec le signe — . Il s'ensuit, de plus, que la plus 
grande valeur des polynômes que nous avons en vue sera égale à la valeur 
numérique de l'intégrale 



\\F'{x)dx. 



— 193 — 
3. Passant à la détermination de la dérivée 

F'ix), 

nous ferons observer que, comme nous l'avons dit, c'est une propriété des 
polynômes que nous considérons d'avoir une dérivée première qui ne change 
pas de signe entre x= — 1 eta; = -f-l; donc non-seulement toutes les ra- 
cines de l'équation 

F\x) = 0, 

comprises entre les limites 

x = — 1, x = -^ 1, 

doivent être multiples, mais le degré de leur multiplicité doit s'exprimer en 
nombres pairs. 

Or, désignons par 

toutes les racines de l'équation 

F'{x) = 0, 

supérieures à — 1 et inférieures à h- 1, par 

les degrés de multiplicité de ces racines, et supposons, comme cela est per- 
mis, que l'équation 

F'{x) = 

ait >. racines égales à -*- 1, et\ racines égales à — 1 ; nous allons prou- 
ver que la somme 

qui représente le nombre des racines de l'équation 

F\x) = 0, 
ne dépassant pas les limites 

x^ — 1, ir=-t-l, 

ne saurait être inférieure à w — 1, ou au degré de cette équation. 

Pour nous en convaincre, admettons le contraire, c'est-à-dire posons 

(2) l-i-\-^2\-^2\-h- -4-2X^<w — 1, 

13 



194- 



et prouvons que dans cette hypothèse il est toujours possible de faire varier 
le polynôme F{x) sans déranger ni sa forme, ni le signe de sa dérivée F'{x) 
entre les limites x = — letic = -«-l, mais de manière à diminuer la 
valeur de l'intégrale 



i\ 



F'(x)dx, 



qui détermine la limite de l'écart entre le polynôme cherché et zéro. 

Pour le faire voir, nous observerons que, d'après ce que nous venons 
de dire, l'équation 

F'ix) = 0, 
et la suivante 

(a; _ 1)^ (a; -H 1)^» {x — a^f ' (x — o^.f'^ ....{x — a^f - = 

auront, entre les valeurs limites x = — 1 et a; = h- 1, les mêmes racines 
et avec les mêmes degrés de multiplicité, et, par suite, le rapport 

F^ 



ne changera pas de signe entre x = — ^letic = -i-let sera compris en- 
tre deux quantités distinctes de zéro. Désignons par L^ la plus petite de ces 
quantités en valeur numérique, et remarquons que la différence 



F'jx) 



■-U 



(^ _ 1)>- {^ ^ 1)^0 (^ _ ,^)2.. (^ _ ,^)2.., _ . (^ _ ,^)2) 

pour toutes les valeurs de x inférieures à h- 1 et supérieures à — 1 , aura 
le même signe que le rapport 

F^ 

et qu'elle lui sera inférieure par sa valeur numérique. La même chose, évi- 
demment, aura lieu pour les expressions 

F' {x) — L,{x-lf{x-^ 1)^0 {X — a,)^^' {X - a,f ' ....{x — olJ'" , 
F\x\ 

qu'on déduit des précédentes en les multipliant par 



— 195 — 
d'où il est clair qu'en soustrayant de F'{x) l'expression 

Lo(x—lf {x-t-l)'o (a; — a,f' (x — oc,f^' (^ — 0''"*» 

nous ne cessons pas de satisfaire à la condition de conserver le même signe 
à F'{x} entre les limites x = ± 1; mais nous diminuons par là la valeur 
absolue de l'intégrale 



J 



F\x)dx, 



qui détermine la limite de l'écart entre le polynôme cherché et zéro. 
Quant à la forme du polynôme 

F{x)=x''-*-A^x''-'~t-A^x''-^-^- -^-A^_^x-^A^, 

après avoir fait subir à F\x) la transformation ci-dessus indiquée, elle re- 
stera la même, car, d'après l'inégalité (2), l'expression 

ne contiendra pas de puissances de x, supérieures tout au plus k n — 2. 

Nous voyons ainsi qu'en admettant la possibilité de l'inégalité (2) on 
peut rendre le polynôme F{x) plus approché de zéro, en lui conservant, con- 
formément aux conditions de la question, la forme 

rc" -t- A.x''-' -*- A.x'*-^ -+-.... -f- A^_^x -f- A^ 

et sans faire varier le signe de sa dérivée première entre les limites x= — 1 
et a; = H- 1 . 

Or cette conclusion est absurde, puisque, par hypothèse, le polynôme 
en question est celui qui diffère le moins possible de zéro, entre les limites 
X = — leta;=-i-l. 

En observant que cette inégalité, dont le côté gauche est le nombre 
des racines de l'équation 

F'{x)==0, 

comprises entre les limites x = — 1 et a; = -*- 1 , et la partie droite le 
degré n — 1 de cette équation, ne peut avoir lieu, non plus, avec un signe 
d'inégalité contraire au premier, nous sommes conduits à admettre l'égalité 

X-i->o-f- 2X1-^2X3-1- -h2X^=w— 1; 



— 196 — 
d'où il résulte que toutes les w — 1 racines de l'équation 

F'{x) = 

lui seront communes avec l'équation 

ix - \f {X -t- \p {X - a,r^ (x - a/^ . . . .{x~ ocj^n, = Q, 

et qu'ainsi Ton a 

F'(x) = Gix-lf{x-^\y^{x — a,r'ix — ^,rK . . .(a; — aj^-., 

où G est un facteur constant. 

Pour trouver la valeur de ce facteur, nous observons que, le polynôme 
cherché étant de la forme 

x'^-+-A^x^~^-+-A2x'^~^-i~. . . .-i-A^_^x-+-A^, 

sa dérivée sera 

F\x) = nx""' -H (w — 1) J, x""-' -H (w — 2) A, x""-' -*-...-+- A^_^ , 

ce qui^ étant comparé à l'expression ci-dessus de F\x), nous donne 

n = G. 

Par conséquent, F'{x) peut être représentée par la formule que voici: 

F' (x) = n{x—l f {x-^lfHx — o^X' (^ — ^,f' ... - (^ — y-X"* . 

Si maintenant on désigne par 

es quotients, et par 

? » Po 

les restes qu'on obtient en divisant les exposants 

X, Ao 
par 2, cette égalité pourra être mise sous la forme 

F\x)=n(x—iy{x-^lf^^{x~iy{x-v-\y'>{x — y.,Y^{x—oL.^\...{x—OLj"^^^ 

ou bien 

(3) F\x) = n{x—lf{x-+- 1)P» . U^ 



— 197 — 
U étant un polynôme donné par la formule 

{x — 1 )' (a; -f- 1 y^ {x — a,)'' {x — ol^)'- {x — a.J'- = V. 

4. Les nombres p et po de la formule (3) étant les restes de la division 
de X et Xo par 2, ils ne peuvent avoir que les valeurs 

0, 1, 

et il est très-aisé de voir, dans chaque cas particulier, d'après la forme du 
nombre w, degré du polynôme cherché t {x)^ et d'après le signe de sa 
dérivée première F' {x)^ entre a; = — 1 eta; = -f-l, lequel de ces deux 
nombres doit être adopté pour p et po dans l'expression de F' {x) par la for- 
mule (3) 

F'{x) = n{x—\y {x-^\y'U\ 

En effet, si w, degré du polynôme 

F{x) = a;" -4- A^x""-'-^ J^^^-'-f- -+-^n_i^ -^ ^„, 

est un nombre impair, sa dérivée F'{x) sera de degré pair, et dans ce cas 
l'égalité (3), où f/^ est aussi une fonction de degré pair, indique que le 
facteur 

{x — ly {x -4- 1)^" 

doit aussi être une fonction de degré pair; mais comme il n'est possible de 
satisfaire à cette condition, ni dans l'hypothèse de 

P = et po = l, 
ni dans celle de 

p = 1 et Po = 0, 

on est forcé d'admettre que, dans ce cas, on aura ou 

P = et po = 0, 
ou bien 

p = 1 et po = 1- 

Pour décider lequel de ces deux systèmes de valeurs de p et po doit 
être adopté, nous observerons que le premier nous donne, d'après la formule 
(3), l'expression 

F'{x) = nU\ 



— 198 — 

et le second 

F'ix) = n{x—l){x-t-l)U\ 

et qu'ainsi, la variable x demeurant comprise entre — 1 et -h 1, dans le 
premier cas, F'{x) aura une valeur positive, et que, dans le second cas, elle 
aura une valeur négative. De cette façon, il est clair que les valeurs 



P = 



et 



doivent être adoptées dans le cas, oii F(x) sera une fonction constamment 
croissante entre les limites x=^ — 1 et ^ = -♦- 1, et les valeurs 

p = 1 et po = 1 , 

dans le cas^ oii F{x) sera une fonction constamment décroisante. 

Passant à la considération du cas oii n est pair, nous observerons que, 
dans cette hypothèse, le degré de la dérivée première de F{x) sera impair, 
et, par suite, pour satisfaire à l'égalité (3), nous devons assigner à p et p^ 
les valeurs que voici: ou bien 

P = 0, Po=l, 
ou vice versa 

p=l, p, = 0. 

Or, comme pour ces valeurs de p et po la formule (3) devient respecti- 
vement 

F\x)=^.n{x-\-l)U^ 
F\x) = n{x—l)U^, 

et que la première de ces deux expression reste constamment positive depuis 
a; = — 1 jusqu'à a;=:-i- 1, et la seconde constamment négative pour les 
mêmes valeurs de x, nous concluons que, dans le cas de n pair, on a 

= et Pq = 1, 

si F{x) est un polynôme toujours croissant, depuis x = — 1 jusqu'à 
a; = -1-1, et 

P=l et Po = 0, 

quand F{x) décroîtra constamment entre les mêmes limites. 

5. Pour déterminer le polynôme t/, qui figure dans l'expression ci-des- 
sus de -F'' (a:), nous ferons remarquer que, d'après le n^ 3, ce polynôme est 
un produit de la forme 

^x—l)^ix-^l)'^^ix-ocf^ix-a/^. . . .{x — ocj'n- 



— 199 — 

par conséquent, il a toujours la forme 

U=x^-^ B,x~' -+- B^x^~^ "♦-.... -f- B^_^x -*- ^^ , 

et la valeur du degré l s'obtient à l'aide de l'égalité (3), qui donne, entre 

les exposants, la relation 

(4) w— 1 =p-f-po-*-2?, 

D'un autre côté nous savons, par le n^ 3, que la limite de l'écart entre 
zéro et le polynôme cherché F{x)^ depuis a; = — 1 jusqu'à ic = -*- 1, est 
égale à la valeur numérique de l'intégrale 

-1-1 

— \ 

mais cette intégrale (3) se réduit à 
-*-i 

tl^Ul-y-xY'^il—XfV^dx, 
—1 

si l'on y met pour F'{x) son expression (3), et la valeur numérique de cette 
dernière intégrale est évidemment 



H-l 

~\{i-^xT{\—xyw 



dx. 



Donc, en désignant par L la limite de l'écart entre zéro et le poly- 
nôme cherché F{x), nous aurons 

■^-1 

(5) L = ^\{i-i-xy'>{i-xyu'dx. 



Ainsi, pour diminuer, autant que possible, la quantité L, sans changer 
toutefois les conditions de la question, nous aurons à déterminer le polynôme 
U de façon à rendre minimum l'intégrale 



J 



{i~i-xy'>ii—xyu^dx. 



— 200 — 
Il est facile d'y parvenir à l'aide des fonctions 

-'Oî -^1» -^2' • • • • -^p . . . . , 

qu'on obtient en développant l'expression 

(l _,_ s -+_ Vi — 2sx -^ g"2)^ (l—s-t-Vl-2sx-^ s^)^ 



Vl — 2sx -+- «2 

en une série de la forme 



T,-*-T,s -H i;s2 -+- . . . . H- T^s' -f- . . . . 

En effet, on sait que ces fonctions sont de degrés 0, 1, 2,..., Z,..., et 
qu'en général pour tout m distinct de m^ elles satisfont à l'équation 



-^-— dx = 0; 



(l-t-a;)^(l — ic)!^ 



de plus, il résulte, de ce que nous avons établi dans notre Mémoire Sur les 
fractions continues *), que l'intégrale 



(l-4-a;)^(l-a;)f* 



dx 



Z étant de la forme 

acquiert une valeur minimum lorsque le polynôme Z ne diffère de la fonction 
T^ que par un facteur constant. Nous en concluons donc que le polynôme 

U=x^-^B,x^-'-i-B^x^-'-^ -i-B^_^x-^Bf, 

qui correspond à la valeur minimum de l'intégrale 



-+-1 



\{i-i-xy'{i—xyu'dx, 

sera donné par la formule 
en faisant 



X = - 



-Po» K- = — p. 



*) T, I, pag. 203-230. 



— 201 — 

dans l'expression de la fonction T^, qui nous est fournie par le dévelop- 
pement en série 

To -*- T,s -*- i;s2 -H H- T^s^ -^ 

de l'expression 

(l -t- g -f- VT— 2sx -H s2)^ (l — g -f- y 1 — 2sa; H- s^)^ 

Vi - 2SXH-S2 

Désignant par 
le coefficient de x^ dans la fonction 

et remarquant que cette puissance de x doit figurer dans le polynôme U avec 
un coefficient égal à l'unité, nous en concluons que l'expression que nous 
venons de trouver pour U entraîne l'égalité 

d'oiî l'on tire 

et, par suite, le polynôme U est complètement déterminé par l'équation 
(6) U^^T,, 

OÙ, comme nous venons de le dire, la fonction T^ s'obtient en développant 
l'expression 

(l -H s -♦- Vl — 2sx -4- s2)-Po (i — a -^- yi — 2sa; -^ s2)~P 



yi — 2sa;-Hs2 

Or, comme ce développement peut être représenté par l'égalité que 
voici: 

eo 

il-t-s-t-Vl~2sx-*- s^yp" (l — s -*- Vl ~ 2sx -*- 5=^)~P __^ ji m 
Vl — 2SX-HS2 "* 

en désignant par 
les coefficients de 



— 202 — 
dans la fonction T^ pour une valeur quelconque de m, nous aurons 

(l -«- s -H yT^2sx -+- g'O'P" (l — g -H •/! — 2sx H- s"2)~P 



V\ — 2sa;-t-s2 

=2(-fi^»^'"-^«'».*'""'-*----)A 



quelles que soient les valeurs de s et x. Donc, si l'on pose 



et si l'on fait ensuite 

s = 0, 

l'égalité ci-dessus se réduit à la formule 

Cette formule nous montre que Z^ , coefficient de x^ dans la fonction 
T^, sera identique au coefficient de a! dans le développement en série de 
l'expression 

(l -t- T/îrZ"2^)-p-po 
■/l — 2a 

Mais comme ou sait, par ce que nous avons dit dans le n° 4 sur les 
nombres po et p, la somme pn-po ne peut être que zéro, 1 ou 2; l'expression 

(l -f- Vl — 2x)-P''-P 

_____ 5 

yi — 2a 

pour ces valeurs, peut être développée en séries 

, 1 1.3 9 1.3 5....(2?— 1) l 

1 . 1-^ ,. , 1-3-5 ^.2 , 1.3.5....(2;-i-l) / 

2 2.1.2^ 2.1.2.3 • • • •~^2.1.2.3...(î-4-l) "^ • • • • 5 

J_ JL Jl ^i-s j^ ;-f-i 1.3. 5. ..(2; -4-1) / 

2 * 2~*~2 *3.1.2°'~*"''-*~*"2 'Z-H2 " 1.2.3. ...(«-♦- 1) '^ "*"••••» 



par suite, le coefficient K^^ selon que l'on pose 

P-+-Po = 2, 



203- 



aura les trois valeurs que voici: 



(7) 



K, 



■ 3.5....(2?— 1) 
1,2.3...J ' 



j. 1 1.3.5....(2Z-»-l) 

""l 2 1.2.3....(Z-t-l)' 



K,= 



\_ 1.3.5. ■..(2;-f-i) ;-Hi 

2 * 1.2.3 [l-*- 1) ' Z-t-2* 



6. D'après toutes les recherches précédentes, il sera aisé de trouver, 
dans chaque cas particulier, un polynôme F{x) de la forme 



-A^ 



-A a;" 



-^„, 



qui, tout en restant toujours croissant ou décroissant depuis x = — 1 
jusqu'à a; = -I- 1, diffère le moins possible de zéro entre ces mêmes limites. 
Nous commencerons par déterminer les nombres p et po en observant 
que, d'après le n^ 4, on a, n étant impair. 



ou bien 



p = 0, po=0, 
p=l, po=l, 



selon que le polynôme cherché croîtra ou décroîtra constamment entre les li- 
mites X = — \Qi X =-\- l,et que, dans le cas de n pair, ces mêmes nom- 
bres seront 

P = 0, po=l, 

ou bien 

P^l, Po=0, 

selon que le polynôme cherché sera constamment croissant ou constamment 
décroissant pour toutes les valeurs de x depuis x = — 1 jusqu'à a; := -+- 1. 
Connaissant p et p^, nous trouvons, à l'aide de l'équation (4), 



(8) 



n — p — Po — 1 



1 = 



puis nous cherchons la valeur de la fonction T^ coefficient de s' dans le dé- 
veloppement de l'expression 

(l H- s -^ y 1 — 2s3; -4- s2)-Po {i—8-\-V\ — 2sx-^ s^)~^ 



selon les puissances ascendantes de s, et la valeur du coefficient .fiT^ par la 



— 204 — 

formule (7). Les valeurs de T^ et de K^ étant connues, à l'aide des équations 
(3) et (6), dont on élimine la fonction U, nous déterminons F' {x), dérivée du 
polynôme cherché, 

F'{x) = -^{x-^\T{x—iy.T^'- 

mettant cette valeur à la place de F'{x) dans l'équation (1), nous obtenons 
enfin, pour l'expression du polynôme cherché, la formule que voici: 



Kî^ 



(x—iy{x-^ If jT/ dx—\\{x— \y {x -H l)p» Tl 



dx 



Nous trouverons ainsi le polynôme cherché, qui, jouissant de la pro- 
priété de croître ou de décroître constamment depuis x = — 1 jusqu'à 
a; = -f- 1, différera de zéro moins que tous les autres polynômes de la 
même forme. 

Maintenant, pour calculer la valeur de Z, limite des écarts de ce poly- 
nôme, nous observerons que la formule (5), en y mettant l'expression de XJ 
tirée de l'équation (6), nous donne 



"M' 



l-i-a;f (1 —xy Tfdx, 



ou bien, en mettant pour n sa valeur tirée de l'équation (4), c'est-à-dire la 
somme 2Z -*- p -*- p^ -+- 1, 

-4-1 

— 1 

Nous observerons ensuite que, d'après ce que nous avons établi, dans 
notre Mémoire Sur les fonctions semblables aux fonctions de Legendre *), 
sur la réduction de l'intégrale 



_ (1 -*- x)^ (1 — x)i^ 



*) T. II, p. 61-68. 



— 205 — 
à l'intégrale 

J x>^ {l — x)V- {l ~ stx^) ' 



la valeur de l'intégrale 

— 1 

qui entre dans l'expression de X, sera le coefficient de (st)' dans le déve- 
loppement de la formule intégrale 



-^-Ui-sm-r^^ 



x-P" (1 — a:)~P (1 — stx^) 



suivant les puissances ascendantes de st. Or, comme cette intégrale devient 
ir-i^loglr:ip_l^iii^n pour p = l, p, = l, 



2{st) 

et 



2^^ log (1 — st), pour p = et p^ = 1 



de même que pour p = 1 et po = 0, et que ces trois expressions se déve- 
loppent en trois séries que voici: 

27273 ~*" 27375 ^^ "*" 27177 ^^^^^ -+-...."+- 2(l-t-2) {21 -t- 3) ^^^^ ~*~ ' 

les valeurs de l'intégrale 

{l-i-xy'>{l —xfTi^dx 



— 206 — 

seront pour les trois systèmes de valeurs de p et p^ que nous venons de 
mentionner, 

2 Z-4-1 1 

2î-i-l' 2(Z-»-2)(2Z-*-3)' 2(i-Hl)* 

En mettant ces valeurs dans l'expression de i à la place de l'intégrale 



j< 



qui y figure, et en remplaçant K^ par ses valeurs tirées des équations (7), 
nous obtenons pour la valeur de L les trois expressions que voici: 



T — / l-^-3 ^ Y 



L = 



a.2.3....(Z-f-i) \2 ;-t-2 

^1.3.5....(2?-t-l)/ 'Z-Hl' 



X = 2 



a.2.3....(Z-i-l)' 






Vl.3.5....(2i-f 

correspondantes aux trois hypothèses sur les valeurs de p et de po 
p = 0, po = 0, 
p=l, po=l, 
p = 0, Po=l, ou bien p=^l, Po = 0; 

mais, d'après (8), ces trois systèmes d'hypothèses sur les valeurs de p et Po 
nous donnent 

n n — 1 j n — 3 j n — 2 

L — ~"2~' ^ — "~2~' ^ — "T"' 

et par suite les expressions ci-dessus de L se réduisent à 

\1.3.5....(M— 2)/' 



■^ ~ \1.3.5....(n— 2)/ n — 1' 
^— 2Vi.8.5....(n-l)y- 



— 207 — 

Les deux premières de ces expressions de L obtenues dans les hypo- 
thèses 

p = 0, po = 0, 

p = l, Po=l, 

et se rapportant toutes deux, d'après le n" 6, au cas de n impair, peuvent 
être remplacées par une seule formule 



L = 



1.3.5. ...(n- 



-V 

_ I nH-l 
■1)/ n±l' 



qui se réduit à la première ou à la seconde, selon que dans w =t 1 on prend 
le signe -i- ou le signe — . Or, comme la première des trois expressions 
ci-dessus de L correspond à l'hypothèse 

p = 0, po=0, 

c'est-à-dire (d'après le n° 5) au cas, où le polynôme cherché ne cesse de 
croître entre les limites de a; = — 1 et a; = h- 1 , et que la seconde de ces 
expressions a été obtenue dans l'hypothèse de 

P = l, po=l, 

c'est-à-dire en admettant que le polynôme cherché décroit constamment entre 
les limites dea;= — 1 eta; = -f-l, nous concluons que l'on doit garder, 
dans la formule 

^.2.3. ..^ 



7- l 't__ I »-*-! 

^~ \l.3.5....(n-2)/ n±l' 

le signe -+- ou le signe — , selon que le polynôme cherché ne cesse de croî- 
tre ou de décroître entre les limites a; = — letaj = -+-l, bien entendu 
dans le cas où w, le degré de ce polynôme, est un nombre impair. 

Quant à la détermination de L dans les cas de n pair, la valeur est don- 
née par la troisième expression de i, à savoir: 



i = 2 



^1.3.5. ...(n — l) 

car elle a été obtenue en faisant 

p=:0, Po=l 

OU bien 

p = l, po = 0. 



— 208 — 

7. Les polynômes de la forme 

a;" -ï- A^ x^~' -+- A^~- -+- -+- A^_^ ^ -*- ^„, 

déterminés conformément à ce qui vient d'être dit, différeront moins de zéro, 
entre les limites x= — 1 etrr = H-l, que tous les polynômes de la même 
espèce, et qui seront, comme eux, constamment croissants ou constamment 
décroissants entre les limites indiquées de la variable x. En d'autres termes, 
l'écart entre zéro et tout polynôme satisfaisant aux mêmes conditions ne 
saurait être inférieur à L, limite des écarts entre zéro et la valeur des po- 
lynômes que nous examinons. Les valeurs de L que nous venons de trouver 
nous permettent d'énoncer le théorème suivant: 

Théorème. 
Si un polynôme de la forme 

^"-+-^,a;"-^-4- -^A^_^x-^A^ 

ne cesse de croître ou de décroître depuis x =^ — 1 jusqu'à x = -\~ \ sa 
valeur numérique ne saurait être, dans ces limites, inférieure à 



1.2.3. 



ou bien à 



1.3.5 (n— 1), 



, si n est un nombre pair, 



i.3.5....in-2)/l^v '' '' est impair. 

Bans la dernière formule, il faut prendre dans Vexpression n zïz \ le 
signe -4- ou le signe — , selon que le polynôme cherché croît ou décroît de- 
puis x = — 1 jusqiCà a; = H- L 

Ce théorème nous permettra d'en déduire un autre plus simple, en 
remplaçant les valeurs exactes de L par des valeurs approchées, mais infé- 
rieures aux premières. En effet, ces valeurs approchées s'obtiennent aisé- 
ment à l'aide de la formule de Wallis 

71 2 2 4 4 2m 2m 2m-»-2 2m-i-2 

~2 T * ¥ ■ y y ■ ' * ' 2m — 1 ' 2m -H 1 * 2m h- 1 * 2j?TT3 ' ' * * 

Notamment, si l'on fait 



X = 



2m {2m -i- 2) (2m -+- 2) (2m -h 4) 



(2m-4-ip (2m -4-3)2 

et 

Y (2m -i- 2)' • (2m -t- 4)^ 

(2m -t- 1) (2m -i- 3) * (2m -+- 3) (2m -t- 5) * 



— 209 — 
l'expression de ^ devient 

2 1 ' 3 ' 3 ' 5 * ' * ' 2m — 1 ^' 

et 

jJT^ ^ _2_ _£ _£ 2m 2m y; 

2 ~" 1 '3 "F * 5 ' * * * 2m — 1 * 2m -+- 1 ^'^ 

d'où l'on tire 

/ 1.2.3 m y __2nvK__ 

\1.3.5....(2m — 1)/ 22'n-^-i X 

et 

/ 1.2.3 >n y (2m-t-l)TC . 

\1.3.5 (2m— 1)/ 2-^m-^iY^ 

mais comme les valeurs trouvées ci-dessus pour X et F peuvent être mises 
sous les formes 

^^^ \ -^ (2m H- 1)2/ V ' (2m -h 3)2/ ' * * ' ' 

V -^ ~*~ (2m H- 1) (2m -f- 3) j (^ ^ "*~ (2m-H 3) (2m -+- 5)/ * ' * * ' 

il est évident que 

X<1, r>i. 

Donc en supprimant, dans les équations précédentes, les termes de X et Y", 
nous obtenons les inégalités 

Vl.3.5....(2m — 1)/ ^ 22'nH-l' 

et 

/ 1.2.3 ^ ^ ^ (2m -t- 1) TC 

U.3.5....(2m — 1)/ ^ 22'«-*-i 

Ainsi la valeur de 

/ I.2.3... m y 

\l.3.5....(2m — 1)/ 

sera comprise entre deux produits qu'on obtient en multipliant 

22m-+-i 

par 2m et 2m-f-l; donc cette valeur sera égale à gîj^u multipliée par 
une certaine valeur moyenne entre 2 m et 2 m -h 1; mais, comme cette 
moyenne peut être représentée par 2 m-*- 0, où l'on a ^ > et < 1 , nous 
pouvons remplacer les dernières inégalités par l'équation 



/ 1.2.3 ot \2 (2m -4- 6) TT _ 

\1.3.5....(2m— 1)/ 22'n-^i 



14 



— 210- 
En faisant dans cette formule 



n — 1 



pour n impair, et 

pour n pair, nous obtenons 



1,2.3 '-i^Y 

, 1.3.6.... (n- 2) ; = 2^ (" - 1 -^ 6), 

et 

1.2.3 lY 

1.3.5.. ..(»-i) ;=2^("-<-'^)- 

Or, comme la valeur de n'est limitée que par zéro et 1, et que la diffé- 
rence 1 — é? se trouve dans le même cas, cette différence pourra être rem- 
placée dans la formule ci-dessus par 0, ce qui nous permettra de simplifier 
les formules où figure cette différence et d'écrire 

n-l \2 

2 



Comparant les égalités que nous venons d'obtenir avec les expressions 
de Z du n*^ 6, nous voyons que ces dernières peuvent être remplacées par 

En examinant ces valeurs de X, nous remarquons qu'on obtient la limite in- 
férieure de L par la formule 

f n-t-l n — 6 

^ — ;r±T -2^^' 

en y faisant ^ := 1 et en prenant zb 1 avec le signe -t-, de façon que cette 
valeur limite devient 

n — 1 

On voit ainsi que L surpassera toujours 

n — 1 
~2^ ^, 

et nous sommes amenés au théorème que voici: 



— 211 — 

Théorème. 

La valeur numérique du polynôme 

rc" -H ^, a;"-^ -4- . . . . -H ^„_^ a; -+- ^„ 

;= — 1 jusqu^à x= -t- 1 doit surpasser ^^-^ tc, si ce polynôme ne 
cesse de croître ou de décroître entre ces limites de la variable x. 
Si nous faisons dans nos formules 



-"— b-a ' 

et si nous remarquons que, dans ce cas, le polynôme 
étant multiplié par 

l 2 j ' 

se réduit à un polynôme de la forme 

z -i- A Jîi -i- A z -f-.... 
et que les limites de la nouvelle variable z deviennent 

z = a pour a; = — 1 et z^=h pour a; = -i- 1 , 
nous déduisons du théorème précédent le nouveau théorème que voici: 

Théorème. 

La valeur numérique du polynôme 

z"" -t- A' z""' -t- A" z''-^ -*- . . . . 

depuis 3 = a jusqu'à z = b doit surpasser (w — 1) i—j^) tt, si ce 
ne cesse de croître ou de décroître entre ces limites. 

Or, à l'aide de ce dernier théorème il nous sera aisé de conclure: 

Théorème. 

Si la valeur numérique de f (b) — /*(«), différence de la valeur de 

f{z) = ^" -H A'z "-^ -4- Â'z''-'-^ .... 



— 212 — 
pour z = a et e = b, ne surpasse pas la limite 

la dérivée f {z) change de signe entre z = a et z = b. 

En effet, si f (z) ne changeait pas de signe entre z = a et z = h, le 
polynôme 

.i.(.)=rt.)-M-^, 

ne cesserait d'être, entre ces limites, ou constamment croissant, ou constam- 
ment décroissant^ de façon que toutes ses valeurs, depuis z = a jusqu'à z = h, 
seraient comprises entre ses deux valeurs extrêmes, qui correspondent aux 
valeurs limites de z que nous venons d'indiquer, et qui se réduisent à 



^{a) = — ^[fib)-f{a)), 



On voit ainsi que, depuis z = a jusqu'à z = h, la valeur numérique de 
^ (x) ne surpasserait pas celle de 



|(a&)-a4 



2 

c'est-à-dire ne saurait être supérieure, d'après les conditions du théorème 
énoncé ci-dessus, à 

1 o ^ i\ /& 



2in-l){^)\==in-l){^)\, 



ce qui est impossible en vertu du théorème précédent. 
Faisons 



)J(^'" 



F(ii) = (»»-+-!) (^"-1- B, «"■"' -H B^ n"-' ■+■.... )di, 

a 

La fonction F{z) se réduit, dans ce cas, au polynôme 

^"-f- Â z""-' -^ A" ^"-'-4- , 

où 

n = m-i-l, 

et la dérivée première de F{z) est 

F'{z) = {m-^l) (^"«-+-5^^"»-^ -H ^2^'"-' -H ), 

On a donc 

b 

F {h) — Fia) = (m-^l) {{z'" h- B, z"^-' -+- B^ z"^-^ -^,,,.)dz, 



— 213-— 
Nous en concluons le théorème que voici: 

Théorème. 
L'équation 

z^ -H B/"-^ -+- B^z"^-^ -i- . . . = 

doit nécessairement avoir au moins une racine entre z = a et s ==h, si la 
valeur numérique de l'intégrale 
h 

\[z'^-^B,z'^''-A-B,z'^-'-^r-.,..'\dz 
a 
ne dépasse pas la valeur de 

l^TTi ^ [-T-) • 

A l'aide du même théorème, il sera aisé d'établir un théorème nouveau 
concernant la série de fonctions 

A4 r(4 r{z),..,.r-'\z), nz), 

qui servent à déterminer les racines d'après la méthode de Fourier. 
Théorème. 



Quelle que soit la valeur t, si Von prend dans V expression ^±41/ _ ^ ^ 
le radical avec un signe contraire à celui de la fraction -^^, le nombre des 
variations de signes dans la série 

f(,), f{z), f"(,), /■'"-"(.), f ->(,), 

où 

f{z) = z''-^A'z''-'-+-A"z''-'-*-...., 

ne saurait rester le même, si l'on y met consécutivement pour z la valeur de 
t et celle de t =t 4 V^~^^%-.. 

Ils se présentent plusieurs cas différents dans la démonstration de ce 
théorème, suivant le signe des quantités f(t) et f {t}. Nous nous bornerons à 
considérer le cas où ces deux quantités auront le signe -+- ; mais le raison- 
nement que nous suivrons dans cette occasion s'appliquera facilement à tous 
les autres cas. 

En supposant les deux valeurs f{t) et f' (t) positives, nous devrons 
prendre dans l'expression 

tz 






— 214 — 
le radical avec le signe — , et nous aurons à démontrer que, dans le cas oii 

le nombre de variations de signes de la série 



ff2(f) 

Pour le démontrer, nous observerons qu'il est évident que toutes les 
fois qu'entre les limites indiquées ci-dessus l'une des deux fonctions f{z) ou 
f (z), ou toutes les deux à la fois, s'annulent, le nombre des variations 
de signes dans la série 

m, f(z), fi!,).... /■'"-" w, /-'"'w 

doit varier; quant à l'iiypothèse qu'aucune de ces fonctions ne devient zéro 
entre les limites que nous considérons, il est aisé de démontrer, à l'aide du 
théorème précédent, qu'elle ne peut avoir lieu. 
En effet, si 

A^)>o, f\t)>o 

et si en même temps les équations 

rt.)=o, /"(^)=o, 

n'avaient pas de racines entre ^ = ^, z = t — 4 'V ^,J_\yi^% , les fonctions 
devraient conserver, entre ces limites, le signe -4-: donc on aurait 

et la valeur numérique de 

devrait être inférieure à la valeur numérique de f(t), ce qui, en vertu d'un 
théorème précédent, est impossible; car la différence 

m -m 



et 



— 215 — 

pour 

b = t, a = <-4f^3|Z, 

d'après ce théorème, doit surpasser 

2 («- i).(i^)"= 2{«- 1). [|ris|z;]"=^(,). 

En appliquant ce dernier théorème au cas où l'équation 

z" -*- A' z""-' -+- A" z""-' -i- =0 

n'a pas de racines imaginaires, et observant que dans ce cas tout change- 
ment du nombre des variations de signes de la série 

indique la présence d'une racine de l'équation 

entre les valeurs de ^, nous sommes conduit au théorème que voici: 

Théorème. 

Quelle que soit la valeur t, on trouvera toujours au moins une racine 
de réquation 

f(^) = ^"-4-^'^"-^-|-^"/-^-f-. ... =0, 

entre les limites t et tdz4: y ,, \^ , , en prenant devant ce dernier radi- 

f 4(n — l)''7r'' ' '■ 

cal le signe contraire à celui de la fraction 777^» si toutefois V équation pro- 
]}osée n'a pas de racines imaginaires. 



12. 

SUR 

L'ÏHTURPOLITIOH BIS YILIÏÏRS 
ÉQUIDISTANTES. 

(TKADUÏT PAK G. A. P0SS3S.) 



Gâiè ttHuicpnoAujDoêauiiv êeAnztiH'ô paêHOomcinoJimuocô. 



ripHnoasenie kt. XXV TOMy SanHCOKi, HMnepaTopcKOiî AKa^eiiin HayKt, JVà 5, 
1875 r. 



Sur l'interpolation des valeurs équidistantes. 

§ 1. Si l'on cherche par la méthode des moindres carrés l'expression 
d'une certaine fonction f{x) sous la forme d'un polynôme, les valeurs de la 
fonction f{x) dont on se sert pour déterminer son expression étant 

m, f(2),....f(m-l), 

le polynôme cherché, comme on le sait, est donné *) par la formule 

m m 

(1) -1 ?o(^)-«--i^ ?i(^)h — ' 

1 1 

oii 

désignent les dénominateurs des fractions convergentes de la somme 

^^ X —k X — 1 X — 2 X — W-Hl 

\=\ 
obtenus par son développement en fraction continue 

AqX-*- B, 



o^-^-Do-f- 



-4| x-i- B^ -+- 



AzX-t- B2 

Les fonctions 

?o(^), ?i(a'), , 



*) Voir le Mémoire sous le titre: «Sur les fractions continues». T. I, p. 203—230. 



— 220 — 

comme j'ai déjà indiqué, jouent le même rôle dans le calcul inverse des 
différences que les fonctions de Legendre dans le calcul intégral et, par 
analogie à ces dernières, peuvent être représentées par la formule *) 

cp^ (rr) = A" (a; — \) {x — 2) .... (a; — w) (w -h w — 1 — x) (m — rr), 

en faisant abstraction des facteurs constants qui se suppriment évidemment 
dans la formule (1). 

Cette expression des fonctions 

?o(^)» ?i(^X , 

simplifie notablement, comme on va le voir, le calcul de toutes les sommes 
qui figurent dans la formule (1). 

§ 2. En abordant la déduction de l'expression mentionnée des fonctions 

?o(^), ?i(^). , 

convenons de désigner, pour abréger, par <î» {x) le produit 
{x — 1) {x — 2). . . .{x — n) {m-t-n — x — 1) {m-*-n — x — 2). . . .{m — x). 
Ce produit s' annulant pour 

x= l, 2,. . . . n, 
x = m-+-n — 1 , m -\-n — 2, . . . . m, 

toutes les quantités 

4>(a;), «î>(a;-H 1), . . . ., ^{x-^n — 1) 

pour x=\ et a; = w seront égales à zéro, et la même chose aura lieu à 
l'égard des différences 

A"~^<ï>(a:), A"~'<ï>(a;-*- 1), , L^{x-^n — 2) 

qui se déterminent d'après les valeurs 

tl>(a;j, ^{x-\~l),. . . .^ ^{x-^n — 1). 

Cela posé, il n'est pas difficile de montrer que la somme 



^F{x)isr^{x\ 



*) Sur une nouvelle série. T. I, p. 381—384. 



— 221 — 
quelle que soit la fonction F{x), se réduira à la somme 

{—lT^^{x-+-n) A" F(x). 

i 

Pour nous en convaincre, remarquons que, transformant la somme 

^F{x)A-'^{x) 

n fois de suite à l'aide de la formule connue 

^ U AV =U V —^ V AU , 

nous trouverons qu'elle se réduit à l'expression suivante: 
F{x) A"~' ^{x) — A F{x) A"~' * (a; -I- 1) -f- A^ F(a^) A"""' ^ (a; -#- 2) -*- . . . . 
-^-{—\f-'^{x-^n — \)A''-'F{x)-^{—\f^^{x-^n)A''F{x). 

Or, en vertu de ce qu'on a vu à l'égard de la fonction 

^ {x-^n — 1) 
et des différences 

A"~'*(a;), A"~-<î> (a; -*-!), A <ï> (rc -4- w — 2), 

tous les termes de la formule précédente hors du signe "V se réduisent à 
zéro pour a; = 1 et pour x = m\ donc on aura dans ces limites 

(2) ^ F{x) A" ^ (a;) = (— 1)" ^ * (^ -*- ^) ^" ^'(^)- 

1 1 

En faisant 

F{x) = cp, (x), F{x) = 9, {X), ....,F(x) = 9„_, (rr) 

et remarquant que pour ces valeurs de F{x) on a 

A"F(ir) = 0, 
on trouvera 

mm m 



— 222 — 

Or, ces égalités, en vertu du § VII du Mémoire cité sur les fractions 
continues, montrent que dans le développement de la fonction A" <î> (x) en 
série 

^ Ço (a^) -^ ^ ?1 (a^) -^- • • • • -^ ^ ?n-i (^) -+■ ^?n (^) 

les coefficients 

A, JB, G 

se réduisent à zéro, d'où il suit que A"^(x) ne diffère de 9^(3;) que par un 
facteur constant. Ce facteur, comme il a été dit, se supprime dans la for- 
mule (1). En faisant abstraction de ce facteur nous prendrons 

9„(^) = A" *(;.), 

ce qui réduit l'égalité (2) à la suivante 

m m 

2 F{x) cp„ {X) = (_ 1)" 2 c^ (a; -^ n) A» F(x), 
1 1 

où 

i^[x)={x — 1) {x — 2). . . .{x — n) {m-t-n — x — 1) .... (m — x). 

§ 3. Passant à l'évaluation des sommes contenues dans la formule (1), 
nous introduirons, pour abréger l'écriture, le signe F (pi.) pour désigner le 
produit 1. 2, 3. . . (p.— 1). 

A l'aide de cette notation les produits 

{x—l){x—2) (a; — w), 

(m-¥-n — x — l){m-i-n — x — 2). ...(m — x) 

seront représentés par 

r{x) T{m-*-n — x) 

Tix — ny T{m — x) ' 

ce qui donne pour les expressions des fonctions ^ (^), cp^ (x) 

cb {^\ — r(^) rjm-i-n — x) 
^W — r(x — n) T{m-x) ' 

/Q\ / N A** V(x) V(m-i-n~x) 

(3) ?»(^) = A TW^) r(m-.) ' 

et par suite la transformation précédente de la somme se réduit à la sui- 
vante 



— 223 — 

En faisant ici 

nous trouverons pour l'évaluation des sommes 

1 11 

la formule suivante 

m m 

1 1 

En faisant dans la même formule 
nous aurons 

1 1 

Or d'après (3) 

A" t \ A ^^ r (a;) r (m -♦- n — x) 



d'ailleurs 



-^^^^ — (ic— 1) (a; — 2). . . , (a; — II), 



T[x — n)' 

l^^^^^^m-^n-x- 1) (m-HW-2) .... {m-x\ 
donc, dans le produit 



r {x) r (m -4- n — a;) 



T{x — n) V {m — x) 

le terme du plus haut degré en x est égal à 

il en résulte que la différence d'ordre 2w de cette fonction se réduit à la 
quantité constante 

(—If 2n (2w— 1) 3.2.1, 

ce qu'on peut représenter à l'aide du signe F comme il suit: 

(— i)"r(2w-i-i). 



— 224 — 

On en déduit que 

A"?n(^) = (— irr(2n-Hl), 
et, par conséquent, la transformation trouvée ci-dessus de la somme 

nous donne 



r(m — n — x)* 



Or, r(m — n — x) étant infinie pour 

x = m — n, m — n-i-1, . . . m- 
tous les éléments de la somme 



2 r (a; H- n) T (m — x) 
r (x) r {m — n — x) 



à partir de x = m — n se réduisent à zéro , et par conséquent on peut 
prendre pour limite supérieure de cette somme m — w au lieu de m; en 
vertu de cela l'égalité précédente se réduit à la suivante 

(4) ±,:(.) = ri2n-^i) 2 ''r;:\iZ-tr 

1 1 

§ 4. Pour déterminer la valeur de la somme, qui figure dans la der- 
nière égalité et dans d'autres pareilles à celle-ci, que nous rencontrerons 
plus loin, nous allons trouver maintenant l'expression de toutes les sommes 
de la forme 

N 

T{x-t-p — -[) T{N — x-t-q—l) 



\r T{x-^ 

^ T{x) r{N—xj 

1 

ce qui est facile à faire à l'aide du binôme de Newton. 

Remarquons pour cela que les développements des puissances 

(1— ^-^ (1— <^^ (1—0"^-^ 

en séries par la formule de Newton à l'aide des signes ^ et F peuvent être 
écrits de la manière suivante: 

f 1 _ /r^ — V _Ii^j!Jl_ ^>^ 

^^ ^) — 2jr(f,)r(X-^i)^ ' 

n t)~p~^ — 'S r(p-f-g-4-v) ,v 

U t) -2;r(i>-^9)r(v-4-i)^' . 



— 225 — 

les sommations y étant étendues sur toutes les valeurs entières de X, pt., v 
de à oo. En comparant le produit des deux premières sommes à la der- 
nière nous aurons l'identité 

^r(jp)r(X-f-i)'' •j^Tiq)T{ix-t-i)' ~^r(p-t-2)r(v-Hi) ^ » 
qui peut être représentée d'une autre manière sous la forme 

-VX^ r(p-HÀ) r(g-4-ii.) A-i-ii__^ r(p-*-g-*-v) y 

^^r(2?)r(X-4-i)'r(g)r(pL-+-i)' ~^r(i)-*-2)r(vH-ij ^ • 

En déterminant ici les termes ayant le facteur t^~^, nous apercevons 
que dans le premier membre de cette identité le coefficient de t^'~" est égal 
à la somme des valeurs de l'expression 

r(p-*-A) riq-t-\x) 

T{p)T(k-t-l)'V(q)r{^-*-iy 

correspondant à toutes les valeurs entières et positives de X et [jl, dont la 
somme X-f- {jl est égale à ^ — 2, ou, ce qui revient au même, à la somme 
de toutes les valeurs de cette expression, dans lesquelles 

lj. = N — 2 — À, 

X prenant successivement les valeurs 0, 1, 2,....2V — 2. On voit diaprés 
cela que le premier membre de l'identité considérée renferme le terme sui- 
vant avec la puissance t^~^: 



X=N-l 



Tjp-t-X) T{q-t-N-2 — \) .y_2 

^r(p)r{X-*-i) T{q)T{N-i-i)^ ' 

D'ailleurs, le terme avec la même puissance de t au second membre de 
cette identité étant 

Y{p-*-q-*-N- 2) .^_2 

rip-^q)r{N-i)'' ' 
nous concluons qu'elle entraine l'égalité suivante: 

X=N-1 

Sr» T{p-*-l) T(q-t-N—2 — 'k) T(p-t-q-i-N—2) 

^T{p)r{\-*-l) T{q)r(N-l-'k) — T{p-*-q)T{N-l)' 
x=o 

En la multipliant par V {p).r (q) et posant 

X-i-l=it;, 
nous la réduirons à la forme : 

.p.. ^ rix-*-p-l) T{N-x-t-q—l) __T(p)Tiq) T {p -*- q-^ N—2) 

v^^ ^ n^) r{N-x) "~r(p-Hg) r{N-i) 



— 226 — 
En posant ici 

nous aurons, pour déterminer la somme, renfermée dans la formule (4), 

'^ V{x-*-n) V (m — x) r=^ (n -h 1) V (m -t- n) 

,^^ Y{x) T{m — n — x) T [2n-^2) r(m — n — 1)' 



d'où il résulte 



r(2n-t-l) r2 (n -f- 1) r {m -+- n) 



9 „ l^j r (2» -t- 2) r (m - n — 1) 

1 

Remplaçant encore F (2w h- 2) par (2w -♦- 1) F (2n -i- 1) on aura 

^^ T n '^•^^ (2n -h 1) F (m — n — 1) 

1 

§ 5. Pour déterminer les fonctions 

?o(^), ?l(^)5 ?2(^X » 

à l'aide de la formule (3), nous allons déduire préalablement les expressions 
des différences des fonctions 

V(x) T(q-x) . 

T{x-p)' Tiq-p-x) 

Calculant les différences du premier ordre, on aura 

i T{x) _ T{x-^1) T{x) . 

1\t{x—p} T{x — p-i-l) r{x—p)^ 

i T{q-x) ^ T{q-x-l) Tiq~x) 

LAT(q—p — x) r{q—p — x — l) T {q — p — x)' 

Remplaçant 

Tix-h-l), r{x—p), r{q—p — x—l\ r(q — x) 

par les quantités équivalentes 

a;r{x\ Lfcl^lti), ^ii-P--) (,^_^_i)r(2-rr-l), 
\ ■'' X — p 'g — p — X — l'^-*^ ^ ^-^ 

nous aurons, après quelques réductions, 



A Tjx) _ r(.) 

L\V\^x—p) -t^ T {X — p -*- 1)^ 

i T{q-x) _ T{q-x-l) 

l\r{q—p-x) ^r{q—p—X) 



— 227 — 

En appliquant ces formules à la détermination des différences du 2-me, 
3 -me etc. ordres, nous trouvons en général 

A'r|^ïf^ = (-l)'W.-l)....(.-^-l)j;|£^. 
Remplaçant le produit 

r(p-t-i) 



par 

on obtient 

(6) 



L^ V{x) _ Tip-^-V) T{x) 

\ T{x-p) 

ilTiq-x) 



A'_r(L____ .___ 

L\T{x—p) r(p — in-l) r(a; — p-t-O' 



A* T{q~x) ^. a T (p -H 1) T{q-x-ï) 

lA r(q-p-x} ^ ^^ r{p-i-t-i) r{q-p-x)' 
Passant ù la détermination de la fonction cp^ {x) d'après la formule 

^, /^^_ i" ^i^) T[m-^n-x) 
in W — l\ Yix-îi) r {m — x) ' 

nous allons développer la fonction 

r(m-4-n — x) 
r {m — x) 

en série à l'aide de la formule 

qu'on peut représenter sous la forme suivante, au moyen des signes >, et F, 

WM _ V r (X - n) l'^F{n-Hl) 

-^ w — ^^r(x-n-X) r(À-t-i) ' 

la somme étant étendue sur toutes les valeurs entières et positives de X 
et A° F {n -+- 1) coïncidant avec la fonction initiale F (n-t- 1). 
En posant dans cette formule 

^ ^ r {m — x) 

et remarquant que d'après (6) ou a dans ce cas 

A ^ WM — ( ^\^ r(u-4-l) r(m->-n-X-.r) 
A F{x)~{—\) r(„-X-Hl) T{m-x) ' 



— 228 — 



nous aurons 



T{m-*-n — x) ^ . , a r (n -f- 1) r (m — X — 1) r jx — n) 

r{m~x) ~~ 2LS ^ r(A-t-l)r(n — X-+-l)r(m-n-l)r(3: — n-A)' 

ce qui, étant multiplié par 



r (X — w) 
se réduit à ce qui suit: 

r(a) r (m -v-n — x) _ 'V / i \X T (n -+- 1) F (m - À — 1) V (x) 

r(ar — ti) V(m — x) ^^ ' r(X -t- 1) r(n — X -h l)r(wi — n— 1) r (x — n — X)' 

En déterminant d'après cette formule la différence 

A» Y[x) r {m -\-n — x) 
Y[x — n) r {m — x) ' 

nous trouvons qu'elle s'exprime par 

V^. g r(n-f-i)r(m-x-i) A" r(x) 

^'^ ^' r(X-i-l)r(n — X-Hl)r(m — «— 1) ZA r(a; — n — X)' 

Or cette différence étant égale à la fonction 
€t la formule (6) donnant 

A" r(a;) r (n -4- X -H 1) T (a;) 
r(a; — n — X) r(X-i-i) r(x — X)' 

nous obtenons l'expression suivante de la fonction o^ (rc): 

^ M— Vr n^ r(n-^i)r(m-x-i)r(n-^x-^i) r(x) 

YnW— ^l. ^ r2(X-+-J)r(n — X-Hl)r(m — n — 1) r(a; — X)' 

où la sommation, comme ou a vu, s'étend sur toutes les valeurs entières et 
positives de \. 

D'ailleurs, le diviseur F (w — À-+-1) se réduisant à oo à partir de 
\=^n-\-\ et les termes correspondants se réduisant par conséquent à zéro, 
on pourra prendre pour limite supérieure de la somme X = w -+- 1 . 

§ 6. Substituant les valeurs des sommes 

1 1 

trouvées ci-dessus dans la formule (1) et dénotant généralement par 



— 229 — 
l'expression 

r(aH-&-»- 1) (a-H&)(a-4-!i — 1) ■.■(x-4-1) 

r(aH-l)r(!î-*-l) 1.2 3 ' 

qui représente le coefficient de a^ h^^ dans le développement de (a -+- bf~*~^^ 
nous trouvons que le terme général de cette formule peut être représenté 
comme il suit: 

. ..n 2n-^l r(m-n-l) ^ gx-i,n gm-n-.r-i,n A»/(:r) 
^ ^^ m-l r(w— ljr(«-f-l) C,n-i,n ^''^^^ 

OU 

T{m-n-l)F„ . 

r(n-4-l) r(m— 1) TnW) 

oii l'on a posé pour abréger 

,_^l ic^-i,nCm-n-x-i,n-^V(a^) 



■^n = (—!)" 



^'m— 1 5 



Il en résulte que le développement de la fonction f{x) d'après la formule 
(1), arrêté au {l-i- l)-me terme, sera représenté par la somme: 



=1+1 



^ r (n -t- 1) r (m - 1) ?n W* 

Désignant cette valeur approchée de f(x) par F(x), nous aurons: 

n=l+l 

^(^) = 2 r(l^i)r(»-") ?»(*). 

w=0 

OÙ, comme on l'a vu, la fonction ?„(^) a la valeur suivante: 

l=n+l 
^ /^N _ V r_ 1 ^^ r(n-4-l)r(m-X-l)r(n-4-X-4-l) r(a;) 
fnW — ^^. ^J ^^'K-+l}^{n-l-^-l)^{m-n-l) r{x-l)' 
/.=0 

Développant les sommes renfermées dans ces formules nous obtenons 
F{x) sous la forme d'un polynôme de degré l; cette expression de F{x) ne 
diffère que par les notations de celle que nous avons donnée dans la note 
mentionnée ci-dessus. D'autre part, à l'aide de ces formules, servant pour 
la détermination de F{x), il est facile de calculer les valeurs 

^-(1), AF(1), A^F(l),...., 

comme nous allons voir tout de suite. 

En déterminant d'après ces formules les différences 

A^F(x), A^c^^ix), 



(7) { 



— 230 — 
fjt. étant un nombre quelconque nous aurons: 

n=l-h\ 

A*^ r,A 'y"/ X r(»-Hi)r(m-A-i)r(n-i-À-^i) ii^ tjx) 

A ^n^^) — ^v ^'' r2(>.-+-l)r(n — X-+-l)r(m — n— 1)Z\ T(x—l)' 

Or d'après (6) 

At^ Tjx) _ r(ÀH-l) r(a:) 

l\ V{x — l) r (X — |JL -+- 1) r (a; — X -H -j.) ' 

ce qui donne, pour x=l, 

Li^ r(i) _ r(X-Hi) r(i) 

ZA r(i — X)~ r(X — .a-Hi) r(i— x-t-!i.)' 

Le diviseur F (X — (jt.-f- 1) étant infini pour X — [j. < — 1 et le divi- 
seur r (1 — X -+- u) pour X — [A> 1, la dififérence 

l\ r(i — X) 

ne diffère de que pour X — [J- = 0, c'est à dire pour X = tx; donc, dans la 
somme qui représente la valeur de A'^ 9^ (x), pour rr = 1 , il ne reste qu'un 
seul terme, correspondant à X = tx et dans ce terme la différence 

d'après la formule que nous venons de trouver, en vertu le l'égalité X=: ix., 
se réduit à r(fj. -♦- 1). D'après cela, en vertu de (7), pour x=l, il résulte 

A^^ n-i — r .^^x Tin-*-l)T{m-lJ.-l)V{n-^:J.^l) 
[\ YnU; L ^J r(;j.-»-l)r(n — iJn-l)r(m — w — 1)' 

A'^jr(l)_V/ l^^ ^(m-.a-l)^(n-^^x-4-l)F, ^ 

L\ -^ ^-^^ ^v ^) r ([X -I- 1) r (m — 1} r (n — -j. -*- 1) 

Le diviseur F {n — [J--t- 1) se réduisant à 00 pour 

w = 0, 1, 2,. . ., a — 1, 

tous les éléments de la somme de n = h n = i^ se réduisent à zéro, et par 
suite on pourra prendre pour sa limite inférieure n = [x, en vertu de quoi, 
la formule déduite s'écrira comme il suit: 

l\ -^ y"-) V ^^ ',^r(;j.-Hl)r(m — l)r(n — !Ji-*-l)* 



— 231 — 
§ 7. Dans la formule qui exprime la valeur de la différence 



l'expression 



, ^yj. r(m-[x-l)r( n-f- K -H 1) 



r (|JL -*- 1) r (m — 1) r (n — M. -*- 1) 

se réduit à 1 pour 

i-t = 0, 

ce qui correspond au cas où A^^ jP (1) se réduit à F(l); par suite, la valeur 
de F (1) sera donnée par la formule 

n—O 

Passant à la recherche des différences A 2^(1), A^ F {!), . . , nous 
représenterons pour abréger l'expression 

/ , Nix r(TO — !J^-i)r(n-4-ii.-i-i) 

*^ ^ r ([JL -+- 1) r (m — 1) r (n — p^ -+- 1) 
par 

(fi., n); 

d'après cela la formule que nous avons trouvée pour l'évaluation de A^ F(l) 
prendra la forme 



V 

Appliquant l'égalité 



A'i^(i)=2^^' ^)^«- 



(l^, n)=.{—\f 



r (?n — jj. — 1) r (n -^- IX -t- 1) 



r (m — 1) r ({A -t- 1) r (n — pu- 1) ' 
à la détermination du rapport 

nous trouvons 

(m- -*- 1, n) r(tx-4-l) r (m — [A — 2) F (n -t- {x -t- 2) r(n — jx-el) 

(îJi, n) "r (tJH- 2) r (m — ix — 1) r (n -+- p. -♦- Ij r (n — {x) ' 

ce qui se réduit, à cause des égalités 

r(fi.-i-2)=(p.-*-i) r(p.-f-i), r(m— IX— i)=(w— (ji-2)r(w— |x— 2), 
r(w-f-p.-H2) = (w-H{A-*-i) r(w-i-(i.-Hi), ^(ï^— |jn-i) = (w— fx) r(w— [x), 



— 232 



à ce qui suit 



(pi -4- 1 , w) (M-4-iJL-4-l) (n — ix) n(n-*-\)—\x{ix-^l) ^ 

(tx, M) — (pi -+- 1) (m - pi - 2) (j^^-i)(^_p,_2)' 



d'où il résulte 



/ t \ n(n-^-\) — [j. (pi -♦- 1) / s 



Cette relation entre les quantités 

([i.-+-l, n), (^1., w), 

y joint l'égalité remarquée ci-dessus 

(0, n)=:l, 

donne le moyen de calculer facilement toutes les valeurs du facteur ({jl, w) 
dans la formule 

En vertu de ce qui précède nous concluons que les quantités 

F{11 AF{1), A'F{1), A^'Fil), 

dans le cas, où la série (1) est arrêtée au {l-t- l)-me terme, se trouveront 
à l'aide des formules: 

f F{l) = F,-i-F,-+-F^-i-F,-^. . . ,-i-F^ 

Ai^(l)=:(l,l)F,-i-(l,2)F,-f-(l,3)F3--....-4-(l,/)F,, 

A^F(1)= (2,2)F, + (2,3)F3-f-....-i-(2,0i^p 

A«F(1)= (3,3)^3 -+-....-*- (3,0 F,, 



(8) 



les quantités 

■^0) ^1, ^2^ ' - • ' ^l 

étant données par les formules 

S ^x—\y n ^m—n—x—i, n '^^ fi^' 
7-, / ,.n 2W-4-1 1 

^„=(-i) -^;r^ czz;;-^ ' 

r _ (g-*- fi) "(g + 3-1)... (g -^1) 

^«5? 1.2 p » 



■233 — 



et les facteurs 



(1,1), (1,2), (1,3),.... (1,/), 

(2,2), (2,3),.... (2,0, 

(3,3),.... (3,0, 



se déduisant successivement à l'aide de l'égalité 



(9) 

OÙ l'on pose 



(a. -t- 1 , w) = - 



n(»-f- 1) - 



(|x -+- 1) (m — n 



^^C-,^), 



(0,1)= 1, (0,2)= 1, (0,3)= 1, (0,0 = 1. 

§ 8. Pour montrer sur un exemple l'emploi de nos formules, nous allons 
les appliquer à l'exemple qui dans la Ballistique de N. Majevsky a été 
calculé d'après nos anciennes formules. Dans cet exemple les valeurs de la 
variable x et les valeurs correspondantes de la fonction f {x) sont les sui- 
vantes: 

x=l; f(x)= 0,2020, 
x = 2; f{x)= 0,1885, 
x = 3', f(x)= 0,1645, 
a; = 4; f(x)= 0,1434, 
x=5; f{x)= 0,1176, 
x=6; f{x)= 0,0897, 
f{x)= 0,0581, 
f{x)= 0,0244, 



x='6 
x = ^ 



/-(^r)^— 0,0122, 



En calculant d'après ces valeurs de f {x) ses différences de divers or- 
dres, formons la table suivante: 



X 


f{x) 


Lf{x) 


AV(^) 


AV(^) 


1 


0,2020 


— 0,0135 


— 0,0105 


-t- 0,0134 


2 


0,1885 


— 0,0240 


-*- 0,0029 


— 0,0076 


3 


0,1645 


— 0,0211 


— 0,0047 


-H 0,0026 


4 


0,1434 


— 0,0258 


— 0,0021 


— 0,0016 


5 


0,1176 


— 0,0279 


— 0,0037 


-4-0,0016 


6 


0,0897 


- 0,0316 


— 0,0021 


— 0,0008 


7 


0,0581 


— 0,0337 


— 0,0029 




8 


0,0244 


— 0,0366 






9 


— 0,0122 









— 234 — 
Ayant w= 10, dans cet exemple, nous aurons pour n = 

10 

1 
pour ^ = 1 

., _ a:(9 — a:) ^ r> — ^^ 

<^^_i,i • ^-o-,! — 1.1' ^1 — T' 

10 

1 
pour n = 2 

p {x-t-\)x (9 — a:) (8 — a:) ^ 11 . 10 

^a;-i,2 • ^7-x,2 —1.2' 1.2 ' S2 """1.2' 

_ 5.2 ^ {x-^l)x (9 - a:) (8 - a:) 2 f/^v 
^2 — 9. 11. 10^ "172 TT^ "^ /W, 

pour n = 3 



G^ .,a _ = ^ 



^^—1,3 ^e-x,2 1.2.3 1.2.3 ' 9,3 1.2.3 

10 
7? — 7.2.3 Sr^ (a;-t-2)(a;-t^l)x(9-a:)(8 — a;)(7-a:) ,3 /.. s 

"^3 9.12.11.10^ 1.2.3.1.2.3 ' ^ ^' 

1 

Déterminant d'après les valeurs données ci-dessus de f{x) et de ses 
différences A f (x), A^ /' (x), à,^ f (x) les sommes contenues dans les quantités 

F F F F 

•^0) -^13 -^25 -^3' 

nous trouvons 

2A^) = 0,9760; 

2y.^ A/'(:25) = — 3,2312; 
>^ (5_Hi)£ (9-^) (8 -a:) ^^(a;) = — 1,2908; 

y(xH-2)(:r-^l)a:(9-a.)(8-x)(7-a;) ^3^^^) ^0^0656. 

ce qui donne après la substitution dans les expressions des quantités 

F,. F F F 

les valeurs suivantes: 

1^;= 1.0,9760 = 0,1084 

F^=:_^. — 3,2312 = 0,1077, 



2 9 . 11 . 10 



^3 = -ûTTJni^ • 0.0656 = - 0,0002. 



— 235 — 

En ajoutant ces quantités, nous avons d'après (8) la valeur de F {!) 
correspondant au cas où l'on s'arrête au 4™° terme dans l'expression (1) de 
la fonction cherchée ou, ce qui revient au même, quand on suppose ses qua- 
trièmes différences égales à zéro. Ainsi, on trouve pour la valeur de F {!) 

i^(l) =-- 0,1084 -+- 0,1077 — 0,0130 — 0,0002. 

D'après les mêmes valeurs des 

^05 Kj ^25 ^3 

nous obtenons en vertu des formules (8) les différences 

A F(l), A2 F{1), A3 F{1) 
à l'aide des facteurs 

(1,1), (1,2), (1,3), 

(2,2), (2,3), 

(3,3). 
Or d'après (9) pour 



en posant 
nous trouvons 



m= 10, ji. = 0, w= 1,2,3, 
(0,1) = 1, (0,2)= 1, (0,3)= 1, 



(l'I)— 1.(10-2) • 1 — — T' 

(1 0\~ 2.3-0.1 ,__! 
^^'^^~~ 1 .(10-2) ' ^ ~~ 4' 

n o\— 3.4-0.1 T___3_ 
\^y^) 1 , (10 — 2) ' ^ 2 * 



Donc, d'après (8), on passe de la valeur trouvée ci-dessus de F{1) à la va- 
leur de A F (1), eu omettant le premier terme et multipliant les autres re- 
spectivement par 

(l,l) = -i (1,2)=-|-,(1,3)=-|- 
Ainsi, nous trouvons 

A F(l) = —-^. 0,1077 -+--|. 0,0130 -+-|-. 0,0002 = 
= — 0,0269 -*- 0,0097 H- 0,0003. 
Pour passer de cette valeur de la première différence de F (1) à la se- 



— 23G — 

conde, il nous faut omettre d'après (8) le premier terme et multiplier les 
suivants respectivement par les rapports 

(2^) (2^) 
(1,2)' (1,3)' 

Or, ayant d'après (9) pour m= 10 

(2,2) 2 . 3—1 . 2 _2_ (2,3) _ 



(1,2) "~ 2(10-3) 1' (1,3) 2(10-3) 7' 

nous aurons en vertu de ce qui précède pour la valeur de A^ F {\) 

A2 F{1) = — y • 0,009 7 — y • 0,0003 = — 0,0028 — 0,0002. 
En y omettant le premier terme et multipliant le second par le rapport 



égal, en vertu de (9), à 


(3,3) 
(2,3)' 

3 . 4-2 . 3 6 


1 


nous trouvons 


3(10-4) 3.6 


3 ' 



K' F{\) = - 1 . — 0,0002 = 0,0001. 

Ainsi, pour l'évaluation de la fonction cherchée, la quatrième différence 
étant supposée nulle, nous aurons 

F{\) = 0,1084 -+- 0,1077 — 0,0130 — 0,0002 = 0,2029, 
A i^(l) = — 0,0269 -I- 0,0097 -+- 0,0003 = — 0,0169, 
A2F(1) = — 0,0028 — 0,0002 = — 0,0030, 
A'^F(1) = 0,0001. 

§ 9. Les formules que nous avons déduites se rapportent au cas où 
toutes les valeurs 

ftl),A2), ,f(m-\) 

sont supposées également bonnes, ou ce qui revient au même, quand leurs 
erreurs moyennes quadratiques sont égales. 
Dans le cas où ces erreurs de quantités 

Al),rt2), fim-l) 

sont inégales et inversement proportionelles aux quantités 



— 237 — 
la formule (1) doit être remplacée, comme on sait, par la suivante 

2 ?o (^) 6' (a;) f{x) y ?i [X) 02 {x)f{x) 

fiP) = ^ ?o(^)-*-^^ 9i(^) -+-...., 

1 1 

où 

?o(^), 9i(^), 

désignant les dénominateurs des réduites de la somme 

262 (X) _ 62 (1) _^ 62 (2) _^ _^ QM»»-1) 

X— À a; — 1 x~2 x — m-i-1 

obtenus par son développement en fraction continue 

AqX-^Bo-^ ' ^ 

Il n'est par difficile de montrer que le cas où 

/92 (^^ _ ria^ + g) rjm-x-t-^) 
u [j.)— j.^^^ r(»j — X) ' 

a, 3 étant des constantes quelconques, peut être traité à l'aide des formules 
analogues à celles qu'on a déduites pour le cas de ^ (a:) = 1. 
Remarquons pour cela que la fraction 

A" r (g -*- tt) T{m — a; -H [i -H n) 
r (x — w) r (m — X) 

r (X -♦- g) r (w — X -t- fi) 
r (x) r (m — X) 

se réduit à une fonction entière de degré n *) et qu'en vertu de (2) en y 
posant 

a (^\ — ^ (^ -^ °^) r(m — x-t-&-4-n) 

^ W r (x — M) r (m — X) ' 
on trouve 

(10) 2^(-)A\^,'-^^¥?^'=(-i)"l^*¥i^'l|^,A>(-)- 



*) L'expression de cette fonction est indiquée ci-après. 



— 238 — 
Eu faisant ici F {x) successivement égale à 

?o(^), ?i(^)» ?„-i(^) 

et remarquant que pour ces valeurs de F {x) la différence 

(^F{x) 

se réduit à zéro, nous concluons que toutes les sommes 

^?oW/\ T{x-n) V{m-x) ' 

1 

V^ M k^'lS^L^ r(m-x-4-&-Hn) 
^?iW/\ r[x-n) T{m-x) ' 



Va (X\ C ^^^^"-^ T{m-x + ^-^n) 

^ in—\ y^J lA T{x — n) r (m — a;) 

1 

sont égales à zéro; donc, en prenant 

/>2/^>>_ r(a;-f-a) r(m-a;-t-3) 
^ W— r(^) T(m-x) 

et posant pour abréger 

A^ r (a; H- g) F (m — a; -f- ji -♦- «) 
r (a;) r (m — :r) 

= w 



V(x-*- a) r (m — x-*-^) 



Y {x) V{m — x) 

nous aurons 

mm m 

1 1 1 

Or, de ces égalités, en procédant comme en §2 dans le cas de ^(2;)=], 
on conclut que 

et par conséquent, d'après nos notations 

A^ r (a; -4- g) Y(m—x-^^-^n) 
r (x — «) r (m — a;) 

(11) o„(a;) = 



r (.r -t- g) r (nt — a; -f- P) 
r (x) r (m — x) 



— 239 — 
Passant à la détermination des sommes 

V cp, (a^) e^ (x) fix), 2 ?i (^) ^' (^) n^\ 2 ?2 ^^) ^' (^) ^(^)' 

So,^x)ô'ix), ^^,^{x)0'{x), 'S<:^,'{x)0\x\ 

nous remarquons que l'égalité (10), après y avoir substitué la valeur de 

A" r (a; -t- 7.) r (m — a; -t- [î -f- n) 
r (x — n) f{m — x) 

tirée de (11) et remplacé 

r (a; H- g) F (w — a; -f- fi) 
r(a;) r(m — x) 

par 

â'ixl 
donne 

X' F{x) o„ (X) 6' (X) = (-!)- y Ili:^?^ Tim-x^^) a « ^ 
^^ v/,n\/ vy V / ^^ i' ^x) r (m — x — n) Ll ^ '' 

1 1 

En faisant ici F (x) = f (x), nous trouvons 

1 1 

ce qui sert à faciliter le calcul des sommes 

1 1 

Pour évaluer la somme 

^^\{x)â'(x) 
1 

nous poserons dans cette égalité 

F{x) = <^Jxl 
et la formule (11) donnant pour une telle valeur de F (x) 

nous aurons 

V^ 2 ^^\ ^2 /^^ _ r fn -^ 1) r {2n -4-a-4-fi-i-l) -v r(a;-f-a-t-«)r (m - x h- 3) 
^^^^^ [X)U (X)— pi^n-^x-t-^-t-l) ^^^ r(x)r(m-x-n) 



— 240 — 

La fonction 

r {m — X — n) 
devenant infinie pour 

x=^m — w, m — n — 1 , , m — 1 , 

en vertu de quoi tous les éléments de la somme 

X^ r(a;-Ha-f-w) r (m — a; -»- fi) 
■^-' r (x) r (m — a: — «) ' 

1 

à partir de a; = m — n se réduisent à zéro, on pourra prendre m — n pour 
limite supérieure de cette somme, et elle s'écrira comme il suit: 

^S^ r (a; ^ g -H n) T {m — ar -f- 3) 
^^ r(x) Y{m — x — n)^ 



Or cette somme est égale, d'après (5), à 

r(n-t-a-Hl) r(n-t-3-t-l) F [m -^ n -4- a -t- fi) 
r (2» -*- a -H fi -♦- 2) r(m — n— 1) 

En substituant cette valeur de la somme 



"^ r (a: -+- a -H «) r (»t — a; -t- fi) 

^ fjx) r (wj — a; — n) 

1 

dans la formule précédente, nous trouvons que la somme 

^o:^{x)ô'{x) 

s'exprime de la manière suivante 

r (n -I- 1) r (n -♦- a -H 1) r (n -t- fi -H 1) r (m -H n -♦- g-*- fi) 
(2n -f- a -4- fi -t- 1) r (m — n — 1) r (n -f- g H- fi -H 1) 

§ 10. Passant à la détermination des fonctions 

?o(^), ?i(^); 

d'après la formule (11), nous remarquons qu'en général la différence 
^" U. F. 

X X 



— 241 — 
se réduit à la somme 

.T-»-n .x 1 js-i-n — 1 ,T 1.2 .r-nn— 2 • ^,î; 

qu'on peut encore représenter sous la forme 

V r {n -H 1) . > TT A n— X r r 

^ r (X -t- 1) r (n - X H- l) ^ '^ .x-t-n-X ' ^ ^.V 

1=0 

En y posant 

jj __ r (g -f- g) T^ _ r (m — a; -<- fi -t- w) 
.X r {,ï — n) ' a; F (m — a;) ' 

nous trouvons que la différence 

A" r{x-*-CL) r (m — œ -f- [i -t- n) 
r (a; — n) V (m — x) 



est égale à 



^ r (n -t- 1) A ^ r {m -4- P -t- X — a;) a ^— ^^ F (x -n a) 

^ r (X -t- 1) r (n — X -t- 1) Z\ r {m — n -h x — a;) A F (a; — n)' 



et, ayant d'après (6) 

A'' I ' ('» -t- (^ H- X — a;) . , a F(n-t-3-Hl) F (w -f- fi — a;) 

F (»i — w -I- \ — x} ^ ^ r (n -4- [i — X H 1) F (m — n -f- X — .-r) ' 

A»— ^ F (a: -t- g) F (n -^ g + 1) F_(aw-a)_ 
F(a; — w) F (g -i- X -i- 1) F(a; — X)' 

on aura pour la valeur de la différence 

A" F (a: -+- g) F (m — a; -+- (i -i- n) 
F (X — n) 1' (m — x) 

l'expression suivante 

X' (— ir F (n -t- 1) F (n -t- g -H 1) F (h -4- p -H 1) F (w -t- [^ — a;) F (a; ~t~ a) 

F (X -♦- IJ F (H — X t- 1) F (a -H X ^- 1) F (k -t- P — X ^- 1) F {m — w - h X — x) V {x — X) ' 



x=o 



Divisant cette valeur de la différence 

A«l_>^4-g) 
Zl F(a; — w) F(m — x) 

par 

F (a; H- g) F (m — a; -t- fi) 
F (x) F (m — x) ' 



— 242 -- 
ou a le quotient 

V (- 1)^ r (» -n) r (n -4- g -I- 1) r (« -♦- p - ^ 1) r (m - x) r jx) 

jt^r(k-h 1) Vin — li- 1) r (a -t- X -H 1) r (n -+- (i — X ^- 1) V (m — n-i-X — x) V (x - X)' 

Or, d'après (1 1), cette cxpressiou est égale à la fouction 9^ (x). 
D'ailleurs, ayaut 

r {m - n Z t- X) = ^^^^ — ^ — 1 ) {m—x — 2) (ni — n-i-'k — x), 

_ZM__(^_1)(^_2)....(^_A), 

tous les termes de cette somme représeuteut des polynômes de degré n. 



i8. 

SDR 

LES EXPRESSIONS APPROCHÉES 
LINÉAIRES PAR RAPPORT À DEUX POLYNOMES. 



Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques. Deuxième série. Tome I. Ann 
1877, p. 289-312. 



(9 npiiSAii^canuKoc^ Supa:JccHisioois ^ 



(LTprîJioKenio K7> XXXtomj 3anncoKT> Uni nepaTopcKofi AKa^ewin HayKT., JVà 4, 1877 r., 
CTp. 1 — 24.) 



Sur les expressions approchées linéaires par 
rapport à deux polynômes. 



§ 1. Dans une Lettre à M. Brasclimaun''^), nous avons montré de 
quelle manière, eu développant une fonction ti eu une fraction continue 

et déterminant ses fractions convergentes 

Jj___?o^ i\ _■ ^L gp -«- 1 

Qi 1 ' Ç2 Qi ' * ' ' ' 

on peut trouver les valeurs des polynômes X, Y, pour lesquels l'expression 

îiX— Y 

diffère le moins possible d'une fonction donnée v. 

Ainsi que nous l'avons indiqué dans la Lettre que nous venons de ci- 
ter, et démontré dans le Mémoire intitulé: Sur le développement des fonc- 
tions en série au moyen des fractions continues **), les polynômes X, Z, qui 
satisfont à cette condition, sont déterminés par les séries 



(1) 



{ X= 0), Ç, -I- IO2 ft -H CO3 ^3 ■ 



I r=— J?z;-f-to, P^-f-tOg Pg-t-w^P^-i-.. ., 
où nous désignons par E la partie entière d'une fonction et par 



*) T. I, pag. 611—614. 
**) T. I, pag. 617-636. 



— 246 — 

des fonctious entières, que l'ou obtient au moyen de la valeur de la fonction 

V et des dénominateurs 

fournis par le développement ci-dessus de la fonction u en fraction continue, 
au moyen de la formule générale 

que l'on peut écrire, d'une manière plus abrégée, 
(2) co, = (-l)^-^i.'(g,F«.)), 

en représentant par la notation 

l'ensemble de tous les termes du développement de la fonction vQ^ qui ren- 
ferment des puissances négatives de la variable. 

En arrêtant les séries ci-dessus aux termes correspondants quelconques 

on trouve le système des polynômes X, Y, tel que X est d'un degré infé- 
rieur à ^„j^_i, et que la différence entre l'expression uX — Y ai la fonction 

V est du degré le moins élevé compatible avec la supposition que X est un 
polynôme de degré moindre que Q„^_^_^■ Alors, le degré du polynôme X est 
déterminé par le degré du terme 

le dernier des termes conservés dans le développement de X, et le degré de 
la différence 

nX—Y—v 

est déterminé par le degré du premier terme de la série 

qui ne se réduit pas à zéro '''). 

En supposant que le premier de ces termes soit 



*) Voir les articles cités plus haut, et uotre Mémoire intitulé: Des maxima et minima des 
sommes composées des valeurs d^une fonction entière et de ses dérivées. T. IF, pag. 3—40. 



— 247 — 

et désignaut ptir p le degré de la fonction 



on conclura de ce qui vient d'être dit que, en général, le degré d'approxi- 
mation de l'expression uX — F par rapport à v est déterminé par le degré 
du produit 

et conséquemment par le degré de la fraction 

a:P 

T) ' 

VU que, d'après les propriétés des fractions convergentes, le degré de la 
différence 

uQ — P 

^ m -+ n m -»-n 

est égal au degré de la fraction 



On voit d'après cela que l'expression 

uX—Y, 

X, Y étant des fonctions entières, et X étant d'un degré qui ne surpasse 
pas celui de a;^C^„,, peut représenter la fonction v avec une exactitude pous- 
sée jusqu'aux termes du degré de 



dans le cas seulement oii les équations suivantes sont satisfaites: 

OÙ nous désignons, suivant la notation d'Abel, par 8 le degré d'une fonction. 
Lorsque ces conditions sont remplies, les séries (1), arrêtées aux ter- 
mes ^^Jè„^^ ^'^nJ\n^ donnent, comme on l'a vu, une valeur de X d'un degré au 
plus égal à celui de oc'^Q^, et l'expression uX — F diffère de v par des ter- 
mes d'un degré au plus égal à celui de 

X? 



vm -t- n -h- 1 



D'après cela^ les conditions nécessaires et suffisantes pour que la formule 
uX ~ Y 



— 248 — 

puisse représeutor la fouctiou v avec une exactitude poussée jusqu'à x~^^ le 
degré de X ue surpassant pas ili, s'écriront ainsi 

( ^^«-4 1 = ^' ^^n+. = 0, . . . , œ,^^,,__^ ■= 0, 
en désignant par 

les derniers dénominateurs des fractions convergentes 

(>i' Q-i Qz " ' 

dont les degrés ne dépassent pas les limites M et N — 1, et par a, p les 
degrés des fractions 

■Çm' ^^^' 

§ 2. Nous allons maintenant démontrer que ces conditions peuvent 
être remplacées par celles-ci, qui sont plus simples: 

(4) ^''nvQi.,)fJ"-^~. ZF{vQ,)<l%, 

dans lesquelles 

sont les deux derniers termes de la série 

qui, étant multipliés entre eux, donnent un produit de degré moindre que 

Pour cela, trouvons d'abord une limite supérieure des degrés 

lF(vQ„\ 8F(«e„_,,),. . . ., lF(vQ,^^,) 

dans le cas où les conditions (3) sont satisfaites. Après nous être convaincus, 
de cette manière, de la nécessité des conditions (4), nous démontrerons que 
celles-ci, de leur côté, supposent que chacune des conditions (3) soit remplie. 
D'après la liaison qui existe entre les fractions convergentes 

^ A ^ 



— 249 - 
de l'expression 



^ = îo-H-_^l 



1 

«2- 



ce qui douue, en multipliant par v, 

En passant de l'égalité des fonctions h l'égalité de leurs parties frac- 
tionnaires, on trouve, d'après notre notation, 

(5) nvQt ,,) = n^Q^q,) -*- F{vQ._;). 

En décomposant maintenant les fonctions 

en une partie entière et une partie fractionnaire, il vient 

vQ^. = Ei^uilg.) -*- F{vQ,q,\ 
ce qui donne, par l'élimination de Q., 

F{vQ.q.) = q,F{vQ,) -f- q^EHl) - E{vQ,q,). 

Portant cette valeur de 

F(vQ,qi) 

dans l'égalité (5), et désignant, pour abréger, par U^ la fonction entière 

Fivilq^)-giE{v(l), 
on obtient l'égalité 

Si nous remarquons que les fonctions 

FKW,\ F{vQ,_,) 

ne contiennent que des termes avec des puissances négatives de la variable, 
on en conclut 

E{g,FivQ,))=U„ 



— 250 — 
ce qui, d'après la formule (2), 

nous donne 

et, en conséquence, l'expression trouvée plus haut de la fonction q^FivQ.) 
est fournie par l'égalité 

q. F{vQ,) = F[vQ._^^) - Fl^oQ,^^) -f- (- 1)'-^ co., 

qui nous servira à obtenir la limite supérieure des degrés des fonctions 

n^QJ> -f-'K'»^,) , i'\''(L*n) 

dans le cas où l'on a 

^^n-^l = ^^ ^m-^. = 0, . . . . , co,„_^^^__^ =:= 0, 

Comme, dans ce cas, pour toutes les valeurs de i, depuis i = 7n-^-l jusqu'à 
i=:')ji-\-n — 1 inclusivement, la fonction w^. se réduit à zéro, il s'ensuit 
que, pour toutes ces valeurs, l'égalité que nous venons de trouver se réduira 
à la suivante: 
(G) qi F{vQ.) = F{vQ._^J — F{vQ._;). 

En remarquant que la fonction q. est d'un degré non inférieur au premier, 
on conclura de cette égalité que dans la suite 

parmi trois tei'mes consécutifs 

HvQi^X FivQi), F{vQ,__^), 
la fonction du milieu 

devra dans tous les cas être d'un degré moindre que celui d'une des fonc- 
tions extrêmes 

F{vQi_J, F{vQ,_^). 

On voit par là que, dans la suite 



— 251 — 

aucun des termes intermédiaires ne peut présenter un maximum, et par 
suite il ne peut y avoir qu'un minimum. 
En supposant que 

soit le premier terme de la suite 

mKU: ôFiv<J„^^),.... il'lvQ,,,^,) 

qui donne une valeur minimum, nous remarquerons que, pour toutes les va- 
leurs de i, depuis i = m-^ 1 jusqu'à 1 = 1 — 1, la fonction 

sera d'un degré plus élevé que 

et par suite, d'après l'égalité (G), son degré déterminera le degré de 
l'expression 

Ou tire de là^ pour les i grandeurs considérées, l'égalité 

Eu y faisant 

'1 = 111 -^ Ij ;m H- 2, . . . . , A — 1 , 

on obtiendra une suite d'équations qui serviront à passer successivement de 
la fonction 

aux fonctions 

Ces équations nous donnent 

ol^XKL^.) = ^^ ^'^'^"'^ ^ 






En passant aux termes de la suite 



— 252 — 
qui suivent le premier terme meutionné 

uous remarquerons qu'aucuu de ces termes ue peut être moindre que le 
terme eu question, et par suite nous aurons ou 

ou 

selon (|ue le ternie en question devra, ou non, être suivi d'un terme qui lui 
soit égal. 

Tour ce qui est du troisième terme 

il ne peut avoir la même valeur que le terme en question; autrement il se 
trouverait, dans la suite 

l'\vQJ, /'W„.^,),...,^-(^',>,„-.„) 

trois termes du même degré, ce qui a été démontré impossible par ce qui 
précède. On voit par là que, après le terme 

de la suite (7), les termes doivent aller nécessairement en croissant, et par 
conséquent, pour toutes les valeurs de i, depuis {=:!-*- 1 jusqu'à i — tn-t-n — 1 , 
on aura 

Il s'ensuit de là, en vertu de (6), que, pour ces valeurs de i, le degré du 
terme 

sera déterminé par le degré du terme F{vQ^_^_j), ce qui suppose l'égalité 

2» 

En y faisant tour à tour 

iz=m-h'n — 1, m-i~n — 2,...., X-+-1, 

on obtient une suite d'équations, qui serviront à passer successivement de la 
fonction 



-^253 — 
aux fonctions 

De ces équations on tire 



S/'TKW„-,)=S^,_„_ 



«m-4-n-i ' 
" ?m-t-n— 1 3m-t-n — 2 

S/yY^O, ) = 8 ^Mm±n) ^ 

§ 3. De cette manière on déterminera, au moyen des deux fonctions 
extrêmes de la suite 

F(vQJ, Fi^Q^^,)^- ■ ■ ■ ^(««.^»-,). F{vQ.-.,) 
les degrés de toutes les autres, à l'exclusion d'une seule fonction 

Pour déterminer le degré de cette fonction, remarquons que la formule (6) 
donne, pour i = \ 

Comme, en vertu du paragraphe précédent, les termes 

F{vQ,_^,\ FivQ,_,) 
sont des mêmes degrés que les expressions 

3m-+-f» — 1 9m-t-n — 2- • • • 3X-t-i 
FjvQm) 



(Zm-i-i 2m-i-2 • • • • 2X— 1 

l'une au moins de ces expressions sera d'un degré non inférieur à celui de 



et par suite nous aurons 



mvQ,)^ K^.,J^:'''\ 



^ ^>^^ qm-^-n—l flm-i-n 



9nt-4-i 9fn-»-2 ■ Ta— in 



— 254 — 

Comme, en vertu du paragraphe précédent, pour 

i = m-i-l, wi -+- 2, . . . . X — 1 , 
i = X-i-l, X = 2,.... m-t-n — 1 
on a ou l'égalité 

* Um-t-i ?m-H2 Ht 

OU l'égalité 



m^^Qi)^-^', 



^m-t-n — 1 Gm-t-n — 2- • ■ ' Qi 

et qu'alors il est évident qu'une au moins des conditions 

FjvQm) 






m-i ?m-+-2* • • ?» 



Om t-n — i Qm i-n — 2* • ■ ■ Oi 

que nous avons trouvées ci-dessus pour 

i = X, 

est satisfaite, nous en conclurons que, pour toutes les valeurs de i depuis 
i = wi -4- 1 jusqu'à i = m-\~n — 1, on aura l'une ou l'autre des conditions 

SF(i;0.)^8 ^^^«^ , 

^ ^'' Qm-t-iQm-t-2 '■• Qi 

OU 



Gm-\-n — 1 iin-t-n — 2- • • • ?t 

Pour ce qui est des limites supérieures des degrés des fonctions 
elles peuvent être déduites des dernières conditions (3), 

m *~ ' m-t-n ^~ r 

Pour cela, nous remarquerons que, d'après la formule (2), qui détermine les 
fonctions 

Wj, «2, «3,. . . ., 

on a 

<"»=(-i)""~'«(î„^wj), 

'"^^n = (- 1)""""-' «(?„_„. F(vQ„^J); 



— 255 — 

d'où il s'ensuit que les conditions précédemment démontrées relativement 
aux degrés des fonctions 

supposent que les fonctions 

q FivQ ), q FivQ ) 
ne sont pas de degrés supérieurs à 

et que, par suite, 

En conséquence, les limites trouvées plus haut du degré de F(vQ.) se ré- 
duisent à celles-ci, 

ou 

^F{vQ.)'^J 



xP 

?m-4-n ^m-t-n — i • • • • ît 



Ces formules sont susceptibles d'une simplification notable. 

D'après notre notation, la fraction convergente du développement 

u = qf.-*-— 1 , 

1 
•--1 

correspondante au quotient incomplet q^^, est 

-PA-4-1 

et par suite le produit des quotients incomplets 

sera du même degré que le dénominateur Qk_^.i' 
En vertu de cela, on trouve que les produits 

Im i-n "m-^n — i • • • • Hi 



— 256 — 
seront de mêmes degrés que les fractions 



Qm Qi 

Par conséquent, les égalités que nous avons trouvées plus haut donnent 
Si'«)5S'^. ou S7<'(,Ç^,<S_£Î«£-. 

VjH-i Vm-t-n-4-1 

Et comme, d'après cette notation (§ 1), 



œP 



sont de mômes degrés que 



ces inégalités conduiront à la suivante: 

ai-^(.e,)5 8£-, ou <l%. 

On voit par là que la limite supérieure du degré de chacune des fonctions 

sera déterminée par la plus grande des deux quantités 

Qi-t-i ^^ 

pour la valeur correspondante de i 
En supposant que dans la suite 

les deux dernières fonctions qui, étant multipliées l'une par l'autre, donnent 
un produit d'un degré inférieur à M-\- N soient 

nous remarquerons qu'elles devront satisfaire aux inégalités 



(8) 






— 257 — 
et comme 

ces inégalités supposent que l'on a 

si i = l — 1, et que 

si i = l; par conséquent, d'après ce que nous avons trouvé relativement à 
la limite supérieure du degré 

nous aurons, pour i = l — 1 et i = ?, 



(9) 



SF(.ç,_,)<r^, 



m^Qi)â^B' 



Nous allons maintenant démontrer que ces inégalités, déduites, comme on l'a 
vu, des conditions (3), exigent à leur tour nécessairement que chacune 
des conditions (3) soit satisfaite. 

§ 4. D'après notre système de notations, 

Qi—i Qi* Qi-+-\i. 
représentent les fractions convergentes du développement 



1 

U = On H 



1 

1 



1 



qui correspondent aux quotients incomplets 
Eu représentant par 

_£ 
T 

la fraction ordinaire à laquelle se réduit la fraction continue 

9l-^-^^.~l 



— 258 — 
on trouve, en vertu des propriétés des fractions continues, 

Multipliant cette égalité par «;, on a 
ce qui suppose l'égalité 

En séparant les parties entières et fractionnaires des fonctions 

il vient 

vQi = E{vQi) -*- F{vQ;), vQ^S = E{vQiS) -i- F{vQi8\ 

vQi_, = E{vQ^_;) -H F{vQ,_;^, vQ,_^ T= E{vQ^_^ T) -f- F{vQ^_^ T); 

par l'élimination de Q^^ Qi-^^-, en tant qu'ils sont en dehors des signes JE/, F, 
on en tire 

F{vQ,S) = SF(vQ^ -f- SE{vQ^—E{vQ^S\ 

FivQ,_, T) = TF{vQ^_^)-A^TE{vQi_;) — E{vQ^_^ T), 
En portant ces valeurs des fonctions 

dans l'expression trouvée plus haut de la fonction 

et posant, pour abréger, 

SE{vQ^) — E{vQ^S) -*- TE{vQ^_;) — EivQ^_^ T) = U, 
il vient 
(10) FivQ^^^) = SFivQ) -H TF{vQ-^_;} -*- U. 

Comme S Qi T sont les termes de la fraction simple 

s_ 

T 

à laquelle se réduit la fraction continue 
1 



ir 



11-^1- 






— 259 — 
ces quantités seront de mêmes degrés que les produits 

et par suite de mêmes degrés que les fractions 





Qi ' 


Qi-^n 
Qi-t-i 




formées avec les dénominateurs des fractions convergentes 


du développement 


Ql Ql^^ 






^^ = ^0-*-^^. 


1 








Ql—i -H - 


1 

<ZZ -4- . ^ 


îfH-fji— 1 



D'après cela nous aurons 

Ql Qi-*-x 

En remarquant maintenant que, en vertu de (9), 

'Ql' 



mvQi)^ùll. ZF{vQ,_y^"''' 



on trouve 

IS -H ZF{vQ^ = ^SF{vQ,) < a %!^, 

Or, d'après (8), le produit 

Qr ft^. 

est d'un degré non inférieur h M-*-N; par conséquent la dernière inégalité 
donnera 

^TF{vQ^_;)<^^y:• 

On voit par là que, dans l'expression de la fonction 

d'après la formule (10), les deux termes qui contiennent la variable aux 
degrés négatifs sont d'un degré non supérieur à 






17* 



— 260 — 
et par suite 

Si l'on remarque mainteuant que 

nous en conclurons que 

En faisant successivement dans cette inégalité 

p. = 0, 1,2,...., n-^m — l — 1 

et remarquant que, pour ces valeurs de p., la fonction Qi^ ^^ atteint seu- 
lement la limite Ç^_^„, dont le degré, d'après le § 1, ne surpasse pas 
N — 1 , nous en conclurons que 

2î,F«>,) < 0, 8î,^,F(.-e,^,) < 0,. . . Sî„^„_,r(^«3„^„_,)<0; 

d'où il s'ensuit que, en déterminant les fonctions 

(0,, G), ..... (0 
/' l-i-i> in-t-n—\ 

par la formule 

i^. = i-iy-'E{q,F{vQ,)l 
on trouvera 

En faisant maintenant p. = m -i- w — l, on aura 

Sî„^F(«o„^„)<s%rî. 

et par suite, en déterminant la fonction w^_^^ par la même formule, on re- 
marquera qu'elle sera d'un degré non supérieur à celui de ~*^""^\ 
Comme on a, d'après notre notation (§ 1), 

on en conclut que 

Ainsi nous nous assurons que les inégalités (9) entraînent nécessairement 
les conditions 

^/ = 0' ^/-Hi — 0, ... . co^_^„_^ = 0, 



^2G1 — 

Pour démontrer raaintenaut que la même chose a lieu relativement aux 
autres conditions (3), représentons par 

Si s^ 

les fractions convergentes du développement 

1 

qui correspondent aux quotients incomplets g^_2, g^_j. 

A l'aide de ces fractions, les fractions convergentes du développement 

W = g H 



Ql—X—2 -+- - — — 



qui correspondent aux quotients incomplets 

seront déterminées les unes par les autres de la manière suivante: 

Fl--i ^ Fl-l Si + P/-X-1 ^1 ^ Pl_ Fl-hS^-*-Pi^i_,T^ 

En résolvant maintenant les équations 

par rapport à 

Qi—\i Qi—x—i^ 

et remarquant que, d'après les propriétés des fractions convergentes, 

on trouve pour Qj_-^ l'expression 

±Q,_, = Q,_J,-Q,T,. 

Multipliant cette expression par v, et passant de l'égalité des fonctions 
l'égalité de leurs parties fractionnaires, il vient 

Or, en vertu des égalités 



— 262 — 
on trouve 

Portant ces valeurs des fonctions 
dans l'expression obtenue plus haut de la fonction 

F{vQi_y) 

et faisant, pour abréger, 

T,E{vQ,_,) - E(vQ,_^ T,) - T, E{vQ^) -^E(vQ^T,) = F, 
il vient 
(1 1) ± F(vQ,_,) = T,F{vQ,__;,-T,FivQ,) -h F. 

Comme, d'après nos notations, 

Si S2 

sont les fractions convergentes du développement 

1 

1 

•H 1 

m— 2 -H- — 

?/-i -+- . . 

qui correspondent aux quotients incomplets 

leurs dénominateurs T^, T^, devront être de mêmes degrés que les produits 

^Z— À-l-l ^/— Xh-2 ^/— 2» 

g/_,_H, qi-x-*-2 "" Î/-2 2/_i 

et par suite de mêmes degrés que les fractions 
Qi-i ^ Qi , 

formées au moyen des dénominateurs des fractions convergentes 
Ç/_Xh-i' Qi-i' Qi 



— 263 — 
de la fraction continue 

Ql-X -*-' . 1 

par conséquent, on aura ^ ' ~*~ * • . ^ 

Mais on a, d'après (9), 
on tire de là 

Comme, d'après (8), le produit Q^_^ Q^ est de degré inférieur à M-*-N, la 
première de ces inégalités nous donne 

On voit par là que les deux fonctions 

T,F(«Q,-,), T,F{vQ,) 
sont de degrés non inférieurs à 



et dans ce cas, d'après la formule (11) et en remarquant que V ne contient 
pas de puissances négatives de la variable, on trouve 

ce qui, joint à l'égalité 



nous donne 



^^-X = S%^' 



En faisant ici 

1 = 1 — m — 1, ^ — m — 2,.... 1, 

et remarquant que, d'après le § 1, la fraction 



— 264 — 

reste de degré négatif, il vient 

h„-^,FivQ„^,) < 0, Sî„^, F{v<L^^) < h-,Pi^Qi-:) < 0; 

d'où il s'ensuit que, en déterminant les fonctions 

par la formule générale 
on trouvera 

En posant dans la formule précédente 

\ = l — m 
et remarquant que, suivant notre notation (§1), 

on trouve 

d'où l'on conclut, d'après la formule ci-dessus qui détermine la valeur de la 
fonction w,., que 

Ainsi nous nous assurons de l'accomplissement des conditions 



qui, avec les conditions déduites plus haut 

0)^ = 0, co^_^^ = 0,.... (o^^^_^ = 0, 
Sw^^^= p, 

comprennent toutes les conditions (3). 

On voit par là que les inégalités (4) constituent les conditions non-seu- 
lement nécessaires, mais encore suffisantes, pour que la formule 

uX—Y, 

X, Y étant entières, et X de degré non supérieur à m^ puisse donner une 
expression approchée de la fonction v aux quantités près de l'ordre x~^ 
exclusivement. 



SUR 

APPLIQUÉES À UN SEUL POJNT. 



Bulletin de la Société Mathématique de France, publié par les Secrétaires. 
Tome VI. — Année 1877—78, p. 188—198. 



(Séance du 14 juillet 1878). 



Sur la résultante de deux forces appliquées à 
un seul point. 



1. D'après un théorème sur les angles compris entre les plans qui pas- 
sent par un point, on parvient aisément à une relation très-remarquable 
entre les angles que font les trois forces -Rj , B^^ B^, appliquées à un seul 
point et les résultantes de ces forces, prises deux à deux, savoir: 

... sin (El, [En-Rg]) sia(J?g, [S^^Hj]) sin (^3, [jga, Ji!J) _ ., 

^ >' sin (^2, [-^1,-^2]) si" (-R3» i^z^^i]) sin i^u [-^3, -Riî) ' 

OÙ par 

[R„ B,\, [B„ B,l [B„ B,], 

nous désignons les résultantes des forces B^ et B^, B^ et i^g, B^ et i?i, et 
par 

(J?„ [i?„ 7?J) (i?„ [i?„ B,]\ (i?3, [i?3, i?J),. . . . 

les angles entre les résultantes et les forces qui les composent. 

C'est cette équation qui servait de base à deux nouvelles démonstra- 
tions du parallélogramme des forces, données en décembre 1875 par M. 
Darboux dans le Bulletin des Sciences mathématiques, et par moi dans une 
Communication faite à la Société mathématique de Moscou. 

Nous allons montrer maintenant comment on peut trouver, d'après 
cette équation, la valeur du rapport 

sin (J?^ , [El , J?2] ) 
sin(Z?2, iEi,E^]f 

sans rien admettre sur la direction de la résultante et la continuité. 

2. Après avoir remarqué, d'après l'équation (1), que le rapport 

sin (P3, [Ei,E.;\) 
aiii{E,,[Ei,E^]) 



— 268 — 

ne dépend pas de l'angle fait par les forces i^j, i?3*), nous supposons que 
cet angle est réduit à 120 degrés^ et nous désignons par tp l'angle entre la 
force 7?i et la résultante [i?^, i^g] des deux forces E^, R^. 
Nous obtenons ainsi 

3in JE,, [E, , J?3]) _ sin (120°- 9 ) _ Vl _^x„ ^^ . i_ 
sin {El, [El , E^]) ~~ sin ? ~ 2 ^"^^^ r 2' 

Mais ou reconnaît aisément que la résultante d'un tel système de deux forces 
ne sera pas altérée si l'on diminue de 60 degrés l'angle compris entre elles, 
et que l'on diminue en même temps la force B^ de B^; car un tel chan- 
gement de notre système peut évidemment être effectué si l'on y ajoute trois 
forces égales à B^ et disposées symétriquement autour du point d'appli- 
cation, savoir: deux forces dans les directions opposées aux deux forces en 
question, et la troisième faisant avec ces forces un angle de 60 degrés. 

Or, pour le système de deux forces 2?^, B^ ainsi modifié, on aura, 
d'après notre notation, 

sin (i?3, [El - E^,E,]) _ sin (60°-q>) _ Vs „„.„ ^ _ 1 
sin [Ei—E^, [El— E3,Es])~ sin 9 ~ 2 ^"^6? 2' 

ce qui, étant retranché de la formule précédente, nous donne 

sin (E3 , [El , E^]) sin {E3 , [.R, — E^ , E^]) - 

sin [El, [El, E,]) sin {El -E^, [El -E„E,])— ^• 

3. En remplaçant dans cette équation i?j par 

i?o, -^0 — -?^3, Bo—2Bs,..,., B, — {m—\)B,, 

que nous supposons toutes ne pas être inférieures à i^g, nous trouvons une 
série d'équations qui donnent 

sin(E3,[J?o,i?3]) _ sin(i?3,[i?o-fflJg3,^3]) _ 
sin (J?o, [^0. ^3]) sin {Eq - mE^, [E^ - mE^,E^]) — '^''^ 

ce qu'on peut mettre sous la forme 

Ç2\ sin(i?3,[Jgo,-R3]) _.Ro/. E(,-mE^ \ E^ sin {E^,[EQ-mE^,E^]) .\\ 

^ ^ siû(iïo,[i2o>^3]) -BaV -Ro \{EQ-mE^)sin{EQ-mE^,[EQ-mE^,E^-\) ^]p 

en remplaçant le nombre m par la différence 

^ Eq — mJ?3 

égale à ce nombre. 

C'est à l'aide de cette formule que nous parvenons à tirer de l'équation 
(1) la valeur du rapport 

sin (J?^,[i?„J? ,]) 
sin(B2, [JîijBaî) 

*) FotV la démonstration du parallélogramme des forces de M. Darboux, citée plus haut. 



— 269 — 

4. A cet effet, nous supposons que, pour une force quelconque r, on 
ait trouvé une quantité L telle que la valeur numérique de 

r sjg (r, [r, r,]) . 

Ty sin(ri, [r,ri]) 

ne surpasse pas L pour toutes les valeurs de r^ depuis r,=r jusqu'à rj=2r, 
l'angle (r, ^j) étant égal à GO degrés. Dans cette supposition, en désignant 
par 6^ 0^^^ des quantités comprises entre zéro et 1, nous aurons, pour toutes 
les valeurs de r, = r -*- 6r, cette formule 



rsin (r, [r,r-k-^r]) 



(r -+- Or) sin (r -+- 6r, [r, r -+- 6r]) 



■ 1 = d= <9^o) L. 



Comme il est certain que la résultante ne change pas de direction quand on 
remplace les forces par leurs sous-multiples, on aura de même 

(o\ JgaSiaÇEa, [R^,B^-i-^B^) - _^ Mo) j 

^^ (2?3 -*- 9 E^) sin (Eg -i- QB^ , [i2, , Bg -♦- 6 Eg]) — ^ ^' 

pour toutes les valeurs de 

(4) iJ3=^. 

w étant un nombre entier. 

5. Mais, en prenant dans l'équation (2) pour m la partie entière du 
quotient 

on aura 

et, pour cette valeur de m, l'équation (2) devient 



sm{Ro,[Bo,Bs])~~ B^\^ i?o ( (Kg-t-ôBg) sin (i?3-*-0i?3, [iîg.iîg-t-ôi^g]) 

qui, d'après (3), dans le cas de 

à n 

nous donne 

sin(Eg,[i?o,J!g]) _ ^0 fi H_ J?3H-ei?3 (o) ^"l 
sin (2?o, [Bo, i?g]) "~ i^g L B, ^ ^J • 

En posant, dans cette formule, 

■^0 = -^1 7 -^0 = -^3 ' 

et en désignant par 



— 270 — 
les valeurs correspondantes de et d^^\ nous obtenons 

3in(j;3,[J?i,.R3]) _ ^1 fi _+_ ^3-^ei-Ra f) (0) ri 
sia (El , [E, , iÎ3]) ~ -^3 L -Ri "^1 ^ J ' 

3iQ(J?3, [i?2,-R3]) _ ^2 Tl H- B^-i-Q^B^ ^ (o) ^-| 

sia (iÎ2, [iîa.-Bs]) ~ -«3 L — B^ ^3 ^J- 

6. En portant ces valeurs dans l'équation (1), nous trouvons qu'elle 
donnera 

sin (Bi , [By . B^]) _ ^ -Rg "' 



d'où, par la substitution de la valeur (4) de li^, nous tirons cette formule: 

1 -4- (^-^^2)^ fi (0) r 

sin (El , [El , R^]) Ej nEa ^ 

sm(E2,[Ei,E2]) — El ^ ^ iJ^^izML Q (o) L 
nBi ^ 

Comme, dans cette formule, le nombre n peut être pris aussi grand 
qu'on le voudra, et que les quantités 

6 ^°) ^°^ 

les seules qui dépendent du nombre n et des forces B^, R^^ restent com- 
prises entre zéro et 1, on trouve, d'après cette formule, en faisant croître n 
à l'infini, 

sin (El, [B,,Bi\) _Bo_ 
3in(E2, [EijEj]) El' 



£8. 

LES PLUS SIMPLES SYSTÈMES DE TIGES 
ARTICULÉES. 

(TIRADUXT PAR L. TALXSSDg 3SX V. DWDeLSKAUVDSKS-DBHY.) 



(Revue Universelle des Mines. T. XV, 2-e série, p. 507, 28-e année, 1884.) 







npocmmuiMUX'6 cotACHcmjix'6, 



(MaTeMaTH^ecKiu CôopnHKi., H3;i;aBaeM;£iô Mockobckhmi. MaTeiiaTHiecKHUt odn^ecTBOMi.. 
T. IX, CTp. 340—351, 1878.) 



Les plus simples systèmes de tiges articulées. 

§ 1. Dans un article paru au tome XIV des Mémoires de l'Académie 
Impériale des Sciences de St-Pétersbourg sous le titre aSur un mécanisme» *), 
nous avons montré comment on peut, au moyen de trois barres ou tiges (deux 
manivelles et une bielle) composer un mécanisme tel que le point milieu de la 
bielle décrive une courbe qui, entre des limites fort éloignées, s'écarte peu 
d'une ligne droite; s'en écarte moins que la courbe obtenue par des systèmes 
aussi simples, tels que le parallélogramme simple de Watt et celui d'Evans. 

Nous allons montrer maintenant qu'il existe d'autres systèmes articulés 
qui ne sont non plus composés que de trois pièces, et qui donnent le même 
degré d'approximation à la ligne droite. On les obtient par la substitution 
de certaines tiges à d'autres du premier mécanisme, faite en vue de ne mo- 
difier en rien la trajectoire du point décrivant. En conséquence toutes les 
formules démontrées dans l'article ci-dessus cité restent applicables. 

Nous traiterons par la même méthode le mécanisme que nous avons 
fait connaître dans une Note lue au Congrès de l'Association Française pour 
l'avancement des sciences (Paris, 1878). 

§ 2. Le mécanisme qui fait l'objet de \ / 

l'article cité plus haut est représenté sur la \ / 

figure 1. Il se compose de deux manivelles X. 

égales CA, G^A^ , tournant autour des centres / \ 

fixes C, C, , et de la bielle AA^ articulée / \ 

aux extrémités des manivelles. C'est le point / \ 

If, milieu de cette bielle, qui décrit une c/- - -A^ 

courbe fort approchée de la ligne droite dès ^^.^ ^ 

que les conditions suivantes sont remplies: 

1) La distance des centres fixes G, C, doit être rigoureusement égale 
au tiers de la somme des longueurs AG -i- Afi^-+- AA^. 



*) T. II, pag. 51- 



•274 



2) La longueur de la hielle ÂA^ doit dépasser le quart de celle des 
tnanirelles, mais ne pas différer notablement de cette limite. 

AC 

A mesure que A Ai ^- tend vers zéro, la longueur de la portion 

sensiblement rectiligne de la trajectoire du point Tlf diminue, mais en même 
temps le degré d'approximation à la ligne droite croit plus rapidement que 
ne diminue sa longueur. C'est ce que nous avons démontré dans l'article 
précité dont nous rapportons les formules suivantes: 

AA, 

-AC=^^ 



7_ /(/^l/ ('^-'-^^Ml-«-2«)(4a- l) 



^=é_^[1/l_^ 



3 (4ffl — IP 
16 (l —a) (a-^-2):' 



-l]V{l-a){a-^2), 



dans lesquelles l représente la longueur de la course du point décrivant M, 
et E l'écart maximum. 

§ 3. Eu vue de transformer ce mécanisme (lig. 2), menons les droites 

BM^CA et BC=MA^ — MA = -p. Quelle que soit la position des 

pièces, la droite qui joint le point A^ au 

point C rencontrera toujours la droite MB 

en son point milieu N^ 

NG=^A,G. 

11 s'ensuit que le point A^ et le point N 
décrivent des courbes semblables dont les 
éléments sont entre eux comme 2:1 et en 
même temps sont parallèles. Or le point ^^ 
décrit un arc de cercle dont C^ est le centre 
et ^jCj le rayon; donc le point N décrira aussi un arc de cercle, dont le 
rayon sera la moitié de Afi^ et dont le centre se trouvera sur une droite 
parallèle à Afi^. Soit (7„ ce centre, on aura donc 

Il est visible que le point G^^ se trouve au milieu de la droite CCj, 




— 275- 



Mainteuant faisons de (7,i N une manivelle rigide, de G B une seconde 
manivelle, de BN nne bielle que nous prolongeons jusqu'en M, nous aurons 
le mécanisme représenté sur lafig. 3, fournissant 
pour le point M\3i même trajectoire que le mé- 
canisme de la fig. 1 et composé du même nombre 
de pièces. 

Les conditions relatives à la fig. 1, 



ce,-- 



'' 3 

. AG 



s'énoncent, pour la fig. 3, comme suit: 




Fig. 3. 



GG,, 



De plus le rapport a qui entre dans les expressions de ^ et ^ devient 



§ 4. Passons au mécanisme dont nous avons donné communication au 
Congrès de Paris, en 1878, et dans lequel 
le point décrivant M ne se trouve plus sur 
la direction AA^, mais est toujours inva- 
riablement relié à la bielle. Nous considé- 
rerons donc cette bielle comme ayant la 
forme du triangle AMA^ (fig. 4) articulé 
en A et A^ respectivement aux deux ma- 
nivelles. 

Pour transformer ce mécanisme comme 
précédemment, nous introduisons dans sa Fig. 4. 

composition les lignes MB égale et paral- 
lèle à AG^ et GB égale et parallèle à AM (fig. 5); ensuite un triangle 
MBN fixé à la droite MB et semblable au triangle AMA^ , de manière que 
l'on ait 
(1) MBN=A,AM; 




(2) 



NB 
MB' 



AM 
' AA,' 



— 276 — 



Traçons les droites CA^ et CN. Les angles A^ÂG et NBG seront 
égaux, car 

A,AG = A,AM-\-MAC, 
NBG=NBM-+-MBG, 

Or A,AM=NB3I et MAG=MBG parce 
que la figure AMBG est un parallélo- 
gramme. Donc, en vertu de l'équation (2), 

NB CB_ 

AC AAi ' 

et les triangles A^AG et GBN sont sem- 
blables, ce qui mène aux relations sui- 




vantes: 
(3) 



Fig. 5. 



AiC AAy 

CN CB ' 



(4) GNB=AGA,, 

Dans le triangle A^AG, nous avons 
AAfi=iz — A,AG—AGA, = 7: — A,A3ï—MAG—AGA,; 
remplaçant ici 



par 

nous obtenons 



Tz — MAG 
AGB = AGA, -^AfiN-i- NGB, 
AA,G= A,GN-i-NGB — A,AM, 



ce qui, à cause de l'égalité des angles NGB et A^AG, donne 

A,GN=A,AM. 

Ainsi donc, quelle que soit la position des pièces du mécanisme, les 
droites A^G et NG comprendront toujours un même angle constant et égal 
à A^AM. De plus, si dans l'équation (3) nous remplaçons GB par son égale 
AM, nous trouvons 

AjC AAi 

CN A3I^ 



— 277 — 

relation qui indique que le rapport des longueurs GA, et ON des rayons 
vecteurs est aussi constant. 

§ 5. Il s'ensuit que les points A, et lY décrivent des courbes semblables 
dont les éléments homologues forment avec leurs rayons vecteurs des angles 
égaux. Et puisque le point A^ décrit un arc de cercle dont le centre est G^, 
nous en concluons que le point N décrit aussi un arc de cercle. 

Soit Cil 1^ centre de cet arc de cercle. Les rayons vecteurs G^A^ et 
CjiiV sont respectivement normaux aux arcs élémentaires décrits par les 
points A^ et N; et, en vertu de ce que nous venons de dire et du rapport 
des rayons G^A^ et GN et de l'inclinaison des arcs élémentaires, nous avons 

ce qui donne, pour déterminer la position du point G^^, 



(5) 



GNG^,= GAfi,, 



Combinant l'avant-dernière égalité avec l'équation (4), nous trouvons 



GNG, 



ce qui, ainsi qu'il est facile de voir fig. 5, nous conduit à 
BNG,, = AHA„ 

Ainsi, il est fort simple de déterminer la direction de la ligne NC^^; 
ensuite l'équation (5) donne la position du centre G^^. 

Le point fixe G^^ autour duquel tourne le point i\^ étant ainsi déterminé, 
on n'entravera nullement les mouvements du mé- 
canisme si on y introduit la manivelle G^^N et 
le triangle mobile MNB. Mais on pourra en sup- 
primer les manivelles G^Ai et GA en conservant 
la nouvelle manivelle GB. 

Ainsi l'on arrive à la forme de mécanisme 
représentée fig. 6 qui est exactement l'équivalent 
du mécanisme fig. 4. 

§ 6. Admettons que le mécanisme fig. 4 




■278 — 



que nous avous ainsi transformé soit symétrique dans sa position moyenne, 
c'est-à-dire que 

MAA, = ]\IA,A; 3ïAG=MAfi,', AG=A,G„ 

et posons pour plus de simplicité (fig. 5): 

HAA, = HA^A = ^, 

MAA^=MA,A = ^, 

AG=A,G^ = r. 

Nous trouverons: 



(6) 



3IBN=BMN=^] MNB = T. — 2^] 
GBN=(s^; C\,NB = AHA, = t. — 2y, 



BG=AM= 



MN=NB = ^^', G,,N-. 



' 2 cos 4* 



Les deux dernières équations montrent que, dans le cas spécial que 
nous examinons, fig. 7, les longueurs MN, NB et 
G^^N sont égales. 

D'où il suit que le triangle G^^NB est isocèle 
et que l'angle 




NBG,, 



z — CiiiVS 



et puisque 
il en résulte 



Fig. 7. 
Or, on a aussi 



G,,NB = Tz — 2<^, 



NBG=c^, 



donc les trois points B, G, C^ sont en ligne droite. 

Ainsi donc le mécanisme symétrique à trois pièces peut toujours être 
remplacé par un mécanisme non symétrique, fig. 7, dans lequel les lon- 
gueurs MN, NB, G^^N sont égales, le triangle MNB isocèle, et les centres 
de rotation fixes C et (7,^ se trouvent situés sur la même droite occupée par 
la manivelle GB lorsque le mécanisme est dans sa position moyenne. 



— 279 — 

Quant aux conditions nécessaires pour obtenir de ce mécanisme le 
moindre écart possible de la trajectoire rectiligue, on les trouve facilement 
au moyen des relations (6) et de la formule que nous avons donnée dans la 
Note lue au Congrès de Paris en 1878 au sujet du mécanisme symétrique. 
Pour ce dernier, dans l'hypothèse d'un déplacement indéfiniment petit, on a: 

j 4 2 cos2 cp.cos 2cp , „ 

^^1=- C0S3, ^; ^=39 — U. 

Introduisant ces valeurs dans les relations (6), nous avons, pour déter- 
miner les dimensions du mécanisme non symétrique: 

MNB = Tc — 2'j; = Su — 69; 

^ 2côâ^ cos2 39 ^' 



MN=NB = G,,N=^ 



' 2 cos v]; 2 cos 3? 

Faisant 

MN=NB=C\,N=B 
nous avons 

-r^^ 2 cos^ cp COS 2cp 7-, 

cos 39 

Cette dernière valeur jointe à celle de 

MNB = 37: — 6^, 

et les conditions que, pour la position moyenne, les trois points G^^, G et B 
sont en ligne droite et l'angle GBN= ç, suffisent pour déterminer complè- 
tement le mécanisme. 

§ 7. Les mécanismes non symétriques ainsi dérivés du mécanisme symé- 
trique peuvent servir à la transformation du mouvement rectiligne alternatif 
en mouvement circulaire continu. En donnant aux centres de rotation des 
situations convenables, on pourra faire décrire un tour entier à la manivelle 
GB et alors le point 31 décrira une ligne sensiblement droite. 

Au moyen des formules données (Note au Congrès de 1878), on trouve, 
pour déterminer ces éléments en fonction de la quantité auxiliaire t, 





-t{ 


2-f-2)-t->/2- 


-<2 




Uy - 

(3- 


tV¥^ 


2^<2_+_l) 

7^) sin ç -f- 2 ( 


t — V2^ 


—^) 



tang 'h = - , , -, 



— 280 — 

Ayant déterminé 9, ^ etÂA^ à l'aide de ces formules, les équations (6) 
nous donnent pour le mécanisme non symétrique dérivé (fig. 7): 

CuN= MN==NB = :-^ ; 

Il 2cos4'' 

2 C03 4^ 1 -4_ f y'2 — ^2 C03 vl> 

Faisant 

NB = R 
et éliminant r, on trouve 

BC= , cos © . li, 

C,,N=R; MN=R; 
ce qui, avec les relations 

MNB = Ti — 2'\>; CBN=o 

suffit complètement pour déterminer le mécanisme et c'est jpour une valeur 
quelconque de t. 

Le choix de cette valeur dépend du degré d'approximation au mouve- 
ment rectiligne que l'on veut obtenir. Plus t est petit, moindre est l'écart 
maximum dont l'expression est du reste donnée par 

jp 4 cos (|> ( 1 -^- 2 ^ sin 9 -4- ^2) ^3 

[2 ainç-i-'àt-t-2 t^ sia cp -+- t3j2 ^^' 

La longueur de l'excursion du point M pour un tour entier de la ma- 
nivelle BG diminue également avec la valeur de t, mais pas aussi rapide- 
ment. Elle est donnée par la formule 

7 4 cos 0. cos <l).tV2 — t^ -rr 75 

dans laquelle K est la plus grande valeur que prend l'expression 



r./(l -.iV2- .2)^tang2 , -. 2t V2 -PJl- cos a) _ .1 ^-^ 

Lr {i^tV2-f'f — 2tV2 — fi{l-co^o) ^^J 

quand on y fait varier a de à 2t.. 

Faisons, par exemple, ^ = 0,15, nous trouvons par les formules ci- 
dessus: 

9 = 32°38'; '1 = — 44°43'; i?(7= 0,2934 i?. 



— 281 — 

Ce valeurs nous conduisent au mécanisme représenté fig. 8, dans lequel 
le point décrivant M engendre à peu près la droite M^M^^ par tour de la 
manivelle BG. 



^K 




Faisant ^ = 0,15 et donnant à «p et ^J; les valeurs ci-dessus dans la 
formule qui donne l'écart maximum E, nous trouvons que 

cet écart maximum ^=0,00458 72. 

La course l du point générateur de la ligne approximativement droite 
sera 

1= 0,84:2 R. 



£6, 

SDR LES PARALLÉLOGRAMMES 

COMPOSÉS DU TROIS ÉLÉMUHTS 

ET SYMÉTRIQUES PAR RAPPORT A UN AXE. 

(THADUXT PAK ï. W. MDSSTSCKEHSKY.) 



- Q napaAAdAozpaMMaco'o ^ 

cocmoMUiiix'i) us'ô mpcx'o 3ACMCHfnoê'& u cuMMcmpuzecÂuxn oAoao oduoil ocu. 



(npHJioseme ki> XXXIV lOMy SauHCOKt HMnepaTopcKOH AKa^eiiin HayK-B, JNs 3, 
1879 r.) 



Sur les parallélogrammes composés de trois élé- 
ments et symétriques par rapport à un axe. 



§ 1. Dans un article intitulé: Sur un mécanisme'^), nous avons indi- 
qué les conditions pour qu'un parallélogramme le plus simple réalise le mou- 
vement qui diffère très peu du mouvement rectiligne. 

Ce parallélogramme consiste de deux manivelles ^C'et Afi^ (fig. 1), de 
la même longueur, tournant autour des axes fixes C7 et G^, et de la bielle AÂ^ 
articulée aux extrémités des manivelles; le point M, qui exécute le mouve- 





Fig. 1. 



Fig. 2. 



ment désiré, se trouve sur l'axe de la bielle AA^ à distance égale de ses 
extrémités AetA^. 

Nous allons indiquer maintenant les conditions du même genre pour 
le cas, oii le point qui a le mouvement désiré ne se trouve pas sur l'axe 
de la bielle AA^, mais sur la perpendiculaire MN (fig. 2) également di- 
stante des points A et A^. 



*} T. II, pag. 51—57. 



— 286- 



Il est facile de voir que dans ce cas le mécanisme considéré comprend 
tous les parallélogrammes composés de trois éléments et symétriques par 
rapport à un axe. 

Les conditions pour que ces parallélogrammes en leur forme générale 
réalisent le mouvement qui s'approche le plus près possible du mouvement 
rectiligne s'obtiennent par les mêmes méthodes que nous avons appliquées 
dans le cas particulier, qui était l'objet de la note citée. 

Toute la différence consiste en ce que dans le cas général les calculs 
sont plus compliqués et par suite les conditions cherchées ne peuvent pas 
être exprimées d'une manière si simple comme dans le cas particulier que 
nous avons examiné, où la longueur de la perpendiculaire MN e?>t égale à zéro. 

Pour présenter ces conditions sous la forme la plus simple possible 
nous introduirons une quantité auxiliaire au moyen de laquelle toutes les 
dimensions des parallélogrammes considérés s'expriment rationnellement. 

Quant à la détermination de cette quantité auxiliaire, elle peut être 
calculée ou d'après le degré de précision que doit avoir le mouvement cherché 
presque rectiligne, ou bien d'après la longueur de la course, sur laquelle on 
désire avoir le mouvement qui s'écarte peu du mouvement rectiligne. 

Les équations qu'on y rencontre alors peuvent être facilement réso- 
lues par approximation. 

§ 2. En considérant notre mécanisme dans sa position moyenne (fig. 3), 
où AÂ^ est parallèle à GG^ , droite qui 
passe par les axes de rotation des 
manivelles, et par suite les angles ÂGGi 
et A^G^G sont égaux, nous posons 

AGG, = A,G,G=^^. 

La place du point M, qu'il occupe 
alors, sera prise pour origine des co- 
ordonnées, une parallèle à C6\ pour 
axe des x et une perpendiculaire pour 
axe des y. 

En examinant la courbe décrite 
par le point M, nous observons qu'elle 
est symétrique par rapport à l'axe Oy, 
puisque tout le mécanisme est symé- 
trique par rapport à cet axe; par suite, cette courbe, passant par l'origine, 
touchera en ce point l'axe Ox sans le couper; dans le voisinage de ce point 
la courbe décrite par le point M. est susceptible de devenir très peu diffé- 
rente de la droite. 




Fig. 3. 



■287 — 



Les conditions pour que cela ait lieu peuvent être représentées au 
moyen d'une quantité auxiliaire t de la manière suivante. 
En posant 

ÂG=Afi^ = l, AA^ = a, NM=c, 

nous déterminons les quantités a et c d'après les formules 

(1) --''-" 

(2) 
où 
(3) 



a- 



■ 2^2 _ 



cosq 



(2-T2)r2r-(r'-^-l)3m(p] 

^— 2{r2_i)2 ' 

rp 2 3iacp(l-t-<2)-t-^(3-^-<2) 



Il est facile de montrer que, ces conditions étant remplies, la courbe 
décrite par le point M dans une certaine étendue plus ou moins considé- 
rable ne sort pas de l'espace limité par deux parallèles, dont la distance est 



4 (1 -I- 2 sin ç . < 



- t^) <3 



(2 sia 9 -+- 3« -f- 2 sin (f.f^-*- t^)^ 



et se rapproche donc rapidement de zéro, à mesure que la quantité auxi- 
liaire t diminue, 

§ 3. Pour déterminer les 
positions du point M corres- 
pondantes aux différents an- 
gles que fait la droite AA^ 
avec CG^ (fig. 4), nous désig- 
nons par a l'angle variable 
compris entre les droites AA^ 
et C'Cj , par ^ et y respective- 
ment les angles AGG^ et Afi^G. 
En projetant la ligne brisée 
OO^GANM sur les axes des 
coordonnées et observant que 

AG=1, AN=-^, NM=c, 

et que l'axe Ox est parallèle à 
la droite 06'j, nous obtenons 
les formules suivantes pour la détermination des coordonnées du point M: 

x = — GO^ -H cos p — y cos a -4- c sin a, 
y = — 00^ -+- sin (^ — ^ sin 01. — c cos a. 




2S5 — 



,; =_rû-Kcr«s — -?-. 



En r^ 


—^l: Us liri^piezii I. 


• . . . 


7? i-zzsZi'jLS prt-.jT 




. ._ . ^ . 




1 



\ = 



P:ir 'ibteLi: . ,. ^^.. i entre îès aa^îes Tari" -■ 
c 5 î — a c»:«s a -*- cos 7 — OQ = 0. 

El i::':::i3î ces équations an cas. •; - 

2oy^z — î — nr=0: 



^':-? î — 5 '1 — f«?T". 



Ez i; Mitiii: cts v 
verons l'équation sniv 



:c»:.ts — cosi — nii 



(5)[2CM8S-«(1- 



— 289 — 

En remplaçant cosS par Vl— sin'S et élevant au carré, nous trouvons: 
[2 cos ç — a (1 — cos a)]^ (1 — sin« ?) = 
[a sin a sin 3 — 2 cos' o -+- a (2 ces 9 — a) (i _ cos où]-. 

Il en résulte l'équation suivante pour déterminer la différence 
sin } — -^ sin a: 

2 [2cos39-*-a [a — 2 cos 9) (1 —cosa)] | sin 3 — -^siua~^^ = 
[2C0S9— a(l— cosa)]V[l— cos^9 — ^i^^ill|-î2i£'(l— cosa)]. 
En portant ici la valeur de a. tirée de (1), et posant 

(6) ■-^l-^y 'lj'l^ 'll-cosal 
on trouve l'équation: 

(7) V i^sin 3 — usinai' r = [l-^-[r-— ])'>]* (i —cos^o.v). 
D'ailleurs d'après les formules !4) nous trouvons que 

sin 3 — -^ smoL = y — c (1 — cos a)-*- sin 9; 

en y portant la valeur de c tirée de l'équation (2) et la valeur de 1 — cos a 
d'après (6), nous avons 

Sin 6 — — Sin 2 = 1/ -H Sin ç j-^ ^ (v — 1 ); 

par suite, l'équation (7) nous donne 

(8) vSl^^-+-2r— sins — [2r— (J^-i-l) sinç]vp = 

[1-^.r- l)v]M — C0S-9.V). 

§ 4. D'après l'équation (8) que nous avons trouvée, il est facile de 
faire voir pour quelles valeurs de l'angle a le point JI se trouvera sur 
Taxe Ox. 

Puisque l'ordonnée fj pour les points de cet axe est égale à zéro, on 
obtient les valeurs de v qui correspondent à la position du point M sur 
l'axe Ox de l'équation (S), si l'on pose 

On trouve ainsi pour déterminer ces valeurs de v l'équation: 
v;2J— sino — [2T— (r2-f-l)sins]vî*=[l-H(T2_i)v]*(l— cos^o.v). 

19 



— 290-— 

En éloignant les parenthèses et faisant passer tous les termes dans le 
premier membre de l'équation, nous voyous qu'elle se réduit à la forme: 

(9) (v— 1) [(1—2 sino. T-^T') v— l]2 = 0. 

En portant les racines de cette équation dans l'équation (6) et résol- 
vant l'équation obtenue, nous trouvons toutes les valeurs de l'angle a, pour 
lesquelles la position correspondante du point M est sur l'axe Ox. 

Cette opération effectuée avec la racine 

v = l 

nous donne 

a=0. 

Lorsque l'angle a prend la valeur nulle, le point Jf, comme nous avons 
vu (§ 2), parvient à l'origine et la courbe qu'il décrit touche l'axe Ox sans 
le couper. 

Procédons de la même manière avec la racine 

1 



" 1—2 sia?.T-»-T2' 



observant que cette racine est double, nous trouverons d'après l'équation 
(6) les valeurs de a, pour lesquelles la courbe décrite par le point M et 
l'axe Ox auront un contact du premier ordre et par conséquent ne se cou- 
pent pas. 

Il eu résulte que le point 31, se mouvant à droite et à gauche de l'axe 
Oy, restera toujours du même côté de l'axe Ox. 

Eu considérant la position du point M relativement à la droite repré- 
sentée par l'équation: 

,^^x 4(1-4-2 smç.t-i-t^)t^ 

^ ^ ^ (2sin?-f-3«-l-2smcp.t2-+-«Y' 

nous observons que les valeurs de v, pour lesquelles le point M se trouve 
sur cette droite, sont déterminées par l'équation: 

A J''* '4'° %' '" Z '",.r -4- 2r- sin o - [27- (1 H- î^) sin 9] v f 

({2 smç -+-3<-4-2sincp.<2_+-t3)2 , l ^ ^ lA ) 

= [1 -i-(T2_i)v]2(i_cos2(p.v), 

qu'on obtient, en portant dans l'équation (8) la valeur de y tirée de l'é- 
quation (10), 

Portons dans cette équation la valeur de T d'après l'équation (3), 



— 291 — 

alors, la réduction faite, on obtient une équation qui, en y remplaçant l'ex- 
pression 

1-4-4 8in(p.«H-6f2H-4smcpj3-i-t* 

par celle-ci 



(1- 


«2)2 




1 — 2 sin ç 


.r-+- 


Ti 


1 H- 2 sia 


p.<-*- 


i2 ' 



qui lui est égale, peut être ramenée à la forme 

L^ Vl— 2smç.r-+-T2J J |_^ l-4-2 8iaç.<H-t2j — ^• 

En appliquant à la racine double de cette équation les raisonnements 
que nous avons faits sur la racine double de l'équation (9), nous remarquons 
que ce n'est que la racine simple de cette équation 

/ l-4-2sintp.<-f-«2 \2 

^ U — 2 sia9T-+-r2J ' 

qui peut donner les valeurs de l'angle a pour lesquelles le point M traverse 
la droite (10). 

Par suite, en désignant par a^ et — «j les valeurs de l'angle a qu'on 
tire de l'équation (6), quand v a la valeur indiquée, par 

les valeurs correspondantes de la coordonnée x du point M, nous concluons 
que dans les limites: a? = — x^ et x^^x^Iq point M reste d'un côté de la 
droite (10). 

Pour les valeurs limites: x—-^ — x^^ x = x^ le point ilf se trouve sur 
la droite (10) parallèle à l'axe Ox et pour a;=: (§ 2) sur l'axe Ox même; 
par conséquent entre a? = — x^ et x = x^ le point il/ passe d'une de ces 
parallèles à l'autre; or, d'après ce que nous avons démontré plus haut, le 
point M dans les limites x=^ — x^ et x = x^ ne peut pas traverser ces 
droites; ce point ne peut donc pas s'éloigner de la droite parallèle à l'axe 
Ox^ menée au milieu entre Ox et la droite (10), plus qu'à la moitié de la 
distance entre ces droites, à savoir 

2 (1-+-2 sin9.<-i-<2)^3 



(2 sin cp -H 3« -H 2 sia cp . «2 _^ ^3)2 



On voit ainsi qu'entre x = — x^ tt x = -\~ x^ la limite de l'écart du 
point M de la droite mentionnée, passant au milieu entre Ox et la droite 
(10) (nous désignerons cette limite par E) a la valeur suivante: 

/|-.>> ^ , 2 (1-^2 3in(p.<-^<2)^3 

^ ^ — (2siiiip-»-3«-t-2sin9.<2-t-«3)2* 



— 292 — 

§ 5. Pour la détermination des valeurs limites oc=zta^ et x = ±x^, 
pour lesquelles le point 3f traverse la droite (10), d'après ce qui a été dit 
dans le paragraphe précédent, nous posons dans l'équation (6) 

/ 1 -4-2 8incp.<-i-<2 \2 



on obtient alors pour déterminer les valeurs a = it aj l'équation suivante: 

(12) cosa, = 1 —j^j^zrw) L( i-2sincp.r-^H " ij- 

Pour trouver les valeurs correspondantes de la coordonnée a; = =t a;^ 
nous portons la valeur de cos^ tirée de l'équation (5) dans l'expression (4) 
de la coordonnée a:, qui devient alors 



x = — a 



_2 cos ç — a (1 — cos a) a 



en remplaçant dans l'expression 

2cos(p — a (l — cos a) 
a et 1 — cos a par leurs valeurs tirées des équations (1) et (6), on obtient 
2coscp — a(l— cosa) = ^-^ [l h-(T2— l)v]. 
En déterminant, d'après l'équation (7), la valeur de 



nous avons 



d'où il vient 



_ i-i-(r2 — 



-Vv- 



cos"" cp, 



yp^ 



sm p ?7 sin a ^ cos-' ç 

2 cos cp — a (1 — cos a) 2 cos cp ' 

par conséquent, l'expression de la coordonnée x que nous avons trouvée plus 
haut peut s'écrire: 



(13) 



x = — a X 1/ cos^ cp — -^1 sin a. 

L2 cos cp ^ V T a J 



On détermine ainsi la coordonnée x du point M pour les différentes 
valeurs de l'angle a; quant à la valeur de v, on la trouve de l'équation (6). 



— 293 — 

L'équation (13) nous permet de déterminer les valeurs extrêmes de 
, coordonnée a; =: db a;^ , en y faisant 

Pour cette valeur de v on a 



en portant la valeur T d'après l'équation (3), on trouve 

1 — 2 sincp.r-t- r^ 1-+-4 8m(p.^-f-6^=^-t-4sin9.<3-t-^^ _ 

1-1-2 sia ?.<-+- <2 (1 — «2)2 ' 

on aura donc: 

, /l r~ 1 /(lH-4 3ia ?.«-*- 6^2 -t- 4 sin 9.^3 H-t*)2 r~ 

|/V — C0s2? = y^ (1_,2^4 ^ ^— cos^cp. 

En éloignant les parenthèses et extrayant la racine carrée, on obtient 



Y V~^^^ ?— (l-i2)2 

Par suite, d'après l'équation indiquée plus haut, la valeur extrême de 
X se représente sous la forme: 

x,= — a\ „ ,, ^„,; ^^ sm a, . 

1 L 2 (1 — 1^)~ C03 (p a J 1 

En y portant les valeurs de a etc tirées des équations (1) et (2), cette 
équation se réduit à la suivante: 



L-T2zrr -*" - (i-'2). ^J sm a, , 



2 — r2 r r — siny 2 (1 h-2 sincp.f H-«2)q 

^1 — 1 _ J2 I ~^' 



l'angle a^ étant déterminé par l'équation (12). 

On trouve ainsi les valeurs extrêmes de la coordonnée x=±x^, entre 
lesquelles le point Jf ne sort pas de l'espace limité par deux parallèles: 

p. 4 (1-h2 sia9.<-*-<2).r 



" (2 sin 9 -H 3« -H 2 sin 9 . «2 -t- ^3)2 • 



par conséquent, il décrit la courbe qui s'écarte peu d'une droite, si la 
' quantité t est assez petite. 

D'ailleurs la longueur du chemin parcouru par le point M sera dé- 
terminée par ses positions extrêmes; nous aurons donc, en désignant cette 



— 294 — 

longueur par /, d'après l'expression des valeurs extrêmes a;=±a;, trouvée 
plus haut: 

,-,, , 2(2 — T2) rj — sinç 2 (H- 2 sin cp.« -|- ^2) q . 

§ C. Dans le cas, où le point ilf doit avoir le mouvement qui s'écarte 
très peu du mouvement rectiligne, lorsque l'angle a varie dans les limites 
étroites, la quantité auxiliaire t et l'angle a^ qui détermine la limite des 
variations de l'angle a seront petits; par suite, toutes les formules que nous 
avons obtenues peuvent être développées en séries commodes pour le calcul 
numérique. 

Nous trouvons ainsi, d'après l'équation (3), 

T=2 sin cp -+- 3^ -I- ; 

en remplaçant T par cette expression dans les équations (1) et (2), nous 
obtenons les séries suivantes: 



cos 39 cos2 3? 



tg 39 . cos 29 . cos2 9 „ cos3 9 (3 cos 29 — cos 49) , 

cos 39 COS339 

En développant l'expression E d'après la formule (1 1), nous avons 



1 3 — 2 sin2 ç 

\2 sia2 9 2 siii3 ç 



^^==±(.-Ti^— '7ir;" <H-.. . y. 



On substitue à T dans les expressions 

(1 -- T^f / l-»-2 sm(^.t-t-t^ \2 ^ 

la série qu'on a trouvée plus haut, alors ces expressions se développent en 
séries : 

(4sia2 9-l)2 /^ ^ 3^ ^ \ 

8sm29.cos29 V sin 9 . cos 29 . (4 sin^ 9 — 1) ' ' • ' Ji 

— SsinçJ-i-ie {dsm^(^ — l)f-h- ; 

par suite, nous obtenons de l'équation (12) pour 1 — cos a, la série suivante: 

n (4 sin^ 9 — 1)2 / 48 sinS 9 — 52 sin'^ 9 h- 18 sia^ 9 -f- 1 ,3 \ 

8in9cos29 \. sin 9 . cos 29 (4 Bm2 9 — 1) . . . . j. 

En exprimant sin a^ au moyen de 1 — cos a^ , on trouve 
sinaj=y2(l — cosaj) — (1 — cosai)^, 



— 295 — 
ce qui nous donne, en y portant le développement de 1 — cosa^: 



1 y siii9,cos2(p L 8in9.co8 29 (4 8in2 9— 1) t -+-.... ^. 

En portant cette série pour sin a^ dans l'équation (14) et observant 
que les expressions: 

2 (2 — yg) r — sin 9 2(l-t-2 sin 9.^ -*- f2)e 

1 — ^2' J2__i "*- (1— t2)2 

se développent en séries: 

4 cos 9 . C03 29 12 cos 9 . sin 29 , 

cos 39 ' cos2 39 f -*"•••• ^ 

sin 9 32 sin* 9 — 16 sin2 9 — 1 , 



4 sin2 9—1 (4 sin2 9 — 1)2 i' -»-.... , 

on obtient, la réduction faite, pour la longueur de la course du point M 
dans le cas considéré la série suivante: 



j 8 cos 9"/ — sin 9. cos 29.* r^ cos^ 9 (8 sin* 9 — 6 sin^ 9 — 1) , ~1 

cos 39 [_ sin 9. cos 29. cos 39 . . . .J. 

§ 7. Nous avons examiné le cas, où l'angle a reste dans les limites 
qui ne diffèrent que très peu de zéro; maintenant nous allons considérer le 
cas, où l'angle a prend toutes les valeurs possibles depuis — u jusqu'à -htt. 
Alors la droite AA^ fera un tour complet par rapport à la droite CG^ et le 
point M décrira la courbe fermée qui sera entièrement comprise entre deux 
parallèles, plus ou moins rapprochées entre elles selon la valeur plus ou 
moins petite de t. 

En prenant -i- u et — tt pour les valeurs extrêmes de l'angle a, nous 
posons dans nos formules 



Pour cette valeur de a^ on obtient de l'équation (12) 

, , 2 (1 — T2)2 [-/ 1-+-2 sin9.<-H^'^ V , "1 

■"■ ^ T2(2 — 2^2) L\l— 2sin9.T-t-T2/ "^J' 

d'où il suit 

/ l-t-2 sin9.<-t-i2 \2 i 



p.<-t-^2 \2 

Vl -2sin9.T-i-T2/ ~(T2_i)2' 

On déduit de cette équation 



l-2sin9.rH-r2 __^ 

l-t-2 sin9 «-^-^2 \^ ^)' 



— 296 — 

En portant ici la valeur de T d'après l'équation (3), on obtient l'é- 
quation suivante: 

^*-t-4siuçJ«-+-6^3_j_4sin9J-4-l = 

=i= j p-i- 2 sinç .^2 _^ 3^-f- 2 ûw^f — (l—t^f j. 
Eu résolvant cette équation par rapport à sin ç, on trouve 



^'" ? — W^i^) 

La dernière formule ne donnant de valeur réelle à sin cp pour des va- 
leurs assez petites de t, moindres que V y, nous nous bornerons à la pre- 
mière formule. 

En observant, que dans la formule retenue le signe du radical se 
change, lorsqu'on remplace t par — ^ et ç par — cp, nous ne la prenons 
qu'avec le signe supérieur. 

On a ainsi 

— < (^2 -t- 2) H- t/2 — <2 
SI"? — 2(l-^<2) ' 

ensuite d'après l'équation (3) on obtient la valeur correspondante de T, qui 
se réduit à la forme suivante: 

Or en portant ces valeurs de sin o et de T dans les équations (1) et 
(2), on trouve: 

2tV2^^ 

rcoscp; 



C 



1 -I- f t/2 — «2 

(2 — «2) t 

— 2(l-+-e2)* 



La même substitution effectuée dans l'équation (11), où la quantité E 
détermine la limite de l'écart du point M de la droite, on trouve pour B 
l'expression qui se réduit à la suivante: 

(15) -E-^d^.- 

Cet écart sera très petit dans le cas, où la valeur de t diffère très peu 
de zéro; dans ce cas toute la courbe, décrite par le point M^ s'écartera très 
peu de la droite. 



-297 



Pour trouver la longueur de cette droite, qui peut être remplacée avec 
la précision, déterminée d'après l'équation (15), par la courbe, décrite par 
le point M, nous observons que les extrémités de cette droite sont déter- 
minées par le plus grand écart du point M à droite et à gauche de l'axe 
Oy; quant à la valeur de cet écart, on la trouve en cherchant la plus grande 
valeur qu'atteint la coordonnée x du point M, lorsque a reçoit toutes les 
valeurs possibles. 

Puisque dans le cas considéré nous avons 



et par conséquent 



yz (2 — r2) 



-V2 — t2 



-t^ 



{T2_l)2 (l-+-fi/2~«^f' 

l'équation (G), qui détermine la valeur de v, se réduit à la suivante: 



1- 



{i-t-tV2 — t^y 



(1 — cosa). 



En portant cette valeur de v dans l'équation (13), nous obtenons l'ex- 
pression de X qui se représente ainsi 



y«. 



2^/2- 



(l-t-tV2 — t^f 



(1 — C08 a) 



{l-t-tV2—t^)' 



(1 — cos a) 



OÙ les quantités a, c, cp ont les valeurs indiquées plus haut. 

En déterminant d'après cette équation la plus grande valeur de la co- 
ordonnée X et la doublant, nous trouvons la longueur de la droite, de la- 
quelle la courbe fermée, décrite par le point M, s'écarte très peu, si la va- 
leur de t est très petite. 



i7. 
buK LJgxo JrAKALLJeALOGRiLMMUS 

COMPOSÉS 

DE TROIS ÉLÉMENTS QUELCONQUES. 

(THADUIT PAH 3VC. A. XXKKOKANDKXTZKY.) 



cocmojiuiux^ U3'6 mpex'è fiaâux% auSo sjiejtieumoê^. 



(DpHJioœenie Kt XXXVI TOMy SanncoK^ IlMnepaTopcKOÔ AKa;ii;eMiH HayKi., Aa 
1880 r.) 



(Lu le 18 (30) décembre 1879.) 



Sur les parallélogrammes composés de trois 
éléments quelconques. 



§ 1 . Daus le Mémoire sur les parallélogrammes composés de trois élé- 
ments et symétriques par rapport à un axe, lu le 5-me décembre 1878, nous 
avons montré les conditions à remplir pour que de pareils parallélogram- 
mes réalisent le mouvement rectiligne avec la plus grande précision possible. 
Ces parallélogrammes sont composés de deux droites (fig 1) AC, A^C^ qui 

Fig. 1. 




tournent autour des points immobiles C, G^, et d'une ligne AA^ qui joint 
leurs bouts mobiles; un point M, invariablement lié avec la ligne AA^, réa- 
lise le mouvement désiré. 

Dans le cas, où AC—Afi^, AM^=A^M, ce mécanisme devient symé- 
trique par rapport à un axe perpendiculaire à la droite, passant par les centres 
G, Cj. C'est ce cas particulier des parallélogrammes les plus simples qui a 
été l'objet du Mémoire cité. D'après les formules données dans ce Mémoire, 
on obtient les conditions, très simples, qui sont nécessaires et suffisantes pour 
que des pareils mécanismes réalisent le mouvement rectiligne avec la plus 
grande précision possible, lorsque leurs jeux sont infiniment petits. Eu con- 



*) T. II, p. 285—297. 



■302- 



sidérant un parallélogramme dans sa position moyenne, lorsque les angles 
A^AC, AAfi^ sont égaux, ces conditions peuvent être exprimées ainsi: 

1) Les angles A^AC, AA^C^ sont égaux à — 3-—) ^ étant la valeur 
commune des angles A^AM, AA^M, et n un nombre entier quelconque. 

2) Le rapport de la longueur des droites tournantes ^C, ^i6\ aux côtés 
AM = A^M du triangle AA^3I est égal à 

cos2 3ç 

COS 2ç.C032ç' 

9 étant la valeur des angles A^AG^ AAfi^. 

Dans le cas, où ces conditions sont remplies, le point M décrit une 
courbe qui a le contact du 5-me ordre avec une droite parallèle à celle qui 
passe par les centres C, 6\, et c'est la limite supérieure d'approximation à 
la droite des arcs infiniment petits qui peut être obtenue dans le mouvement 
du mécanisme considéré. 

Le cas des mouvements infiniment petits, pour lequel les formules gé- 
nérales, données par nous pour les parallélogrammes symétriques les plus 
simples, se réduisent aux égalités citées plus haut, est digne d'une attention 
particulière comme la limite, à laquelle s'approchent de plus en plus ces 
parallélogrammes, lorsque la longueur de la ligue, décrite par 31 pendant 
le jeu, devient de plus en plus petite, et du quel diffèrent peu les cas qui se 
présentent eu pratique, où l'on ne cherche à rendre la plus proche d'une 
droite qu'une partie peu importante de la trajectoire du point M. Quant au 
passage du jeu infiniment petit du point M au jeu fini, on peut l'exécuter, 

comme nous l'avons montré dans 
le Mémoire intitulé: Théorie des 
mécanismes connus sous le nom 
de parallélogrammes *), au moyen 
des fonctions qui s^écartent le 
moins de zéro. 

§ 2. Nous allons maintenant 
considérer ces mêmes parallélo- 
grammes dans le cas général 
quand les droites tournantes AG, 
Afi^ et le triangle AA^M sont 
quelconques (fig. 2). Dans ce cas 
général la limite supérieure d'ap- 
proximation au mouvement recti- 
ligne reste, comme il sera montré plus loin, le même, c'est à dire, les courbes 



Fig. 2. 
S 




*)T. I, p 111-143. 



— 303 — 

décrites par le point M ne peuvent avoir avec la droite de contact d'un 
ordre supérieur au cinquième. Les conditions pour qu'un tel contact ait 
lieu, dans ce cas général, se ramènent, comme nous le verrons, aux égalités 
semblables à celles que nous avons obtenues pour les parallélogrammes sy- 
métriques, à savoir: 

1) Au moment, où le point ilf arrive sur la droite FG, ayant le contact 
du 5-me ordre avec la courbe qu'il décrit, les angles A^AG, AAfi^ sont 
déterminés d'après les angles du triangle AA^M par les égalités 

OÙ w, n^ sont des entiers quelconques, égaux ou non; 

2) les rapports des lignes AG, Afi^ aux côtés AM, ^jTWdu triangle 
AA^M, sont déterminés par les égalités: 

AC _ "^"^ 2 cos^(3?-4-T) . AiC,__ "^"^Y cos2(3(Pi-t) 

AM /o T\ CO32 (CD -t- y) ' A. M I Y\ C0S2((p, — v)' 

cos(2ç-t--^| ^' " ' cos(2?i — -^1 ^^1 "' 

OÙ 

4 A^ A^AM-\-1n-K 

cp =. A^AG= -^ — 3 , 

A A r^ AA.M -\-2n,K 

f^, = AAfi,= —^ !-, 

et Y est l'angle entre la ligne AA^ et la tangente FG au moment, où les 
angles A^AG, AAfi^ ont ces valeurs. 

Quant à la direction de la droite FG tangente à la courbe décrite 
par le point M, cette droite FG, d'après la propriété connue des courbes 
décrites dans le plan par des points en mouvement liés invariablement 
entre eux, doit être perpendiculaire à la droite MS, menée du point M au 
point de rencontre des droites AG, Afi^; ce qui détermine complètement 
la direction de cette ligue. 

Pour embrasser tous les cas, où le triangle AA^M, dont les sommets 
A et A^ se meuvent sur des cercles, décrit par le sommet 31 une courbe, 
ayant avec la droite le contact d'ordre 5, il faut donner aux nombres n et 
«1 les valeurs 

0, 1, 2; 

et on aura ainsi, d'après les formules écrites plus haut, neuf systèmes des 
valeurs pour les angles A^AC, AAfi^. En déterminant pour chacun de ces 
9 systèmes des angles A^AG^ AAfi^ la direction de la tangente FG, nous 
trouverons ces deux valeurs pour l'angle y: 

^ = AGM; t = AGM-^r., 

qui donnent pour chaque système des angles A^AG, AAfi^ deux systèmes des 



304 — 



droites AG, A^C\. Nous aurons doue ainsi en général 18 solutions du pro- 
blème qui nous occupe, lorsqu'on considère le triangle AA^M comme donné. 

§ 3. En déterminant l'équation de la courbe décrite par le point M, 
lorsque les points A et A^ se meuvent sur des cercles, on remarquera que 
les conditions, sous lesquelles cette courbe aura avec la droite le contact 
d'ordre 5, sont représentées par un système de 4 équations de degrés plus 
ou moins grands. Vu la complication de ces équations, il serait difficile 
d'attendre qu'elles se réduisent aux égalités si simples, citées plus haut. 
On les obtient facilement, en remarquant que pendant les déplacements in- 
finiment petits du triangle AA^M le sommet M se mouvera sur la droite 
FG avec l'exactitude jusqu'aux infiniment petits du 6-me ordre. Et par 
cela, avec le même degré de précision, le mouvement considéré du triangle 
AA^3I ])0urrsi être déterminé d'après le mouvement des points M et A: du 
premier sur une droite, du second sur un cercle, et pendant ce mouvement, 
avec la même précision du 6-me ordre, la distance du point A^ au point 6\ 
doit rester constante. En déterminant les conditions indispensables pour 
cela, on aura aussi un système de 4 équations. Mais ce système d'équations, 
au moyen des quantités auxilliaires, se ramène facilement à une équation du 
4-me degré. La solution de cette équation nous donnera des relations, très 
simples, entre les quantités diverses de notre question; par là on aura les 
égalités mentionnées plus haut. 

Fig. 3. 




§ 4. En abordant (fig. 3) la détermination du mouvement du som- 



— 305 — 

met Aj^ du triangle AA^M dans le cas, où le sommet M se meut sur la droite 
FG et le sommet A sur le cercle, décrit du centre C avec le rayon AG^ 
nous prendrons ce centre G pour l'origine des coordonnées, la droite paral- 
lèle à FG pour l'axe x, la droite perpendiculaire à FG pour l'axe y. 

Nous désignerons par a, ^ les angles variables formés par AM, AG 
avec l'axe Ox^ et nous poserons 

AG=r\ GF=h] AA, = a, AM = m, 
MAA,=A', 3IA,A = A,, 

G,F, = x,- GF, = y,. 

En projetant la ligne brisée GAA^ sur les axes des coordonnées, on 
trouve pour la détermination des coordonnées du point A^ pour les diverses 
valeurs de a et (3 les égalités 

X = r cos p H- a cos {A — a); 
2/ = r siu ^ -»- « sin (^ — a). 

Afin de trouver la relation entre les angles a, p, projetons la ligne bri- 
sée CAM sur l'axe y et, en remarquant que cette projection est égale à 
GF= b, nous en déduirons l'éfiralité: 



qui nous donne 
(1) 



= r sm p — m sm a, 

8 7)1 sia a + 6 
' = i ' 



En portant ces valeurs de sin (3, cos (^ dans les expressions trouvées plus 
haut des coordonnées du point A^, nous aurons 



X = Vr^ — (m sin a-h-hf-i- a cos {A — a), 
y = m sin a -f- a sin {A — a.)-*- h. 

En désignant par v.q la valeur de l'angle variable a tout près de la- 
quelle, selon ce que nous avons dit dans le paragraphe précédent, les varia- 
tions de la distance du point A^ de G^ restent infiniment petites d'ordre non 
inférieur au 6-me, et par r^ la valeur de cette distance pour a = Kq, nous 
remarquons que l'expression de la distance de ces points 



Vix — x.f-^iy — y;)^, 



— 306 — 

étant développée en une série procédant suivant les puissances ascendantes 
de la différence sina — sinap, nous donne l'égalité: 



(2) y{x — x^f --t-{y — y^f = r^-^K (sin a — sin cl^^-^ .... 

En prenant le quarré de cette égalité et s'arrêtant au 6-me degré de 
sin a — sin ao, nous aurons: 

{x — x^f -k-{y — y^^ = r^ -+- 2r^ K{m\ a — sin a^^ -»-.... 

En portant ici les valeurs données plus haut des coordonnées du point 
Jj, on trouve l'égalité: 



[W^ — {m sin oL-^hf-^a cos {A — a) — x^^ 
--\- [m sin a -H a sin {A — a) -+- & — y^^ 
= r^ H- 2r^ Z(sin a — sin 0L(f -+- , 

d'oii, en ouvrant les crochets et divisant tout par 2rx^^ ou obtient l'équa- 
tion: 
(3) [1— -sin^sina -_cosaJ|/l— ( ) 

— sman — ^^ — cos a 

L rxi rxi J 

. « iVi — t>) cos A — ax^ sin A — my^ ^.^ ^ 
rx^ 

' ort ^^' = — -^^(sma — sinaof-*- 



§ 5. Nous donnerons à cette équation la forme plus commode pour 
notre but, en posant 



ou 

(4) c? = sinao. 

Pour cette expression du sin a, ou trouve 

âz-t-l , 1 — d2 1 — (?2 djl — d^) _ 



sin a — sin a. 



■0 z-i-d 



cos a = V 1 — sin' 



â = i/i _ («^ ')' = i^i^Vi^:^, 

y \z-\- d J z + d ' 



/KN i/-, / 7»sinaH-b \2 Vr^ (g -h df ~[{wd^h) z-+- [m -y- db)]^ 



r{z-^d) 



-■// rd — m — dh\i rd -+- m -\- db \ 

r{z-i-d) r V ~*~ r~md — bJV~^ r-i-md-^b) 



i-d) 
Vr^ — imd-t-b]- 






— 307 — 
où nous avons posé 

/ rd — m — dh\ ( rd-\-m-v- db\ , ^^ , w t \<i7<> 

(^-^ ,-^,-J \'-^ r-.md-^b )='^'-^-^^ {z-g-^h) = {z-gf-h\ 

En évaluant d'après ces formules les expressions des différents termes 

-t-i 



de l'équation (3), après y avoir remplacé sina par ^^^ , et divisant tout par 



le coefficient de 



nous remarquons que cette équation prend la forme: 

(6) G-+-x^-[jiy^2 — i) y(^ _ gf —h^— (p^ H- p^^) yi^ZTT 

En vertu de cette égalité, d'après laquelle l'expression 



(Po -^ A^) y^^ - 1 — p^ ~ P3^ - p,.^ 

doit donner la valeur de la fonction 

G-+-X-f-{x Vz^ — l) V{z — gf — }i^ 

avec l'exactitude jusqu'au terme en -^, il est aisé de trouver les valeurs des 
coefficients Pq, P^, Pg, Pg, P4 en fonctions de X, (x, g et /î, et une équation 
entre ces dernières quantités *). Afin de trouver les équations qui détermi- 
nent les coefficients 

Poj M' ^2' ^35 ^^1 

nous développons le premier membre de l'équation (6) suivant les puissan- 
ces descendantes de s et égalons à zéro les termes en 0^, 2^, z^^ —, -^. 
Cela nous donne 5 équations linéaires par rapport aux quantités Pq, P^ 
Pg, Pg, P4, qui les déterminent complètement. En les résolvant, on trouve: 

P,=.g}i^-^¥'k-^{h'—\)g^- 

Pj = 4^}lY -+- /i* -^ 4:Wg\ H- (4/^2^2 _^ (/^2 _ 1 )2>)^ . 

^2 = — i (4/?' -^ ^^' — 1) ^'' - (2/^' — i)^x - 1 (4^2 -1-/^2-3) /^V; 

Pg = (/^^ H- 1)^ -+- (/^^ — 1) X -*- /^v ; 

P^ = 4/i2<;2 _^ 7^4 _ 1 _,_ 4^/j2;^ _^ (4^2 _^ ;^2 _ 2) Ji^ 



*) On reçoit tout cela immédiatement par le développement en fraction continue, comme 
nous l'avons montré dans le Mémoire sous le titre: «Sur les expressions approchées linéaires 
par rapport au deux polynômes». T. Il, p, 245. 

20* 



— 308- 



En portant ces valeurs de 
dans la formule 



V V V V V 



et en la développant suivant les puissances descendantes de z^ ou aura la série 



"S/ 



4 (3F — 1) / -+- 7(* ■ 
(8/-H4(37i2— 2)/-t-(7î« 



-l))>-4-(4/-H37î»-3)3f.]l 
7(' -+- (Sg''-t-6¥—i)gX' 



qui nous donne, en la comparant avec l'équation (6), les égalités: 



-=!:. 



^* -+- 4 (3^=^ — 1)/ H- /i* — h^ H- (8/ H- 6/^2 — 4)^X 
IG [^_^_ (8r;* -♦- 4 (3/1^—2)^2 _^ (/^2__ i)2j ^ 

La première égalité présente l'équation, à laquelle doivent satisfaire 
les quantités X, [j., g, /«, c^; la seconde nous servira, comme nous le verrons 
plus baS; à déterminer la grandeur de la déviation de la voie rectiligne du 
sommet M de triangle ÂA^M, lorsque les sommets A, A^ se meuvent sur 
des cercles. 

§ 6. Pour passer des valeurs 

P P P P P 

que nous avons trouvées tout à l'heure, à celles qui entrent dans notre que- 
stion, nous remarquons que, d'après ce qu'on a montré plus haut, la for- 
mule (6) doit se réduire à la formule (3), lorsqu'on y porte la valeur de z 
tirée de l'équation 



Comme on trouve par cette équation que 



sin a — d d (sia a — d)"^ 



1 — d2 



(l-d2)2 



-Vz- 



Vi^-gf-h' 



~~T y (1 — d siu g)- — (sin a — df 



7t ji—d^) 
' Vh^-(g^d 



)/.--(^^^'- 



^_^(g2-/t2+ffdH-l) rf \2 



-309 — 



nous remarquons, en comparant la dernière égalité avec l'égalité (5), que 

r 

(8) 



m h^ — {g-y-d)"^ 

T h{l — dP-) ' 

h^ g-i-{g^ — Ifi -^(jd-+-l)d 

r ~ h (1 — d-) 



1/(^—^)2 _ 7^2^. 



A (1 — d2) 



l/ /msina- 



b\2 



yh^ — (^g^^.clf sma — d 

En vertu de ces égalités la formule (6), après y avoir porté 

1 — (Z sin a 

sin a — d 

au lieu de 2, se réduit à celle-là: 

h(l — d^) (X — d) sin a -+- l — dl-i- Vl—d- pi cos a 



l//i2 — (^-f-d)2 



1 a — d)2 



1 / /m sin a- 



F, - P,d ^ (Pq - P,d) sin g y^j ^ 

(sin a - df *^ ^ (ï COS a 

(Pg — Pgd -4- P^cZ2) sin2 g — (2 P^d — P3 (1 -f- c?^) _^ 2 P^d) sin a 
(siu g — dp 

P.,d2 — P^d -f- P4 Z (sin g — d)* 

"*~ (sin x — df (1 — d2)4 •"•••• 

En divisant cette équation par 

hjl — d^) 1 — dX 

y/i^ - (^ -4- d)2 (sing — d)2' 

et la comparant après cela membre à membre avec la formule (3), on trouve 

a . . X — d 



(9) 



— COS ^ = 



~ 1 — dX ' 
_iJ./l — d2^ 



am sin A Pq — P^d Vh^ — {g-t-df ^ 

rxi '~ 1-dX hVl-d^ ~' 



« (^ — yi) sïP ^ — «a^t C03 ^ Py — Pfld Vh^ — (g-t-df ^ 

rxi "l^^X^ 7il/i~ird2 ' 



am coa A Pg — Pgd -i- P4d2 Vh^^-_{g_-i-df ^ 

rxi 1 — dX hVl — d^ ' 



« (yi — &) C03 ^ — <^a;i sin A — m^i 2P2d — P3 (1 -t- d2) h- 2P4d >^/t2 _(^g^dyi ^ 

rxi 1— dX /i(l— d2) ' 



r^2 — r2 — a;j^2 _ y, (y^ — 2b) — «2 p^d2 — P^d -+- P^ Vh^ -{g-t-df 

2rxi 1 — dX /i(l — d2) 



(10) 



nK_ 



LVh'^-ig-t-df 



(1— d2)5(i_dX)/t 



— 310 — 

En divisant la première de ces équations par la 2 -me, et la troisième par la 
5 -me et la 1-ère, on trouve les égalités: 

(11) tang^ = -^~'^ 



IxV 1 — d2 



m Pq — Pid Vh^ — {g -+- df 

En éliminant tang J entre les deux premières égalités et en portant la 
valeur de ^ d'après (8) dans la troisième, on obtient les deux équations: 

^ ■' ^^yïzrd2 — P^-P^d-^p^d^' 



(13) CA-^)|/^^=^^^ = P,^-Po, 

qui relient entre elles cinq quantités X, fx, g^ 7i, d. Ces deux équations, com- 
binées avec l'équation (7), permettent de déterminer trois de ces quantités 
d'après les deux autres. 

Comme les expressions de 

P P P P P 

-'-05 ■'- 1^ -^ 2^ •*35 ^ i 

sont des fonctions linéaires des quantités A, p., l'équation (13), ainsi que 
l'équation (7), seront du premier degré par rapport à ces quantités. En dé- 
terminant d'après ces équations les quantités X, p. et en les portant dans 
l'équation (12), nous aurons une équation qui ne contiendra que trois quan- 
tités g, h, d. 

§ 7. L'égalité (13), après y avoir porté les expressions de P^, Pj, nous 
donne l'équation: 

g]i^^h^^g2^h^^d~d Y?^^S-^ ^h'^4gd¥^-i- |/^ES^] X 

-*- [(/2^ — 1) ^ — (^{h^ — 1 )2 -4- 4g'hA rf] p. = 0. 

En résolvant par rapport à X — c^ et p, cette équation conjointement 
avec l'équation (7), on trouve 

(14) ■k-d = f. pt = f-, 
oii 
N={8g''~2{¥—lf)gd-i-{4g''-^h^ — l)g''^ 

— [4 ih' -*^ 1)/ — Qi^ — If] {¥ — 1) d\ 



— 311 — 



-H [2h^ -H (V -^ 3/.-^ - 1) /5!EM] ^, 
D = [4 {h^ -+- l)g^ — {h^ ~ 1)2] {h^—i)d 
- [4g^ -4- (2/^^ -i- 1) {h' - 1} -h (4^^ -^ S/z^ - 3) |/5îE^p!j^. 

En portant ces valeurs de X — d et [k dans l'équation (12) et en posant 
(15) '-^ = 0, g = ch-d, 

on trouve qu'elle se réduit à la forme: 



[(3c — 4c') Vl — ^2 -H (1 — 4c2) dVl— c"] h' 



-8c¥yi—c^—Q{dVl — c''-~cVl—d')h^ — 8dhVl—d^ 



— il—4:d')cyi—d^~{dd — 4:d')yi—c^ = 0. 

On simplifie beaucoup cette équation en y portant les valeurs de 
d=^smocQ et de c, qui, comme il est aisé de le voir, est égal à sin^^j, où ^^ 
est la valeur de l'angle variable (3 qui correspond à a= a^. En effet, par la 
formule (1), en y posant 

on aura 

ce qui donne, après y avoir porté les valeurs de —, — déterminées par les 
formules (8): 

En évaluant d'après les égalités 

d = smocQ, c = sin p^ 

les valeurs des coefficients des puissances diverses de h dans l'équation con- 
sidérée, on trouve 



(3c— 4c=^)yi — c^2_^(l — 4c2) Vl — c^c^ = 
sin SPo cos ao -+- cos 3j3o sin a^ = sin («<, -+- 3^^), 



ScVl — c2 = 4 sin 2^0, 8dVl — d^ = 4: sm2oL„ 



GÇdVl — c^ — c y 1 — c^2) = 6 (sin «0 cos Po — cos a^ sin p^) = 6 sin (a^, — ^q), 



il~4:d')cyi—d'^-t-{dd — 4:d')yi—c^ = sm{doc,-+-^,\ 



— 312 — 

en vertu de quoi l'équation se réduit à celle qui suit: 

%' Sin (ao-^3;3o)-H4 ¥ siu 2p,— 6 Ji" sin (a,— 3,)— 4^ siu 2a^— sin {^ol^-^-%)=0. 

En résolvant cette équation par rapport à /?, on trouve qu'elle se 
décompose en ces deux équations du second degré: 

h^ sin (a^-i- 3[3,)-+- 2 h [sin 2^0— sin (a^-i- ^,)] = sin (ao — |3o) h- sin 2 K-h W; 
/i^sin (ao-+-3^o)-f-2 /i [siu 2po-*-sin (ao-*-Po)] = sin (ao— j3o) — sin 2 (a^-i-Po), 

qui, après avoir été divisées par 
se réduisent à celles-là: 



2cos:^i:^% 2sin- 



A2sinïoiL!Ëo_^2/isin^^« ==sin^^^^, 

/^2c0S?^^^«-4-2/îC0S^^° = -C0S ^^^«. 

Et en résolvant ces équations du second degré, on trouve ces quatre valeurs 
de h 

7 4 



7i 




4 


nJu 


3ao -i- Po - 271 




4 






ao H- 8!io 


- 671 



3ao -t- Pq — 3tc 



;i=. ,^1 ^; /^ = , 4 



ao -+- SPo — 97C 
4 "'4 

En comparant entre elles ces quatre valeurs de h, nous remarquons 
qu'elles se déduisent les unes des autres, en diminuant l'angle ^^ de tc et 
en changeant les signes h- en — , et — en -h. Mais cela correspond, 
comme on le voit par la ligure (fig. 3), où 

AGx = %, AG = r, AM=m, 
et où par (8) 



-=h 



^-{^J 



au changement de direction de la ligne ^Cde ir conjointement avec le chan- 
gement de la direction qu'on prend pour positive dans la détermination 
de la longueur de la ligne AG. En vertu de cela les formules qu'on reçoit 
en admettant pour à quatre valeurs mentionnées différeront entre elles 



— 313 — 

seulement en ce, qu'au lieu de (3^ elles contiendront ou p^ — u, ou p^ — 2t:, 
ou Po — 371. D'où l'on voit qu'on obtient tous les cas possibles, si dans les 
formules déduites en prenant 

4 

on met p^ — ku au lieu de p^, en désignant par îc un nombre entier et en 
déterminant en même temps la valeur de h par l'équation: 



h=i-lf- 



3ao -*- ?>o — ^^ 
4 

4 



8. En se bornant d'abord, d'après ce qui a été dit plus haut, au cas, oiî 

/i = — -, 



et en portant cette valeur de Ji dans les formules du paragraphe précédent 
qui déterminent À — d et ^i et d'après lesquelles on a 






et en posant pour abréger 

3 
3ia3(ao-HPo).sin--(ao- 



3ao-+-pp 






= i^, 



on trouve 

N== sin I («0 -*- Po) . sin '-^^ . sin ^^ cos ao . F, 
^,= cos|(ao-^Po).sin^^«.sin^i^, 
i) = [sin2Ïo:^_cos|-(ao-HPo).sin^.sin^^»]F. 
D'où l'on obtient les valeurs suivantes pour X — c^ et p.: 



(17) 



X — ^ = 



3 3a 

sin — (ag -♦- 3o)-sin — 



-*-io .. «0-1 



- cos - (ao -H Po) siQ -^-4—81° -V~ 



cos — (ao H- ?>o) . sm °^ sm "^ 
^^^ . ,ao-t-33o B~ . ^ • «0— 3o,- 3ao-f-3^ 



— 314 — 

En portant ces valeurs de X — d et de [x dans la formule (11), où d'après 
notre notation V 1 — rf^ = cos a^, on trouve 

tang A = tang |- (ao -t- po)- 

Cette égalité est trouvée en prenant 



h=:- 



4 

Pour passer au cas général, où 

sin 3ao H- Po — /c7t 

(18) h = (-lf ^ ,'_,,, , 



nous changeons, d'après la remarque du paragraphe précédent, dans cette 
égalité ^Q en fJ^ — k-, ce qui donne 

tang A = tang - (ao -+- Po — A;7r). 

On voit par cette formule que la différence des angles Aet^ {ocQ-t-^Q—kii) 
doit être égale à un multiple de 71, ce qui suppose l'égalité: 

^ = Y («0 -»- Po — ^Tt) -H (W — I) 71, 

n étant, ainsi que fc, un nombre entier. 

Mais on voit par la figure (fig. 3), où d'après notre notation 

A,AM= A, AMF = a^, ACx = %, 
que l'on a 

GAM=iz — AMF—ACx = r. — a,~%, 
GAA^ = CAM-+- A,AM^ tz — Uo — ^o-^A. 

En déterminant par la dernière égalité la valeur de la somme a^ -+- ^^ 
et en la portant dans l'expression de l'angle ^trouvée plus haut, nous obte- 
nons entre les angles GAA^ et A la relation : 

(19) A =dGAA^ — {2n — U -1-1)11. 

Cette égalité nous montre que l'angle A du triangle AA^M et le 
triple d'angle GAA^, qui détermine l'inclinaison de la droite tournante AG 



— 315 — 

à la droite AAi , lorsque a = a^, ne peuvent différer entre eux que par un 
multiple de u. Pour faire nos formules plus uniformes, nous nous bornerons 
à l'hypothèse que la différence des angles dCAA^ —A contient le nombre 
u un nombre pair de fois. 

On peut se borner à cette supposition, en augmentant de 180° l'angle 
GAAy ou, ce qui est la même chose, en changeant la direction de la ligne 
AG en direction opposée. Dans cette supposition le nombre h doit être im- 
pair, comme on le voit par l'égalité ci-dessus. 

En posant 

h = 2p-v-l^ GAA^ = (^, 
nous avons 

^ = 39 — 2 (w — 32^ — 1) Ti, 

et la valeur de h sera déterminée d'après (18) par l'égalité 



qu'on pourra représenter ainsi 
h 



.i^3ao-+-3o 


-{2p 


-+-1)tc 


„iii ^ 


.ij, «0-^-3^0 


-3{2p 


-4-l)7r 


linsi 


4 
(2p- 


l)x 


4 


cos^«-"^^o- 


3[2p- 


-l)7r 



En observant que d'après (8) on a 



m' 



r ~ " 1 — d2 ' 

où, comme on l'a vu, 

^-^— = sm {io, a = sm ao- 

on trouve que r et m seront liés par l'équation 

m 4 coj 



aoH-33o— 3(2j) — 1)tc cos^ Oq 
4 



Les formules que nous avons déduites pour les angles A = A^AM, 
(^ = A^AC et les lignes r = AO, m = AM ont été obtenues, en supposant 
que pendant le mouvement infiniment petit du triangle AA^M le sommet M 
glisse sur la droite FG et le sommet A sur le cercle G, la distance du som- 
met ^1 au point (7i reste égale à ri=J^i(7j aux grandeurs du6-me ordre près. 

D'après la remarque faite au § 3, cela doit avoir lieu en général, 



— 316 — 

lorsque pendant le mouvement des sommets A, A^ sur les cercles, décrits 
des centres G, G^, le sommet M se meut, aux grandeurs de 6-me ordre près, 
sur la droite FG, ou, ce qui est la même chose, décrit un arc, ayant le 
contact d'ordre 5 avec cette droite. Dans ce cas le sommet A^ se trouve 
dans les mêmes conditions que A; par conséquent les angles et les lignes 
adjacents à ce sommet doivent aussi satisfaire aux équations que nous 
avons déduites pour les angles et les lignes adjacents au sommet A. 
Par cette raison en posant (fig. 4) 

Fig. 4. 




E E E^ 

1 2 

A,EJE, = ^,, AA,M=A,, AA,G,=^^, A,M=m,, 
et en changeant dans les formules trouvées plus haut 

«0, Po. A ?, ^> ^^h ^, P 

en 

«1, Pi, ^1, ?i, n, ^1, ^h^Pi, 

nous aurons ces égalités: 

3ai -f- Pt — (2j?t — 1) 71 
Wj _^ 4 cos2 3, 

4 



— 317 — 

§ 9. Les égalités que nous avons déduites relativement aux angles du 
triangle AA^M les déterminent complètement d'après les angles o = A^AG, 
(^j^ = AAfi^, malgré les entiers inconnus n, p, n^^p^ qui y figurent, parce- 
que ces nombres y entrent multipliés par 2r.. Par suite, lorsque les angles 9, 
cpj et le côté AA^= a du triangle .4^jMsont donnés, nous le déterminerons 
complètement. En connaissant ce triangle et sa position par rapport aux 
droites AC, Afi^, déterminée par les angles donnés (^=A^AG, (f^=AA^C^, 
il sera aisé de trouver la direction de la ligne FG. 

Dans le mouvement considéré du triangle AA^M les droites GA, G^A^ 
étant normales aux arcs décrits par les sommets A, A^, la droite MS, me- 
née par le point M et le point d'intersection des droites AG, Afi^, doit 
être perpendiculaire à la droite FG sur laquelle se meut le sommet JM. 
Après avoir déterminé ainsi la direction de la droite FG et en remarquant 
que dans notre système des coordonnées l'axe des x est parallèle à cette 
ligne, il est aisé d'obtenir les angles 

«0^ Po. «n Pi 

que font les droites AM, AG, A^M, A^G^ avec l'axe des x dans la position 
du triangle, où son sommet M se trouve sur la ligne FG. En désignant par 
Y l'angle que fait alors la droite AA^ avec FG, nous déduirons des triangles 
AGF, AGM, A,GM, A,GG, les égalités: 

AMF = MAG H- AGM^ ^ -*- y, 
AFM=:^iz — FAG — AGM=iz — <^ — -(, 
A,MG = AA,M— AGM= A, - y, 
A,G,M-^ -K — G,A,A -4- AGM= tt — ç^ h- y 

D'oii, d'après l'égalité des angles 

A3IF=AEG = cco, AFM= AGE= ^, 
A,MG = A,E,x = a, , A,E,G= Afi,M= ^^ , 
il suit 

a,:=^-Hy, p, = Tr — 9 — y; a.^A. — y] ^j == ti — 9^ -f- y, 

ce qui nous donne, après y avoir porté les valeurs trouvées plus haut des 
angles A, A^: 

x^= 39 H- y — 2(n — 3p — 1)7t:; ^0 = "^ — ? — Tî 
aj = 39, — y — 2 (iZj — 3p^ — 1)7î; (3, = t: — 9^ -t- y. 



— 318- 



En portant ces valeurs de a^, (B^, a^, p^ dans les formules (§8) qui détermi- 
nent les rapports y, ^, on trouve 

CO32 (89 -f- y) 



cosi 2cp- 



y — (3n — 8p)7r\ cos2((p -+- y) ' 



^j^n^ 



C032(3cpi — Y) 



Y -t-(3wi— 8/?i)7r' 



\ cos2(cp, 



i-T) 



et comme on a 



COS ^ — 2~^ = COS -î — 2~^ • cos w^ir, 



COS (29 -H '3 ^' j = COS (29 -. g-), 

COS [2,f- -'^^'\-""^'' ) = COS (2ç,- li!iV)cos V, 
ces formules se réduisent aux suivantes: 



(20) 



cos2 (3cp -I- y). 
Y -I- nTT \ C032 (ç -+- y) ' 



s I 2cp -f- - — I 



COS 1 2?i ■ 



2 cos2 (39i — y) 

Y -+- njTiX ' cos2 (9j — y) 



§ 10. Afin de déterminer l'angle y qui entre dans ces formules, nous 
remarquons que d'après la propriété connue des lignes droites menées d"un 
point aux sommets d'un triangle, ce qui a lieu par rapport aux droites SA^ 
SM, SA^ (fig. 4), on doit avoir l'égalité 

sin AMS sJQ MAS sin AAjS 

sin AiMS sin AiAS' sia 3IA^S^ 

OÙ, comme on le voit par la figure, 

AMS = FMS—FMA = ^ — oc,; 
A,MS=GMS - A,MG :== |- — a,; 
MAS=T. — GAA, -+- A,AM=: tt — 9 -h ^; 
AiAB = TC — GAA^ = 71 — cp ; 



— 319 — 

AA^S = Tt — C^A^A = u — cpj , 
MA,S = u — G,A,A -+- AA,M = tz — <^^ -i- A,; 
en vertu de quoi cette égalité nous donne 

C03 «0 sin {A — cp) sia cpj 

cosaj sinç ' sin (^, — ç,)" 

En portant ici les valeurs trouvées des angles A, A^, nous aurons 

C03 ao sin 2ç sincp, 

cosoL^ sin 9 sin29i' 

ce qu'on réduit, en remplaçant sin 2©, sin 2cp^ , par 2 sin 9 cos 9, 2 sin cp^ cos ç, . 
à cette formule très simple: 

(0]) cos gp cos ç 

cos ttj cos cpi 

En remarquant que, d'après ce qui a été dit plus haut (§ 9), ou a 

ccq= o(^ -t-y— 2{n — Sp — 1)71, 
ai = 3cp,— y — 2(Wi — 3i?i — l)Tr, 

nous en déduirons l'équation 

cos (39 H- y) cos 9 

cos(39j — y) cos 9j ' 

qui détermine l'angle y d'après les angles 9 et 9^. On donnera à cette équa- 
tion une forme plus commode pour l'évaluation de l'angle y, eu la présen- 
tant ainsi: 

cos (39 -4- y) — COS (39t — y) cos 9 — cos 9, 

cos (39 -H Y) -»- cos (39, — y) cos 9 -h cos 9, ' 

ce qu'on ramène à l'égalité: 

taug [y (? - ?i) -♦- y] tang ^^-=-^ 



(22) 



cotang — (9-+-9i) 



§ 11. En déterminant l'angle y par l'équation (22), on trouve pour 
lui entre les limites et 27t: deux valeurs, dont la diiférence est égale à tt. 
Il n'est pas difficile de montrer qu'en donnant dans nos formules à l'augle 
y ces deux valeurs et eu prenant n, n^ égaux à zéro, on aura toutes les so- 



— 320 — 

lutions de notre problème. Pour cela nous montrerons en premier lieu que 
ces deux nombres ne peuvent différer entre eux par un nombre impair. 
On peut l'apercevoir d'après l'expression de la grandeur 



qu'on tire de ces formules. Comme, dans notre système des coordonnées, 
l'origine se trouve au point C et l'axe des x est parallèle à la droite FG^ 
la grandeur x^ , qui représente l'abscisse du point G^ , sera égale à la pro- 
jection de la distance entre les points C, C^ sur la droite FG. Cette pro- 
jection, ainsi que la ligne a = AA^, ont dans notre question le même rap- 
port au sommet A du triangle ^^^ilf qu'au sommet A^; donc la formule qui 
détermine — ne doit pas changer de valeur lorsqu'on y change 

en 

(pi, ai, Wi, — y, 

qui ont la même signification par rapport aux sommets A, A^ du triangle 
AA^M; et cela suppose, comme nous le verrons, que n — n^ est un nombre 
pair. 

En effet, par la formule (9) on trouve 



asin A X — d ' 

Comme d'après notre notation 

d = sin ao, 1 — cP = cos^ ao, 
et d'après (17), en supposant 









h — 


4 
















4 


J^ 




on a 




















A — 


d 




3 


3o)sm^ 


4 


>sin^ 


cosao 






3ij,2«0-^3&o ^^^ 3(^^_^_ 


Po)- 


4 


• 3ao-t- 
siu — i^ 


^' 




la valeur de 








asia^ 












sera représent 


ée 


par 


la formule 
















cos cto. 


cos — (ao H- Po) 






• 0^ 

cos aQ.siii'î - 


o-^33o 
4 






























sin 


^ (y-o -*- h) 


. 3 
sm- 


(^OH 


a \ nfn ^*0 


-^Po .i 


n^ 


-h 






4 


4 



— 321 — 
où les deux premiers termes pris ensemble donnent 



sm — (ao-i 



et le dernier, en y remplaçant les expressions 



sin2^:^o, sin^-^^sin ^^-^'"" 

4 4 4 



par leurs équivalents 

|(l_eos--^»), i(cos^ 



-cosao 



se ramené a 



sin Y («0 -*- 3o)l cos °^°"^ ° — cos ao J 



En vertu de cela cette formule nous donne: 



..sia|(.„^W _^^^^^^^^^ (.-cos'-q^o 



2=0 -^- 3o 

cos -ii-— !^ — cos OCq 



Nous avons déduit cela, en supposant 

/^ = ^• 



4 

Pour passer au cas général, oii 



sin 


8^0-*- Po- 


-ikTT 


4 




sia 


«0-»- 33o- 


3^71 


4 





/<=(-!)' 



on doit, d'après ce qui a été dit au § 7, mettre ici ^^ — hiz au lieu de j^g. 
On obtient ainsi la formule 



a., sin |(ao-f-3o- /.•-)_ ,^^33^.3,, (l 



an -i- 3o — ^""^ 
C03-ÎÎ ^ cosag ■ 

21 



— 322 — 

Après avoir trouvé d'après les expressions de /c, A, a^, p^, données 
dans les §§ 8, 9, les égalités 

sin -| («0 -H po — JcTz) = èm (89 — Sn-rr-f- Sît)^ — ( — if sin 89, 

cos (--^o-^^^^o-^^^) = ces (y -4- *i7r — 71) = — (— 1 f cos y, 

sinu4 = sin (89 — 2 (n — 3p — l)7r) = sin 89, 

cQ^^^iH^^ziJïl = cos (9 — WTT -Hu) = — (— If cos 9, 

nous déduirons de la formule précédente 

(— 1)" -*- cos Y 



:cosy- 



cos ao 



Eu changeant ici a^, 9, y, n en a^ 9^, — y, n^, nous trouverons, 
d'après ce qui a été dit plus haut, pour la même grandeur ~ encore une 
autre formule: 

(— l)"i-t-cosy 



-i = cosy- 

a ' 



003 a, 



En comparant entre elles ces deux expressions de ^, oii d'après (21) 

coscp cos cpi 

cos Sq cos aj 

nous remarquons, qu'elles deviennent identiques seulement lorsque 

(-!)" = (-! A 

ce qui suppose que la diiîérence n — n^ est un nombre pair. 

Après s'être persuadé que dans nos formules les nombres n et n^ ne 
peuvent se différer que par un nombre pair, et en observant que d'après la 
composition des formules 



cos- 



2 cos2 (3cp -f- y) 



/^ y-t-n-K\ C032(cp-i-Y) ' 

cos 1 2ç -4- -^-- j ^^ '^ 



cos ' 



2 cos^ (39t - y) 



' cos (2cp,- 1:^2— ) '"''^^'""^^ 



les nombres n et n^ peuvent y être faits > — 1 et < 2, nous concluons 
que par rapport à ces nombres ne sont possibles que deux hypothèses: ou 



C03 


2 




C082(3cp-f- 
C0S2 (9 H- 


T) 


cosi 29 


-^ 


t) 


T)' 


cos 


T 
2 




cos2 (39, 
cos2(9, - 


-t) 


cos(^2cpi 


- 


i) 


-T) 



— 323 — 

ils sont tous les deux égaux à 0, ou tous les deux égaux à 1. Mais ces deux 
cas seront compris dans un seul système dos formules: 



(23) 



où l'angle y peut avoir deux valeurs différents entre elles de tt, qu'on tire 
de l'équation (22). 

Ainsi d'après les angles ç, cp^ et l'angle y, déterminé par l'équation 
(22), on trouve la grandeur des rapports 



d'où, d'après les longueurs m=AM, m^—A^M des côtés du triangle ^.i^iY, 
on trouve les longueurs des lignes r = AG, r^ = A^G^. 

Dans le cas, où le triangle AA^M sera donné, nous trouverons les 
angles 9, cp^, qui entrent dans nos formules, en remarquant que, d'après ce 
qui a été dit au § 8 par rapport à la détermination des angles A et A^ du 
triangle AA^M, on trouvera les mêmes angles A, J,, en prenant pour 9, 
cpj ces valeurs diverses: 



A 


A-i-2r. 


^-h47: 


? 3 ' 


? — 3 


?.= t 


9.= ^', 


J,-4-47r 

fi— 3 • 



En combinant entre elles ces valeurs des angles cp, ç^, nous trouverons 
9 systèmes divers des grandeurs 9, 9^. En déterminant, pour chacun de 
ces systèmes des angles 9, 9j, l'angle y par l'équation (22), on trouvera 
pour lui deux valeurs; en vertu de quoi le nombre de solutions de notre 
problème dans le cas, où l'on suppose le triangle AA^M donné, sera eu gé- 
néral égal à 18. 

§ 12. Nous allons maintenant nous occuper de la détermination de la 
grandeur des écarts du sommet M du triangle AA^M de la ligne droite, 
quand les sommets J, A^ se meuvent sur des cercles déterminés plus haut, 
en ne considérant que les positions du triangle qui sont infiniment proches 
de celle où le sommet M se trouve sur la tangente, ayant le contact d'ordre 
5 avec sa trajectoire, et dans tous les développements nous nous bornerons 
aux premiers termes. 

21* 



— 324 — 

Nous commencerons de nouveau par la supposition, que le sommet M 
se meut justement sur la droite FG, et le sommet A^ décrit une courbe 
très proche de l'arc de cercle G^ (fig. 5), 




Soit A'A^M^ une position quelconque du triangle AÂ^M dans ce mou- 
vement, infiniment approchée de celle, où le sommet A^ se trouve sur le 
cercle (7, , et oià, par notre notation, 

GAA^ = cp ; G^A^A = Çj ; 
oL = AMF=oi,', ^ = AGx = %. 

Alors le point A\ ne se trouvera plus sur le cercle C^, et sa distance 
du centre G^ différera du rayon 7\ = Afi^ du cercle par la grandeur Â^S, 
pour la détermination de laquelle on reçoit d'après (2) une telle formule: 

Â^S = K (sin a — sin ol^^-^ .... 

Pour passer au cas, oii le sommet A^ se meut justement sur le cercle 
Cj, et le sommet M sur la droite FG approximativement, nous supposerons, 
que le triangle A'A\M^ tourne autour du point A' jusqu'au moment, où son 
sommet A\ arrive sur la circonférence G^ . En supposant que le sommet A\ 
arrive au point q de la circonférence (7j, et le sommet iW, , qui se trouvait sur 



— 325 — 

la droite FG, arrive au point t, nous observons, que les lignes infiniment 
petites Â^S, A\q, M^t seront liées entre elles par les égalités: 

Or comme on a 

ÂM^ = AM= m, A'A\ = AA^ = a, 
qA\S-= A'A\G—A'A\q = A'A\C, — ^, 

et que l'angle A'A\C^ diffère infiniment peu de l'angle AAfi^ = c^^, ces 
égalités nous donnent 

< ' o à' • Mt t in 



d'où, en éliminant A^q, on tire: 



^ a sm Çj 

ce qui, après y avoir porté la valeur de Â^S donnée plus haut, se ramène 
à ce qui suit 

1 a sin ?i 

D'un autre côté, en déterminant la distance du point t de la droite 
jP6r, on trouve qu'elle est égale à 

et comme l'angle FM^t est égal à |- — FM^A\ et l'angle F^M^A' diffère 
infiniment peu de l'angle FM A = a^, cette expression se réduit à celle-là: 

ilfj^.cosao, 

ce qui, après y avoir porté la valeur M^^t trouvée plus haut, nous donne 
pour la détermination de la distance du point t de la droite FG la formule 
suivante: 

K—-. — - (sm a — sin ocS -+-.... 

a sm <fi ^ ^ 

D'oii l'on voit que dans le mouvement considéré du triangle AA^M, 
l'ordonnée y du point 3f, lorsque a diffère infiniment peu de a^, aura la 
valeur : 

y^T-i T;r m C03 CCn / ■ • ^6 

y = Gl^ — K — -. — - (sm a — sm aj -t- .... 

^ a sm Çj ^ ^' 

En remplaçant ici la différence 

sin a — sin a^ 



— 326 — 

par 

(a — (Xq) cos a^, -f- . . . . , 
on trouve 

Il = CF — K : — -° (a — aS-+- .... 

^ a sin 9i ^ ^' 

Cette formule nous montre, comment l'ordonnée y du point M varie 
avec la variation de l'angle a. Pour trouver la relation entre les variations 
de ic, y du point M, nous allons maintenant déduire la formule qui donne 
la valeur de x du point M pour les valeurs de a très proches de a^ . 

Pour cela nous remarquons que la grandeur x est égale à la projection 
de la ligne brisée GÂM sur l'axe de x; par conséquent 

X = AG. cos ACx -¥~ AM, cos AMF. 

En portant ici les valeurs 

AG=r; AGx=% AM=m; AMF = oc, 
on trouve 

rc ^ r cos fl -I- m cos a. 

En difFérentiant cette valeur de x par rapport à a, et en remarquant 
que d'après (1) 

d?> m cos a 

(Za r cos P ' 

on trouve 

-r = — r sin ti 3^ 7n sin a = — m — ^ — ^• 

f/a "^ (?a cos 3 

En vertu de cela nous concluons qu'au voisinage du point 
x = MF, y = FG, 

où a = «0, p = po, l'abscisse x aura la valeur: 

x = FM~m -J^^^ o;(a-a,)-^-.... 

En déterminant de cette équation la valeur de la différence a — a^ et 
en la portant dans l'expression de l'ordonnée y trouvée plus haut, on aura 
la relation suivante entre x et y: 

cos7aocos6fiog ^a:-FMf-^. . . ., 

^ am^ sm cpi smC (ao -+- Pq) 

que nous représenterons ainsi: 

y = y^-i-K,{x — X,f-^- , 



— 327 — 

en posant 

x, = FM, y, = GF, 

jr cos' gp COS^ Pq K 

amS.sia Çj sin^ {Hq -+- ^q) 

Cela nous donne l'équation de la courbe décrite par le sommet M 
du triangle AA^M îm voisinage du point x^=x^,y^=y^, où elle a le con- 
tact d'ordre 5 avec la droite. 

§ 13. Pour déterminer la valeur du coefficient K^ qui entre dans 
cette équation, nous observons que d'après (10), où 



\-.d'= cos^ a, , ^'^''-^f^--9f _ ,,g p^^ 
les coefficients K et L sont liés par la relation : 



K-- 



rx, cos (Îq L 



en vertu de quoi l'expression de E^, donnée plus haut, se réduit à celle-là: 



K.= 



rx, cos' ^0 L 



am^ Ty cos^ a^ sia Çj sin^ [c/.q -+- Pq) (1 — dX) 

En portant ici la valeur de x^ d'après (9) et les valeurs des angles 
A, a^, (3q d'après les formules du § 9, on obtient 

j^ r cos' (o -+- y) sin 3? L 

m * r 



8 {3? -+- y) sia^ 2? sin cp^ X — d 

Eu passant à la détermination du rapport 



L 

X — d' 



qui entre dans cette expression du coefficient K^, nous évaluons la grandeur 
L d'après la formule du § 5, en y portant les valeurs de \ [x, trouvées dans 
le § 7, et en prenant 

. 3ao -»- pQ — fcTC 
^ sm j 

^^^( 1) . ao-t-3|3o — 3ft7r' 
sm— 7 

4 

En divisant la valeur de L ainsi obtenue par la grandeur X — d pour 



— 328 — 

la même valeur de h, on trouve, toutes réductions faites, pour la détermi- 
nation du rapport de i à X — cl une telle formule : 

. „ San -♦- Po — Iv: 
^ ^ sm^-i^ f &in^ [iq-*- ^Q — TiTz) 

cos ao sin y (ap -+- Po — ^^i) sm-* -^ 1 sin -^ 1 

En portant ici la valeur de k = 2p -^ 1 et les valeurs des angles A, 
a^, Po, données dans le § 9, nous aurons: 



L 

'k — d 32 " 



cos^ 2cp - 






2 

En observant, d'après l'équation (20), que 

Y -i-n7t\ 



C032 I 29 - 



_2 / m2 COS'* (3? -+- y) 



C0s2-i ^' " 

on déduit de cette formule 



L m- cos-'^ (30 -+- y) sin^ 2cp 

32r2 008"* (ç -+- y) sin 39. sin ç ces'* 



2 



OÙ. d'après le § 11 nous avons mis y au lieu de y-t-^iiz; en vertu de quoi 
l'expression trouvée plus haut du coefficient K^ nous donne 

^ l / ces (9-hy) \3 

32rri sin 9.sin 9i cos2 -^ ' 

§ 14. D'après cette formule il n'est pas difficile de montrer que pour 
les valeurs finies de r, r^, m, Mj, le coefficient K^ dans l'équation 

y = y,-i-K^{x — x^f-i- 

ne peut devenir égal à zéro, et par conséquent la courbe décrite par le 
sommet M du triangle AA^M dans la question considérée ne peut avoir 
avec la ligne droite de contact d'ordre plus élevé que le 5-me. 

Afin de le montrer, nous observons que le coefficient K^ ne doit 
changer de valeur lorsque dans son expression on remplace les grandeurs 
relatives à l'angle A 



— 329—- 

par celles-ci 

?n ^^h^ ^n ^5 — T- 

qui ont la même relation à l'angle A^. 

Nous aurons ainsi une nouvelle expression du Z^ 



Y \ Wj siu 2çj / 



On voit par ces deux expressions du coefficient K^ que pour des va- 
leurs finies de r, r^ , m, m^ il ne peut s'annuler que lorsqu'on satisfait aux 
équations 

(24) cosfçH-Y) = 0, cos (9j — y) = 0, 

d'oîi il suit que 

OÙ q, q sont des nombres entiers quelconques. De ces égalités on trouve 
par l'addition et la soustraction 



(25) 



[ cp — 9^h-2y = (2 — g')Tu. 



Mais on voit par (23) que les égalités (24), pour des valeurs finies de 
r, m, r^, m^, supposent ou l'égalité 

cos-|- = 0, 
ou les deux égalités 

cos (30 -♦- y) = 0, cos (3cpj — y) = 0. 

Dans le premier cas on trouve que 

y = (2g"-*-l)Tr, 

q" étant un entier. En portant cette valeur de y dans l'équation (25), on en 
tire 

Et en déterminant les angles du triangle AA^M qui correspondent à 
ces valeurs de o, (p^, on trouve, d'après le § 8, que chacun des angles J, 
^1 doit contenir un multiple impair de ^, ce qui est impossible. 



— 330 — 
Eu passant à l'iiypotlièse 

cos (39 -*-- y) = 0, cos (Soj — y)=:0, 

nous observons que ces égalités conjointement avec les égalités (24) sup- 
posent 

^, ([ étant des nombres entiers. Si g, q^ seront tous les deux impaires, les 
angles A^ A^ deviennent de nouveau impossibles. Si l'un d'eux est un nombre 
impair et l'autre pair, on ne satisfait pas à la première des équations (25). 
Enfin, si tous les deux nombres q^ q seront pairs, l'angle y d'après (24) 
devra avoir la valeur 

i 2 "' 

Ço étant un nombre entier. 

Mais pour de telles valeurs de 9, cpj, y dans l'équation (22), écrite 
sous la forme 



cotang — (o-i-çi) 


tang _ (9 _ ç,) -H y 


CP -H C, 

cotang ^^—~ 


— c?, 
tang ^-^ 



le premier membre deviendra ^ ou 0-, selon que la somme 9 -i- cp^ se ré- 
duira à Ti répété un nombre pair ou un nombre impair de fois, tandis- 
que le second se réduira à ô;^ ou à ^ , selon que la différence 9 — 9^ se ré- 
duira à 11 pris un nombre impair ou un nombre pair de fois. En détermi- 
nant la valeur du premier membre pour les valeurs de 9, 91 très proches 
de -|-7c, -|-7r, en supposant g, q être des nombres pairs, on trouve que pour 
ces valeurs sa limite est ou y, ou y. D'où l'on voit que pour de telles va- 
leurs de 9, 9j, y on ne peut pas satisfaire à l'équation (22), et par consé- 
quent la dernière supposition est aussi impossible. 

§ 15. D'après l'équation 

on trouve qu'entre les limites x = a:Q — y Qix=^XQ-\-^ Téloignement 
du sommet M du triangle AA^M de la ligne droite ne surpassera pas 

■^0 76 



— 331 — 

en négligeant les puissances supérieures de l et supposant en général la 
grandeur l être petite. En portant ici la valeur de ^o que nous avons 
trouvée, on aura 

l / C03(cp-t-Y) \3 ^g 

2048rr,8incpsiacp,cos2XV "^^^^^ç ) 

pour la limite des écarts du sommet M du triangle ÂA^M de la voie recti- 
ligne, la longueur du jeu étant égale à L 

Ces déviations peuvent être faites beaucoup plus petites d'après ce que 
nous avons montré dans le Mémoire sous le titre: Théorie des mécanismes 
connus sous le nom de parallélogrammes. Pour cela , après avoir déterminé , 
comme on l'a montré plus haut, les longueurs des lignes AC, A^C^ et les 
places des centres de rotation (7, C^, il faut chercher quels changements 
doit-on apporter aux uns et aux autres, afin que la courbe décrite par le 
sommet M du triangle AA^M rencontre la droite aux points, dont les ab- 
scisses aient de telles valeurs: 

i^o — ycoslô^, i^o— -2-cos45°, ic^ — yCOs75°, 

o^o -H Y cos 1 5^, a^Q-i-y cos45°, iP^-i- y cos 75^ 

Lorsque cette condition sera remplie, les écarts de la voie rectiligne 
du sommet M du triangle AA^M sur toute la longueur l du jeu, resteront, 
comme le démontre l'Analyse, entre les limites: 



/ C03(cpH-Y) \3^6 

\ ffi sin 29 / ' 
2" 

/COS (9 ■+- t)\3 ,6 



,„^ . • - Y V wî sin 2© 

65536?T, sm ç sin Çj cos* — 



18. 
SUR LES FONCTIONS 

POUR CERTAINES VALEURS DE LA VARIABLE. 

(T]RAX)UXT PAÏl G. A. POSSK.) 



npiL wzâomppux^ êcAnzimaxii nepejif&uuoïi. 



(npHJioacenie Kt XL TOMy 3anncoK-i, HiinepaiopcKOu AKaaeMia HayKt, jYs ^ 
1881 r.) 



(Lu le 23 âécemlve 1880.) 



Sur les fonctions qui s'écartent peu de zéro 
pour certaines valeurs de la variable. 



§ 1. Si une foiictioa entière F{x) s'écarte peu de zéro, entre les li- 
mites x = — /^, X = -^ Ji^ elle ne peut atteindre en dehors de ces limites 
une valeur considérable pour x peu différent de — h ou de -\-h que dans le 
cas où le degré de cette fonction est assez grand. Nous allons montrer main- 
tenant de quelle manière, d'après le degré de F{x) et la limite supérieure 
de son écart de zéro pour les valeurs de x entre — h et -t- /^, on pourra 
trouver la limite supérieure de sa valeur pour x = H en dehors des limites 
— h et --1- h. Or, comme toutes les valeurs de la fonction F{x), tant entre 
les limites x^= — h et x = -\-- h, que pour x = H, peuvent être modifiées 
dans un rapport voulu à l'aide de l'introduction d'un facteur constant, nous 
allons nous borner, pour simplifier l'exposition, à la supposition que la fonc- 
tion F{x) ait une valeur donnée M pour x = H et nous allons chercher 
ensuite parmi toutes les fonctions entières, satisfaisant à la condition 

F{H) = 3Ï 

et étant d'un degré donné n, celle qui entre x = — h et x=. -h- h s'écarte 

le moins possible de zéro. En désignant par L le plus grand écart de zéro 

entre x-= — h et x= -^h d'une telle fonction et remarquant que pour 

toute autre fonction du même degré et ayant la valeur M pour x = H le 

plus grand écart de zéro entre a; = — h et x= -i- h surpassera L, nous 

devons conclure que le rapport 

il 
L ' 

correspondant à la fonction considérée, représentera la limite supérieure du 
rapport de la valeur d'une fonction entière de degré n pour x = H au plus 
grand écart de zéro de la même fonction entre x = — h et x = -*-h. 



— 336 — 

§ 2. Passant à la détermination de la fonction F{x) sous les conditions 
mentionnées, remarquons qu'étant de degré n et se réduisant à M pour 
x = H, elle doit avoir la forme 

(1) F{x) = {2\x''-'-^p,x''-'-^. . ..-^P^_,x-i-p^) {x-H)-^M, 

PuPiT ' ' ' Pn—i^ Pn désignant des constantes. Ces constantes dans la fonction 
considérée se déterminent d'après la condition que cette fonction entre 
x=z — h et x:=-i-h ne surpasse pas les limites — L et -t-L, entre les- 
quelles ne peut rester aucune autre fonction de la même forme pour les 
mêmes valeurs de la variable. Pour déterminer les valeurs des constantes 
Pi^ Pij' • • • Pn—i^ Pn d'après cette condition nous allons nous appuyer sur 
le premier théorème de nôtre Mémoire sous le titre: »Sur les questions de 
minima qui se rattachent à la rejprésentation approximative des fonctions))^). 
Ce théorème est applicable à la détermination des coefficients de la fonction 
F{x), cette fonction ainsi que ses dérivées restant continues et finies entre 
x = — h et x = -^h. 

Eu vertu de ce théorème et désignant par 



les diverses valeurs de la variable x, pour lesquelles la fonction F(x) entre 
x = — h et x=: -t-h atteint ses valeurs limites — L et -i- L, nous con- 
cluons que le système de n équations 






aux ti. inconnues 

^n \^ \ 

doit avoir une solution où les valeurs des u. inconnues Xj, \,. . . .\^ ne 
sont pas toutes égales à zéro. 



*) T. I, PL 273—378. 



— 337 — 
En déterminant d'après (1) les valeurs des dérivées 



dFix,) 
dp, 

dFix,) 
dp^ 


dF{x^) 
' dp, '•• 

dF{x^) 
' dp^ '•• 


dFix^j) 
" dp, ' 

dF{x^,) 
• • dp, ' 




dF{x,) 
dpn 


dFix^) 
dPn '•• 


dFix^,) 
" dpn ' 



et les portant dans les équations précédentes, nous trouvons que celles-ci se 
réduisent au suivantes: 



■ (x^—H) < \ X,-4- (x^-H) a;,"-^ \-^,.,,-^ {x—H) a; "-\ X =0^ 



(2) 



V- 



{x,~E) x,^-\ X,-H {x,-H) <-l X,-i- . . . . -H {x—H) ^ "-^ X =0, 



{x,~-H)\-i-{x, — H)\-^..,,-^{x—H)\=.0. 



§ 3. La quantité ZT étant en dehors des limites x = — h, x=-i-Ji, 
entre lesquelles se trouvent toutes les fx quantités 

aucune des différences 

x,-H, x^ — H, , x^ — H 

ne peut se réduire à zéro. Cela posé, nous allons montrer que le nombre fji 
des inconnues Xj, Xg,. . . . X dans le système d'équations trouvé ci-dessus 
doit surpasser le nombre n de ces équations, pour qu'on puisse leur satis- 
faire par les valeurs de Xj, X^,. . . . X^^^ différentes de zéro, comme cela doit 
nécessairement avoir lieu, d'après le théorème mentionné, pour la fonction 
F{x) que nous considérons. 

Eu effet, si [a ne surpasse pas w, le produit 

(x — X2)ix — Xs) (x — x^) 

se réduit à un polynôme de degré inférieur à n, qui peut être représenté par 

Ax""-' -i- Bx'"'' -^- ....-¥- K. 



— 338 — 

En désignant ce polynôme par cp (x), nous remarquons, d'après sa dé- 
composition en facteurs, que 

? W = (^i — ^2) (^1 — ^3) — (^1 — ^^); 
oM = 0, ^ix,) = 0, cp(rr^) = 0. 

Remontant aux équations (2), les multipliant respectivement par 

A, B,.... K 

et prenant leur somme, nous obtenons l'équation ci-dessous: 

{x,—H) 9 (x,) \-^ {x^—E) cp {x^) X2-*- ^- (^^— ^) ? {x^ ^^ = 0. 

En y portant les valeurs trouvées plus haut des fonctions 

? K), ? (^2), ? (V, 

nous remarquons que cette équation se réduit à 

[x^ — H) {x^ — x^) {x, — x^ (^1 — x^\ = 0. 

d'où il suit 

X, = 0, 

parceque la différence x^ — Z/, d'après ce qu'on a vu, est différente de zéro 
et les quantités rr, , a^g , . . . . a?^ sont différentes entre elles. 

On démontrera d'une manière analogue que pour it^^n les équations 

(2) donneront 

X2=0,....,X^=0. 

On voit d'après cela que le nombre pt,, qui indique combien de fois la 
fonction considérée entre a; = — h et x = -\-li atteint les valeurs limites 
— Z et -I- Z sans les franchir, doit être plus grand que w; donc l'équation 

(3) F\x) — I}=0 

doit avoir au moins w h- 1 racines entre rz; = — h et x = -^'h. Parmi ces 
n "♦- 1 racines il y en aura au moins n — 1 différentes de — /i et de -i- h\ 
ces w — 1 racines ne peuvent être racines simples, car, x passant par une 
racine simple de l'équation (3), F^{x) franchit la quantité U^ ce qui est 
contraire à l'hypothèse. 



— 339 — 

En remarquant d'autre part que les racines multiples de l'équation (3) 
vérifient l'équation 

F'{x) = 0, 

de degré n — 1 d'après (1), nous concluons que l'équation (3) ne peut avoir 
plus de w — 1 racines multiples. En les désignant par 

nous arrivons à la conclusion, d'après ce qu'on a dit plus haut, que le premier 
membre de l'équation (3) est divisible par le produit 

{x-^x,f {x — x^Y {x — x,)\ . . , {x — x^_^)\ 

D'ailleurs, il est facile de voir qu'il est aussi divisible par le produit 

{x — h) {x-\-h). 

En effet, l'équation (3) ne peut avoir, comme on a vu tout-à-l'heure, 
plus de w — 1 racines multiples ; or, entre x=^ — h et x=-^h^ d'après 
ce qui précède, se trouvent au moins w -f- 1 racines, donc deux de ces ra- 
cines doivent être simples. Mais, comme on a remarqué, les racines simples 
de l'équation (3) ne peuvent être que 

x = — /?, x= -^h, 

ce qui entraîne la divisibilité de son premier membre par le produit 

{x — h) (x-i-h). 

C'est ainsi qu'on s'assure que la différence 

F\x)—L' 
est divisible par 

(^ _ ^ja (X — x,f {X —x,y....ix- x^_;)' 

et par 

{x — h) {x-*-h) = x^ — h\ 

cela veut dire, par leur produit 

(x — x,f {x — x,f {x — x,f. . . . (^ — a^„_/ {x' — h'). 

22* 



llMlVf'^SiTY 



— 340 — 

Remarquant encore que d'après (1) ce produit est du même degré que 
la différence 

F^{x) — U, 

nous en concluons que cette divisibilité entraine l'égalité 

F^ ix) — X2 = C{x — x^i" {X — x^y {x — x^_J' {x^ — h\ 

C désignant une constante. Cette égalité nous donne l'équation 

(4) jP2 (^) — J} = {x" — ¥) 0^ (x), 
0{x) étant une fonction entière, définie par la formule 

(5) 0ix) = ±yGix — x,) (x — x,). . . . (x — x^^^), 

où le signe du radical ± Y G se détermine de la sorte que le terme du plus 
haut degré de (x) ait le même signe que le terme analogue de F{x). 

§ 4. En abordant la détermination de la fonction F{x) d'après l'équa- 
tion (4), remarquons qu'elle peut être écrite sous la forme 

F' (x) — {x^ — Iv") 0^ {x) = L\ 

d'oii l'on déduit, en décomposant la différence 

F\x) — {x'' — W) 0\x) 
en facteurs 

[F{x) — {x) Vx^ — h^) [F{x) -+- {x) Vx^ — h^)^ 



l'égalité 



F{x) — 0{x)Vx^ — li^ = - 



u 



ce qui nous donne après la division par 0{x) l'équation 

(6) ||)_y?z:p= i^ 



'^ (^) {x) [F {x) H- (D {x) Vx^ — ft2] 

A l'aide de cette équation, comme nous avons montré dans le Mémoire 
mentionné ci-dessus, l'expression de la fonction cherchée F{x) peut être 
obtenue par le développement de Vx^—h^ en fraction continue. Nous allons 
montrer maintenant comment cette fonction peut être trouvée sans le secours 



— 341 — 

des fractions continues. Remarquons dans ce but qu'en désignant par P, Q 
les fonctions entières représentées par les égalités 

F= 2 , 

on trouve 

Or, remarquant que le produit 

{x-i-v^zih^) (a;_y^2z::^) 

est égal à h^, nous aurons 

x—Vx' — h^ 



/i2 



en vertu de cela, l'égalité précédente donne 



P—Qyx^ — h^ = ; 



(x -t- Vx^ - h^) 

d'où l'on obtient, en divisant par Q, 

P ^/-2 — r2_ '^^^ 



.y^2_y^2^ 



En soustrayant cette égalité de (6), on aura 

F{x) P__ i2_ 



ce qui nous donne, en multipliant par {x) . Q, l'équation 



' F{x) -*- Q {x) Vx2 — h'i (x -f- Vx^ — h^T 



En considérant le second membre de cette équation, nous remarquons 
que les deux termes qui y entrent représentent des expressions de de- 
grés négatifs, les fonctions UQ, h^^ (D {x) aux numérateurs étant de degré 
n — 1, d'après (5) et (7), tandis que les fonctions F {x) -\- {x)'V x^ — W^ 
{x-^Vx^— h^f aux dénominateurs sont de degré w, d'après (1) et (5). Par 
conséquent notre équation, dont le premier membre représente une fonction 



— 342 — 

entière, iie peut être satisfaite que dans le cas où l'un et l'autre de ses 
membres se réduisent à zéro, c'est à dire, lorsque 

F{x)Q — ^{x)F={). 
On trouve de là 

Fix) _ F 
0(x)— Q' 

et remarquant que d'après (4), (5) et (7), la fonction F{x) n'a pas de fac- 
teur commun avec (Z> (ic), non plus que P avec Q, nous concluons que F{x) 
ne peut différer de P que par un facteur constant; donc 

Fix) = C,P, 

Cj désignant une constante. Cette valeur de F(x), en y portant l'expression 
de P, tirée de (7), nous donne 

P(X) = C (a: + /^^^^^P)" H- (g; - y^^^rr^)" 

§ 5. Pour déterminer la constante Cj, remarquons que d'après le § 1 
la fonction F{x), pour x = H, est égale à M. En faisant dans l'expression 
trouvée de F{x) 

x = H, 
nous aurons 

ce qui, étant égale à M, nous donne l'équation suivante pour l'évaluation 
de G,: 

d'où l'on tire 

2M 



a=7 



1 {H-t- vm — /î2)" -I- (fî — vm — h-^T 
En portant cette valeur de 6\ dans l'expression de F{x), on obtient 

Ainsi s'exprime la fonction entière de degré w, qui, étant égale à M 
pour x^=H, s'écarte le moins possible de zéro dans l'intervalle dex= — h 



— 343 — 

h x = -\-h, ne comprenant pas la valeur x = H. Pour trouver i, la limite 
de ces écarts, remarquons que l'équation (4) nous donne pour x^=h 

d'où 

L = F{h). 

En posant x==h dans l'expression trouvée de F{x) nous aurons 
en vertu de cela l'égalité précédente nous donne 



M 



d'où l'on tire l'expression suivante du rapport 



L ' 



M^ _ (h -4- Vm — }fiT -H (g — Vm - Tiif 

L ~ 2h^ ' 

qui, d'après le § 1 , représente la limite supérieure du rapport de la valeur 
d'une fonction entière de degré n pour x = H au plus grand écart de zéro 
de la même fonction entre x = — h et x = -^-h, en supposant que H est 
extérieur à l'intervalle entre x = — h et x = -\-h. 

En représentant l'expression trouvée sous la forme 

(8) f =i [(f->/f=T)V(f->/f3-i)"] 

et mettant au lieu de 



l'expression équivalente 



nous trouvons 



H /m : 



(T->/f-in 



L ■ 



Cette égalité donne pour la valeur de 



M 
T-' 



— 344 — 

l'expression 

Pour savoir lequel des deux signes ii= doit être pris dans cette for- 
mule, supposons qu'on ne donne que des valeurs positives aux quantités h et 
H\ dans ce cas on aura 



(f-}/^->r>(x-]/-^-i)". 

par conséquent d'après (8) 



il 
L ' 



Cette inégalité nous montre que l'égalité obtenue ne peut être satis- 
faite qu'avec le signe supérieur du radical V-jj — 1, et qu'on doit avoir 
par conséquent 

d'oi^i il suit 

Or, en déterminant d'après cette égalité le nombre n, nous trouvons 



. (M -^f M^ 



\h y h-i 



ce qui donne la limite inférieure du degré d'une fonction entière dont le 
plus grand écart de zéro entre x = — h et a? = -+- A est égal à Z et qui 
prend la valeur M pour x^H non compris entre x = — h Qi x= -\-h. 
Toutes les quantités /?, H^ L, M sont supposées positives. 

§ 6. Nous allons nous occuper maintenant de la même question par 
rapport à la fonction trigonométrique de la forme 

I Aq-^A^ cos 9 -I- ^2 cos 2cp -t- . . . . -f- A^ cos wç 
( -+- j^i sin cp -f- ^2 sin 2 ç -*-....-*- 5„ sin wcp, 

que nous désignerons pour abréger par 



— 345 — 

Nous supposerons connue la valeur de cette fonction pour une certaine 
valeur 

? = ?n 

et nous désignerons, comme ci-dessus, cette valeur par M; nous allons cher- 
cher ensuite parmi toutes les fonctions de la forme (9) qui satisfont à l'équa- 
tion 

/•(<?,) =iif 

celle, qui s'écarte le moins possible de zéro entre deux limites données 
cp = — 9o, cp = -f- cpo) la valeur cp^ n'y étant pas comprise. 

Pour réduire la fonction /'(cp) à une forme algébrique, introduisons 
une variable x en posant 



En tirant de là 



siii? = ^' coscp = ^', 



nous remarquons que la formule (9), après la substitution des valeurs des 
sinus et cosinus des angles multiples de cp, se réduira à la forme* 

{x^ -+- 1)" ' 

Co, Cj,. . . . C\ désignant des constantes. 

En posant 
(10) Co^^'^-i- cy^-^-i- ....-*- G^^=^F(x\ 

nous pouvons écrire l'expression de f((^) sous la forme 

(u) m=<^n- 

Or, en posant 
(12) tang^ = /^; tang-|-=^, 

nous remarquons que d'après (11) l'égalité 

à laquelle doit satisfaire la fonction cherchée, se réduit à la suivante: 



--346 — 

D'où il suit 

(13) F{H) = {E^-^\fM, 

ce qui entraine la réductibilité de la fonction F{x) à la forme 

[p^x^—^-^i^^x'—'-^ .... -^pj (x — H)-^ {H' -H ITM, 
où 

désignent des quantités constantes qui doivent être déterminées par la con- 
dition que la fonction 

entre x = — h et x= -\-h s'écarte le moins possible de zéro. 

En désignant par L le plus grand écart de zéro entre x = — h et 
x = -*-h de la fonction cherchée et appliquant le théorème déjà cité, nous 
arrivons, à l'aide des raisonnements exposés aux §§ 2, 3, à l'équation 
suivante à l'égard de la fonction F{x) 

F' (x) — L^ (x^ -t- 1)2"= Cix^ — ¥) {x — x,Y {x — X,f {X — iC^n-i)'» 

iCj, rCg, • • • • ^2n— 1 <^ésignaut des quantités réelles inégales. 
Cette équation se réduit à la forme 

(14) F^ (x?) — L^ {x^ H- 1)'"= ^' (x) (x^— ¥}. 
en posant 

(15) 0{x) = ±yGix — x,) (x-x,). . . . {x — x^^_;}, 

où le radical doit être pris avec celui des deux signes =t pour lequel le 
rapport 

se réduit à une quantité positive. 

§ 7. Passant à la résolution de l'équation (14) nous remarquons que 
pour 

x = V'^^ 
elle donne 

F^ (y HT) = _ (1 ^ /^2) 02 (yzTï); 

d'où il résulte, après l'extraction de la racine, 

F(yHT) = ±0 (y^T) VT^^KV^^, 



— 347 — 

où, d'après ce qu'on vient de dire sur le choix du signe dans la formule 
(15), l'on doit retenir le signe supérieur, ce qui donne 

(16) F (y^^) = (v=i) vw^^ . v^i. 

En posant 

dans cette équation, nous trouvons 

2?2 (_ yZTI) = ^2 (_ yzri) (_ 1 _ 7,2)^ 
d'où l'on tire, en extrayant la racine, les deux valeurs suivantes de jP(— V^T): 

F (— y^^) = -t- y\-^¥ , (— y^^ ) . y ^^i ; 
i^ (— y^=ô;) = — y îTïT^ . ^ (— y "-iTY) . y HT. 

A ces deux valeurs de F{ — V — 1) correspondent, comme nous le verrons, 
deux solutions différentes de l'équation (14) dont la recherche va nous occu- 
per maintenant. 

En nous arrêtant au cas de 

(17) i^(_yirï)=yiTrF.(p(— y^=^).y^^, 

désignons par P et Q les fonctions entières, déterminées par les égalités: 

( p = 1 \{vwTÂ -4- yF^T^^) '" -♦- (y¥^n — yÂ^z:^^)^"] , 

(18) 

ç = --i= (y^^:rT -♦-y'^^=^^)'Mi//?^--/^^=^)"1 • 

y 2 Vx^ — h^ J 

En déterminant à l'aide de ces égalités les expressions de la somme 
P-H Q\/x^ — h^ et de la différence P — QVx^ — h^, nous obtenons: 

P-^Q Vx^ — ¥ = {Vhj' -H 1 -H Vh^ — x^Y'', 
Ces expressions étant multipliées l'une par l'autre donnent 

p2_ç2(^2_^2)^j-(yp:;T-HyF^^) {vj^::i—y¥^^')Y={x'-^iy''. 

Il en résulte que 

(1 9) P2 = Q^ {X'^ — ¥) -4- {X' H- 1)'". 



— 348 — 

En multipliant cette valeur de P^ par celle de F^{x) qui d'après (14) 
est égale à la somme 

r/^2 {x) {x^ — ¥) -t- L' {x^ H- 1 )'", 
nous trouvons 

P\F\x)=Q'.cp%x)(x^—h^f-^L\x^-^iy''-i-{x^—¥){x'+lf''[UQ'-^0%x)l 

ce qui donne 

P\F\x)—Q\(P\x) {x^-¥f=L%x'-i-iy''-i-{x^—¥) {x^^iy''[L''Q^-+-0\x)], 

d'où l'on déduit, en décomposant le premier membre en facteurs: 

[PF(x) -+- Q0 (x) (x^ — h^j] [PF{x) — Q0 (x) {x^ — h^)] = 
{x'-i-lf'' [L\x^-+- lf^-^{x'—h') {L'Q^-^-0'{x))], 

Or, comme il est aisé de montrer, le premier facteur du premier 
membre 

PF{x)-+-Q0{x) ix^ — ¥) 

ne se réduit pas à zéro pour x=zt:V — 1, racines de l'équation x^-i-l=0. 
En effet, en vertu de (16), (17), (18), pour x = ±i V — 1, on trouve 

P=2'''-'{h'-^lf; Ç = ^(/ia-i-l)^-^; 
d'après cela pour ces valeurs de x l'expression 

PF(x)-^Q0{x){x^ — h') 
se réduit à 

yHl. 22^^(1 -4- /z^)*^-*-^ (zt V^^); 

Or, cette expression ne peut être égale à zéro, la fonction 0{x), d'après (15), 
n'étant égale à zéro que pour les valeurs réelles x^x^, x^^. . . .a?2n-i- 

Après avoir montré ainsi que le premier facteur du premier membre 
de l'équation obtenue ne se réduit pas à zéro pour les racines de l'équation 
a?^ H- 1 = et n'a, par conséquent, pas de diviseur commun avec (x^-t-lf"', 
nous pouvons conclure, en vertu de la même équation, dont le second 
membre est divisible par {x^ -h 1)^'*, que 

P,F{x) — Q,0 {x) (a;2 — h\ 

le second facteur du premier membre, est divisible par {x'^ -y- \f^. 



— 349 — 
D'ailleurs, en représentant les équations (14), (19) sous les formes 

{f(x) — (x) y^^Tz^) (^(^) _j_ (^>j y^rzi^a) = i2 (-^2 _^ 1)2»^ 
(p-f- ç y^^zrx^) (p_ Q Vx^—h') = (0^2 _^ lyn 

et en les multipliant l'une par l'autre, nous trouverons 

[P. Fix) — Q0 {x) {x^ — Ji") -+- (ÇP(a;) — P. (Z) (a;)) y ^2 _ ^ 

[P. P(a;) — Q0 {x) {x^ — h^) — [QFix) -~P,0 (x)) Vx' — h^] 

= L'{x^-^iy'', 

ce qui se réduit à l'égalité suivante: 

[P. F{x) — Q.0(x) (x' — ]i')f — [QFix) — P0 {x)f (x' — h') 

= L'{x^-i-iy\ 

Ov, d'après ce qu'on à démontré ci-dessus, l'expression 
PFix)—Q0(x){x^ — ¥) 
est divisible par {x^-i- 1)^", on en conclut la divisibilité du terme 

[QFix) — P0 ix)J ix' — ¥). 

par ix^-i- 1)^^. Remarquant encore que x^ — ¥ n'a pas de diviseur commun 
avec ix'^ -H 1)^", on en tire que 

[QFix) — P0ix)J 

est divisible par (a;^-*- 1)"^, et par suite que 

QFix) — PcDix) 

est divisible par ix^-^ 1)^", ce qui ne peut avoir lieu que pour 

QFix) — P0ix) = O, 

car, d'après (10), (15), (18), les fonctions F{x), P sont de degré 2w, et 
0ix), Q de degré 2n — 1, donc 

QFix) — P0ix) 

ne peut être de degré supérieur à An — 1. 

L'égalité obtenue entraîne comme conséquence que 

F{x) P^ 

0{x)— Q' 



— 350 — 

Or, d'après (15), la fonction 0(x) ayant tous ses facteurs linéaires 
différents de x-t-V — 1 et x — V — 1, dont le produit est x^-¥-l, les 
fonctions F{x) et 0{x), en vertu de l'équation (14), n'ont pas des diviseurs 
communs. Cela posé, la fraction 

F{x) 

0{X) 

ne peut être égale à la fraction 



dont les termes d'après (10), (15), (18) sont respectivement du même degré 
que ceux de la première, que pour 

F{x) = C'P; 0{x) = G'Q, 

G' désignant une constante. 
En portant dans l'égalité 

F{x) = G'P 

l'expression de P tirée de (18) nous trouvons que 

C'est ainsi que s'exprime la fonction F{x) qui satisfait à l'équation 
(14) dans le cas oii 

Quant au cas, oii cette égalité est satisfaite avec le signe — , l'expres- 
sion de la fonction F{x) qui satisfait à (14) s'obtiendra, d'après ce qu'on a 
vu ci-dessus, en prenant pour P et Q les fonctions : 

P = 4 [{v¥n: X -f- y^^^:;^)"* -^ {v¥^^ x — y^^^:^)'"] , 
Q = —À= [{vWTi x-^r- y^^n^)'"— WWn x — V^—h^y'X 

2 Vx^ — h"^ L J 

Ainsi s'obtient la seconde solution de l'équation (14), oîi 

F{x) = I G" [{v¥^^ X -+- Vx^—h^y'-i- (y^^in X — y^^zrx^)'"]. 

§ 8. Des deux solutions trouvées on doit choisir celle qui donne la 
plus grande limite du rapport 

M 

L ' 



-^ 351 — 

Dans ce but nous allons chercher la valeur de ce rapport en prenant 
d'abord pour F{x) la première solution et ensuite la seconde. 

En comparant entre elles les deux valeurs du rapport ^j ainsi obte- 
nues, et supposant toujours fl'> h, il ne sera pas difficile d'en distinguer 
celle qui donne la solution de notre problème. 

En retenant la première valeur de F{x) et en y faisant 

x = H, 

nous trouvons 

F{H) = % [(yF^TT -+- yF=r^)'V (y^r:rr- y^:=:^)'"], 

ce qui étant porté dans l'équation (13) nous donne 

%. S^-v'W:^~v- vW^irËT-^ (]//7^;:T- v¥^=^T~\={b.''-^\Tm, 

d'où l'on tire la valeur suivante de C': 

f^> 2(g2-f-l)»M 

^ /_ /rrr. _ ,—: ■=--\'>n / i^n:— 



En portant cette valeur de G' dans la première expression de F{x), on 
l'obtient sous la forme: 

d'où il suit, en faisant x = h, 

Or, d'après l'équation (14) en faisant x = h, on a 

d'où l'on tire pour la valeur de L: 

^ (;i2 -+-!)«' 

ce qui se réduit après la substitution de la valeur trouvée de FQi) à 



En tirant de là le rapport 



M 



— 352 — 
on obtient 

L 2(H2-t-l)» 

ce qui peut être représenté, comme il est aisé de voir, sous la forme: 
^ = zh cos ( 2w . arc . cos "^Ij^). 
§ 9. Passant à la seconde valeur de F{x\ représentée par la formule 

F{x) = -i G" \{y¥n X -f- y?ir^)'" -+. (yF^:rî x — v'^'^^T'], 

on obtient pour x = E 

ce qui étant porté dans l'équation (13) donne l'équation suivante pour l'éva- 
luation de G": 

y G" [(vF^Tï H-i- yip—hT-^ (VFTI H— y H' - hT~\ = 

En tirant de là la valeur de G" et en la portant dans l'expression considé- 
rée de F{x)^ on trouve 

ce qui donne pour x=^h 

^ ^ iVh^ -*- 1 fi" -4- Vh^ — K^f'' -f- {vï^^^ R — Vm- h^Y'' ' 

Or, en faisant 

x^li, 
dans l'équation (14), on obtient 

F\h) — L\h^ -*- ir = 0; 
d'où il suit 

J^-— — (ft2 ^ i)n ' 

ce qui se réduit après la substitution de la valeur trouvée de Fiji) à 



L = ± 



2?»2" (m -t- 1)" M 



(yh^ -f- 1 H-*- vm - h^f'-t- ivh^ -4- 1 H—Vm - h-^T 



— 353 — 
d'où l'on tire 

L 2/12»» (H2 -+-!)« 

Or, comme le produit 

(R 1 / fe^Ijrï i/ R2 — h^ \ /H-i/ feâTT i/ H^ — h^ ] 

se réduit à l'unité et par conséquent 



H 



T y JÎ2-+-1 K (S2^_ i)ft2 — \h y if2-t-i "^ r [R^-^i)hv ' 

la valeur ci-dessus de -^ peut être représentée sous la forme 

X — -— T LV"^ K 5^^^ ~*~ r (S2-*-i) A^/ "*" V 7i r H2TÎ ~*~ K {H2-t-i)h^i J* 

En considérant l'expression comprise entre les parenthèses [ ], nous 
remarquons que la plus petite valeur qu'elle acquiert pour 






est 2. Il en suit que la valeur numérique du rapport 



L ' 



trouvé ci-dessus ne sera jamais moindre que 1; ce qui donne la limite supé- 
rieure de ce rapport, car la valeur de ce rapport obtenue antérieurement 



zt cosl 2w.arc.cos 



y R^-^ii 



est toujours comprise entre -4-1 et — 1 . 

On voit d'après cela que la limite supérieure du rapport 



L 



pour la fonction considérée sera donnée par la formule 



— 354 — 

où des deux signes =b nous ne retiendrons que -♦-, en prenant pour L et 
M les valeurs numériques du plus grand écart de zéro de cette fonction 
entre x = — /i et a; = -i- 7i et de sa valeur pour x = H. 
Dans cette supposition nous aurons toujours 



En portant ici d'après (12) les valeurs 



;i = tangf, ^=tang| 
et remarquant que 






nous trouvons 

Cela donne pour une fonction de la forme 

Aq -f- A^ cos 9-1-^2 cos 2o -+- . . . '-^ A^ cos wç 
-f- J5j sin ç -f- ^2 sin 29 -i- .... -1- -S^ sin wp 

la limite supérieure du rapport de sa valeur pour 9 = cp^ à son plus grand 
écart de zéro entre 9 = — 9^ et 9 = 90 ne comprenant pas la valeur 9 = 9^ . 

§ 10. En déterminant à l'aide de l'égalité obtenue la valeur de la dif- 
férence 



nous la trouverons égale à 



V47 1 


M 

T 


/f-i. 





— 355 — 

2' 

(comme nous le supposons toujours), c'est le signe -t- qu'il faut prendre 
dans l'expression ci- dessus. 

En effet, en portant dans l'expression 



1^/ 






la valeur de -^ tirée de la dernière égalité du § précédent, nous trouverons 
qu'elle se réduit à la suivante 

où pour 

sin|->0, sin^>0 

le second terme est moindre que le premier, parceque celui-là se réduit à 






après le remplacement de l'expression 






par 



!!!i_i//!!!lV_i 



qui lui est équivalente. 

Ayant ainsi démontré qu'en représentant la différence 






M 
" L 



par la formule 



— 356 — 
il y faut retenir le signe -♦-, nous en concluons que 



3-/(iF)--^ 



i2 ■ 



Or, en résolvant cette équation par rapport à n, nous trouvons 



1 



I 

log • 






ce qui nous donne la limite inférieure du nombre n, pour lequel la fonction 

Aq-^- A^ cos o -t- ^2 ^os 29 -H . . . . -+- ^^ cos ^9 
H- jBj sin cp -4- J?2 sin 2cp -4- . . . . -♦- B^ sin wcp, 

dont le plus grand écart de zéro entre = — Ço» ? = ~*-?o °^ surpasse pas 
X est égale à db Jf pour cp =: cp^ . Les quantités Z, iW, ^^ , 9^ sont suppo- 
sées positives, M supérieur à Z et 9 = cp^ non compris entre 9 = — (p^ et 



19. 

SUR LES PLUS SÎMPLES PARALLÉLOGRAMMES 

QUI FOORNISSBNT UN MOUVEMENT RBCTILIGNE 

AUI TERMES DU QUATRIÈME ORDRE PRÈS. 

(T]RADUIT PAR A. X. LJAPOUNOr.) 



G npccniTcîïiuux^ napa.i.icACzpaji.nax^^ 

c'ocmaC-.tjiKîUno:^ npji.nc.iuHeÙHCc c'hiojzcuic a mctnccmiK ce zemêepmcû 
cmeneHît. 



{Upwnoseuie s-b XL-iiy TOMy SanHCOKi. IlMnepaTopcKoS AKa;[eidH HayTci,, .Ne 1, 
1S82 T.) 



(Lu U 24 novembre 1681.) 



Sur les plus simples parallélogrammes qui 

fournissent un mouvement reetiligne aux 

termes du quatrième ordre près. 



§ 1. Dans un Mémoire Sur les parallélogrammes composés de trois 
éléments quelconques, lu le 18 décembre 1879 '^), nous avons montré com- 
ment, par la considération du mouvement d'un triangle dont un sommet se 
déplace sur un cercle et un autre sur une droite, on peut trouver les con- 
ditions nécessaires et suffisantes pour que tout triangle donné, dont deux 
sommets se meuvent sur des cercles, décrive, par le troisième sommet, une 
courbe ayant un contact du cinquième ordre avec une droite. 

On obtient ainsi une solution complète de la question sur la recherche 
des plus simples parallélogrammes qui fournissent un mouvement rectiligne, 
pour des déplacements infiniment petits, jusqu'au degré de précision le plus 
élevé possible. 

Or les formules que nous avons développées dans ce Mémoire peuvent 
servir encore, ainsi que nous allons le montrer maintenant, à déterminer 
tous les parallélogrammes les plus simples qui fournissent un mouvement 
rectiligne avec une précision d'un degré moins élevée; c'est-à-dire, tels que 
le contact, avec une droite, de la courbe qu'ils décrivent n'est que du qua- 
trième ordre. Nous y parvenons en considérant les conditions pour qu'un 
triangle, dont un sommet se meut sur un cercle et un autre sur une droite, 
décrive, par son troisième sommet, une courbe ayant un contact du qua- 
trième ordre avec un certain cercle. 

§ 2. En retenant les notations du Mémoire cité, nous supposons que le 
sommet A du triangle AA^M (fig. 1) se meuve sur un cercle, dont le centre 
se trouve au point G que nous prenons pour origine des coordonnées, et que 
le sommet M se déplace sur une droite FG parallèle à l'axe des x. 



*) T. II, pag. 301—331. 



— 360 — 

Soit Cj le centre du cercle ayant un contact du quatrième ordre avec 
la courbe que décrit le sommet A^ . Le rayon de ce cercle sera désigné 
par rj . 




Eu désignant par a^ la valeur de l'angle variable a = AMF corre- 
spondant à la position du sommet A^ sur le cercle C\, au point de contact 
avec la courbe que décrit ce sommet, nous remarquons que le contact ne 
peut s'élever jusqu'au quatrième ordre que si la distance Afi^, a étant voi- 
sin de a^, se développe suivant les puissances de sina — sina^ en une série 
de la forme 

Afi^ = r^-^ Kq (sin a — sin x^f -*-.... 



Or, en désignant par x, y les coordonnées variables du point A^ et par 
a:^, 2/1 les coordonnées du centre fixe Cj, nous avons 

Passant par suite à la détermination des coordonnées x, y, posons 
AA,= a; AC=r, GF=h, AM=m, MAA, = A, AGx=i^. 

Alors, en projetant la ligne brisée GAA^ sur les axes des coordonnées, 
on aura 

x = r cos p -f- a cos (^ — a), 

y = r sin ^ -\~ a sm{A — a); 



— 361 — 

et en projetant la ligne brisée GAM sur l'axe des y, on obtiendra cette re- 
lation entre les angles variables p = ACx et a = AMF: 

CF =h = r sin p — m sin a. 

En tirant de cette relation les valeurs de sin |3 et cos p, on trouve 



n ^ Ai /m siaa -i-6\2 
cosp = j/l— ^ ), 

ce qui, étant substitué dans les expressions des coordonnées, nous donne 



X = Vr^ — (m sin cx.-*-bf-^a cos (A — a); 
?/ = m sin a H- a sin {A — a) -h h. 

Substituons ces valeurs de x^ y dans l'expression du carré de la di- 
stance Afi^: 

A,G,' = {x — x,f^{y — y,)\ 
Nous aurons: 



Afi^^ = [Vr^— (m sin (x.-^hf-^a cos (^ — a) — x,Y 
H- [m sin a -♦- a sin {A — a) -+- 6 — y^\ 

et de là^ en éloignant les parenthèses, il vient 



(1) Afi^= 2 [a sin ^ sin a -*- a cos ^ cos a — x^]Vr^ — (m sin a h- 6)^ 

-H 2 [am sin ^ sin a -*- «^ (6 — y^) sin A — ax^ cos A] cos a 
H- 2 [a (y^ — h) cos A — ax^ sin A — my^] sin a 

— 2am cos ^ sin^ oc -\- r^ -^ x^^ -t- y^ {y^ — 21) -*- a^. 

Telle sera l'expression du carré de la distance du sommet A^ au point 
(7i, quelle que soit la courbe que décrit le sommet A^] et nous avons vu 
que, dans le cas oiî cette courbe a, au point correspondant à a = a^ , un 
contact du quatrième ordre avec le cercle ayant G^ pour centre et r^ pour 
rayon, cette expression sera développable en une série de la forme 

r^ H- 2rj j^o (sin a — sin aj^ -+-...., 



— 362 — 

Nous aurons donc, dans le cas considéré, cette égalité: 



2 [a sin ^ sin a -*- a cos ^ cos a — xj Vr^ — {m sin a -t- hf -i- r^ -¥- x^ 
H- 2 [am sin A?,moi-+-a{b — y^ sin A — ax^ cos A] cos a -+- ^/j (^/i — 2&) 
— 2awi cos A sin^ a -*- 2 [a (^/j — &) cos A — ax^ sin A — my^] sin x-t-a^ 
= r^ -4- 2rj/iro (sin a — sin a^)^ -♦-.... 

§ 3. Pour présenter cette égalité sous une forme plus maniable, nous 
introduirons, au lieu de a, une variable z liée avec a par l'équation 

(3) sina=: yî 

où 

^ = sinaj. 

Ou voit que, si l'on tire de cette équation les expressions de cos a et 



y^2 — (wsina-i-&)^ et qu'on les porte dans l'égalité (2), celle-ci, en chassant 
le dénominateur, se réduira à la forme 

_j,3 . . . . , 

oii X, p., Po, Pj, Pg, Pg, P^ sont des constantes que l'on pourra facilement 
exprimer par les constantes A^ a, w, r, rj, ?j, oJj, ^/i qui figurent dans l'éga- 
lité (2). 

Il est facile aussi d'obtenir les équations qui permettent de déterminer 
les anciennes constantes 

A, a, m, &, r, r,, x^, y^ 
par les nouvelles 

^^ f^? Poj -M? ^25 ^3) ^45 

en observant que l'égalité (4), si l'on y substitue la valeur de s résultant de 
(3), doit se réduire à une égalité identique avec (2). 
Comme on tire de (3) 





qui 


donne 

1 

z 




sin a — d 


z — ^ 


— d sin a 


-df 




• • > 
cos a. 








ce 


sin a — d 
sin a — fZ _ d (sin a 








1 — d sin a 


1 — 


d-^ ' (1 — 


d^f ' • • 

Vl-d^ 
sin a—d 






V? 






- d sin a)2 
sin a 


— (sin a — d)2 
~d 






(h^-{g-*-df 
\h(l~d^) 


sina-i- 


9M9 


^—h^-\-gd-t-l) 
h (1 — d2) 


'-J 




-gf- 


¥ 




Vh^-id 


4-df 




sin a — 


-d 











-—363 — 
l'égalité (4) se réduit à 

^(^-^') (^-d)sma / i h^^ig-Tdr . g -^ {g^ - h^ ^ gd ^- 1) dx2 

vu--[g-*-df (sin ^-dry 1- 1 un-d-) ^'^ mi-d^) — -) 

_+- ^ (^ - ^^) T/l-d=^.tXC03a -, / / h"" - (g -H d)"^ g -H (^2 /,2 ^ grf ^ 1) rfx 2 

7i (1 — (Z2) 1 — dX 



~"^ ^A Th^ — [g -t- d)-^ . JT'ïgï^n^^^i^ldTïTdX'i 

Vh--{g^df (sina-d)^}/l-( ;,(!_,.) ^^"^-" ^ Ml -4 ^) 

, (P2 — -P3<^ + Fj'^^) sia^ « — (2P2<? — P3 (1 + (?'=) -f- 2P4d) sia « P.^d^ — Pa^? -^ f ^ 
(sin a — df "* (sin a — d)* 

_ P, - PqC? -^ (Pq - P,d) sin g y 3^^ 

(sin a — <î)2 *^ ^ " • COS a 

Xq (sin a — d)"^ 



(1 — d2j3 

En rapprochant cette égalité de (2), ou voit que, pour les rendre iden- 
tiques, on doit poser 

(6) 
(7) 



r hil — d-^) ' 

b ^ g-^ig^-h^-i-gd-*-l)d ^ 
r /i (1 — d2j ? 

X — d 



/ON « ^ uVl — d^ 

(8) — i:™s^ = T^rdr; 



(9) 
(10) 

(11) 





am sia A 




Po-F.d 


y7i2 


-{g^d)\ 






— 2/i) sin A - 


- ax 


l-dl 

i cos A 


_P, 


/l-d2 ^ 




a{h 


-F^dVh-^-{g^- 


d)2 




^1 
«m cos A 


Fz 


-P^d^ 


1 
F,d^- 


— d\ liYi _ d2 






yft2-(^-i-(Z)2. 






rx. 




1 — dX 




Zl (1 - d2) ' 





, „s g (yi-&) cos A—aXi sin ^-wyi 2P^d-P^ (l-f-d^) -4- 2P4(Z V /t^ — (g -t- d)^ , 

^^^^ rxi 1-dX /»(1 — d2) : 



. ri2-r2-gj2-yt (y^-2b)-a2 _ P^d^ - F^d -+- P^ Vî^— {g -4- df 

^^^^ 2rxi ~ 1 — dX /i(l-d2) 

§ 4. En partant des formules que nous venons d'obtenir, il est facile 
de montrer que la détermination, au moyen des quantités 

fZ, m, r, h 
des valeurs de 

A, a,r„ x„ y,, 

qui donnent la solution du problème, dépend d'un système d'équations dont 
l'une est du second degré et les autres du premier degré. 



— 364 — 

A cet effet nous allons d'abord déterminer les quantités auxiliaires 
g, h, Po, P„ P„ P3, P„ X, ^a, 

qui figurent dans nos formules. 

En abordant ce problème, nous remarquons que les quantités g, h s'ob- 
tiennent immédiatement par les équations (5), (6), d'où il résulte 



(1 — d^) m {md -t- 6) 

^ r2 — (md-Hb)2 



h = 



(1 — d^) mr 



r2 — (w(Z-t-b)2' 



Substituant ces valeurs de g et h dans la formule (4), on en déduira 
aisément les expressions des quantités 

P P P P P 

au moyen de X et a. 

En effet, d'après cette formule, la différence entre le polynôme 

P,-f-P3.-^-P,^^ 

et l'expression 

{P, -+- p,z) vj::^— (^ -,- X -*- fA y?^=l) yjl—gf—h' 

ne doit renfermer que les puissances négatives de z, d'où il résulte que 

P2 5 P3 ) -M 

sont les coefficients de z^, z^ z"^ dans les développement de cette expression 
suivant les puissances descendantes de z. 
En vertu de cela, il vient 

P, = P,— l-(x; 

P3 = Po-X-i-^(l-4-fx); 

P — —Lp ^\a^^'^^^^^'^ -^^. 
^3 — 21^ 2 2 

Quant aux quantités 

P P 

on les déterminera, d'après (4), par la condition que le développement de 
l'expression 



(^^x-4-(xy^^— 1) y{z—gf—}i'^(p,-i-p,z)Vz' — i, 



— 365 — 

ne contienne pas de termes en —, ^. Cela nous donne deux équations, d'où 
l'on tire ces valeurs pour P^, P^: 

Pj = ay -*- ¥ -*- Ah'gl H- (4/iV -*- (h^—lf) [x. 

En les portant dans les égalités précédentes, on trouve ces valeurs 
pour Pj, Pg, P,: 

P3= (/z2 -+- 1)^-*- (A2_ i)À -h/^V; 

P, = 4/^2^2 -+-¥—! -i- 4g¥l -i- (4/ -♦- /i^ — 2) ¥ ^x. 

Pour déterminer les quantités auxiliaires 

nous remarquons que les équations (7) et (9), (8) et (11), en les divisant 
l'une par l'autre, conduisent à ces deux équations 



'^ — d hVl — d^ 



^ h{l — d-)^ 



qui ne contiennent plus les quantités cherchées Â, a, r^, x^, y^, et qui, en 
portant la valeur ^- donnée par (5), se réduisent à 



(\ — d)Vh^ — {g-^df = {P^d — P,)Vl—d^- 



l^Vl—d' Vh' — {g-i-df = — P,-^P^d — P,d\ 

Il est facile de voir que ces équations, si l'on y substitue les valeurs 
de h, g, P^, P^, Pg, Pg, P^ que nous venons de trouver, se réduiront aux 
équations du premier degré en X et [x. En résolvant ces équations par rap- 
port à X, (X et en portant les valeurs ainsi obtenues dans les expressions de 
Po, P,, Pg, Pg, P4, nous obtiendrons toutes les quantités auxiliaires, dont 
les quantités cherchées 

dépendent d'après les équations (7), (8), (9), (10), (11), (12), (13). 



— 366 — 

C'est la détermination de ces inconnues que nous allons aborder 
maintenant. 

§ 5. Pour déterminer l'angle A, nous remarquons que les équations 
(7), (8), si l'on divise l'une par l'autre, donneront 



Ainsi la tangente de l'angle A se trouve déterminée complètement. 
Quant aux deux angles qui ont cette tangente et diffèrent l'un de l'autre de 
180°, nous prendrons pour A celui qui est compris entre et 180°, en 
choisissant conformément à cela le sens suivant lequel la ligne a = AA^ , à 
l'intérieur de l'angle A^AM, sera comptée positive. 

Passant à la détermination des quantités a, ic,, y^, nous remarquons 
que les mêmes équations (7), (8), si on les élève au carré et ajoute, donnent 



a2 


_(X- 


d)2H-(l— fZ2)[x2 


x,^ 


_^l/(X 


(1 - dX)2 


a 


— C^)2-H(l — d2j(x2 


Xi 




1—dl 



d'où il vient 



Des deux signes on devra prendre ici celui qui correspond à la suppo- 
sition que nous avons faite à l'égard de l'angle A. Comme cet angle est 
supposé être compris entre et 180°, son sinus sera positif, et cela, d'après . 
(7), ne peut avoir lieu que si le rapport 



a un signe opposé à celui de 



l — dl' 



On déterminera ainsi la valeur absolue et le signe du rapport 



Pour abréger, nous désignerons la valeur de ce rapport par f, de sorte 
que nous aurons 

(14) i- = f- 



— 367 
En posant encore, pour abréger, 



r {Py - P^d) Vh^ - (ff H- d)» _ ^j 



r [2Pg(Z — P3 (1 -t- d2) -+- 2F^d] Vh^ — {g -t- d)"^ ^ 

' 1 — dl ;i (1 — d'^) -^^2 J 

nous présenterons les équations (10), (12) sous la forme 

a(b — 2/1) sin A — ax^ cos A -y _ 

<^ iVi — b) cos A — axi sin A — my^ -^ 

x^ 2* 

Delà, en posant d'après (14) a = fx^, nous obtenons ces deux équations 

(15) f{h — y^) sin A — fx^ cos A = N^; 

(16) A2/1 — ^) cos^— A^, sin ^ - ^ = N,. 

qui serviront à déterminer x^ et y^ , 

En résolvant ces équations, on tire de la première d'entre elles 

(17) y, = lj — cotmgA.x,—jr^; 

et en portant cette valeur de 2/1 dans la deuxième équation, on obtient une 
équation du second degré que voici: 

2 (Ni — m) cos A -+- No sin A (Jb sia A—Ny) m ^ 

Si l'on tire de cette équation la valeur de x^ et qu'on la porte dans 
les formules (14), (17), on obtiendra les valeurs de ir^, ?/,, qui représen- 
teront la solution de notre problème, en considérant comme données les 
quantités r, m, h et d=: sin a^ . 

A chacune des racines de cette équation il correspondra une solution à 
part, et si cette équation n'admet pas de racines réelles, on conclura que, 
pour les valeurs considérées de d, r, m, &, le problème est impossible. 

§ 6. Sans nous arrêter aux calculs que demande, d'après ce que nous 
venons de montrer, la solution de notre problème, nous allons examiner la 
relation qui existe entre ses deux solutions lorsqu'elles sont possibles. Cette 
relation donne, comme nous verrons, des changements que l'on peut faire 
dans la composition des parallélogrammes les plus simples sans altérer le 
degré de précision, avec laquelle ils réalisent un mouvement rectiligne. 

Soient x^, x^' les deux valeurs de x^ tirées de l'équation ci-dessus et 



— 368 — 
les valeurs correspondantes de y^^ a, les égalités 

^i = ^î, 2/1 = 2/1', a = a' 

appartenant à la solution représentée (fig. 2) par le point A^ et le centre C7j 
et celles-ci 

^i = ^î\ 2/1 = 2/1", « = fl' 

Fig. 2. 




à la solution représentée par le point A^ et le centre Cg. 
Cela posé, nous aurons 

a=:AA^, a"=AA.2, 

et les équations (14), (15), (16) seront vérifiées par ces deux systèmes de 
valeurs : 

^1 = ^1', 2/1=2/1', a = a\ 

^i = <', 2/1 = 2/1", a = a\ 
ce qui suppose les égalités suivantes: 

(18) ^^=f; .^ = A 

f{h — y/) sin A — fx^' cos A = N^ ; 
f{h — «//') sin A — fx^" cos A = N^ ; 
f(yî — ^) cos A — /j/ sin ^ — ^ = .Yj-, 



— 369 — 



B Tient de là 



fi^i—^cosA—fx^'ànA—^ 
=f{yx — &) cos ^ — /j-j" sin ^ — î^. 
et les dem dernières égalités se réduisent à 

y/ sin J -^ r/ cos ^ = y," ûnA-^x^" cos A, 

y^cx^A — J-/ sin J — ^ 7-- = y" cos J — r." sin ^ — " ^-. 

ou bien, ce qui rerient au même, à 

^V^! = cotant J; 
(y/— yj"»cosJ[-(.r; — a-;')sm^ = -^(|4— ^). 
Comme d'après la première de ces égalités on troure 



(19) 



-^1 



X., —2\ =X, 



^^ tang Aj 






yi —Pi =— ^: 



1 H- ^ M2U A 



(m aura, en portant ces râleurs de x^ — x^". y/ — y^" dans la deuxième, 

[>i'-»(l -+-^ tang^)co8 j] (|C— ^ = 0, 
et cette équation se décompose en deux, a savoir 



^ — ^ = 0. 



/>/ — 111(1 -+-^tang^)cos^ = 0. 

Or, en Tertu de (19), k première de ces équations suppose les égalités 
^1= x^', yi''= y^'. Donc, les deux solutions étant distinctes, les valeurs de 

24 



— 370 — 

a;/, «//, ic/', y(' doivent vérifier la deuxième équation, laquelle, en rempla- 
çant, d'après (18), f par -^, se réduit à 

a — m cos ^ — m ^, sin ^ := 0. 
Il vient de là 



et les mêmes raisonnements, en changeant seulement a;/, i//» o>' en a?/', y/', 
a et inversement, donneront 

y/ g^^ — wt C03 ^ 

x^' TW sia J. 

Nous remarquons maintenant que les rapports 



^L, UiL^ yi - yi 



G, 


G, 


G, 


G, 


G„ 


Ou 


a" — m cos A 


a' — m cos J. 


main A * 


m sin J. ' 



représentent les tangentes des angles que font avec l'axe des x les droites 
(7(7^, CG^j Gfi^ menées par les centres 



et que les rapports 



oii, d'après nos notations, 

représentent les cotangentes des angles AAJ\Ï et AA^M. 

Donc les équations que nous avons trouvées expriment l'égalité entre 
les angles que font les droites GG^ , GG^ , Gfi^ avec l'axe des rr, ou bien avec 
la droite FG^ qui lui est parallèle, et les compléments des angles que les 
droites AM, A^M, AJK font avec la ligne AA^. 

En vertu de cela, si l'on connaît un des deux points A^^ A^ et le 
centre G^ ou G^ qui lui correspond, on trouvera facilement un autre avec le 
centre correspondant; car, d'après ce que nous avons montré, par chacun 
des points A^^ A^, avec le centre correspondant, le triangle GGfi^ est 
complètement déterminé, et ce triangle donne l'inclinaison des lignes AJ^^ 
^jM à la ligne AA^. 



— 371 — 

§ 7. Le passage que nous venons de signaler d'un des deux points 
^j, ^3 à un autre, ces points décrivant, dans le mouvement considéré du 
triangle, des arcs infiniment petits, peu différents des arcs de cercle, peut 
être utile dans tous les cas, où l'on veut qu'un point du triangle décrive une 
courbe ayant avec un cercle plusieurs points communs, plus ou moins voisins 
l'un de l'autre. 

En effet, il est facile de montrer que, les points A^, J^ et les centres 
Cl, G^ étant tels qu'on ait 

G,SG = ^ — MAÂ^, 
Gfix = ~—MA^A, 

Gfix = 
la différence 



G,Gx = -^—MA,A, 



AA^.AJJ^ — -4-^1 •^2^3» 

pendant le mouvement considéré du triangle, ne changera point de valeur. 
Par suite, toutes les fois que l'une des deux distances Afi^, Afi^ reprend 
sa valeur primitive quelconque, l'autre sera dans le même cas. 

Donc les points A^^ A^ reviendront simultanément sur des cercles 
tracés des centres C^, C'a par certains rayons. 

Pour montrer que la différence 



dans les suppositions admises, reste invariable, posons, comme auparavant, 

MAA^ = A, 
et, en outre, 

MA^A = A^, 

MA,A = A^. 

Les égalités précédentes se présenteront alors ainsi: 

G,SG==^ — A; G,Gx = ^—A,', G.Gx^^ — A,. 

En calculant d'après ces valeurs des angles G^SG^ Gfix^ G^Gx les angles 
du triangle GfiG^^ nous obtenons 

GfiG^ = Gfix — Gfix = A^ — A,; 
GG,G^ = G,Gx-*-G^SG=Tz — A — A^; 
CG^G, = ir — G,Gx — G^SG= A-^A,. 



— 372 — 
Posant, pour abréger, 

on déduit de ces valeurs des angles les expressions suivantes pour les côtés 
Cq, GG, du triangle: 

x>/-Y sin{A-t-A i) 7 ^^ 8in {A -t- A ^) j 

^^1 — sin [A^ - A,) ^' ^^2 — sm(A^-A,) '" 

Puis, par ces expressions, on trouve pour les coordonnées x^, y^\ x^\ . 
y^' des centres (7^, G^\ 

< = CG, cos Gfix = 3t{j^"l;i cos G,Gx.l, 

y; = GG, sin G,Gx='^^^^^m G.Gx.l, 

x;'^ CG.xos C7,(7^ = f|g^cos G.Gx.l, 

y"= CQ.sin <^2^^= sla(l,- jj ^^" Gfix.l, 

ce qui, en portant les valeurs ci-dessus des angles Gfix^ G^Gx^ nous donne 



ic =^-1- ji-'sin^gJ; 2/i = wi tKcosAJ; 



D'autre part, en exprimant les côtés AÂ^, AÂ^ des triangles AA^M^ 
AA^M par le côté AM = m^ ou trouve 

i A sin AMAi ^ i . si n AMA^ 

1 &mMA^A ' 2 ^m MA^A ' 

ce qui, en portant les valeurs des angles MA^A=^ A^^ MA^A = A^^ 
AMA^ = - — A — A^, AMA^ = T. — A — A^, se réduit à 

^^ sin(^ + A) ^^ sinM-^)^^ 

1 sin Â. ' 2 siii A^ 



Passant à la détermination des carrés des distances A^G^^ ^A^ iio^s 
remarquons qu'on les obtiendra par la formule (1), en y prenant pour x^, 
y^ les valeurs que nous venons de trouver pour les coordonnées des centres 
<7^, Gj et pour a les expressions ci- dessus de AA^^ AA^. 

En multipliant les valeurs de A^G^^, Afi^ ainsi obtenues par ces 
expressions et en faisant la différence des produits, nous obtenons pour 

AA^.Afil—AA^.Afi} 



— 373 — 
l'expression 



sin A sin {A^ — A-^ a ain {A -+- Ai) sin {A -+- A2) sin {A-t- Aj-t- A^) 13 

sin^i-sin^g sin^i sia ^j-^i'^ (■^2 — -^i) 
. n sig {A + ^i) ain {A -+- A2) 77 ain (A -f- ^i) sin {A ■+- A ^) sin {^j — A^ sin 2t 3 
~*~ ^ sin ^1. ain ^2 ^^^ ~ sin^ ^^ . ain^ ^2 ^* J 

qui ne renferme pas l'angle variable a et qui conservera, par suite, sa va- 
leur pendant le mouvement considéré du triangle. 

§ 8. D'après ce que nous avons montré relativement aux points qui 
dans le mouvement considéré du triangle reviennent simultanément sur les 
circonférences de certains cercles, on peut trouver en tout parallélogramme 
composé d'un triangle et de deux rayons un point qui décrive approximati- 
vement un arc de cercle, et cela avec le même degré de précision que celui, 
avec lequel le parallélogramme réalise un mouvement rectiligne. 

En effet, soit donné (fig. 3) un parallélogramme composé du triangle 

Fig. 3. 

A 




AA^M et des rayons AG, Afi^ susceptibles de tourner autour des centres 
(7, Oj. Soient ensuite: FG la droite, avec laquelle la courbe que décrit le 
sommet M doit avoir plusieurs points communs, et A^, G^ le point du triangle 
AA^M et le centre qui lui correspond, déterminés, comme il a été montré, 
dans la supposition que le sommet M du triangle AA^M se déplace sur la 
droite FG et le sommet A sur le cercle G, 

Parmi les positions que prend le triangle AA^M dans le mouvement 
du parallélogramme, celles pour lesquelles le sommet M se- trouve sur la 
droite FG peuvent, évidemment, être considérées comme provenant du 



— 374 — 

mouvement, pendant lequel le sommet M se trouve toujours sur cette droite. 
Or nous avons vu que dans un pareil mouvement les points A^, A^ revien- 
nent simultanément sur des circonférences tracées des centres C^, C^. 

Donc, toutes les fois que le point M du parallélogramme viendra sur 
la droite FG, le point A^ se trouvera sur une circonférence tracée du centre 
Cg par un certain rayon; et, par conséquent, la courbe que décrit le point A^ 
aura autant d'éléments communs avec un cercle que la courbe tracée par le 
sommet Jf en a avec la droite FG. 

Comme dans le mouvement, où les sommets A, A^ du triangle AAJ\l 
se déplacent sur les cercles (7, C^, le sommet M et le point A^ reviendront 
simultanément, le premier sur la droite FG, le second sur le cercle G^, les 
positions du triangle AA^M, dans le mouvement considéré actuellement, 
pour lesquelles le sommet M se trouve sur la droite FG, seront aussi les 
mêmes que dans le mouvement où le point A^ est assujetti à se déplacer sur 
le cercle 6\ et un des points A, A^ sur le cercle G ou C^. 

On voit de là que dans les mouvements des triangles AA^M, A^A^M, 
considérés à part, les sommets 

^) Aï 



se déplaçant sur les cercles 



^2' A 

C, G, 

^25 ^1? 



le sommet M décrira une courbe dont les points d'intersection avec la droite 
FG seront les mêmes que pour la courbe qu'on obtiendrait, si les sommets 
A, A^ du triangle AAyM se déplaçaient sur les cercles G, G^, 

Cela nous montre que si l'on remplace, dans le parallélogramme donné, 
le triangle AA^M par le triangle AAJM, ou bien A^A^M, en remplaçant, 
conformément à cela, le rayon mobile A^G^^ ou AG par le rayon ^2^25 ^^ ^® 
nombre des points d'intersection avec la droite FG de la courbe que décrit 
le point 31, ni la position de ces points ne seront pas changés. 



20« 
SUR LE RAPPORT 

ÉTENDUES AUX MEMES VALEURS DE LA VARIABLE. 

(T]RA»UXT PAR C. A. POSSÉ.) 



(9d^ omuouùcuiu 3é^xi5 uum^czpaAoê'ô ^ 
pacnpocmpaHCHHux^ ua o9h?5 u m?5 c^e Ôcauzuhu nepcMfëUUoû. 



(EIpH^iioKeHie KT. XLIV lony 3anHC0Ki> HiinepaTopcKoâ AKa^eMin HayK-B, J^ 2, 
1883 r.) 



(Lu le 23 décembre 1882.) 



Sur le rapport de deux Intég^rales étendues 
aux mêmes valeurs de la variable. 



§ 1. Le rapport de deux intégrales 

r Tudx 
J Tvdx 

étendues aux mêmes valeurs de la variable x et renfermant sous leurs signes 
des différentielles ayant un facteur commun Y éprouve des variations plus, 
ou moins grandes, quand on change la valeur de ce facteur. 

Nous allons montrer maintenant comment se déterminent les limites 
que ces variations ne peuvent dépasser, lorsque le facteur commun Y con- 
serve la forme d'un polynôme de degré non supérieur à n. Nous suppose- 
rons en même temps que le polynôme Y et la fonction v conservent leurs 
signes dans les limites de l'intégration, ce qui est la condition nécessaire 
pour que le rapport 

J Tudx 
J Yvdx 

ne puisse prendre toutes le valeurs de — oo à -i- oo. 

Pour simplifier nos formules nous supposerons encore que les intégrales 

J Yiidx, j Yvdx 

sont réduites de la sorte que leurs limites soient x = — 1 eta; = -*-l et 
que le signe conservé par le polynôme Y et la fonction v dans les limites 
d'intégration soit le signe -h. 



— 378 — 
§ 2. En abordant la détermination des valeurs extrêmes du rapport 

(" Tudx 



T Tvdx 

dans les conditions posées ci-dessus nous allons démontrer que la plus grande 
et la plus petite valeur de ce rapport correspondent aux valeurs du polynôme 
Y qui satisfont à l'équation suivante: 

Y=(l-i-xf {l—xfoZ\ 

où p =^ ou 1; po = ou Ij Z étant un polynôme entier d'un certain degré. 
Pour le démontrer, soit 

la valeur du polynôme Y pour laquelle le rapport 

I Yudx 



f Tvdx 
—1 

atteint sa limite supérieure ou inférieure dans les conditions posées. 

Le polynôme Yq ne changeant pas de signe dans l'intervalle de 
x= — 1 àa; = -t-l, toutes les racines de l'équation 

^0 = 

contenues entre — 1 et -i- 1 doivent être racines multiples et leurs degrés 
de multiplicité doivent être pairs. 
Désignant ces racines par 

et leurs degrés de multiplicité par 

et supposant que 

désignent les nombres des racines de l'équation 

égales à 

-1, -i-1, 



— 379 — 
nous remarquons que le produit 

représente un polynôme de degré non supérieur à celui de T^, que ce poly- 
nôme, comme le polynôme Yq lui-même, conserve le signe -4- dans l'inter- 
valle dea; = — 1 k x = -*-l et que son rapport à Yq reste fini pour les 
valeurs de x entre x = — 1 et a; = -*- 1. 

D'après cela, U étant déterminé par l'égalité 

(1) U^ix-xf-'ix—xf"'. . . .(x — xf-'iï-i-xUl-x)"', 
et a étant un infiniment petit, l'expression 

représentera un polynôme du même degré que Yq qui conserve comme 
celui-ci le signe -+- entre x = — 1 eta; = -i-l. 
Par conséquent la valeur du rapport 



r- 



[ Yvdx 
—1 

pour 

ne pourra être ni la plus grande, ni la plus petite dans nos suppositions, si 
le rapport 

J {To±a.U)udx 











'f{To±zoiU}vdx 


avec 


l'un des deux 


signes 


± 


de a est supérieur à 

fToudx 




'fTovdx 



et avec l'autre — inférieur à cette quantité. 



— 380 — 

Or pour que cela soit impossible pour a infiniment petit, la dérivée par 
rapport à a de l'expression 

j{To±oiU)udx 
— 1 



f(Vod 



xU)vdx 



pour a = doit être nulle, comme on le sait, ce qui nous donne l'équation 
suivante: 

-+-1 -1-1 -hl -pM 
1 TQvdx . \ Uudx — ( Toudx . \ Uvdx 
•L.I J—i -L-i -L.! 

= 0. 



r YQvdx 



Les polynômes Yq, U et la fonction v restant, d'après ce qui précède, 
positives entre x = — 1 et a; = -*-l, les intégrales 



J Y^vâx^ r Uvdx 



ont des valeurs différentes de zéro, et dans ce cas il résulte de l'égalité pré- 
cédente l'équation que voici: 

TQudx Uudx 

— i -1 

f ToVdx \ Uvdx 
—1 —1 

D'où l'on voit que la plus grande et la plus petite des valeurs du 
rapport 

j Yudx 



{Yvdx 
—1 

correspondent à 

Y=U, 

U étant déterminé d'après (1) par la formule 



— 381 — 

Désignant par o-, a^ les quotients et par p, p^ les restes des divisions 
de V, Vq par 2, nous trouvons 

v = 2crH-p; v^ = 2cro-f- p^, 

où p = ou 1, po= ou 1. En vertu de cela l'expression Z= 27 indiquée 
ci-dessus qui donne les valeurs limites du rapport 

luâx 
—1 

Yvdx 
—1 

se réduit à la forme 

où 

Z = {x — xf'{x — xf\ . ..{x — xf'il Hr-xfil — xf'. 

On voit d'après cela que les valeurs extrêmes du rapport 

r Yudx 



J Tvdx 



dans le cas où le polynôme Y de degré non supérieur à n conserve le signe 
-+- entre x= — 1 eta7 = -i-l, sont égales aux valeurs extrêmes du rapport 



j Z-i [1 -t- xf {l — x)P(> udx 



jZ2{l-t-xf {1 — xfo^ax 

où p^O ou 1, po = ou 1 et Z un polynôme pour lequel le degré de 
l'expression 

Z^l^xfil—xYo 
ne surpasse pas n. 

Posant pour abréger 

(1-^x^(1— xyoîi = 0,{x), 

{i-^xy{i—x)^ov=âix), 



— 382^ 

nous allons nous occuper maintenant de la recherche du polynôme Z do 
degré donné pour lequel le rapport 

J Z2 ô (x) àx 

atteint sa plus grande ou plus petite valeur. 
§ 3. Remarquant que le rapport 

'^Z'i%{x)dx 



fz2 6 {x) dx 
—1 

ne change pas de valeur, lorsqu'on multiplie le polynôme Z par un facteur 
constant quelconque, nous concluons d'une part que le polynôme cherché 
contient un facteur constant arbitraire et d'autre part que par un choix 
convenable de ce facteur ou pourra assujetir le polynôme Z à satisfaire 
l'équation 

-1-1 

^Z^O{x)dx=l. 

— i 

D'ailleurs cette équation ayant lieu, le rapport 

fz2 6o (a;) àx 



se réduit à l'intégrale 



J Z2 e (a;) âx 



\Z''6^{x)dx, 



donc, le polynôme cherché Z pour une certaine valeur du facteur constant 

représentera la solution du problême suivant des maxima et minima relatifs: 

«Parmi tous les polynômes d'un degré donné et satisfaisant à l'équation 



— 1 



\Z^6{x)dx=l 



— 383 — 
trouver ceux qui donnent à l'intégrale 



\Z^â,{x)dx 



la plus grande ou la plus petite valeur». 

Multipliant par des constantes arbitraires les polynômes qui repré- 
sentent les solutions de ce problême, nous obtiendrons les expressions géné- 
rales des polynômes pour lesquels le rapport 



fzHoix] 



■:)dx 



JZ2 {X] 



■)dx 

atteint ses valeurs extrêmes. Quant au polynôme Z qui fournit la plus 
grande ou la plus petite valeur de l'intégrale 

'\z'0,(x)dx, 
sous la condition 

-Hl 

\Z^6{x)dx = l, 
—1 

sa recherche présente un cas particulier du problême dont il était question 
dans nôtre Mémoire, sous le titre: Sur les maxima et minima des sommes, 
composées des valeurs d'une fonction entière et de ses dérivées *). 
Appliquant aux intégrales 

-♦-i -1-1 

\Z'^0^{x)dx, ^Z''0{x)dx 
—1 — 1 

ce que nous avons donné en général à l'égard des sommes et changeant le 
signe du facteur auxiliaire X, nous trouvons que le polynôme Z de degré 
m — 1, qui procure le maximum ou le minimum de l'intégrale 

-1-1 

\Z^ÔQ(x)dx 
— 1 
sous la condition 

^Z'^6{x)dx=l, 



*) Voir, T. II, pag. 3—40. 



— 384 — 

se détermine par l'égalité suivante: * /■ 

-*-i 

Le produit Z ^" ^^^ ~ ^^ ^^^ dz aux termes en x~^ près inclusivement 
— 1 
est égal à une fonction entière. 

Cette égalité n'étant pas altérée par l'introduction d'un facteur constant 
quelconque dans le polynôme Z, l'expression générale de Z qui satisfait à 
cette égalité renfermera un facteur constant arbitraire. 

La valeur de ce facteur se trouve à l'aide de l'égalité 



\Z^O{x)dx=l 



dans la solution du problême des maxima et minima relatifs indiqué plus 
haut; en passant de cette expression du polynôme Z à son expression géné- 
rale qui donne les valeurs extrêmes du rapport 



n 



Z^OQ{x)dx 



fz^Hx] 



•)dx 

on devra introduire de nouveau d'après les remarques précédentes un 
facteur constant arbitraire dans l'expression du polynôme Z. 

§ 4. Désignant par F la fonction entière qu'on obtient en développant 
l'expression 



,JM^ 



\Hz)^ 



suivant les puissances descendantes de x et par B^, B^. . . .les coefficients 
des puisances négatives de x nous aurons, d'après ce qu'on a vu à l'égard du 
polynôme cherché Z, l'égalité suivante 



r 



as — K -t- m-i-i ^^ ^m-t-2 



d'où l'on trouve en divisant par Z, 



\ Oo{z)-U{z) j y ■ B, B^ 



-—385 — 
On voit d'après cette égalité que la fraction 

z 

représente la valeur de l'intégrale 



U,iz) -U{z) 



dis 

X — z 



exacte jusqu'au terme dont le degré est égal à celui de ^^ inclusivement, 
ce qui n'est possible, comme on le sait, que dans le cas où dans la série 
des fractions réduites de l'intégrale 



-t-i 

[ %{z)-\Hz) ^ 



X — z 
— 1 



qu'on obtient en la développant en fraction continue, se trouve une fraction 

égale à 

v_ 
z ' 

et la fraction réduite suivante ait un dénominateur de degré supérieur à m, 
ce qui suppose l'absence de la fraction réduite au dénominateur de degré m, 
car le polynôme cherché Z est de degré m — 1 . 

Cela posé, il est facile de déduire dans chaque cas particulier l'équation 
à laquelle doit satisfaire la quantité auxiliaire X et de trouver l'expression 
des divers polynômes Z pour les différentes valeurs de X qui satisfont à 
cette équation. Quant au choix parmi ces valeurs de X de celles qui donnent 
la solution de nôtre problême, il ne présente pas de difficulté; car, comme 
on va le voir tout de suite, X est la valeur du rapport 

J Z2 Go {x) dx 



r^ 



Z2 G {x) dx 

Pour nous en convaincre, remarquons que, d'après ce qui précède, dans 
la série de réduites obtenues par le développement de l'expression 



-1-1 



dz 



en fraction continue, la fraction -^ est suivie par une fraction ayant un dé- 
nominateur de degré supérieur à celui de Zx. 



— 386 — 
Or dans ce cas, comme il est connu, aura lieu l'égalité suivante 



^Z^{ûo{x)^lÔ{x))dx = 0, 



d'où il résulte 



Jz2 Go (x) dx 

f Z2 [x) dx 

On voit d'après cela, que dans la résolution de nôtre problême, exigeant 
que le rapport 

J'zHo{x)dx 



Jz2 6 (x) dx 

soit le plus grand ou le plus petit possible, il faut adopter pour X la plus 
grande ou la plus petite de ses valeurs pour lesquelles dans la suite des 
fractions réduites de l'intégrale 



H- 



%{z)-lH^) ^^ 



il en manque celle dont le dénominateur est de degré m. 

§ 5. L'équation, qui détermine les valeurs de X, et l'expression du po- 
lynôme correspondant Z s'obtiennent facilement au moyen du développe- 
ment de l'intégrale 



-+■ 

f 



x — z 



en fraction continue. Ayant trouvé la réduite de ce développement au déno- 
minateur de degré m, faisons d'abord disparaître dans les termes de cette 
fraction les diviseurs contenant la quantité X (ce qu'on peut faire toujours 
en multipliant le numérateur et le dénominateur par une certaine fonction 
de X). Le dénominateur prendra la forme 



— 387- ^ 
où 

désignent des fonctions entières de X. 

Multipliant cette formule par une constante arbitraire, nous trouvons 
l'expression 
(2) GF, (A) aj"»-*- GF, (k) x"^-'-^ GF^ (X) x"^ 



„m— 2 



qui embrasse tous les polynômes de degré non supérieur à m qui, étant mul- 
tipliés par 



P 



X — s ' 



donnent un produit qui se réduit à une fonction entière aux termes en 
x~^ près inclusivement. Remarquant que le polynôme cherché jouit de cette 
propriété même, nous concluons qu'il doit être représenté par la formule (2); 
or, le polynôme Z étant de degré non supérieur km — 1 , le terme en x^ 
dans cette formule appliquée à la détermination de Z doit disparaître, ce 
qui entraîne l'équation 

(3) F„(k) = 0. 

En vertu de cette équation, d'après ce qui précède, on obtient pour le 
polynôme cherché l'expression suivante: 

(4) Z= GF^ (k) x"^-' -+- GF, (X) x'^-'-i- .... 

En déterminant la plus grande et la plus petite racine de l'équation 
Fo(X) = 0, 
nous trouverons la plus grande et la plus petite valeur du rapport 

f Z2 ôo (x) dx 



) Z^^{x)dx 



Z étant un polynôme de degré m — 1 . Les expressions de Z pour lesquelles 
ce rapport atteint ses valeurs extrêmes sont données par la formule (4), 
quand on y remplace X par la plus grande et la plus petite racine de l'équa- 
tion (3). 



— 388 — 

§ 6. Nous allons nous occuper maintenant d'un cas particulier, où les 
valeurs extrêmes du rapport 



f Z^Qix)dx 
—1 

et les valeurs correspondantes du polynôme Z s'obtiennent de la manière la 
plus simple d'après ce qui a été exposé. Ce cas aura lieu lorsque 

L'intégrale 



f eo(g)-X( 



:^^dx 



se réduit dans ce cas à 



J' 



or, en considérant la dernière intégrale comme limite de la somme 

nous trouverons, en vertu de ce que nous avons montré dans le Mémoire 
sous le titre uSur les fractions continues^ *), que le dénominateur de la jw-ième 
réduite de l'intégrale 



-t-i 



^U. 



s'exprime â l'aide de '\'^_^_^ (ic), v|;^ {x) c'est-à-dire à l'aide des dénomina- 
teurs de la (w-*-l)-ième et m-ième réduitcs de l'intégrale 



Jhj^> 



*) Voir T. I, pag. 203—230. 



— 389 -- 
par la formule 

Les fonctions ^^^^i(ic), ^,„(^) étant respectivement de degrés m-*- 1, 
w, le terme le plus élevé du polynôme représenté par cette formule sera de 
la forme 

et par conséquent dans le cas considéré l'équation qui détermine la valeur de 
X sera: 

D'après ce qui a été démontré dans le § précédent la plus grande et 
la plus petite racine de cette équation donneront les valeurs extrêmes du 
rapport 

\Z^xQ{x)dx 
—1 



J Z2Q{x)dx 



Pour déterminer les valeurs correspondantes du polynôme Z, multi- 
plions d'après le § 5 la formule (5) par une constante arbitraire C et pre- 
nons pour X les deux racines nommées ci-dessus de l'équation ^^ (k) = 0. 

On aura ainsi pour le polynôme cherché Z l'expression suivante: 

x — X 

qui peut être représentée par 
en posant 

Dans le cas particulier où l'on a 

0{x) = l, 
les dénominateurs 

de réduites de l'intégrale 

-♦-1 H-l 

{ b{z)dz r dz 



— 390 — 
se réduisent, comme on sait, aux fonctions de Legendre 
Xj, X2,. ... X^,. . . . 
Par conséquent la plus grande et la plus petite racine de l'équation 
X^ = 
représentent les valeurs extrêmes du rapport 

-M 

J Z^xdx 



J Z-^dx 



Z étant un polynôme de degré m — 1 . En faisant dans la formule 

X — X 

\ égal à ces racines, nous aurons les expressions des polynômes pour lesquels 
ce rapport atteint ces valeurs extrêmes. 

§ 7. Après avoir montré comment se déterminent les valeurs extrêmes 
du rapport 

r Z2 60 {X) dx 

-1 

} 

r Z2 Ô {x) dx 

—1 

z étant un polynôme de degré donné, revenons maintenant à nôtre problême 
de la recherche du maximum et du minimum du rapport 



r;^ 



\ Yvdx 



Y étant un polynôme de degré n et conservant le signe -h entre x = — 1 
et a; = -H 1 . Ces valeurs extrêmes du rapport 






— 391 — 
comme on l'a vu dans le § 2, seront égales aux limites que le rapport 



J Zi (1 -i-xf (1 - xfo^dx 

ne peut dépasser, lorsque p =: ou 1 , p^ = ou 1 , Z étant un polynôme 
de degré non supérieur à "~ 2~^° ' I^^signant par E " ~ ''^~ ^" le plus grand 
nombre entier contenu dans " ~ p ~ p» et remarquant que l'expression géné- 
rale d'un polynôme de degré E ^~^~^o renferme comme cas particuliers 
les polynômes de tous les degrés inférieurs, nous trouverons ces limites 
d'après ce qu'on a vu dans les §§ 2 et 3, en posant 

6^ (x) = (1 -+- xf (1 — xf"" u, e {x) ={\^x)\\— xf V, 
(6) m— 1=:E ^-P-P° , 

et en faisant à l'égard des nombres p, p^ les 4 suppositions suivantes: 

1) p = 0, po = 0, 

2) p = l, po = 0, 
3)p = 0, po=l, 
4) p=.l, po=l. 

Les limites entre lesquelles seront renfermées les valeurs extrêmes du 
rapport 

J Z^il-i-xf {l—xfOudx 



n 



Z'^il-t-xY {l—xfo^dx 

pour ces ^'aleurs des p, po et les valeurs correspondantes de m — 1, seront 
les limites du rapport 



j Tvdx 



le polynôme Y étant de degré non supérieur à n et conservant le signe ■ 
entre x = — 1 et a? = H-l. 



— 392 — 

§ 8. Nous allons montrer maintenant comment ces limites se trouvent 
dans un cas singulièrement simple, savoir, quand w = xv. Pour une telle 
valeur de m, d'après § 6, les valeurs extrêmes du rapport 

. — — j 

jZ2{l-^xf{l—xf(^vdx 

pour un polynôme Z de degré m — 1 , seront égales à la plus grande et la 
plus petite racine de l'équation 

^^m (^) étant le dénominateur de la w-ième réduite de l'intégrale 
f-i 



J' 



qu'on obtient par le développement de cette intégrale en fraction continue. 
Pour trouver les valeurs extrêmes de ce rapport, qui sont d'après ce qui 
précède les limites du rapport 

I Txudx 



j Tudx 

lorsque le polynôme Y est de degré non supérieur à ^ et reste positif entre 
x = — 1 et a; = H-l, nous devons considérer 4 hypothèses à l'égard des 
nombre p, p^: 

p = 0, po=0, 

P = 0, Po=l, 
p = l, Po=l; 

en leur faisant correspondre les valeurs suivantes de m: 

(7) m, = E'^, m, = E"-p, m, = -E'i^, »«, = E|-. 

Désignant par 

V~\^), -t-i^'W, ¥^'(^), i'ïC'c) 



— 393 — 

les fonctions auxquelles se réduit la fonction 'l»^ (x) pour les valeurs précé- 
dentes de p, po , nous remarquons que les plus grandes et les plus petites des 
racines des équations 

(8) ^1^; (X) = 0, ^ïï (X) = 0, ^s (^) = 0, ^s; w = o 

seront égales aux valeurs extrêmes du rapport 



r 
J Z2{l-t-xf {l—xfoudx 



et parmi celles-ci la plus grande et la plus petite seront les valeurs extrêmes 
du rapport 

J Yxudx 



n. 



Yudx 
—1 

dans les conditions posées. 

Passant à la détermination des fonctions 

^g\x), ^2'(^), ^Ti^), V^'ix) 

pour différentes valeurs de m, nous remarquons d'abord que la première 
entre elles 

correspondante à 

p = 0, p, = 0, 

se trouvera à l'aide du développement de l'intégrale 



1 



X — z 
— l 



en fraction continue, cette fonction étant comme on l'a vu le dénominateur 
de la w-me réduite. 

D'après la formule (5), en y faisant X = =^z 1 et remplaçant 4'm(^)) 
^m-»-i (^) P^^ ^w (^)? Mm+i (^)j ûous trouverous les expressions suivantes des 
fonctions 4^» (a;), ^S^(ic) qu'on détermine à l'aide du développement des 
intégrales 



-1-1 -#-1 

j {l-t-z)udz j (1 — z)ud 
I X — z ' I x — z 



— 394 — 
en fractions continues: 

Wj T"» W — 



(10) 4^L'H^) 



X-*- 1 



Par la même formule, en y remplaçant ^„(a;), ^„^i(iP) par ^SH^)» 
^mVi(^) 6* posant X=l, nous trouverons l'expression suivante de la fonction 
i^'^^ (x) qui se détermine par le développement de l'intégrale 



-4- 

I 



a; — z ' 



à l'aide de la fonction '^S W déterminée par le développement de l'intégrale 



, „, , . _ g(-')^a-iw-i'Si.(-')-^g'w 

Tm V^J a; -H 1 

En substituant dans la dernière égalité les expressions des fonctions 
4^m (^)) 'W+ii^) tirées de (10), nous trouverons qu'elle se réduit à la suivante 

(11) +m(a^) = ^rZTÎ ' 

OÙ 

i=%^[')'^ll(l)'l'li'(-l)-+2'(l)<l'i'l>(-l)], 

^= %^ [-Hil» (i)'K' (- 1) - +ï (1) ^-L'I^ (-1)], 

N= %^ [iïï-.(i)'i'i'i.(-i)-'i'i;i-.(i)4'i;i-2(-i)]- 

C'est ainsi qu'on trouvera toutes les fonctions qui figurent dans l'équa- 
tion (8). Quant aux nombres 

m^, ^2, mg, m,, 

qui déterminent les degrés de ces équations, on trouve d'après (7) en posant 

n = 2l, 
les égalités 

et posant 

n = 2l—lj 



— 395 — 

on aura 

m^ = l; m^ = l) m^ = l', m^ = l — 1. 

§ 9. Dans le cas particulier oii 

M= 1, 
les fonctions 

représentant les dénominateurs des fractions réduites du développement de 
l'intégrale 



/ 



dz 
X — z 
— 1 



en fraction continue, se réduisent, comme il a été déjà remarqué dans le 
§ 6, aux fonctions de Legendre 

^ij ^2J -^37- • • •; 

et par suite dans le cas considéré nous aurons 

en vertu des propriétés des fonctions de Legendre on aura dans ce cas 

it:'(-i)=ii;v.(-i)=(-ir; ii';i(-i)=-(-ir; 

d'après cela les équations (9), (10) et (11) nous donnent 

1/2) (^\ ^( ^\m ^m-i-i -^ ^m . 



^'S{^)=i-ir 



x~l 



^L*H^)-(-ir%^E^- 

Remarquant d'ailleurs que d'après les propriétés des fonctions de Le- 
gendre 

nous trouvons que la dernière des formules précédentes conduit à l'expres- 
sion suivante de la fonction '|î*' {x) : 

,1 ,(4) f^\ / 1 \Wl 2m -t- 3 Xjn-^i ^ — ^m 



— 396 — 
Il en suit d'après le § 8 que les valeurs extrêmes du rapport 

r Yxdx 
—1 



r.^' 



le polynôme Y restant positif entre x = — 1 et ir = -h 1 , se trouveront au 
moyen des équations 



(12) 



.|«(^) = (-1)'%^' = 0, 

C(^)=(-i)'f^%^'=o, 



lorsque le degré de Y n'est pas supérieur à 2/, et au moyeu des équations 

'Y^l{x) = Xj = 0, 

= 0, 



(13) 



'VZi^) = {-i)'^^^^-- 



^u 



-Xi_ 



= 0, 



«(^) = ^^î^ 



T»»4V / V / {-t-1 X^ — 1 



= 0, 



lorsque le degré de Y n'est par supérieur à 2h — 1 . 

§ 10. Au moyen de ces équations nous trouverons la limite supérieure 
du rapport 

J Yxdx 



J Ydx 

en déterminant la plus grande quantité qui satisfait à une équation quel- 
conque parmi les équations (12) ou (13), selon que la limite du degré du poly- 
nôme Test égale à 2^ ou à 2^ — 1. 

Cela se fait facilement en vertu des propriétés des fonctions de Legendre. 

La fonction de Legendre X^ admet toujours, comme on le sait, des 
valeurs de signes contraires pour deux racines consécutives de l'équation 



^,^. = 0. 



— 397 — 

donc, il est certain que dans chacun des l intervalles entre ces dernières 
se trouvent des racines des équations de degré l 

^i^x ■+■ Xi __ Q Xi^i — Xi __ Q X/_,_i x — Xi __ Q 

iC-Hl ' X — 1 ' X^— l 

D'où l'on voit que toutes les racines des équations précédentes sont 
plus petites que la plus grande racine de l'équation 

^,^■ = 0; 

par conséquent c'est cette dernière racine qui représente la plus grande 
des quantités qui satisfont à l'une quelconque des équations (12). 
En appliquant les mêmes raisonnements aux équations 

nous nous convaincons de ce que toutes les racines de l'équation 

Xix-Xi_, _f. 

seront moindres que la plus grande racine de l'équation 

Cette racine surpassera en même temps toutes les racines de l'équation 

x—l ' 

parceque, d'après ce qui précède, ces dernières sont plus petites que la 
plus grande des racines de l'équation 

et que d'ailleurs, comme il est connu, dans l'intervalle entre cette racine et 
la plus grande racine de l'équation 



la fonction X^_^_, conserve le signe — , et la fonction X^ le signe -h, ce qui 
entraine certainement l'impossibilité d'une racine de l'équation 

^^-4-1 ~^i —.Q 
x—l 

supérieure à la plus grande des racines de l'équation 
X, = 0. 



Or remarquant que pour cette racine la valeur de la fonction X^^^ 
a le signe — , nous concluons que cette racine sera elle-même inférieure à la 
plus grande racine de l'équation 



D'oii l'on voit que la plus grande quantité de toutes celles qui satisfont à 
l'une quelconque des équations (13) est la plus grande racine de l'équation 

qui, après la suppression du diviseur x-^l, qui n'inilut pas sur la valeur de 
cette racine, se réduit à la suivante: 

^,-..^-^, = 0- 

§ 11. De ce que nous avons démontré à l'égard des quantités les plus 
grandes de celles qui satisfont aux équations (12) et (13) il suit que la li- 
mite supérieure du rapport 

J Yxdx 



r- 



le polynôme Y restant positif entre x= — 1 eta; = -f-l, sera égale à la 
plus grande racine de l'équation 

ou de l'équation 



selon que la limite supérieure du degré du polynôme Y est égale à 2/ ou à 
21 — 1. Remarquant que la formule 



n 



Yxdx 
—1 

) Tdx 

■"—1 

est également susceptible de donner des valeurs positives ainsi que des va- 
leurs négatives nous concluons que les limites supérieures de sa valeur, dé- 
terminées de la manière indiquée, représentent en mêmes temps les limites 
supérieures de ses valeurs numériques. 



— 399 — 



D'ailleurs, le rapport 



n 



Ydx 



ne changeant pas de valeur par le changement de Y en — Y, on voit que 
les limites de ce rapport déterminées dans la supposition que Y conserve le 
signe H- entre x = — 1 eta; = -t-l auront lieu aussi dans le cas où Y 
conserve le signe — entre x = — 1 eta;=-i-l, et par suite lorsque en 
général Y ne change pas de signe dans l'intervalle donné. 

C'est ainsi qu'on obtient, en vertu de ce que nous avons démontré à 
l'égard de la limite supérieure du rapport 

r Yxdcc 

—l 



n 



le théorème suivant: 

Théorème. 

Si Y désigne un ^polynôme qui ne change pas de signe entre x= — 1 
et x = -i-l et dont le degré ne surpasse pas n, la valeur numérique du 
rapport 



n 



'(~Ydx 



ne surpasse pas la plus grande racine de V équation ^^_^i = om 
Z^^i-i-Z^ = 0, selon qu'on a n=2l ou n = 2l — 1, où X^, X^^^ dé- 
signent les fonctions de Legendre des degrés l et l-\-\. 

§ 12. Nous allons montrer maintenant une application du théorème 
démontré. Soit ABC un arc d'une courbe parabolique dont l'équation en 
coordonnées rectangulaires est: 

y = f{x) = G^xP -H (7^_^ xP-'-^ .... 

Si cet arc de courbe entre les points ^ et C va toujours en s'élevant 
ou en s'abaissant et n'oifre point d'inflexions, il ne peut couper ni la corde 
AG, ni les droites AD, GD menées parallèllement aux axes de coordonnées 
par ses extrémités A et C; par conséquent le segment ABG représentera 
une partie du triangle rectangulaire formé par la corde AG et les droites 



— 400 — 

AD, BG parallèles aux axes des coordonnées. On voit d'après cela que le 
rapport 

segment ACB 
triangle ACD 

sera toujours plus petit que 1, quel que soit le degré de la courbe parabo- 
lique. D'ailleurs pour tout degré donné le rapport 

segment ^CB 
triangle ACD 

aura pour limite une quantité inférieure à 1. 




A, C, 

C'est cette valeur limite du rapport 

segment ACB 
triangle ACD ' 

que le théorème démontré va nous donner, comme nous allons le voir tout 
de suite. 

Désignant par 

^05 2/05 ^\1 Vx 

les coordonnés des points A, G et remarquant que y = f{x), nous trouverons 

AJ) = x^ — x^, GD=y, — y^=^f{x,) — fix,), 
ce qui nous donne l'expression de l'aire du triangle AGD que voici: 

^C7D = S^(A^.)-A^,)), 
ce qu'on peut représenter sous la forme: 



AGD-- 



^1 



)dx. 



— 401 ~ 

Passant à la détermination de l'aire du segment ÂGB, nous remar- 
quons d'abord que l'aire du trapèze A^AGO^ s'exprime comme il suit: 

A,ACG, = ^ (AA, -^ GG,) = '-^ {y,-^ y,) = ^-^ (f W -^ f{x,))- 

quant à l'aire limitée par l'arc ABG et par les droites AA^^ ^fij, G fi, 
elle s'exprime par l'intégrale 



f f{x) dx. 



Retranchant cette dernière aire de la première on verra que l'aire du 
segment AGB s'exprime ainsi: 

AGB = ^^ {f{x,) -+- fix,)) — J fix) dx, 

ce qui se réduit à 

Xi 

AGB = lf (x) [x— ^^] dx, 

Xq 

au moyen de l'intégration par parties, en posant 

jdx = x — ''-^' 

D'après les valeurs trouvées des aires du triangle AGD et du segment 
AGB leur rapport s'exprime ainsi: 

segment ACB xq 

triangle ACD Xi ' 

''-^\f{x)dx 

Xq 

ce qui se réduit à l'égalité 

segment ACB — i 



triangle ACD _^i ' 

— 1 

en introduisant la variable t au lieu de x, au moyen de la substitution 

^1 ^0 ■/■ . ^1 -*- ^0 

X——^—t-i - 

Comme la ligne parabolique considérée entre les points A et (7 va 
toujours en s' élevant ou en s'abaissant, son équation 'étant 

y = f{^\ 



— 402- 
la dérivée 



/-(^^i^n-^-î^), 



eutre les limites t = — 1 et ^ = -i- 1 correspondantes à ces points, ne chan- 
gera pas de signe, et par suite on pourra appliquer le théorème mentionné à 
l'expression 

1 

-, 

1 

représentant la valeur du rapport 

segment ACB 
triangle ACD 

Or remarquant que la fonction entière f'{x) est ici de degré non supérieur 
k p — 1, nous devons prendre d'après ce théorème n=p — 1. Ainsi en 
vertu de ce théorème nous arrivons à la conclusion que le rapport 

segment ACB 
triangle ACD 

ne surpassera pas la plus grande racine de l'équation 

la courbe parabolique étant de degré non supérieur à 2^-4-1, ou de 
l'équation 

^,^■-^^,= 0. 

si ce degré ne surpasse pas 21. 

Posant ^ = 1 , nous trouvons que la première de ces équations se réduit 
à celle-ci: 



et la seconde à 



^2=|^^-y = 0, 



X,-^-X,=^^x^ — \-^x = 0. 



Remarquant que la plus grande racine de la première équation est 
l/y et de la seconde y, nous concluons d'après ce qui précède que la li- 
mite supérieure du rapport 

segment ACB 
triangle ACB 

pour les lignes paraboliques du second degré est -g- et pour celles du troi- 
sième y Y' 



SUR UNE SÉRIE 

QUI FOURNIT 

LORSQUE LA FONCTION SOUS LE SIGNE EST DECOMPOSEE EN 
DEUX FACTEURS. 

(TRADUIT VA-R C. A. POSSÉ.) 



(Lu le 10 mai 1883.) 



GSib odnoM'6 pji3r6^ 

9ocmaêAJiioîncM'6 npeQfSjiiuuji Scauzuuu uufnezpaAoê'S npu pa3Ao:^euiu 
noSisuHfncepajtHoû chtfufmiu ua MHo:Jcunicjiu. 



(IIpnjioKeHie k-b XLVII-My Tony SanHCOKi. IlMnepaTopcKoâ AKa3,eMin HayKt, JNs 4, 
1883 r.) 



Sur une série qui fournit les valeurs extrêmes 

des Intégrales, lorsque la fonction sous le signe 

est décomposée en deux facteurs. 



§ 1 . Dans une Note sous le titre : Sur le développement des fonctions à 
une seule variable *), nous avons indiqué plusieurs séries pour le développe- 
ment des fonctions, qui résultent de la formule générale d'interpolation par 
la méthode des moindres carrés que nous avons donné dans le Mémoire 
sous le titre: Sur les fractions continues ■^^). Les termes de ces séries se com- 
posent des polynômes déterminés par le développement en fraction continue 
d'une intégrale de la forme 

6 



\i 



les dénominateurs des réduites qui s'obtiennent dans un tel développement 
sont justement ces polynômes suivant lesquels les fonctions se développent 
en séries, dont il était question dans notre Note. 

Nous allons montrer maintenant une série d'un autre genre renfermant 
les mêmes polynômes. Cette série ne donne pas des valeurs approchées des 
fonctions sous la forme des polynômes, comme le faisaient les anciennes, 
mais elle fournit des expressions approchées, avec des termes complémen- 
taires, des intégrales définies, ces expressions étant formées des intégrales 
plus simples sous certain égard, savoir: pour l'évaluation d'une intégrale de 
la forme 

6 

\ U{x) f,{x) 6\x)dx, 



*) T. I, p. 501—508. 
**) T. I, p. 203—230. 



■406 — 



où figure un produit de trois fonctions 

h{x\ U{x\ 6'{x), 

on obtient une expression approchée composée d'intégrales où figurent sous 
le signe d'intégration séparément les fonctions 

U{x)0\x\ f,{x)ô^{x), 6\x\ 

multipliées par les polynômes mentionnés ci-dessus. 

§ 2. Cette série, ainsi que son terme complémentaire, se déduisent fa- 
cilement en considérant l'intégrale multiple 



(1) 

les fonctions 



T=\F,S,S,Oidx,dx,...,dx^, 



^05 -fo5 ^^05 '^l 

étant déterminées par les formules: 

0, = ô{x,)0{x,)....6{x^\ 

^{x) = {x — x^) ix — x,) [x — xj, 



(2) 



o'(x.) ?'(a;i) • • * • ç'(a;„)' 



9'(a-o) 



^o = ? W ?'W ?(^„)- 

La dernière égalité, après la substitution des valeurs de cp'(a?o), ^\x^,. . . . 
o'(a;J, se réduit à celle qui suit: 

(3) Po= ± [[Xo — x^) (x^ — x^) (oc, — xJ (\-i — \)J' 

Les limites de toutes les variables dans les intégrales que nous consi- 
dérons sont les mêmes, savoir: a et b. 

Remarquant d'après la structure des fonctions /S^, S^ que leur produit 
est égal à une somme de termes de la forme: 

(f'ixi) ç'(a;A)' 

où 

i = 0, Ij. . . . n, 

fe=0, 1, n, 

nous concluons que l'intégrale (1) se décompose en une somme d'intégrales: 






■407 — 



Cette somme renferme des termes de deux genres, à savoir: 1) ceux dans 
lesquels i = k, 2) ceux dans lesquels i diffère de k. 

Les indices i et k ayant dans cette somme toutes les valeurs de à n, 
il y aura w-*-l termes du premier genre et (w-*- 1) n termes du second 
genre. Or, d'après la symétrie par rapport aux variables 

Xq, a^i,. . . . x^, 

les termes du premier genre auront la valeur commune 



I 



fjJâlfii^p^^dx.dx, dx„, 

9'{Xo) ç'(Xo) 1 „) 



représentant le terme qui correspond à i = 0, /v =: 0, et les termes du se- 
cond genre auront la valeur commune 






représentant le terme qui correspond à ^ = 0, fc= 1; donc l'intégrale (1) 
que nous considérons se décompose de la manière suivante: 



(4) 



. dx„ 






§ 3. Pour simplifier la première des intégrales qui entrent au second 
membre de cette égalité nous introduirons des nouvelles fonctions 0^^ ^, 
Pj, en posant 

\e{x^6{x^...,e{x^ = o^, 

(5) \ {x — x^ {x — x^. . . . {x — x;;) = ^{x\ 

0\x^)0'ix,) 0'{xJ = P,. 

Comparant ces égalités aux égalités (2) nous remarquons que 



(6) 



\ o{x) = {x — x,)0{x). 



Si l'on différentie la dernière égalité par rapport à x, nous aurons: 

?' (^) = 0{x)-*r. (x — X,) 0' (x); 
xz=x,, x^, x^, x^, 



d'oij, en faisant 



— 408 — 

et remarquant que d'après (5) les valeurs a; = ic,, i^a?- • • -^n annulent la 
fonction ^(x), nous déduisons 

(7) ^'{x,)=0{x,), o {x,)=(x,—Xo) 0\x,), . . . . , cp'(rrj=(a;„— a-o) 0\xj. 
En multipliant ces égalités, nous trouvons: 

?'W ç'W?'^ — ?'W = 

(x, - X,) {x, — x,). . . . (^„ — ^o) ^(^o) ^'(^i) ^' W .... ^'K)' 
Comme on a d'après (5) 

ix, — X,) {X, — Xo). . . . {X^^ — X,) =:{—!)'' 0{X,\ 
0'iX,)0'ix,)....0\xJ = P,, 

et d'après (2) 

?'W ? W 9(^2) 9i\) = Po^ 

l'égalité obtenue nous donne 

(8) p^ = (--rr0'(x,)p,. 

Substituant les valeurs de Pg, Û^, ^'(^o) tirées de (8), (6), (7) dans 
l'intégrale 

I — TT s — 7~/ s -Ln (y r\ ttXn 0/X, Cl/Xa . . . i CIX„ . 

? (a^o) ? (a^o) 00012 ni 



\i 



nous remarquons qu'elle se réduit à la suivante: 

[ (— 1 )" f, (X,) /; {X,) P, œ {X,) d^ dx, dx, dx,.... dx^ . 

Les fonctions P^, 0^ ne renfermant pas d'après (5) la variable a^o, 
cette intégrale se décompose en deux facteurs suivants: 

\{r-\rP,0^^dx,dx,. . . . dx^•\f,{x,)f,{x,)â^x,)dXo. 

En vertu de cela, désignant par G la valeur de l'intégrale 

\{~irP,0^'dx,dx,...,dx^^, 

indépendante des fonctions /i (x), f^ {x), nous obtenons pour la détermination 
de la première des intégrales contenues dans l'égalité (4) la formule: 



— 409 — 
§ 4. Passant à la simplification de l'intégrale 



I 



(11) 



, =^! AN Po G^ dx^ dx, dx, dx^ dx^, 

nous introduirons encore trois nouvelles fonctions, en posant 

âix,)0{x,)....â{xj^â„ 
(10) { (x — x,) (x^x,). . . .{x — x^)-^.0,{x), 

^\iX,)0\{X,)....0\{X^) = P,, 

Comparant les deux premières des égalités (10) aux égalités corre- 
spondantes (5), on déduit: 

p, = ^(^i)^2, 

\ 0{X) = {X — X,)0^{X). 

Cette dernière égalité étant différentiée par rapport à x, donne 

0' (x) = 0^ (x) -i-{x — fl?i) 0\ (x); 
d'oii, en posant 

X = X^, ^2 ? • • • • ^n 

et remarquant que la fonction 0\{x) s'annule d'après (10) pour x = x^, 
0^3, . . . .x^, nous obtenons 

(12) 0\x,)=0^{x,\ 0\x,) = (x,-x^)0\ix,l,..,, ^' {x^) = (x-x,) 0\{x^). 

Multipliant ces égalités, nous trouvons 

0'{x;) 0'(x^) 0'{x,). . . . 0\x^) = 
{x,-^x,) ix, — x,). . . .{x^ — x,) 0,{x,) 0\{x,) 0\ix,). . ..0\{xj', 

d'oii l'on tire, en vertu des égalités (5), (10), l'expression suivante de la 
fonction P^: 

. P, = {-ir-'0,^x,)P,; 

et par conséquent l'égalité (8) nous donne 

P, = — 0'{X,)0,^X,)P,. 

En y substituant d'après (12) 0'(x^) au lieu de 0^ix^) et remplaçant 
d'après (7) la fonction 0{xo) par o{Xq) et la fonction 0'{x^) par J_l.^ y 
nous obtenons 

p / ?'(^o)?'(a?i) Y p 



— 410 — 
Or en mettant cette valeur de P^ dans l'intégrale 



I 



v^) vÊ ^» ^«' '^''»''^' ''''^ ''''-■•• ''''•■ 



et en y remplaçant d'après (6) la fonction <9o par le produit 6 {x^ 6^ et la 
fonction 6^ d'après (11) par le produit 0{x^6^^ nous trouvons que cette 
intégrale se réduit à la suivante: 



-\' 



Ù W /•, (^.) 6' (^o) 6^(x,) ^2^-1-' P, 6,' dx, dx,.... dx„, 



ce qu'on peut aussi représenter par 

— I fo (^o) /; K) ^(^0 , ^i) ^' w 6' (^i) ^^0 ^^1, 

oii l'on a désigné par 

la fonction des deux variables Xq, x^, déterminée par l'égalité 



(13) 



^(^0, ^d =|^^7^^ ^2^/ d^.dx, .... dx^. 



§ 5. En vertu de ces transformations des intégrales qui entrent au 
second membre de l'égalité (4), elle se réduit à celle ci 

f T = (»^ -*- 1) (7 f fo (a^o) fi W ^' W dx, 
(14) { 

[ — (w -i- 1) w I fo (^o) fi (^i) ^(^0 , ^i) ^' W ^' fe) ^^0 dx, , 

T étant d'après (1) la valeur de l'intégrale 

JPo^o'^i^o'^^o^^i....^^„. 

Nous allons montrer maintenant comment s'obtiennent les limites entre 
lesquelles se trouve renfermée la valeur de cette intégrale. 

D'après (2) les fonctions Sq, S^^ se déterminent par les égalités: 



S, 



- /o (^o) . /o(a^l) __^ . /o(^n) 



g _-, /i(a"o) , fijxi) ^ , /i(^n) , 

1 ç'(a;o) ?'(a;i) * ' * * 9'(x„) 

En mettant ici d'après (7) 

^(a^o), (^1 — »o) ^^'W,- . • . (^n — ^o) ^'W 



— 411 — 
au lieu de 

? W, ?'W, — ?'K)j 

nous remarquons que ces égalités peuvent être représentées sous la forme 

1 Q — _J_ ff Cr ^ _ ^^^o)/oK) _ _ <^i^o)foM 1 

i Q — _L_r/'/'r^_-^iî2lM^iL._ <P(^o)/i(a;n) "1 

(*^l— <Z'(a-o)L'l^ '^ (a:o-x,)(^'(Xi) (^o-^„)<Z^'(^n)J* 

Si l'on considère la première de ces égalités, où d'après (5) 

{X) =z{x X^) {X X^. . . ,{X Xj, 

on remarque que l'expression renfermée entre les parenthèses [ ] repré- 
sente la différence entre la valeur de la fonction f^ {x) pour x = Xq et la 
valeur que donne la formule d'interpolation de Lagrange pour la détermi- 
nation de f^ixo) d'après les valeurs de f^ix) pour ic=:a;,, x^,. . . ,x^. 
Le rapport de cette différence à la valeur de 

{Xq — Xi) (Xq — X^).. . {Xq — Xn) 

1.2. ...n ' 

ne sort pas, comme on le sait, des limites dans lesquelles reste renfermée 
la dérivée 

dx"' 

pour x=Xq, x^^ Xç^,. . . .x^ et pour les valeurs intermédiaires. 

Remarquant d'ailleurs, d'après ce qui a été admis à l'égard des limites 
d'intégration, que toutes ces valeurs se trouvent entre a et h, nous concluons 
que ce rapport est égal à une certaine quantité iHf^, moyenne entre les va- 
leurs de la dérivée 

dx"' 

dans les limites a et h. Par conséquent, d'après l'égalité (15), nous aurons 

o (Xq — Xi) {Xq ^ a;^) . ■ . . (xq — a;^) Mp 

*^o— l.2....n 0{xo)' 

Eu remplaçant ici d'après (5) le produit 

{Xo — X,) {x, — X^) (^0— ^n) 

par ^(^o), nous trouvons l'expression de Sq qui, étant simplifiée, se réduit 
à la suivante: 

"^0— 1.2. ...n 



■412- 



On trouve d'une manière analogue 



■1.2. ...n' 

M^ étant une moyenne entre les valeurs de la dérivée 

dans l'intervalle x = a, x = h. 

En vertu des égalités que nous avons déduites à l'égard des valeurs 
des fonctions S^, S^ dans l'intégrale 

et remarquant que le facteur PqÔo^ d'après (3) n'y change pas de signe, 
nous concluons que pour certaines valeurs Mq, M^^ ne sortant pas des li- 
mites entre lesquelles restent les dérivées 

dx^ ' dx" 

dans l'intervalle de x = a k x = h, aura lieu l'égalité suivante: 

..^j,,,..„. .,^ 

§ 6. Substituant cette valeur de T dans l'égalité (14) nous obtenons 
l'équation 

J^jp,0^^dx,dx,.,.dx^={n-^l) cjf^ W /; W 6^ W dx, 

—{n-\-l)n^f,{Xo)f,{x;)F(x^,x;)6\x,)6\x;)dx,dx„ 

d'où il résulte la formule suivante pour l'évaluation de l'intégrale 

(17) [fo M A (^o) ^' W dx, =jfo (x,) /; {X,) î^^^^ â' ix,) 6' {x,) dx, dx, 

MQMijPQÙQ^dxodXi dXn 

~* {1.2....m)2(wm-1)C 

C'est de cette formule que nous tirons la série qui fait l'objet de cette 
Note, en développant la fonction 

suivant les termes composés des polynômes qui s'obtiennent, comme on 
l'avait dit au § 1, au moyen du développement de l'intégrale 



J 



62 (s) dz 
X — z 



— 413 — 
en fraction continue et que nous désignerons par 

^oi^)i '^l(^), '\'»{^)i 

D'après la propriété connue de ces polynômes, en vertu de la formule 
(17), il est facile de faire un tel développenient de la fonction 

sans qu'il soit nécessaire de déterminer la valeur de l'intégrale 



J 






qui donne l'expression de la fonction 

FiXç,, x^. 
d'après l'équation (13). 

Nous ne ferons que remarquer d'après cette équation que F[Xq^ x^ 
est une fonction entière de degré inférieur à w, tant par rapport à x^ que 
par rapport à rr^, comme cela résulte de ce que d'après (2) le produit 
?' W ?' W 6st divisible par {x^ — x^ et ne contient des puisances ni de 
rCo, ni de x^ supérieures à w-t- 1. D'après la propriété des polynômes 

toute puissance de x inférieure à n pouvant être représentée par la somme 

^0 4^0 (^) -^\^^{x)-\- -»- \_^ ^^_^ {x\ 

la fonction 

d'après ce qu'on a remarqué ci-dessus à l'égard de la fonction F{x^^ ic^), 
pourra être représentée par la somme 



y,G,^M^^ux,), 



X et [J^ restant moindres que n. 

En mettant cette somme au lieu de 

dans la formule (17), nous obtenons l'égalité 

\a^,)a^,)à\x^àx,-==\u{x,)f,{x^^^ 

Mo ilf 1 C Pq Oq^ dxQ dxi dxn 



— 414 — 
qui, comme il est aisé de reconnaître, peut être représentée comme il suit: 

(18) ^Ux)f,(x)Û\x)dx=y^C,Jf,ixy].,(x)â\x)dx\f,{xy\^^(x)^ 

Mo Ml j Pq Oq^ dxo rfx, . . . . dxn 

~^ {1.2....nf{n-^])(; 

En vertu de la propriété connue des polynômes 

'lo(^), 'J^i(^), 'h(^), — 

de satisfaire à l'équation 

(19) \'h,{x)'i^,ix)ô'{x)dx=0 

pour i différent de k, il n'est pas difficile de trouver la valeur des 
coefficients 

qui figurent dans cette formule. En effet, si l'on y pose 

oi^i 

l < î?, m < n, 
les dérivées 

dx** dx^ ' dx" dx^ 

seront égales à zéro. Par suite, d'après ce qui a été dit au § 5 à l'égard 
des quantités M^, M^, celles-ci seront aussi égales à zéro; donc, pour de 
telles valeurs des fonctions fo{x)j fi{x), la formule (18) se réduira à 
l'égalité 

I U^) ^«(^) ^'(^) dx=^ C^^ J '\^^(x) '^,{x) 6' {X) dx \ ^l^^{x) ^^{x) 0\x) dx. 

Remarquant d'après (19) que les intégrales 

\']^^{x)^.Sx)6^{x)dx, 

[^^{x)'\^(x)6^{x)dx 

se réduisent à zéro lorsque \%l, [J-^m, nous concluons que dans la somme 

2 ^x,J'l/ W 'Ix W ^'{x)dx\'\>Jx) ^^{x) e\x)dx 

tous les termes, à l'exception de celui- qui correspond à 

X = L ut. = m, 



— 415 — 
s'évanouissent; en vertu de quoi l'égalité déduite nous donne 

J^xW i'^^) â\x)dx=G,J'!^,'(x) 6\x)dx . \i/;{x) (^[x)dx; 
d'où il résulte pour la détermination du coefficient G-^ ^ la formule suivante 

(^ = 



En y faisant X = [x, nous trouvons 



çr __ i 

^5^ j ^}^ (x) 6"- (x) <ix^ 



tandis que pour XJp. d'après l'égalité (19) on voit que 

Il en suit que la somme 

'E%\foi=') 'Wi^) 6\x)dx\f,{x) ^^(x) e\x)dx 

ne contient que les termes dans lesquels X = (jt. et que dans ces termes le 
coefficient Cj^ a la valeur 



|V(^)QM^)<?«' 
par conséquent l'égalité (18) se réduit à la suivante 



\^U{x)U{o:)6\x)dx=^^- 



l^X\x)^-'{x)dx 

Mq Ml J Fq Ôq^ <ia;o «ïa^i dx^ 

"" (1.2....w)2(n-Hl)C ' 



oii la sommation s'étend, d'après ce qu'on a remarqué plus haut, aux va- 
leurs suivantes de X: 

X = 0, 1, 2, n—l. 

§ 7. On peut aussi trouver sans peine la valeur de l'expression 

[ Pq Oq^ Jxq dxi dx2 dXn 

(1.2....«)2(n-i-l)C ' 

contenue dans le dernier terme de l'égalité déduite. 
On y arrive en y posant 



— 416 — 
Les dérivées 

dx^ ' dx^ 

se réduisant dans ce cas à la quantité constante, égale à ^„'"H0), les quan- 
tités ilfo, M^ d'après ce qu'on en a dit au § 5 seront aussi égales à 4^„^"^(0); 
par conséquent pour 

la formule (20) donnera 

''[^^n{^)^l{x)(iHx)dx]^ 



\^'}^^\x)d\x)dxJ^^- 



]^l^[x)b^(x)dx 

[W'iS>)fi'Po%^dxQdx,....dXr, 
~*~ (1.2....w)2(nH-l)C 

Le nombre A étant moindre que >^, d'après ce qu on a vu au § précédent, 
les intégrales de la forme 

\^^{x)^^{x)6\x)dx, 

qui figurent sous le signe de la somme se réduisent à zéro en vertu de (19) 
et nous trouvons 



1 






(1.2....«)2(n-Hl)C 

Cette égalité nous donne 

J Po Oo2 dxo dxi....dxn J '\>n^ (x) 62 (x) dx^ 

(1.2....«)2(n-+-l)C — [4'„i«)(0)f ' 

ce qui, étant substitué dans la formule (20), la réduit à la suivante 



[n{x)f,{x)6'{x)dx=^^ 



J/o (^) ^\ (^) 0^ (^) ^^ J/i (^) 'I^À (^) e^ (^) ^^ 



où la somme représente n termes de la série 

J/o {^) 4^0 {X) 6^ (a:) (?a; ' J/i (X) ^0 (g:) 6' (a;) cZo; 
J/o [x) ^, {X) 62 (a;) dx . Ja (x) 4>i {x) 6' (x) c?.r 

J'^l2(x)02(x)dx 



J/o (x) ^^_t (a;) 62 (x) Jo; » f /^ (a;) ^„_t (x) 6^ (x) dx 
J^n_i2(x)62(a:)dx 



— 417 — 
qui donne la valeur approchée de l'intégrale 

et l'expression 

représente son terme complémentaire. 

Remarquant d'après ce qu'on a vu au § 5 que la valeur numérique 
des quantités Mq, M^ ne surpasse pas la plus grande valeur numérique des 
dérivées 

dans les limites de l'intégration et désignant ces valeurs numériques ma- 
xi ma par A et B, nous concluons que la valeur numérique du terme complé- 
mentaire 



j;|^Jt=W^'W<^-. 



ne surpasse pas la valeur de 



f^Jl^W^^KX^»^.. 



Quant au signe du terme complémentaire il se détermine facilement 
dans le cas où les dérivées 

^"/o(^) dnf^{x) 

ne changent pas de signe dans les limites de l'intégration. 

Dans ce cas, d'après le § 5, les quantités M^^ M^ auront les signes 
des dérivées 

dx^ ' (?a;" 

dans les limites de l'intégration, et par suite le terme complémentaire 

vu que les quantités 

J.|„^(T„) 6'(x,)dx,„ [|„'")(0)]', 

sont évidemment positives, aura le signe h- ou — selon que ces dérivées 
conservent des signes égaux ou contraires dans les limites d'intégration. 



SUR LA REPRESENTATION 
DIS YILIÏÏRS LÏMÏTKS DIS fflTÉSRlLIS 

PAR DES RÉSIDUS INTEGRAUX. 

(XIRADUXX PAH SOPHIE K0WAL3SVSKI.) 



(Lu le 8 octobre 1885.) 



(9 7ipc3omaêACHiu npo^dréA^nuxo Scauzuhis uufnczpaAoé'ô 

nocpcdcntêoM'è uHm,ezpaAhuux'6 êuzcmoé'^. 



(IIpHnosenie Kt LI TOuy SanncoETE. HMnepaTopcKoâ AKa^eMin HayKi., iNà 4, 1885 r, 
Acta mathematica. T. IX, 1886, p. 86—56.) 



Sur la représentation des valeurs limites des 
Intégrales par des résidus Intégraux. 

Dans un Mémoire Sur les valeurs limites des intégrales *), publié en 
1874 dans le Journal de Mathématiques de Liouville, nous avons communiqué 
quelques résultats concernant les valeurs limites de l'intégrale 

V 

\f{x)dx 

u 

dans le cas où l'on donne les valeurs des intégrales 
b b b 

I f{x) dx, [ X f{x) dx, f x^ f{x) dXj... . , 

a a a 

prises entre des limites plus vastes: a < ti, & > z;, et où la fonction incon- 
nue f{x) reste positive pour toutes les valeurs réelles de x entre x = a et 
x = h. 

D'après un théorème contenu dans ce Mémoire, si le nombre des inté- 
grales données 

b b b 

\fix)dx, \xf{x)dx,.. . . \x'"'-'f{x)dx 

a a a 

est pair =^ 2m, les valeurs limites de l'intégrale 

V 

\fix)dx 
ne peuvent être déterminées que dans le cas où les limites u, v satisfont 



*) T. n, pag. 183—185. 



— 422 — 

à une équation, dont les coefficients dépendent de la valeur des intégrales 
données. 

Pour obtenir cette équation et les valeurs limites de l'intégrale 



]f{x)dx 



dans le cas où n, v satisfont à cette équation, nous développons l'intégrale 

b 



J: 



/(or) 



dx 



en une série procédant selon les puissances décroissantes de s 
b b 

\f{x)dx \xfix)dx 
f{x) -1 a 



Posant 



b b b 

lax)dx=:Ao, \xf{x)dx=A,,.,.. J^^"-YW^^ = A^_p 



nous obtenons donc pour l'intégrale 

6 



\lë-j^ 



l'expression approximative suivante, rigoureuse jusqu'au terme -^ inclusi- 
vement: 

En désignant donc par 



la fraction continue, que l'on obtient en développant l'expression 



:éo _4_ :éi _. . ^2m—i 



— 423 — 

en fraction continue et en s'arrêtant à la m'®™° réduite, nous aurons par 
conséquent, aussi avec un degré d'approximation jusqu'au terme -^ inclu- 
sivement. 



6 



[ 



^dx=^- 



Z—X Oi,g- 



A l'aide de la fraction continue définie de cette façon, on établit l'équation 
à laquelle doivent satisfaire u et v, de même que les valeurs limites corre- 
spondantes de l'intégrale 

V 

jmdx. 

u 

En désignant par 

la fraction ordinaire, à laquelle peut se réduire la fraction continue en 
question, et en égalant le dénominateur ^^(^) à zéro, on obtient l'équation 

à laquelle doivent satisfaire les limites w et «; de l'intégrale 

V 

\f{x)dx. 

u 

Et en désignant par 

toutes les racines de cette équation, disposées d'après leur grandeur crois- 
sante, on trouve que si l'on pose 



les valeurs limites de l'intégrale en question 

V 

\f{x)dx 

u 

seront exprimées par les somme 



y m (.H) ^'m (^/-i-i) + w (^n) 



— 424 — 
Ces sommes sont composées des résidus de la fonction 

par rapport aux racines de l'équation 

contenues dans les limites 

les racines ^^ et ^^ elles mêmes y étant comprises ou non. 

Pour pouvoir exprimer ces sommes de résidus partiels par des résidus 
intégraux, nous conviendrons de désigner par w une quantité positive infi- 
niment petite. Vu que dans ce cas les racines de l'équation 

contenues dans les limites 
sont 

et les racines, contenues dans les limites 

sont 

nous pouvons représenter les sommes précédentes par les résidus intégraux: 

C 9w W Ç 9m (^) 

En conséquence des valeurs limites trouvées pour l'intégrale 
\f{x)àx 



on aura donc 



Zl Zl—tti 



— 425- 

§ 2. Ces inégalités, de même que la solution d'un problème présentée 
dans le Mémoire mentionné plus haut et d'autres problèmes du même 
genre, découlent immédiatement de la représentation des valeurs limites de 
l'intégrale 



\fix)dx 



par des résidus intégraux dans le cas, où la limite supérieure de l'inté- 
grale V reste arbitraire, mais la limite inférieure u coïncide avec la limite 

inférieure des intégrales 

6 b 

\f{x)dx, \xf{x)dx,. . . . 

a a 

Dans ce cas les valeurs limites de l'intégrale 

V 

\f{x)dx 
sont données par les formules suivantes: 

(1) \màx < l F{z\ 

a a — (0 

V V — (i> 

(2) \f{x)dx > l F{z), 

a a—(û 

OÙ F{z) est une fonction rationnelle, dont la valeur dépend du nombre des 
intégrales données 



J f{x) dx, r X f{x) dx,. . . . 



et de leurs valeurs. Cette fraction s'obtient facilement en développant l'in- 
tégrale 

b 



-dx 

\ Z —X 



en fraction continue 
1 



«wi « -*- p»» - 



— 426 — 



dont les m dénominateurs peuvent toujours être trouvées, comme nous 
l'avons montré, lorsque l'on connaît les valeurs des 2m intégrales 

b & h 

\f{x)dx = A,, \xax)dx = A,,...., \x'''-'f{x)dx = A^^_^. 



En désignant comme auparavant par 

la fraction ordinaire à laquelle se réduit la fraction continue 






1 



H 2 + h 



a2 2 -H ^2 - 



1 



nous désignerons par 

la fraction ordinaire que nous obtenons en nous arrêtant au terme 
Si, outre les intégrales 

b 6 h 

\ax)dx = A,, \xf(x)dx=A,...., \x'''-'f{x)dx = A^^_^, 

a a a 

on connaît aussi la valeur de l'intégrale 

h 

\x^''ax)dx = A^^^, 



il est nécessaire, pour pouvoir déterminer la fraction rationnelle F(z) dans 
les formules (1) et (2), de déterminer non seulement la fraction continue 
précitée et les deux fractions ordinaires 






mais aussi la valeur du coefficient de z dans le (m-f-l/^'°® dénominateur de 
la fraction continue, obtenue par le développement de l'expression 

z ^"^ ^2 ^^ • • • • ~»~ £2m ~*~ 22m-i-i 



— 427- 
Nous désignerons ce coefficient par 



§ 3. En étudiant la fraction rationnelle F{z)^ nous remarquons que 
sous sa forme générale elle peut être exprimée d'une manière simple par 
une fraction continue. Dans cette dernière les m premiers dénominateurs 
sont identiques avec ceux de la fraction continue 



a^^-Hpi- 



^^ ^ -t- Hm 



que l'on obtient en développant l'intégrale 

i Z — X 

a 

La fraction rationnelle F{z) pourra donc être représentée par la 
formule 

(3) ^« = «77^ '— 



oii Z est une fonction inconnue. 

Cette fonction peut être exprimée à l'aide des fonctions cp^_j (^), 9^(^) 
seulement, si l'on connaît les valeurs des 2m intégrales 

& 6 h 

\f{x)dx, \xf{x)dx, \x^'''-'f{x)dx. 

a a a 

Mais si l'on veut se servir de 2 m-»- 1 intégrales 

b & & 

\f{x)dx, \xf{x)dx, \x'''^f{x)dx, 

a a a 

il faudra encore, pour déterminer F(^), connaître une quantité constante a^_^^. 
Dans le premier de ces deux cas, cette fonction sera donnée par la formule 

dans laquelle y désigne la plus grande des deux quantités 

a — v L 'l^wl») '\>miv) J' 



— 428 — 

Dans le second cas on trouve pour la détermination de Z deux formules 
différentes selon que la fraction 

est positive ou négative. Dans le premier cas la fonction Z est définie par 
la formule 

(6) ^=„_(._.)-.i^. 

Da ns le second cas Z est donné par la formule 

/'7\ y— (^ n\ (b — «)pS K i-i(«) (b — a)2p5 

(7) Z — a„^_^, i^ — flj i_p -H ^^^^^^ (i_p)2^_(l_p)(b_a?)' 

OÙ 

1 r^ m-. («) _ ^ m-i (^O l _^ 
g — p L 4^OT (g) ^OT {y) J ^^"^^ 

b-vl ^rnib) ^m{^) J '"-*-' 

§ 4. L'expression de la valeur limite de l'intégrale 

V 

\f{x)dx, 

a 

par les résidus intégraux nous conduit facilement à toutes les formules indi- 
quées dans le Mémoire précité. 

En supposant connues les valeurs des 2m intégrales 

b h b 

\f{x)dx, ^xf{x)dx, \x'"'-'f{x)dx 

a a a 

et supposant de plus que l'on cherche la valeur limite de l'intégrale 

V 

\f{x)dx 

a 

pour une valeur de v satisfaisant à l'équation 



— 429 — 

nous remarquons que d'après le § 3 la valeur de Z sera donnée dans ce cas 
par la formule 

d'où il résulte 

Z=oo 
à cause de l'équation 

^^(t;)=0. 
Par conséquent, d'après le § 3, 



a2^^-+-&2 — " 



*m* -^ t^m 



En substituant à la fraction continue la fraction ordinaire qui lui est égale 

on trouve 

Pour cette valeur de 'F{z) les formules (1), (2) nous donnent 

a a— eu 

a a— w 

Ceci aura lieu pour toutes les valeurs de v satisfaisant à l'équation 

En posant successivement 
où ^^ et 0^ signifient comme auparavant les racines de l'équation • 
et 0^ > ^i nous déduisons de ces formules 

a a — tu a a—oi 

Zl zi—oi zi zi-h(o 



a— to 



— 430 — 

Et en retranchant les deux dernières inégalités des deux premières on 
trouve 






Comme nous l'avons vu au § 1, ces inégalités nous conduisent aux 
mêmes valeurs limites de l'intégrale 

que nous avons communiquées dans le Journal de Liouville pour le cas con- 
sidéré. 

§ 5. Pour appliquer les formules (1) et (2) à la résolution du pro- 
blème proposé dans le Mémoire précité, nous supposons que les trois quan- 
tités données 

p, d, h, 

sont déterminées par les formules suivantes: 

6 

p=^f{x)dx, d = l , k=:\{x — dff{x)dx, 



et que l'on veut trouver les valeurs limites de l'intégrale 



\f{x)dx 



pour le cas où la fonction inconnue f{x) ne devient pas négative pour des 
valeurs de x entre et &. 

Vu que les trois quantités 

p, d, Je 

déterminent les valeurs des trois intégrales 

6 6.6 

f f(x) dx = p, f xf{x) dx=pdj f x^ f{x) dx =pd)^ -+- h. 



— 431 — 
les valeurs limites de l'intégrale 



dans le problème considéré seront déterminées par les formules qui s'appli- 
quent au cas, quand le nombre des intégrales données est impair 2m-i-l: 
il faut poser de plus 

m= 1, « = 0, 

Pour déterminer la fraction continue 



(X^Z -*-?>2 • 



nous développons l'expression 

Z 3^ Z Z^ 

en une fraction continue, en nous arrêtant toutefois au premier dénomina- 
teur, ce qui nous donne 

1 1 

OLiZ-i- !3| z d 

Nous trouvons donc 

9i (^) _ 1 9o_(i)_^. ?i {') _ P 

P P 

Pour déterminer la quantité constante o^„i^i = (^2i ^^^^ développons 
en fraction continue l'expression 

Aq Al A^ p . pd , pd^-t-Je 

~z »~ T-r ~*~ "IS' — ~z •" lâ" ~*~ -a ' 



en nous arrêtant au second dénominateur et ne considérant que le premier 
terme de ce dernier. De cette manière nous trouvons 



p^-^'é- 


pd2-t-k 1 
*" «3 Z-d 


1 




P 


?•* 



— 432 — 
d'où l'on déduit, conformément à ce qui a été exposé au § 2, 

§ 6. En substituant ces valeurs dans la formule (5) on trouve la 
fraction 

d— V-i 5 

pa 



1> [h - d) 



dont le signe décide, d'après le § 3, laquelle des deux formules (6), (7) doit 
être employée pour déterminer la fonction Z. 

Vu que cette fraction ne change de signe que pour les valeurs 






p{b — dy'" ^ pd 

pour lesquelles elle devient od ou 0, tandis que pour ?;=oo et v= — oo 
elle est égale à -h 1 , on voit que cette fraction sera positive pour 



V < ( 



p{b-d) 



et pour 



^>^-^è 



tandis qu'elle est négative lorsque v est contenu entre les limites. 

pib — d)^ ^ pd 

Par conséquent, si 



p{b-d) 
ou bien 

nous devons, conformément au § 3, nous servir de la formule (6) pour 
déterminer la fonction Z^ ce qui nous donne 



— 433 — 
Au contraire, dans le cas où 



■ <:v<d-ir-^ 



p{b-d) 

la fonction Z sera déterminée par la formule (7) qui nous donne 

Z = Çz-^{2d-h-v)Ç-^ib~d)iv — d)% 

p[p{b — d)d-k] [p(v~d)d — k] [p{d — v){b — d)—k] 

k^{z — d)—pk2{b—d){v — d)d 

En passant maintenant à la détermination de la fraction rationnelle F(z), 
conformément au § 3, nous remarquons que dans le cas considéré la fraction 

continue 

1 



ne contient qu'un seul dénominateur 



la formule (3) se réduit donc à 



p p' 



F{^)-- 



p p z 



Aux deux valeurs de Z correspondent donc les valeurs suivantes de F{3)\ 

p{z — v)-^ 

7^/ N ps^^ — pjb-i-v — d) s -*- k -i- {b — d)(v—d)p 

^^^ z[z — b) [z — v) 

La première de ces valeurs aura lieu, d'après ce que nous avons vu, dans le 
cas où 

V <id 7T -Js 5 

ou bien 

k 



la seconde dans le cas où 



'>^-pd^ 



' ;<v<â ■ ^ 



p{b — d)^''^-'*^^pd 



— 434 — 

En introduisant ces valeurs de F{z) dans les formules (1) et (2) et en posant 
a = 0, nous trouvons que les valeurs limites de l'intégrale 



[ f{x) dx, 



que nous clierclions dans le problème considéré, seront données par les 
formules 



(8) 



dans le cas où 



\f{x)dx> l 



^(,_^)H-__^ 



{z — v)[z — d-\- 



\f{x)àx< l 



piv-d)) 
k 



,. {Z — V){z — d-1 ; y.) 

-« ^ ^\ p{v-d)J 



^ p{b — d) ^ pd^ 



et par les formules 

V V — (1) 



pz^ —p{b-i-v — d)z-t-k-i-{b — d){v — d)p 
z[z — b){z — v) ' 



{f(x)dx< r P^'-p{b-*-v-d)z-^k-^ib-d){v-d)p 



dans le cas où 



ci—-JL^^^v<d ■ ^ 



p{b-d) 
§ 7. Si nous nous arrêtons au cas 

v< 



pd 



p{b-dY 

nous remarquons que pour telles valeurs de v, ^ étant compris entre 
z = — ca et ^ =: «; it (0, la fraction 



ne peut devenir oo que pour 



p{v- 



-d)) 



— 435 — 

vu que la seconde valeur z^=d — . _^. , pour laquelle cette fraction de- 
vient oo, surpasse, pour les valeurs considérées de v et pour co infiniment 
petit, aussi bien v-noi que v — w. Quant ta la valeur 



elle sera contenue, à cause de l'inégalité 

(o>0, 
dans les limites 

(0, V -H w, 

mais elle sera en dehors des limites 

— w, V — co. 
Par conséquent, pour les valeurs considérées de v^ le résidu intégral 

k 



l 



p{z — v)- 



V — d 



«^ ' 'V p{v—d)} 

se réduira à zéro, tandis que le résidu intégral 






{z — v){ z — d -i- —, ) 



se réduira au résidu correspondant à 
qui est égal à 

kp 



k-\~p{v — d)-^ 

k 

~pib-d) 



Par conséquent, dans le cas où t; < d jt—j^ les formules (8) se réduisent 



aux suivantes: 

V 

^f{x)dx>0, 



\ f{x)dx<. 7^— -Ki- 

J ' V / = k -t-p [v — df 





Passant maintenant au cas, où 

A 



V>d- 









— 436 — 




nous 


remarquons que dans 


ce cas la valeur 










~- d ^ 






--^ i^(r-rf) 


' 


pour 


laquelle 


la fraction 


p(. v)-^^_^ 






(^ ^H^ '--Pi^- 





devient infinie, est contenue aussi bien entre les limites 

— co, V — to 
qu'entre les limites 

tandis que l'autre valeur z = v^ pour laquelle cette fraction devient aussi 
oo, n'est contenue qu'entre les deux dernières limites. 
Par conséquent le résidu intégral 





V— co 


p{z- 


-v)-^ 


v — d 






-.(. 


-d-i- 


k 


\ 




p{v- 


d)) 


se réduit au résidu 


correspondant à 










z 


— d 


k 










p{V- 


-d}' 




lequel est égal à 




k-*-p{ 


-df 

v—df 






tandis que le résidu 


intégral 












«-4-0) 

r 


p{z- 


-v)-i- 


k 
v — d 





{e-v)(s-d-i r^^] 

^ 'V p{v — d)l 



sera égal à la somme des résidus de la fraction 

k 



{z-v)(z-d-t- . ^' A 
'\ ■ p{v-d)/ 

correspondants aux deux valeurs de z, pour lesquelles cette fraction devient 



— 437 — 

infinie. Cette somme est égale à p. Pour ces valeurs des résidus intégraux, 
les formules (8) nous donnent 



V 

I f{x)dx<p. 



Il nous reste encore à étudier plus en détail le cas où 

p{b — d) ^ ^ pd 

Pour ces valeurs de v, les valeurs limites de intégrale 

]fiœ)dx 



sont données, d'après le § 6, par les formules 

—0) 

if(x)dx< / ï>2^—p{b-*-v-d)s-t-Jc-i-ib-d){v-d)p 
—0) 

Vu que des trois valeurs 
pour lesquelles la fraction 

pz^ — p [b -t- V — d) z -i-k -t- {b — d}{v — d)d 
z{z — h){z — v) 

devient infinie, la première, ^ = 0, est contenue aussi bien entre les limites 

CO, V — co 

qu'entre les limites 

— co, t' -+- 0), 

la seconde = b n'est contenue ni entre les premières, ni entre les secon- 
des limites, tandis que la troisième, 2 = v n'est contenue qu'entre les se- 
condes limites, le résidu intégral 



l 



pz^ —p(b-\-v — d)z-t'k-i-{b — d){v — d)p 
z{z — b){z — V) 



— 438 — 
se réduit au résidu correspondant à ^ = 0, lequel est égal à 



(& _ d) {v — d)p-t-k 
bv ' 



tandis que le résidu intégral 



r-t-co 



l 



pz^ — p{h -+- y — d) z -^-k -i- [h — d){v — d)p 
7(7- 6) (^-r) 



est égal à la somme des résidus correspondants h s = et à -? = v; ces ré- 
sidus sont respectivement égaux à 





{h — d){v — d)p-^-'k 




bv 




d{b — d)p~k 




ib-v)v ' 


(6 


— d){b-^~d — v)p — k 




b{b—v) 



leur somme est donc 

Il résulte par conséquent de ces formules 




On voit donc que de l'expression des valeurs limites de l'intégrale 

V 

\f(x)dx 

a 

à l'aide de résidus intégraux découlent toutes les formules communiquées 
dans mon Mémoire, inséré dans le Journal de Liouville sous le titre: Sur les 
valeurs limites des intégrales. 

§ 8. Il est facile de s'assurer de l'exactitude des valeurs limites de 
l'intégrale ^ 

\f{x)dx 

a 

que nons avons trouvées pour le cas où l'on connaît les valeurs des intégrales 

h b , b 

J f{x) dx, [ X f{x) dx, I x^ f{x) dx, 



— 439 — 

et que de plus la fonction inconnue f(x) reste positive entre a et &, à l'aide 
de l'équation 

h 

\Uf{x)dx = lUF{z), 

a 

laquelle aura toujours lieu, en conséquence des propriétés de la fonction 
rationnelle F{0) déterminée par les formules (3), (4), (6), (7), sitôt que U 
désigne une fonction entière dont le degré est moindre que le nombre des 
intégrales données 

b b h 

f f{x) dx, r X f(x) dXj ï x^ f{x) dx,.... 

a a a 

Quant à la déduction de ces mêmes formules par la méthode des 
quantités maxima et minima, cette question sera l'objet d'un Mémoire 
particulier, dans lequel nous montrerons aussi d'autres applications de la 
fonction rationnelle F{^). On verra entre autre que les deux racines de 
l'équation 

les plus rapprochées de la racine 

x = v, 

fournissent la solution du problème suivant par rapport à la fonction f{x): 
dans quelles limites, en partant de x = v ou en finissant par x = v, la fon- 
ction f{x) peut-elle avoir une valeur constante égale à zéro? 

En assignant à v dans les formules qui déterminent F{z^ certaines 
valeurs spéciales, nous trouvons deux fractions F^{z\ F^{z) telles, que les 
résidus intégraux 

l FMH^\ l F,{z)6{z) 

a — co a-t-co 

représentent les valeurs limites de l'intégrale 

b 

J f{x) 6 ix) àx\ 

SOUS condition, que pour toutes les valeurs de x entre x = a et x = h la. 

fonction 6 (x) reste finie et continue et que sa dérivée, dont l'ordre est égal 

au nombre des intégrales données 

b b b 

J f{x) dx, \ X f{x) dx, J x'' f{x) dx, 



— 440 — 

lie change pas de sigue. Si le nombre de ces intégrales est pair, ces valeurs 
spéciales de F{z) peuvent être déduites des formules (3) et (4) eu supposant 
t; = &, ou bien v égal à une racine quelconque de l'équation ^^(a;) = 0. 
Si au contraire le nombre des intégrales données 

b b b 

J f{x) dx, \ X f{x) dx, [ x^"" f{x) dx, 

a a a 

est impair, les fractions F^{z) et F^{z) peuvent être déduites des formules 
(3) et (6) en supposant v=:a, v = b. 

A l'aide des fractions, déterminées par les formules (3), (4), (6), (7) 
on peut aussi trouver les valeurs limites de l'intégrale 

V 

\f{x)dx 

u 

quelles que soient k, v pourvu seulement, que dans les intégrales données 
l'une des limites soit égale à =t oo. 



28. 

QUI DONNfiHT 

DES VALEURS APPROCHÉES DES ÎNTÈGRALES. 

(TKADUIX PAH ï. LYOJVf.) 



(Lu le IS novembre 1886.) 



3ocmaêjijiKîiiux'è npuS.iiiojccHHUji éc.îuzuuu unmczpaAoê'h. 



(npHjioacenie kb LV-My TOMy Sanucoirb IlMiiepaTopcKOH AKa^eiiin HayKi,, JVa 2, 1887 r 
Acta mathematica. T. XII, 1888—1889, p. 287—322.) 



Sur les résidus Intégraux qui donnent des va- 
leurs approchées des Intégrales. 



§ 1. Dans un Mémoire sur la représentation des valeurs limites des 
intégrales par des résidus intégraux, communiqué à l'Académie des sciences 
le 8 octobre 1885 *), nous avons montré comment, d'après les valeurs 
données de 2m intégrales 

b I) b 

\fix)dx, \xf(x)dx, \x'''''-'f{x)dx, 

a a a 

ou peut trouver les limites les plus étroites de la valeur de l'intégrale 

V 

\ f{x)dx, 

a 

si la fonction inconnue f(x) reste positive pour toutes les valeurs réelles 
de X entre x = a et x^h, et si la valeur de v est comprise entre a 
et h. Ces limites, comme nous avons vu, sont données par les formules 
suivantes: 

\f{x)dx<lF{^), 



(1) 



\fix)dx>lFiz). 



*) T. II, p. 421—440. 



.444- 



où w est une quantité positive infiniment petite, et F{z) une fonction ration- 
nelle qui s'obtient facilement en développant l'expression 



f f{x) dx j xf{x) dx J 



x-i^-if{x)dx 



en fraction continue 



En effet, en posant 









^m—i^-^^m—x 



elle est donnée par les formules 



Fiz) = — ^ 1 



(2) 



«2^ -+- ^2 



"■wî* -*" f^m 



»m« -+- Pm - 



2=ï(^-«')-^'. 



OÙ Y désigne la plus grande des deux quantités 

a — f L ^'mC») 'l'm(^) J' 



En substituant à la fraction continue 



^m» -»- ^"«1 - 



la fraction ordinaire qui lui est égale 

■ 9m (^) 



P(2) — 'Pffl(^)-^— ?m— 1(^) . 



— 445- 
et en posant 



(3) 



on aura 

En portant cette valeur de la fonction F{z) dans les formules (1), nous 
trouvons 



\màx^L^y 



]màx^ L^ 



(^)' 



ou bien 



>o(g) 

V—(ù 



a a — w V 

a 

Or, les résidus intégraux 

où 0) désigne une quantité infiniment petite, s'étendent seulement sur les 
valeurs voisines de z = v; et comme cette valeur de s;, qui annule (Pj (z) en 
vertu de (2) et (3), coïncide avec l'une de leurs limites, la valeur commune 
de ces résidus sera 

et les dernières formules nous donnent 

a a—iù 

ï f(x)dx> / ^o(£)__J_^oi£). 
J / W^^= O 0^[z) 2 0\{v) 



— 446 — 

On voit par là que la différence entre le résidu intégral 

V 

ç. (Dq{x) 
a — 0) 

et l'intégrale 

\f{x)dx 

a 

est au plus égale à la fraction 

-4- 1 <^0 (^) 

2 (I>\{v) 

C'est la plus grande approximation avec laquelle la valeur de l'intégrale 
peut être déterminée d'après les valeurs données de 2m intégrales 

h h h 

\f{x)dx, \xf{x)dx,...., \x^'^-'f{x)dx, 

a a a 

si par rapport à la fonction inconnue f{x) on sait seulement qu'elle reste 
positive pour les valeurs réelles de x entre x= a et ic =: 6. 
Nous allons maintenant étudier la fraction 

<^>o(p) 
<Z>i'(») 

et quelques formules qui peuvent nous conduire à la détermination de sa 
limite supérieure. Dans un cas particulier très remarquable nous trouvons 
par ces formules la limite supérieure de la fraction 

sous la forme d'une fonction du nombre des intégrales données 

b b h 

[ f{x) dx, [ X f{x) dx, 1 x^ f{x) dx, , 

a a a 

et qui tend vers zéro quand ce nombre augmente indéfiniment. 

§ 2. Nous profiterons ici de quelques résultats que nous avons obtenus 
dans notre Mémoire sur les fractions continues *). Dans ce Mémoire nous 
nous sommes occupé de la fraction continue 



ai^-i-[i, - 



♦) T. I, p. 203—230. 



— 447 — 
qu'on obtient en développant la somme 

.^z — Xi 2 — Xq z — Xi • • • • s — Xn^ 

OÙ les quantités 

^05 ^1? ^2' • • • -^w 

sont toutes réelles et distinctes, et 

sont des quantités positives quelconques. En désignant par 

?o(g) Ojjf) 92 (g) 
^o(^)' 4'i(^)' 'J'aC^)' 

les réduites de la fraction continue, nous trouvons, en vertu des formules 
démontrées dans ce mémoire, les égalités suivantes: 

qui montrent que les coefficients 

«1, «2. ^35 

sont tous positifs. Il résulte de là que les premières termes des fonctions 

9oi^), ?l(4 ?2(4 » 

ordonnées suivant les puissances décroisantes de 2, auront des coefficients 
positifs. 

D'autre part, comme nous avons vu dans ce même Mémoire, pour 
toute fonction entière f^ {2) d'un degré inférieur à {jt, on doit avoir l'équa- 
tion 

(4) y,fo(^i)'^^i^d^'(^i)=^' 

De cette équation nous allons déduire quelques propriétés des fonctions 

'hi^l 'li(^)? '|2(^) ' 

dont nous nous servirons après. Pour cela nous remarquons que la dernière 
réduite 



— 448 — 
doit donner la valeur exacte de la somme 

OHxq) ^ e^x,) ^ , OHXr,) 

et son dénominateur 4'n-+-i('^) sera une fonction entière du degré (n-t-l) de 
la forme 

OÙ C désigne un coefficient constant. L'expression 

sera donc une fonction entière du degré {n — 1), et d'après (6) on devra 
avoir l'équation 

ji;j{xi — xy){Xi — xi_^^i) ^ t' 

qui se réduit en vertu de (7) à l'égalité 

d'oîi nous déduisons 
Or, les racines 

3/0 7 ^1 î • • • • ^X ' "^X-*-! ' • • • • *^r» 

sont toutes réelles et distinctes, et en les supposant disposées dans l'ordre 
de leurs grandeurs on voit que la dérivée 

aura des signes contraires pour les deux racines consécutives x^ et Xy^_^_^, et 
par conséquent la fonction 

4'„W 

aura aussi des signes opposés pour 

c'est à dire entre deux racines consécutives quelconques de l'équation 

on aura au moins une racine de l'équation 



— 449 — 
On voit par là que les n racines de l'équatiou 

>!'„« = 

seront toutes réelles, distinctes et situées respectivement dans les n interval- 
les des (w -H 1) racines de l'équation 

En désignant par 

les racines de l'équation 

disposées dans l'ordre de leurs grandeurs, on aura la série de grandeurs 
croissantes 

X,, X,, X,, x\,. . . .x^, x\, x^_^^, x\^^. . . .<_^, x^. 
§ 3. Les n racines 
de l'équation 

étant inégales, la décomposition de la réduite 
en fractions simples nous donnera la somme 

(n\ <Pn(g) 'fni^'o) 1 , fni^i) 1 , 9n (a? n— i) 1 

OÙ, comme il est facile de voir, les facteurs 

q>n (a?'o) 9n {x\) <9n (^ n— i) 

sont tous positifs. 

En effet, les fonctions 

des réduites 

9n-i-i (^) 9n(^) 

sont liées par la relation 

?«-Hi W ^n W — ?n (^) ^^«-4-1 W = 1 • 



— 450 — 
En divisant les deux membres de cette égalité par 



'l^n-t-i (^) "^n (g) 

et en y faisant 

nous trouvons l'égalité 

9n i^'y) l 

Pour déterminer à l'aide de cette égalité le signe de la fraction 

?n (^ p.) 

nous remarquons d'abord que le produit 

sera positif pour ^ =: cx^, puisque les premiers termes des fonctions i]; (<?), 
ordonnées par rapport aux puissances décroissantes de ^, ont des coefficients 
positifs (§ 2). 

Si maintenant on passe de ^ = cxd à la plus grande racine z = x ^_^ 
de l'équation 

+„(^) = 0, 

la fonction 4^,j_^j(^) changera son signe en passant par sa racine ^ = a;^, 
tandis que la dérivée ^'„(^) n'ayant pas de racine entre z=x^_^ et ^ = 00 
conservera son signe. Le produit 

sera donc négatif pour 2 = x'^_^^ et il est facile de voir qu'il conservera sa 
valeur négative pour toutes les racines 



a;'o, x\, X x\ 



fi' '^fx-^i'- 



. . .X, 



de l'équation 

car, d'après le § 2, entre deux racines consécutives de l'équation 

on trouvera toujours une racine pour chacune des équations 



— 451 — 
et 

eu vertu de quoi le produit doit avoir le même signe pour toutes les ra- 
cines de l'équation 

Ainsi, le produit 
sera négatif pour les valeurs 

et la fraction 

9n i^' y.) 

sera positive pour {x = 0, 1, 2, . . ., n — 1. 
Posons 

et la somme (6) prendra la forme 



K («) z — ^'o ^ — ^'i 



, ^vH^'n-x) 



Ainsi, connaissant la décomposition de la réduite 

?n-4-i (g) 

en une somme de fractions simples de la forme 

s —Xq z — Xy • • • • z — Xn 

OÙ les x^ sont toutes des quantités réelles et distinctes, et les 0^ {x^ des 
quantités positives quelconques, on pourra aussi décomposer la réduite 

en une somme de la même forme 

^ — a;'o ^ — a;'i ' * ' * 5; — x'n—x ' 

dans laquelle les quantités x sont aussi toutes réelles et distinctes, et les 
ol {x^ des quantités positives. De plus, les quantités x. et x^ dans l'ordre 
de leurs grandeurs formeront, comme on a vu, la série suivante: 

^0' ^OJ ^15 ^i)''''^X' ^À' ^Xh-1' ^X-4-1' • • '^n— 1' ^«' 



— 452 — 
En passant de même de la décomposition de la réduite 

On (g) 

à la décomposition de la réduite 

et ainsi de suite, nous trouvons pour chacune d'elles une décomposition de 
la forme 

<\il{e) z — Zq z — By ' ' ' ' z — zi_^ 

OÙ les racines z^, ^i, . . . , ei_^ de l'équation 

sont toutes réelles et distinctes, et les 0^^ {z) des quantités positives. • 
De plus, en désignant par 

les racines de l'équation 

et en les disposant avec celles de 

par l'ordre de leurs grandeurs croissantes, nous trouvons la série 

dont les termes sont tous compris entre Xq et x^. 

§ 4. Revenons à la fraction continue 

1 



que l'on obtient en développant l'expression 

h h 



\ f{x)dx \ xf (x) dx [ 0:2"»— i / («) dx 



en fraction continue et en s'arrétant à la w'*"*' réduite. 



— 453 — 
Cette expression ne diffère de l'intégrale 

a 

que par les termes 

6 b 

[ a;2^»/ {x) dx [ x"^^-*-^ f (x) dx 



et comme ces termes n'ont aucune influence sur les m premiers dénomina- 
teurs de la fraction continue 



«■m'^ -»- \^m ~ 



nous pouvons, en nous bornant aux m premiers termes, la regarder comme 
provenant du développement de l'intégrale 





[ /w 



dx. 

— x 



Or, cette intégrale, où, par hypothèse, la fonction f{x) reste positive pour 
les valeurs de x entre a et &, peut être regardée comme la limite de la 
somme 






dans laquelle les quantités x. désignent une série de grandeurs croissantes 
de iCo = a à a?^ = &, et les ô^ (x.) des quantités positives choisies conformé- 
ment aux valeurs correspondantes de f{x); et nous en concluons, d'après le 
§ 2, que les coefficients aj, ag, . . . , a^ de la fraction continue 



«2«-*-p2 



provenant du développement de l'expression 

b h 6 

J / {x) dx [ xf (x) dx [ a;2«— 1 f(x) dx 

a a a 

; 1 -ô ^-. . . .H :2m » 



— 454 — 

auront des valeurs positives, définies par les formules 
1 1 



J ^^^0 i^) /(^) àx J '\>\ (x) f{x) dx J <];2^_i {x)fix)dx 

a a a 

et que les dénominateurs ^^ {s) et ^„_i {z) des réduites 

9OT(g) <Pm-i (g) 

auront toutes leurs racines réelles, distinctes et comprises entre a et h. 
De plus, en désignant par 

les racines des équations 

dans l'ordre de leurs grandeurs, on devra avoir la série suivante de gran- 
deurs croissantes: 

^05 ^05 ^15 ^i'-''^x^ ^X' ^X-4-1 ' • • • • -^ m— 2 ' ^m—i' 

Tout ceci doit avoir lieu, bien entendu, si les intégrales 

h h b 

\ f(x)dx, \xfix)dx, \ x''^-'f{x)dx 

a a a 

peuvent prendre des valeurs données pour f{x) positive entre 
x = a, x = h. 
§ 5. Nous venons de voir que, si les valeurs données des intégrales 



dx 



] fix)dx, ]xf(x)dx,.,.. ^x'^^-'fix) 

a a a 

sont possibles pour f{x) positive entre a et 6, l'équation 

déterminée par ces valeurs ne peut pas avoir des racines hors des limites a 
et 6. 

Deux cas peuvent donc se présenter: 1) aucune des racines de l'équation 



— 455 — 

n'atteint ni la limite a, ni la limite &, et 2) l'une des limites aeth ou toutes 
les deux annulent la fonction ^^(e). Nous allons d'abord examiner le second 
cas qui d'ailleurs se présente très rarement. 
En regardant l'intégrale 

b 



J 



Z — X 



comme la limite de la somme 



1 1— .... H ? 

z — Xq z — rCj z — x^ 

OÙ l'on a iCo = ^5 ^„ = ^) 6t en remarquant que, d'après le § 2, le dénomi- 
nateur de la dernière réduite 

9n-f-i (^) ^ 

égale à cette somme, est le seul qui peut s'annuler pour 3=^%^ = a et 
z^=x^ =h, nous en concluons que, dans le cas considéré, la somme 

z — Xq z — Xi • • • • z — Xn 

et par conséquent l'intégrale 

6 



J 



z — X 



doivent être égales à la réduite 

9m_(£). 

Or, cette fraction se décompose en une somme de fractions simples de la 
forme 

^7w (^) 'l^'wî (^o) ^ — ^0 Vm ih) 2 — ^1 ' ' ' ' ¥m i^m—i) ^ — ^m—i 

et pour que cette somme puisse être égale à l'intégrale 
& 



J 



z — X 



il faut que la fonction f{x) s'annule pour toutes les valeurs de x comprises 
entre a et h, qui ne sont pas dans le voisinage de 



— 456 — 
et que pour les valeurs de x infiniment voisines de 

elle ait des valeurs telles que les intégrales 

\f{x)dx, \f{x)dx,.... \mdx 
se ramènent, lorsque ca devient nulle, aux valeurs 

^ m (^^o) ' Vm (^i) " ' "Vm i^m—i)' 

Avec une telle fonction f(x) l'intégrale 

V 

lfix)dx 

a 

se ramène au résidu intégral 

V 

a — (0 

pour toutes les valeurs de v entre les limites a et h, différentes de 

Quant aux valeurs de 
on voit q ue pour ces valeurs de v l'intégrale 

V 

\f{x)dx 

a 

reçoit des accroissements brusques, égaux respectivement à 

et par conséquent pour 

sa valeur ne peut pas être complètement déterminée. 

§ 6. Passons au cas général lorsque ni a, ni & ne satisfont pas à l'équa- 
tion 



— 457 — 



Nous allons d'abord montrer que la quantité y qui figure dans nos formu- 
les est une quantité positive. 

En effet, d'après le § 1 on doit avoir les inégalités 



y -> ^ pm— 1 («) '\>m—i{v) l 

1 ^b-vl ^,„,(b) ^„,{v) J- 



En les multipliant respectivement par les quantités positives V' — a, h — v 
et en les ajoutant ensuite membre à membre, nous trouvons l'inégalité 

^^^ "^^^ ^m(b) 4W^' 

Or, les termes les plus élevés dans les fonctions tj;^_j (^), '\i^ (s) ayant des 
coefficients positifs, on devra avoir 

'j^Wt-l (- OO) ^ r. 

et comme toutes les racines des équations 

sont plus grandes que a et plus petites que b, on aura aussi 



en vertu de quoi l'inégalité précédente nous donne 

y{b — a)>0, 
d'où 

T>0. 

La quantité y, comme on a vu dans le § 1 , sert à déterminer la fonction 
^li^) qui, en vertu de (2) et (3), sera donnée par la formule 

dans laquelle, comme on vient de le voir, la quantité y est positive; et 
comme de plus les termes les plus élevés dans les fonctions 



— 458 — 
ont des coefficients positifs, cette formule nous donnera 

où le signe supérieur correspond au cas de m pair et le signe inférieur au 
cas de m impair. Si maintenant on fait dans cette formule 

on aura, d'après le § 4, 

^« {^r,^-^) = ^^ ^m K-^) = 0, • • • • 4^« W = 0, 

de sorte que pour la fonction 0^ (s) nous trouvons 

*, (^„_,) - -, 'p. K.-^) = H-, ....<?, W = ±. 

On voit par là que les w -4- 1 racines de l'équation 

sont toutes réelles, distinctes et séparées par les m racines de l'équation 

§ 7. En désignant par 

Wo > Cl , . • • . 4^ 
les racines de l'équation 

nous trouvons pour la fraction 

la décomposition suivante en fractions simples: 

<Po(^)._ (Po(Co) 1 (Po((:i) 1 0o{^m) 1 

OÙ, comme il est facile de voir, les facteurs 

(Po(Co) (Po(Ci) <Po(Cm) 

<Z>'i(Ci)' <Z>'i(C,)' <^'i(Cm) 

sont tous positifs. En effet, des formules (3) on déduit facilement l'égalité 

^0 (^) ^m W - ^1 (^) ?m (^) = ?« (^) 4^m_i (^) " ?m-i (^) 4^« W' 

Comme le second membre, d'après une propriété bien connue des réduites, 
est égal à l'unité, nous aurons l'égalité 

^o(^)+,n(^)-^l(^)?m(^)=l- 



— 459 — 
En divisant les deux membres de cette égalité par 

et en y faisant 

nous trouvons l'égalité 



Pour déterminer à l'aide de cette égalité le signe de la fraction 

nous remarquons d'abord que le produit 

sera positif pour z = oo, puisque les termes les plus élevés dans les fonc- 
tions 

^^{z) et 0\{z) 

ont des coefficients positifs; et comme les racines des équations 

et 

0\{z) = O 

sont toutes plus petites que la plus grande racine ^^ de l'équation 

0,{Z) = O 

(§ 6), on voit que ce produit sera aussi positif pour ^ = C^. 

Il est facile de voir que le produit conservera ce signe -h pour toutes 
les racines 

^50 5 ^1? • • • • ^m 

de l'équation 

^,(.) = 0; 

car entre deux racines consécutives quelconques de l'équation 

0^{z) = O 
chacune des équations 

•K(^) = et 0\{Z):=O 



— 460 — 

aura toujours une racine seulement (§ 6), en vertu de quoi le produit aura 
le même signe pour toutes les racines 

Z^=X^^ ^ ? 4 5 • • • • ^X » • • • • ''m ' 

de l'équation 

On aura donc bien 



<^o(Ct )^0 



pour les valeurs de i= 0, 1, 2,. 
Ainsi, la fraction 






qui, comme on a vu dans le § 1, est égale à la fraction continue 

1 



a2«-»-&2 . 1 

se ramène à la somme 

dans laquelle les quantités X,. sont toutes réelles et distinctes, et les 

<go(Ct) 

des quantités positives. 

Comme cette somme ne diffère que par les notations de la somme 

—^ 1 ^ 1— .... H -^ ) 

que nous avons étudiée dans le mémoire précité sur les fractions 
on trouve, d'après la formule donnée à la fin du § 5 de ce Mémoire, l'éga- 
lité suivante: 



2v(«^ 2v«.-'^ ■■■■ I^^-^-'It 



OqU ' 



Or, d'après ce que nous avons dit dans le § 2, on a 
en vertu de quoi l'égalité précédente peut s'écrire 



— 461 — 
d'où l'on tire la formule 



^\ (C,-) 



Sv-^i'^^viw 



(fi. = 0, 1,2, 



dans laquelle le dernier coefficient a^_^j sera égal à y, coefficient de z dans 
le dernier dénominateur Z. 

Ainsi pour toutes les racines 

^ = Co ? Cl , . . . , ^„ 
de l'équation 

on aura 

<go(^) ^ 1 

et comme, en vertu de (2) et (3), z = v annule la fonction O^ {z)^ on obtient 
la formule 

<PoW ^ 1 

<P'i (») «1 W {^) H- «2 4^iM«) -*-• • • -*- a„i ¥m—i (») -t- T *^OT W* 

§ 8. Dans le § 1 nous avons montré que les limites de la difî'éreuce 
entre l'intégrale 

V 

\f{x)dx 

a 

et le résidu intégral 

V 

a— (s) 

sont données par 

2 (P'i (î;) ' 2 (Z)', (r) ' 

et l'on voit d'après la valeur trouvée de la fraction 

que le degré d'approximation avec laquelle le résidu intégral 

V 

p <^o(a?) 
O 0^ {z) 
a — 0) 

donne la valeur de l'intégrale 



\mdi 



^x 



— 462 — 
sera déterminé par la fraction 

^"^^ Y ■ a, ^0^ (f) -t- a^ ^i2 (r) -H . . . . -t- a„ -J>2^_i (v) -*- y i>\i {v) ' 

dans laquelle la quantité y seule dépend des limites a, h des intégrales 
considérées. 

Cette fraction augmente lorsque y diminue, et elle diminue lorsque 
Y augmente. Comme la valeur de y qui est toujours positive sera nulle 
pour a = — oo, h = oo, et deviendra infiniment grande pour ^J;^ (a) = 
ou '\^^{b) = (§§ 1 et 6), on voit que la différence entre l'intégrale 

V 

\fix)dx 

a 

et le résidu intégral 

V 

^ <Z>x(») 

tendra vers zéro si a ou 6 s'approche indéfiniment de la valeur d'une racine 
de '^^ (z) et si v n'est pas racine de cette fonction, ce qui est bien conforme 
aux résultats auxquels nous sommes arrivés dans le § 5. 

La limite (7) de cette différence atteindra au contraire sa plus grande 
valeur pour a = — oc, 6 = cxd et ce réduira pour ces valeurs des limites a, 
6 à la fraction 

i_ 1 

2 ' ai ^o' {V) ■+- «2 ^1» {v) -*-.... H- a„ ^2„_i {v)' 

Il est facile de voir que la valeur de cette fraction diminue lorsque le nom- 
bre 7)1 augmente, et qu'elle deviendra nulle pour m = cx), si la série 

«1 *o' i^) -*- «2 ^^l' i^) -^ «3 W i^)-^ 

est divergente. Cette fraction dépend évidemment de v aussi, et par consé- 
quent, selon la valeur de v, le résidu intégral 

V 

donnera la valeur de l'intégrale 

V 

\fix)dx 



— 463 — 

avec une approximation plus ou moins grande. Il est cependant facile de 
montrer que pour certaines valeurs de v la valeur de la fraction 



2 ai ^o' {v) H- «2 v|;i2 (t;) H-. . . .-*- a^ ^■^^_^ [v) ' 

et par conséquent aussi la valeur de la fraction (7) dont elle est la limite 
supérieure, sera plus petite que 

h 
a 

En effet, en désignant par D la plus grande valeur du dénominateur 

a, V iv) -*- a, ']^,' (^;) -H . . . . -^ a„ f ^„_^ {v) 
pour a < v < 6, nous trouvons l'inégalité 

h h 

et comme d'après les formules 

6 b & 

\'}^,\x)f(x)dx = ^^ \^,'(x)f{x)dx = ^^.^. • . li\_^ix)f{x)dx = ^, 

a a a 

le premier membre de cette inégalité se réduit à m, ou aura l'inégalité 

b 
m < D I f{x) dx 



ou bien 

5 
1 ^ 1 
2D 



<ÀiM^='- 



On voit par là que ^^ qui, conformément à notre notation, représente la plus 



' 2D 

petite valeur de la fraction 



1 1 



2 ai ^0^ (V) -f- «2 <|>i=^ (r) -+- . . . . H- a„j vJ^S„_i (v) 

pour les valeurs de v comprises entre a et h, sera plus petite que 

& 

2m . 



èf,if(^)^^- 



— 464-- 
Donc, quelles que soient les limites a et b, la différence entre l'intégrale 

V 

\f{x)dx 

a 

et le résidu intégral 

V 

a — 0) 

ne peut pas surpasser la valeur de la fraction 
1 1 



2 ai <î;o2 {V) -+- a^ ^i^ {v)-^....-*~ a^ ^2^ (r)' 

ou bien de la fraction 



[ 4>o' (a;)/ (a;) aa; J ^^^ {x)f{x) dx J ^^_x2(x)/(a;)da; 



qu'on obtient en remplaçant les coefficients a par leurs valeurs tirées des 
formules 

6 5 6 

a a a 

Les fonctions 
sont déterminées, comme on a vu, à l'aide du développement de l'intégrale 

h 



J Z — X ' 



en fraction continue de la forme 

1 



aj^ -4- 32 - 



Et comme la valeur de la fraction 



2 Wi^) . 4>iM«) ^nt-i"(g) 



— 465-— 

ne change pas lorsqu'on multiplie les fonctions ^ par des facteurs constants 
quelconques, nous pouvons y prendre pour les fonctions 

'l'o(^). i'A^), 'l'^-C^). 

les fonctions que l'on obtient en développant l'intégrale 

J z—x ' 
a 

en fraction continue de la forme 



les p étant des quantités constantes quelconques; car le changement des 
quantités p^, pg,. . . équivaut, comme il est facile de le voir, à l'introduc- 
tion de facteurs constants dans ces fonctions. 

Nous venons de montrer comment on détermine les limites de la 
différence entre l'intégrale 

V 

lf{x)dx 

a 

et le résidu intégral 

V 

a— 0) 

dans le cas où l'on donne les 2m intégrales 

& b 6 

l f{x)dx, ^xf(x)dx, ^ x''"'-'f{x)dx 

a a a 

et si l'on sait que la fonction inconnue f{x) reste positive pour les valeurs 
de X entre aetb. 

Il est facile d'en déduire les limites de la différence entre les intégrales 

V 

\f{x)dx 

a 

et 

V 

\f,ix)dx, 



— 466 — 
si l'on a les égalités 

h b h b h h 

\f{x) dx=:\f, (X) dx, \X f(x) dx=jxf, (X) dx...., ^x'""' f(x) dx=\x'''^^' f,{x) dx, 
a a a a a a 

et si la fonction f^{x) reste aussi positive pour les valeurs de x entre 
37 = a, x = h. En effet, dans ce cas on aura les mêmes résidus intégraux et 
les mêmes limites des différences entre les intégrales et les résidus intégraux, 
et par conséquent la différence entre les intégrales 

\ax)dx,\f,{x)dx 

a a 

ne pourra pas surpasser le double de la limite de la différence entre chacune 
de ces intégrales et le résidu intégral 

V 

a — (1) 

Donc, si les égalités 

6 6 5 6 6 6 

\f{x) dx=\f^{x) dx, \xf{x) dx=\xf^{x) dx,.... ^x^""'' f{x) dx=\(â"'-'' /; {x) dx 

a a a a a a 

ont lieu pour deux fonctions 

qui restent positives pour les valeurs de x entre a et &, la différence entre 
les intégrales 

V V 

\f{x)dx,\f,{x)dx, 

a a 

ne pourra pas surpasser la valeur de la fraction 

(^) ai V (") -*- «2 4'i* (v)-i-....-t- a^ 4^2„_i (v)' 

quelles que soient les limites a et h. 

§ 9. Comme exemple de l'application de nos formules nous allons 
maintenant considérer le cas où l'on a 

a = — oo, b = -*-oo 



— 467 — 
et 

Dans ce cas, comme on va le voir, la limite supérieure de la fraction (8) 
pourra être déterminée quelle que soit la valeur de v^ et il en résulte un 
théorème qui peut avoir des applications utiles dans la Théorie des Proba- 
bilités. 

D'après les formules données dans notre Mémoire Sur le développe- 
ment des fondions à une seule variable *), dans lequel nous avons étudié le 
développemment de l'intégrale 

-♦-oo _ 



\^. 



du 



en fraction continue et les réduites 

^oi^y 'j'i(a:)' ^zc^y ' 

nous trouvons que, dans le cas que nous considérons maintenant, les fonc- 
tions 

I.W, U^), laW 

pourront être représentées par la formule 

et qu'on pourra les calculer successivement à l'aide de la formule 

(9) ^i{^) = -^i:^,_A^)-{l- 1)2^^,_,W 

et l'égalité 

D'autre part nous trouvons d'après ce même mémoire la formule 

Jj^e ^<\?,(,x)dx = l. 2.3. ...l.q". 



*) T. I, p. 601—608. 



— 468 ~ 

En vertu de cette formule la fraction (8) qui détermine la limite de la 
différence entre les intégrales 



l f{x)dx, \ f,ix)dx 



se ramène pour le cas que nous examinons à la fraction 

1 

^0 ^*^^ 1.32 •• 1.2....(m-l)32'"-2 

dans laquelle les fonctions ^(v) seront déterminées par (9). 

Pour déterminer la limite supérieure de cette fraction nous cherche- 
rons la limite inférieure de son dénominateur 

1 ~*~ 1.32 ~^* •••"*"!. 2. ...(m — 1)32»»— 2* 

En posant 

(1^) r(i-^i)32«— ^f 

nous remarquons que ce dénominateur est égal à la somme 

Pour trouver la limite inférieure de cette somme nous allons d'abord déter- 
miner la fonction (t) définie par 

où t désigne une variable quelconque. 

§ 10. Pour déterminer la .fonction; ^ (^) nous remarquons que d'après 
(9) on aura 

et 

4^/_, (v) = — q'v ^,_^ (v) — {1-2) çt +,_3 i^\ 
d'où l'on tire 

^^{v) = q'v^\_^ {v)^2 {l - l)q'v^^_^ mi_,{v) -^ {l — lfq^>i^^^_^(v), 
{l - 2r 2* ^\_^ (v) = f ,_^ (v) -^2q'v ^,__^ (V) '^,_, (v) -f- 2* V' f ,_, (v), 

et en éliminant entre ces deux équations le produit 



— 469 — 
nous trouvons la relation 

-(Z-l)î«tft,»-i-+-l)f,_Jt,). 
Si maintenant on y remplace les fonctions 

4-/^, V,^M V,-,H V,-,i^) 

par leurs valeurs tirées de (10), on aura l'équation 

Multiplions tous les termes par t^ et faisons la somme pour toutes les va- 



leurs de ^, de ^ = à Z = oo; nous aurons alors l'ég 

co oo oo oo 



En remarquant que d'après (10) on a 

T_, = 0, T_,= 0, T_3 = 0, 
nous trouvons 

oo oo 



oo oo 



oo oo 





J-+-3 



en vertu de quoi l'égalité précédente se ramène à l'égalité 





l'on déduit 



i on a 





d'où l'on déduit 





Comme d'après notre notation on a 



— 470 — 
et par conséquent 



cette égalité se réduit à l'équation différentielle 
qui, intégrée, donne 

La constante d'intégration G se trouve facilement en remarquant que 
la fonction 6 (t) se réduit pour t = à Tq = ^1(v)=1. 

De sorte que l'on aura 

0=1, 
et par conséquent 

oo l-t-t 



§11. D'après l'expression trouvée de la somme 

oo 


où t désigne une quantité variable, la limite inférieure de la somme 



pourra être déterminée à l'aide des formules données dans notre mémoire 
mentionné plus haut Sur la représentation des valeurs limites des intégrales 
par des résidus intégraux. Pour appliquer les formules, données dans ce 
mémoire pour des intégrales, aux sommes 



nous allons les présenter sous la forme des intégrales 

oo »»— 1 

J Yt^'dx, \ Y fax, 





— 471 — 

en désignant par T une fonction de x qui s'annule pour toutes les valeurs 
de X qui ne sont pas dans le voisinage de 

x = 0, 1, 2, 3,...., 
et qui pour les valeurs de x infiniment voisines de 

x = 0, 1, 2, 3,.... 
a des valeurs telles que les intégrales 

o) 1 2 

1 Ydx, I Ydx, J Ydx,..., 

1—0) 2—0) 

tendent respectivement vers les valeurs 
T T T 

■^05 -^IJ -^2» • • • • 

lorsque w tend vers zéro. 

Pour une fonction Z ainsi déterminée on aura évidemment 

oo oo 



et 

m— 1 

\ Yfdx = T,-^T,t-i-....-^T^_J 



m — 1 



Comme la fonction Yf ne devient pas négative entre les limites et oo, 
les valeurs limites de l'intégrale 

V 

J Yfdx 



d'après les valeurs des trois intégrales 

J Yfdx, j xYfdx, \x^Yfdx 



seront déterminées par les formules données dans les §§ 6 et 7 de notre 
Mémoire mentionné plus haut. 
En faisant dans ces formules 

a = 0, h = cxD, 



— 472 — 
nous trouvons que pour 

oo 

r a;2 Tf^ dx 



r X Yt^dx 




la limite inférieure de la valeur de l'intégrale 

V 

J Yfdx 



sera 

fïxYt^dx\ 

rrfdx-^ L 

J oo 

° ïx^Yt^dx 



En remarquant que d'après l'égalité 

oo 

J Yfdx = â(t), 



on aura 

oo 

^ xYfdx = tâ'{t), 



oo 

J x^ Yf dx = f 6" (t) -+- 1 d (t), 



nous en déduisons l'inégalité 



En prenant ici pour t une racine quelconque de l'équation 

(11) m = -^-^2, 

nous trouvons l'inégalité 

Wl-l 

r Yfdx>ûit\—-^^^^^^. 



— 473 — 
Comme d'après les propriétés de la fonction Y on aura 

m — 1 


l'inégalité précédente se réduit à celle-ci: 

qui doit avoir lieu pour toutes les valeurs de t satisfaisant à (11). 

Donc, en se bornant aux valeurs de t comprises entre et 1 et remar- 
quant que pour ces valeurs de t on aura 

T,_^T,^-f-. .. .-t- T^_^r-^ < To-i-T, -*-... .-4- T„^_^, 

on devra avoir l'inégalité 

d'après laquelle nous pouvons trouver une limite inférieure de la somme 

s„_, = 2;-Hr,-4-....-»-î;_„ 

en prenant pour t une racine de (11) comprise entre et 1. 

§ 12. En portant les valeurs de â'{t), 6" {t) tirées de § 10, on trouve 

(12) m-l= \-\_, \ '^' ^ 

et 

La dernière inégalité nous donne la limite inférieure de la somme 



en fonction de la racine ^ de (12) comprise entre et 1. 

Il est facile de voir que pour m > 1 , comme nous le supposons tou- 
jours, l'équation (12) admettra bien une racine entre et 1; mais la déter- 
mination exacte de cette racine est très difficile. 

Comme il ne s'agit ici que de trouver une quantité qui reste constam- 



— 474 — 



ment plus petite que ^ T., nous pouvons y arriver sans résoudre l'équa- 



tion(12). 

Pour cela nous tirons de (12) la valeur de V m — 1 et nous divisons 
par elle l'inégalité (13), ce qui nous donne une inégalité qu'on peut mettre 
sous la forme 






-^ m—l 



:^=i. "*> ^ t: • 



> 



L(-^«-f -A^^'-\ 



En remarquant que la valeur de t dans cette inégalité doit être plus grande 
que zéro et plus petite que l'unité, nous trouvons 

e >1, 



t 



M-H 



<i; 



en vertu de quoi l'inégalité précédente nous donne 
(14) 



Sm-x .^ (g»t^'-f-l)-3 



Vm—l ' 



V-2 



2 1)2^ 



-1 3^ 

2 



Passant à la détermination d'une limite inférieure de 

t- 
nous remarquons que l'équation (12) peut s'écrire 



.'-^'2'.» 



(m— 1)(1 — = <''H-^i^2''f'- '*' 



'*\~ii"" 



Comme t est comprise entre et 1, tous les termes seront positifs et l'on 
aura 

irn—l) (1— ^2)>^^ 



— 475 — 

d'où l'on déduit 

m(l— ^«)>1, 
ce qui donne 

et par conséquent 

D'autre part, en cherchant les maxima des fonctions 

pour < ^ < 1 , nous trouvons qu'ils s'obtiennent pour 

^ = y2'-~l, ^=1 
et qu'ils sont respectivement égaux à 

3 — Vs, 2, 
en vertu de quoi l'équation précédente nous donne 

(m— 1) (1 - ^2j ^ ^3 _^. 2 _H (3 — y 8) q'v^; 

d'où l'on déduit 

m (1—^2) < 3 -t-(3 — VS) q'v^ 
et 

l — t<: 3-*-(3--/'8)g^p2 

^ m ' 

ce qui donne 

^-^ l 3-H(3 — V'8)g2pg 

m 

Ainsi, nous trouvons que 

v^^ 1 _ 3-t-(3-/8)g2«;2 1 

^^•^ ^^ ' ^—^>2^ 

et l'on aura par conséquent 

2 ^ ^ m m ^ ^ m 

de sorte que l'inégalité (14), en y remplaçant 



— 476 — 
nous donnera 

Sm-x ^ 2 (m -3)3 1 

OU bien 

S > 2 (m — 3)» y OT — 1 1 

^~' 3 y-3K- 2m -^3^(5'^^ -*-!)'* 

En remarquant que, conformément à notre notation, on a 

'^m— 1 — -^o~*"^i~*" -*-^m—i — —ï--^ l.q^ ~*~1.2...(»n-l)32"t-2' 

nous en concluons que la fraction 

1 



sera plus petite que 

3 i/l (m2 — 2m -h- 3)^ (g' t>2 -t- 1)3 
2 (m — 3)3 Vm — 1 

Comme d'après le § 9 cette fraction donne les limites de la différence des 
intégrales 



si l'on a les égalités 



f _2!^ f 

— OO — CX) 

-+■00 



J 



fl2a;2 



a;/;(aj)^a;=) -|=a;e ^ dx, 



y 27: 
— 00 



— 00 — 00 

— 00 — CX) 



— 477 — 
la fonction f^{x) restant constamment positive, et comme on a 



V~2 



e ^ dx=\, 



J V2-K V-nJ ' J T/27C 

— oo — oo — oo 

-♦-oo „ „ -*-oo 

\-^xe ^ dx=0, \-^a^e ~^dx = \, 

— oo — c» 

-♦- oo -l-OO 

r q^x^ f q^x^ 



— OO 



nous en déduisons le théorème suivant: 

Théorème. 

Si la fonction f^ (x) reste constamment positive et si Von a 

-+-00 -4-0O -t-OO -t-OO 

^f,{x)dx = l, [xf,{x)dx = 0, {x'f,{x)dx = ^,. [x^f,{x)àx = Ç), 

— oo — oo — oo — oo 

-HOO -t-OO 

— oo — c» 

la valeur de V intégrale 

V 

\f,{x)dx 

— oo 

sera comprise entre les limites 



qv_ 

V'2 

-4 f e~^^ dx — ^^'^("^'^-^m-i-sHg't^'-^ip ^ 



V'2 



v,h 



. 3^ 3(m2—2OT-t- 3) Mg'f'-' -*-!)' . 



2{m-3fVm — l 

pour toutes les valeurs réelles de v. 



SUR DEUX THÉORèMES RELATIFS AUX 
PROBABÏLÎTÊS. 



(ÏKADUIX PAK I. LYO}yf.) 



(Lu le 10 mars 1887.) 



G déyoc/è mcopcMOCC^ omuocumcAtuo émpajimuocmcû. 



{IIpHaoaKeHie k-b LV-My TOMy SaxiHCOKi. IlMnepaTopcKofi AKa^eMia HayKi., Jô 6, 1887 r. 
Acta mathematica. T. XIV, 1890—1891, p. 305—316.) 



Sur deux théorèmes relatifs aux probabilités. 



§ 1. Dans un Mémoire, sous le titre: Des valeurs moyennes *)j nous 
avons montré comment on obtient des inégalités, d'où l'on déduit facilement 
un théorème sur les probabilités qui contient comme cas particuliers le 
théorème de Bernoulli et la loi des grands nombres. 

Ce théorème, nous l'avons formulé ainsi: 

Si les espérances mathématiques des quantités 

et de leurs carrés 



ne dépassent pas une limite finie quelconque, la probabilité que la différence 
entre la moyenne arithmétique d'un nombre n de ces quantités et la moyenne 
arithmétique de leurs espérances mathématiques sera moindre qu'une quan- 
tité donnée, se réduit à Vunité, lorsque n devient infini. 

Nous avons été conduit à ce résultat en cherchant à déterminer les 
valeurs limites d'une intégrale d'après les valeurs données des autres in- 
tégrales qui contiennent sous le signe J, outre les fonctions connues, une 
fonction inconnue, assujettie à la seule condition de ne pas devenir négative 
entre les limites d'intégration. En développant la méthode employée dans 
ces recherches nous arrivons, dans un cas particulier, au théorème suivant 
sur les intégrales **): 



♦) T. I, p. 687—694. 
**) T. II, p. 443-478. 



— 482 — 
Si la fonction f{x) reste constamment positive et si Von a 

\f{x)dx=l, \xf{x)dx=0, \x'f{x)dx=:^,. \x'f{x)dx=0, 



— OO '^ _oo 

la valeur de V intégrale 

V 

\fix)dx 

— OO 

sera comprise entre les limites 



qv 

V~2 




1 a:2 Ar 


31/3 (m2 — 2m -h 3)^ (g2 t?2 -4- l)» 


V iz 


2 (m — 3)3 /m — 1 


— OO 




V 2 




1 c— -^'(îa; 1 


3 V^ (m2 - 2m h-S)'^ (gî v2 -*-l)3 


Vtz 


2 (m — 3)3 Vm - 1 


— OO 





■ toutes les valeurs réelles de v. 

Nous allons montrer maintenant, comment ce théorème sur les inté- 
grales conduit à un théorème sur les probabilités, à l'aide duquel la déter- 
mination des valeurs les plus sûres des inconnues, quand on a un grand 
nombre d'équations qui contiennent des erreurs accidentelles plus ou moins 
considérables, se ramène à la méthode des moindres carrés. 

Ce théorème peut être ainsi formulé: 

Si les espérances mathématiques des quantités 

Wi, Ma, «<3, 

sont toutes nulles et si les espérances mathématiques de toutes leurs puis- 
sances ne dépassent pas une limite finie quelconque, la probabilité que la 
somme 

u^-^-u^-\-u^:+-, ...-+-w„, 

d''un nombre n de ces quantités^ divisée par la racine carrée de la double 



— 483 — 

somme des espérances mathématiques de leurs carrés, sera comprise entre 
deux limites quelconques t et t\ se réduit à 



4- e-^'^dx. 



lorsque le nombre n devient infini. 

§ 2. Pour démontrer ce théorème sous la forme la plus générale, nous 
prendrons — oo et -*- oo pour les limites entre lesquelles sont comprises 
toutes les valeurs possibles des quantités 

^U ^2î ^31 • • • • 

En désignant par 

9ii^)àx, ^^ix)dx, <^,{x)dx, 

les probabilités que les valeurs des quantités 

î«j, Wg? Wg, . . . . 

sont comprises entre les limites infiniment voisines 

X, x-i-dx, 
nous remarquons: 

1) que les fonctions 

?i(«), ?2W, ÇaH 

ne peuvent pas avoir des valeurs négatives; 

2) que les intégrales 

-+- oo -#-00 -+- oo 

[ ?, (Wi) au, , J* 92 (Ma) du^ , [ 93 (W3) dii^ , , 

— 00 — 00 — co 

qui représentent les probabilités que les quantités 

M,, M„ M3, 

auront des valeurs quelconques comprises entre les limites — 00 et -h 00, 
seront égales à l'unité; 

3) que les intégrales 

-4-00 -♦- 00 -f- 00 

J Wj 9j (Wj) du, , J* W2 9.3 (u^) du^ , J ^<3 93 (11^) du, , , 

— 00 — 00 — 00 

qui représentent les espérances mathématiques des quantités 

Mj, Ma, M3, , 

d'après notre hypothèse, doivent être nulles; 



— 484 — 
4) qu'eu général, toutes les quantités aS^^ définies par l'égalité 

-I- oo 
— oo 

qui représentent les espérances mathématiques des difî'érentes puissances 

des quantités 

Wj , U^ , i6g , . . . . 

seront, par hypothèse, comprises entre des limites finies. 
D'autre part, en désignant par 

f{x) dx 

la probabilité que la valeur de la fraction 



Vil 

sera comprise entre les limites infiniment voisines 

X, x-i- dx, 

nous remarquons que cette probabilité sera donnée par l'égalité 

f{x)dx=j JîpiK) cpgW ?„(w„) du^du^ dii^, 

dans laquelle l'intégration par rapport k u^, u^, . . . . u^ s'étend sur toutes 
les valeurs de ces quantités pour lesquelles la valeur de la fraction 



ne sort pas des limites infiniment voisines x, x-h- dx. 

En multipliant cette égalité membre à membre avec l'égalité 



où s désigne une constante arbitraire quelconque, et en intégrant de 
x = — oo àa;=:oo, nous trouvons l'égalité 



r ( Ç ^K-^»2-*------»-^n) 

Je'yix)dx=]...Je ^"^ 



Comme dans le second membre l'intégration par rapport à 



— 485 — 

s'étend sur toutes les valeurs de ces quantités entre — oo et h- cxd, le se- 
cond membre de cette égalité se réduit au produit des intégrales simples 

-4- OO -t- CO ^-*' ^ 

r sui r SU2 r su^ 



nous aurons donc l'égalité 
(1) 



_|_ OO -H OO ^-t- CO -4- OO 

r f !!*! r sMj r sUn 

J e'"" f{x) dx =J e^ " 9i {u,) du. Je "^ cpa (u^) du^. , .} e "" cp„ (u^) du . 

CO OO OO OO 



En développant les deux membres de cette égalité suivant les puis- 
sances de la constante arbitraire s et en égalant les coefficients des mêmes 
puissances de s, nous trouverons les valeurs des intégrales 

-»-CO H- OO -1- OO 

J* f{x) dx, [ X f{x) dx, J* x^ f{x) dx,. . . ., 

CO OO OO 

qui représentent les espérances mathématiques des différentes puissances de 

la quantité 

^ Ui-t-u^ -+-....-*- Un 

V n 

et qui nous serviront à déterminer les valeurs limites de l'intégrale 

V 

\f{x)dx, 

— OQ 

qui représente la probabilité que la valeur de la fraction 



Vn 

ne dépassera pas une quantité quelconque v. 

§ 3. En nous bornant à la détermination de 2m intégrales 

-H OO -H OO -#-00 -*- OO 

J f{x) dx, J X f(x) dx, J x^ f{x) dx, J* x""^-' f{x) dx, 

OO OO OO OO 

nous remarquons que le premier membre de l'égalité (1), développé suivant 
les puissances de s jusqu'au terme de l'ordre s^"^~\ donnera la somme 

-•- OO H- OO _|_ OO -♦- OO 

— OO — OO — OO "K ! — 



— 486 — 

Pour déterminer les termes correspondauts dans le second membre, 
nous allons le mettre sous la forme 

-+-CO -H co -*- oo 

G — oc — oc — oc 

et Ton voit que le développement du second membre de (1), exact 
jusqu'au terme de l'ordre s^'""' inclusivement, s'obtiendra en y remplaçant 
les logarithmes par leurs développements eu séries arrêtés aux termes de 
Tordre ^•'"^^ Tour déterminer les développements de ces logarithmes, nous 
remarquons que l'intégrale 



— oc 

sera donnée par l'expression approximative suivante, exacte jusqu'au terme 
de l'ordre s""""^ inclusivement: 



j ''^ • ' 1.1 n 1.2.n 

— oo 



1.2.3 (2m — l)n'^—^Yn 

et cette expression, d'après le § 2, se réduit à 
1 -+- -H— * -»- 



1.2.3H1 n 1.2....(2»i — l)«'"-i>^« ' 

où, par hypothèse, les quantités a. sont toutes iinies. 

Eu développant le logarithme de cotte expression suivant les puis- 
sances de .<; et en s'arrètaut au terme de Tordre 5**""^ nous trouverons une 
expression de la forme 







2« 


S2_^ ^V^) S3_^_ _^ 


y. ,2m- 


"'■ s'""-' 




nVti" 


«"'—11 


n 


dans 


laquelle 


les quantités 












y \s' Y ^m- 


-1) 




seront des fonctions 


entières des quantités 












a,^ a f ,...., a 


,2m— 1 





ne contenant pas n ; elles seront donc aussi toutes finies. 



— 487 — 

On aura donc, avec un degré d'approximation jusqu'au terme de 
l'ordre s^"*"^ inclusivement, 



log e o.(u.) dît. = ^ s^-i--^ s^ -+-... ,-i- * . ,- s 



— oo 



En y faisant i = 1, 2, . . . . , ^t et en posant 

J_ «1 (2) -♦- 0^(2) -H.. ..-4-0^(2^ 

g2~~ n ' 

^(3) ^ F,(3)-4-F,(3)h-....--F»(3) ^ 



w 

on trouve, avec le même degré d'approximation, 

-*- oo -t- oo -+- co 

logj e '*apj(Mj)^Wj-i-logJ e "92(^2)^^3"+- -*-logJe "9 

— co — c» — c» 

s2 31(3) 3f(2m — 1) 

où les quantités M, comme les moyennes arithmétiques des quantités finies 

V (3) V (8) Y (3) 



(«*n)^W„ 



-rr(2m— 1) pr(2m— 1) -rr (: 

r^ , f-g . . . . K^ 



seront aussi toutes finies. 

On aura donc, avec un degré d'approximation jusqu'au terme de 
l'ordre s""~\ 



I TT-i-* 7^S=-*- H —S 



S2 . Jf(3) 

(2) J e*^/*(a;)^:r = e' 



§ 4. Quel que soit w, nous pourrons tirer de cette égalité les valeurs 
des 2m intégrales 

-♦-00 -t-oo -t-oo 

J fix) dx, [ X f{x) dx, J x^"^-' f{x) dx, 



— 488 — 

en arrêtant les développements des deux membres de cette égalité aux 
tenues de l'ordre s^"*~\ 

Dans le cas particulier w = oo , l'égalité (2) se réduit à 



ÛO 

puisque les quantités M^ comme on a vu, sont toutes finies. 

En développant les deux membres de cette égalité suivant les puis- 
sances de s et en s'arrêtant aux termes de l'ordre s^^~^, on aura 

-♦-co -4- oo 2m— i -♦-oo 

f f(x)dx-^-{\ xf(x)dx -*-... .-H ,,; J x"''-'f{x)dx = 

— oo — OO — OO 

~ -^ "*"2^2~*" 1.2.(222)2 "*-• • • •"*"l.2...{»i-l)(232)m-i 

et, en égalant les coefficients des mêmes puissances de s, nous trouvons 

-♦- OO -+- OO -+- co -♦- oo 

\f{x)dx=\, \xf{x)dx = Q, ^ x^fix)dx=^^j \x^f(x)dx = 0, 



\ x''^-'f{x)dx = '-^-^-Jl^-^\ lx'"'-'fix)dx = 0. 

— oo — oo 

Comme la fonction f(x) qui figure sous le signe J, par sa nature même, 
ne peut pas avoir des valeurs négatives, nous concluons, d'après le théo- 
rème sur les intégrales cité au § 1, que la valeur de l'intégrale 



\f{x)dx 



est comprise entre les limites 



il 

V'2 



*/•- 



dx- 



3 y 3 (ffl2_ 2m-+-Sy (g2 v^ _^ i)3 
2 (m — 3)3 Vm — l 



V2 






— oo 



— 489 — 
D'où, en remarquant que la valeur de la fraction 

3 VS (m^ — 2m-+- 3)'^ (q^ v^-+- 1)^ 
2 (m — 3)3 Vm^^ 

tend vers zéro lorsque le nombre m augmente indéfiniment, nous tirons 
l'égalité 

V'2 



\f{x)dx^-^ e-^^dx, 



En y faisant successivement 



y 2 , y 2 ,t 

; = — t, v = — t, 



nous trouvons les égalités 



V2 V_2^, 

2 t 2 



I /•(«;) ()a; = :^ I e-^' dx, f{x) àx = ^\ e-^ 



'^dx, 

— oo 



qui par la soustraction nous donnent 



f{x) dx =^^\ e—^- dx. 



3 



Le premier membre de cette égalité, d'après le § 2, représente la probabi- 
lité que la valeur de la fraction 



sera comprise entre les limites 

2 ' 2 ' 

et par conséquent la valeur de la fraction 



Vf' 



V 2 (ai(2)-+-a2(2)-H....-H o„(2)) 



— 490 — 

sera comprise entre les limites if et ^'; en vertu de quoi cette égalité qui a 
lieu pour w = oo montre que la probabilité que la valeur de la fraction 



V2 (aj(2) -»- «2^2) _,. .... -H a„(2^) 

sera comprise entre deux limites quelconques t et t', a pour limite, lorsque 
n augmente indéfiniment, la valeur de l'intégrale 

t' 

t 
Dans le cas de n fini, la probabilité que la fraction 

Ml -+-M2-+- -+-«« 

V 2 (ai(2) ■+- a^i^) _,_....-+- a„(2)) 

sera comprise entre les limites t et ^', diff'érera plus ou moins de sa valeur 

limite 

t' 



t 
selon la valeur de n et des quantités 



dx 



(2m— i) 



g, M^^\ M' 

qui figurent dans l'égalité (2) et dont les valeurs, comme on a vu, dépen- 
dent des valeurs des espérances mathématiques des différentes puissances 
des quantités 

Wj, Wg, . . . . w„, 

Sans nous arrêter ici à la détermination de la limite supérieure de 
cette différence pour n assez grand, nous remarquerons seulement que 
d'après les formules de notre Mémoire Sur le développement des fonctions à 
une seule variable *), cette probabilité pour n quelconque sera donnée par 
l'expression 
t' 



*) T. I, cip. 501—508. 



— 491 — 

dans laquelle les quantités 

£3, K^, . , , , 

sont les coefficients de 

dans le développement de la fonction 

e 
suivant les puissances de s; et les fonctions 

4.3 (rc), ^^{x\ 

sont des polynômes qui s'obtiennent par la formule 



25. 



SUR LE SYSTÈME ARTICULE LE PLUS SIMPLE 

DONNANT DES MOUVEMENTS SYMÉTRIQUES 
PAR RAPPORT A UN AXE. 

(TRADUIT PAK P. 0. SOKODP.) 



(Lu le 15 novembre 1888.) 



9ocfna6ji^iomcû déiidjccmsi cuMMcmpuzccâisi oâoAO ocu. 



(IlpHjioseHie k-b LX TOMy SanHCOKi» HMnepaTopcKofi AKa^eMin HayK-B, A's 1, 1889 r. ) 



Sur le système articulé le plus simple donnant 

des mouvements symétriques par rapport à 

un axe. 



§ 1. Le plus simple moyen pour transformer un mouvement plan se 
présente en un système articulé formé d'une ligne, qui tourne autour d'un 
centre fixe, et d'une ligne réunie à la première par une articulation. Tous 
les points de la première ligne décrivent seulement des cercles concentri- 
ques, tandis que les points de l'autre ligne peuvent décrire des courbes di- 
verses, et les trajectoires de leurs dififérents points se distinguent considé- 
rablement l'une de l'autre par leur forme. Par suite, quand un point de 
cette ligne décrit une courbe quelconque, on reçoit pour les autres points 
des mouvements sur des courbes différentes. Dans cette transformation du 
mouvement, les points de la seconde ligne, dont les distances à l'axe d'arti- 
culation avec la première ligne sont égales à la distance de cet axe au centre 
fixe de rotation, appellent la plus grande attention. Il est aisé de démontrer 
que, si un tel point décrit une courbe symétrique par rapport à un axe 
passant par le centre fixe de rotation, un autre point quelconque se meut 
sur une ligne ayant la même propriété. On voit de là que chaque ligne 




brisée ABM (fig. 1), articulée avec la droite BC, qui tourne autour du 
centre fixe, fournit, lors de l'égalité 

AB = BM=BC, 



— 496 — 

un moyen pour transformer le mouvement sur une courbe symétrique par 
rapport à un axe passant par le centre (7, en un mouvement sur une autre 
courbe ayant la même propriété. La forme et la position de cette dernière 
courbe changent avec le changement de l'angle ABM et de la position du 
centre G qui, selon ce que nous avons dit plus haut, doit rester sur l'axe 
de symétrie de la première courbe. 

En transformant ainsi le mouvement d'un point J, qui se trouve à 
l'extrémité du rayon OA tournant autour du centre 0, nous recevons un sy- 

Fig. 2. 



stème articulé, dans lequel le point M décrit une ligne symétrique par 
rapport à un axe qui passe par le centre 0. Si la distance GO surpasse la 
longueur du rayon OA^ celui-ci est en état d'accomplir un tour complet, 
après quoi le point if retourne à sa place primitive, ayant décrit une courbe 
fermée symétrique par rapport à un axe passant par le centre G. 

Une telle transformation du mouvement circulaire peut présenter des 
applications utiles, s'il est demandé de produire un mouvement, auquel 
s'approche suffisamment le mouvement du point M de notre système arti- 
culé quand on donne des dimensions convenables à ses parties et des posi- 
tions convenables à ses centres fixes de rotation. Toute la difficulté réside 
dans la détermination des unes et des autres conformément à la forme du 
mouvement qu'il est proposé d'obtenir. Nous nous proposons de considérer ici 
les cas les plus simples et qui se rencontrent le plus souvent en pratique, à 
savoir: quand on a en vue d'obtenir un mouvement sur une courbe, dont une 
partie plus ou moins considérable ne diffère pas beaucoup d'un arc de cercle 
ou d'une ligne droite. 

§ 2, Dans le système considéré les points A^ B décrivent des cercles 



— 497 — 
dont les centres sontO, (7; et comme les longueurs des lignes AB, BM et la 

Fig. 3. 




valeur de l'angle ABM restent constantes, on aura les égalités suivantes: 

ABM=^AoB,M„ 
OA = OAo, GB=CB^. 

Il résulte de la dernière de ces égalités que les six lignes suivantes sont 
égales: 

^0^0, B,M,, B,C\ AB, BM, BG, 

car, d'après ce que nous avons dit dans le § 1, 

AoBo = BoM, = BoG, 
AB=BM=BG. 

D'où il est clair que les points A^, G\ Mq se trouvent sur le cercle 
décrit du centre B^^ et les points A, C, 31 sur le cercle dont le centre est 
en B; ensuite, les angles AGM, ABM, AfiM^, AqB^Mq sont liés par les 
égalités 

2AG3ï-i-ABM=2^, 



— 498 — 

qui donnent 

2AGM^ ABM^ 2A^GM^ -+- A^B^M^. 

En remarquant que 

ABM=A,B,M^, 

ACM = ACM, -4- M,GM, AfiM, = ACM, -+- A^GA, 

nous obtenons 

(1) M,,GM=AfiA. 

En nous appuyant sur cette formule et posant 
OA^=:OA = r, OG=d, 
AB = BM= BG= AoBo = B^M,=:B,G= 1, 



cherchons à présent la longueur du rayon vecteur GM et l'angle de son incli- 
naison à la ligne GM^, qui déterminent le lieu du point M pour un angle 
donné de l'inclinaison du rayon OA à la ligne des centres GOA^. Ces quan- 
tités s'expriment très simplement par l'angle ABG dont la valeur variable 
sera désignée par la lettre cp et à l'aide duquel il est facile de déterminer la 
position correspondante du rayon OA. 
Dans le triangle isocèle GBM, où 

GB=1, BM= 1, 
nous avons 

(2) GM=2 sin^, 

ce qui donne, d'après l'égalité 

GBM = ABM— ABG= w — 9 
la formule pour le rayon vecteur GM: 

GM=2sm^^' 

Passant à la détermination de l'angle de son inclinaison à la ligne 
GMq, nous trouvons d'après (1) 

MGM,=:AGAo, 
mais du triangle ACO nous tirons 



— 499 — 
par suite, on obtient pour l'angle MGM^ la formule 

cos MGM, = 22âôc 

Eu remarquant que le triangle isocèle AGB, où 
AB=^1, BG=1, ABG=:<!^, 



donne 

et que d'après notre notation 



AG=2 sin|-, 



AO = r, GO = d, 
nous trouvons par cette formule 

4 sin2 -l -t- d2 _ y2 

cos MGM, = — 

4 d sin -|- 

Dans cette relation le signe de l'angle il/ (7M"o reste inconnu. Il est facile 
de le déterminer, en remarquant que, d'après (1), l'angle MGM^ est égal à 
l'angle AGA^; mais l'angle AGAq a une valeur positive ou négative selon 
que le point A est situé au dessus ou au dessous de la ligne des centres 
GOAq. Par conséquent, à la même valeur de l'angle cp correspondent deux 
positions tant du point A que du point M; dans l'une de ces positions le 
point A se trouve au dessus de la ligne des centres GOAq et le point M à 
gauche de la droite GM^, l'autre position du point A sera au dessous de la 
ligne GOAq et le point M se trouve à droite de la ligne GM^. Quant à la 
détermination de l'angle AOAq, étant donné l'angle op, on aura du triangle 
AOG 

COSAUAo— 2A0.0C 

En remarquant que 



nous déduisons de la relation précédente 

4 sia2 ± _ r2 — d2 



cos AOAa 



Comme, d'après ce qu'on a fait voir plus liaut, à la même valeur de 
l'angle cp correspondent deux positions tant du rayon OA que du rayon 
vecteur GM, qui diffèrent seulement par les signes des angles AOAo, MGMq, 
nous voyons que le point M décrira une ligne symmétrique par rapport à 
l'axe GMq, pendant que le 'rayon OA se tournera d'un même angle en haut 

32* 



— 500 — 

et eu bas de la ligne des centres COA^. Représentant par a la valeur 
limite de Faugle AOA(^ dans le mouvement considéré et par 

?05 ?1 

les valeurs de l'angle ABC= 9, qui correspondent à 

AOAo=0, AOA, = ±:oL, 

nous voyons que, pendant que l'angle AOAq varie entre et a ou — a, 
l'angle 9 passe de la valeur cp^ à o^. 

En appliquant la formule que nous venons d'établir au cas spécial 

AOAq= a, = 9^, 

nous trouvons l'équation suivante entie les valeurs limites des angles ACAq 
et ABC=o,: 





4 sin2 ^ - d2 — r2 


d'oii il suit 

(3) 


^0^^— 2dr 

(iH-r)2--4sia2-|i 

-"1 = ur-^' 



§ 3. Passant à la détermination des conditions pour que la courbe 
décrite par le point M entre les limites indiquées s'écarte le moins d'un 
arc du cercle quelconque, nous observons que cet arc, de même que la 
trajectoire du point M, doit être symétrique par rapport à l'axe GMq, et 
pour cela son centre doit être situé sur cet axe. En supposant que ce centre 
se trouve eu 0^ (fig. 4), déduisons à présent la formule pour déterminer la 
distance du point 31 au centre 0^, distance, qui aurait une grandeur con- 
stante, si le point 31 décrivait exactement un arc du cercle autour du point 0^ . 

Du triangle Ofi3î nous déduisons 

MO,' = Ofi'-+- G31^ — 20 fi, CM . cos 3ICM,, 

ce qui, après la substitution des valeurs pour le rayon vecteur CM et le 
cos 3ICM(^, donne: 

MO,' = Ofi'' -f- 4 sin^ ^^ —4.0 fi sin - 



En désignant par B le rayon du cercle, de l'arc duquel le point M 



— 501 — 

s'écarte le moins possible pendant le mouvement du système considéré, nous 
trouvons pour la différence MO^ — 7?^ la formule suivante: 

4 8in2 -î- H- d2 — r2 

MO,^—B'=^0,G^—R''-+- 4 sin^^— 40,(7 sin-^î^ -• 

4 a sm -^ 

Occupons nous à présent de la détermination des conditions, pour que 
cette différence s'écarte le moins du zéro, quand l'angle cp, comme nous 
l'avons supposé plus haut, reste entre les limites 




§ 4. En posant dans la formule déduite 
sin2-|- = ir, 
nous remarquons qu'elle reçoit la forme 

(4) MO,'- B'=K[{p,x -4- 1) Y'^-^nx-^p,], 

où 

K, P,, p^, Ps 

sont des constantes, dont les valeurs s'expriment par 
r, cl, w, Ofi, R 



— 502 — 



de la niauière suivante: 

siu -^ (d2 _ r2) 0, C 



(5) 



(6) 



i^i = 4 - 



-sin— OjC 



sin — (d2 — r2)0iC 



: — 4 



(7) 



i^3=- 



On voit de la formule (4) que pour la même valeur du coefficient K 
la différence 

MO,^— R' 

reste d'autant plus près de zéro, que la fonction 

s'écarte moins de zéro; par suite, afin de diminuer autant que possible la 
valeur limite de la différence 

pour des valeurs de cp, qui se trouvent entre cp = cpo ^t 9 = Çi, nous devons 
opérer de la sorte que la fonction 



ipi ^ -*- 1) y^~-^ -^ih^^ih 



s'écarte le moins possible de zéro entre x^ sin^ ^^ x = sin^ y. 
Pour cela nous appliquons à la fonction 

{p,7^-\-\)y^-^-^P^x-^p^ 

le théorème concernant en général les fonctions, qui s'écartent le moins pos- 
sible de zéro, que nous avons démontré dans le Mémoire sous le titre: Sur 
les questions de minima qui se rattadicnt à la rejjrésentation approximative 
des fonctions *). Eu se fondant sur ce théorème et désignant par 

-»^Z, —L 



*) T. I, pag. 273-378. 



— 503 — 

les valeurs limites de la fonction 



entre 



X = siu^ y, x== sin^ ^ > 



nous concluons qu'elle doit au moins quatre fois atteindre les valeurs li- 
mites — L, -*-L, quand les valeurs de x ne sortent pas au delà des limites 
a; = sin2 ^, a; = sin2 ^. 

Nous allons montrer à présent, de quelle manière la fonction 



iP,x-t-i)y^-^-*-p^x-t-p^ 



peut être déterminée d'après cette propriété. 

§ 5. Remarquons pour cela que toutes les valeurs de a?, pour lesquelles 
la fonction 

(2), a; -H 1) y^-^ -t-p^ X -*-2\j 
où l'on a 

fl:;<sin2Y, a;>sin^^, 

atteint les valeurs -^L, — L sans les surpasser, doivent être égales aux 
racines multiples de l'équation 

[{p^x^l)Wi^~^p^x-^p,-^L] [;r — sin^^l] X 

(8) ^ 

[{p^x-^l)]/'-^-^p,x-^p,~L] [a:-sin2|] = 0. 

En efifet, on voit de la forme de cette équation qu'elle est satisfaite 
par des valeurs de x qui donnent: 

{p,x-^-l)y~-+-p^x^p^ = — L, 
ou 

{î\x-+-l)y^-^-t~p^x-^p^=-i-L, 

Si cela a lieu pour x = sin^-^ ou a; =: sin'^l^, alors ces valeurs, comme 
on voit aussi de la forme de l'équation, seront ses racines multiples. Quant 
aux racines de cette équation qui sont entre sin^ ^ et sin^ ^, elles aussi ne 



— 504 — 

peuvent pas être des racines non multiples, car pour des racines simples des 
équations 

{p^x-^- 1) "/^ -*-p,x-*-p^-^L = 0, 

{p,x-^l)y^-^-i~p^x-^p, — L = 
la fonction 

{p,x-+~i)y^-^-^p,x-i-p^, 

après avoir atteint les valeurs -+- i, — L, franchit ces limites. 

On voit de cela que dans le cas considéré l'équation (8) doit avoir au 
moins 4 racines multiples, qui ne sortent pas hors des limites 

c = sin^ Y ? 

mais cela ne peut avoir lieu que dans le cas, où l'équation a quatre racines 
doubles se trouvant entre les limites 

car cette équation, après avoir été réduite à la forme rationnelle, sera du 
gème ^QgYé. Deux de ces racines sont évidemment, d'après la forme de l'é- 
quation, 

X = sin^ Y5 x = sin^ ^ • 

Quant aux deux autres racines, comme elles sont limitées par les va- 



leurs sin^ y» sin'^ ^j ^Hes peuvent être représentées ainsi: 



où cpj, Og sont des angles, qui sont enfermés entre cpg, 'fj. 

§ 6. Montrons à présent, comment on peut trouver les fonctions 

{p^x-+-\) yi^-^p^x-i-p^ — L 
étant donnés les angles 

'ï'O) ?1> ?2> ?3) 

et comment trouver les angles inconnus cpg, 93. 



— 505 — 

D'après ce qu'on a remarqué plus haut sur l'équation (8), on voit 
que l'équation 

aura deux racines simples 

sin — > SIU -^ 

et deux racines doubles 

sin^^? sin^y- 

Et comme cette équation se décompose en deux suivantes 
{p,x-+- l)|/■^-^-2^2^-^-i^3-*-^ = 0» 

qui n'ont pas de racines communes et se réduisent à des équations cubi- 
ques, chacune d'elles aura une racine simple et une racine double. 
En nous arrêtant sur l'équation 

{p^x-^- 1) y^-^-i-îi^x-t-p^-+-L = 
et admettant qu'elle a pour la racine simple 



et pour la racine double 



X = sin^ ~ ) 



nous remarquons que le produit des trois différences 
^^-^— cotang^, 



cotang^ • y X — y 1 — x^ 
cotaug ^--V X — y 1 — a;, 
étant égalé au zéro, donne l'équation 



[|/'-i^ — cotangf] [cotangl y^; — y 1 — ^J=0, 



— 506 — 

qui a aussi la racine simple siu^ ^ et la racine double sin^ ^. Mais cette 
équation dont la première partie représente une fonction de la forme 

(P,a:-4-l)|/^-4-P,^-+-P3, 

ne peut avoir trois racines communes avec l'équation 

si elle n'est pas identique à la dernière, et par conséquent doit avoir lieu 
l'égalité suivante: 

(9) {p,oo-^l) ]/^-^P2^-^Ps-^L = 

(l/^ — cotang I) (cotang | Vx- VT^^)\ 

De même, nous trouvons 

{p,x-i~l)y^^-Hp.,x-i-2)s — L = 
(l/i^ — cotang ^) (^cotang | V^— Vl—xJ. 
En soustrayant ces égalités l'une de l'autre, nous recevons 

I (}/^ — cotang ^) (cotang f Vie— Vl~xJ 



(10) 2L = 



Cette égalité, qui a lieu pour toutes les valeurs de x, donne, comme 
nous le verrons, des équations qui déterminent les angles inconnus Çg? Ta- 

§ 7. En chassant les parantlièses dans la dernière égalité et remplaçant 
les cotangeutes par des quotients de cosinus et de sinus, nous trouvons 
qu'elle se réduit à 

2X= — ^ ^ ^ ^^\Vx{\—x)-^--^-*-2~ 

\ 8iii^siii2-^ sin^sius^y siii ^ siu^ 



s (93^} 



cos| 



— 507 — 



D'où l'on voit que, pour qu'elle soit possible pour chaque valeur de a?, 
il faut que l'on ait 



(11) 



sin^sins^ 



»(9.^t)_c°B(T.^|) 



Ces égalités nous serviront à déterminer les angles cpg» 93 
En divisant ces égalités l'une par l'autre, nous recevons 



tang(?2-*-|) = tang(cp3-i-|), 



Et comme les angles «p^, «p,, cpg, cpg sont compris entre et u, cette 
équation mène à une des deux conclusions suivantes: ou à l'égalité 



ou à l'égalité 



De plus, en remarquant que dans le dernier cas on reçoit, d'après (11), 
l'équation 



sin ^ sin^ -^ = — sm ^ sin^ 



qui ne peut pas être satisfaite par des valeurs positives des angles cpo, cp^, 
92, cpg, ne dépassant pas u, nous concluons qu'il doit être 

(12) 9,-h| = 9,h-|, 
et par suite les équations (11) nous donnent 

(13) sin^sin2^ = sin^sin2|^. 

Des deux dernières équations il est aisé de déduire des formules, qui 
servent à déterminer les angles Çg? 93- 
En effet, d'après (12), nous avons 



et par conséquent 



cosop3 = cosf92-t-^^^) 



1 COS Çg 



1 — COS I Ç2 - 



— 508 — 
ce qui, après la substitution dans l'équation (13), donne 

siu f sin^ f = ^ ^—^ siu f ; 

d'où l'on déduit, après avoir chassé les paranthèses et divisé par sin^ ^, 
l'équation suivante: 



f -*- sin iî^^^ cotang ^ ^ -f- cos'' ^-^^' = 0. 



En résolvant cette équation par rapport à cotang ^ et retenant seu- 
lement la racine positive, nous trouvons 



(14) cotang f=-^^ 



/siu% 1 



Ainsi l'angle Çg ^st déterminé en fonction des angles cpo, 9^. Cet angle 
nous servira comme une grandeur auxiliaire pour simplifier les formules. 
Quant à l'angle 93, sa valeur peut être aisément obtenu d'après (12), quand 
on a trouvé l'angle 92- 

§ 8. Ayant les angles 

?05 ?1, ?2» ?3 

on peut sans difficulté déterminer les grandeurs 

A PX, Ih^ P3, 

qui entrent dans nos formules. 

En posant dans l'équation (10) 

a;==sin^ ^7 
nous trouvons 

2L = (cotang ^ — cotang y j (cotang ^ sin ^ — cos ^ r, 
ce qui donne pour L la formule simple: 



sin -^ ain -^ siU' 



■ 2 

En remarquant que le produit 



2V2 



(|/i=^ - cotang f ) (cotang ^-^Vx-Vl-xJ 



— 509- 



quand on y a remplacé le cotaugentes par les quotients de cosinus et de si- 
nus, se réduit à l'expression 






À À I À À 2à 2i 

nous concluons, d'après (9), que^,, ^31 JPs) ^ oiit les valeurs suivantes: 

cosf 00, 1 

p ^-L= 1 — 2 — -■ 

La dernière égalité, après qu'on y a introduit la valeur trouvée de X, 



donne 



i8in2 5 



^-^ — ^ . cp! ■ 9. ■ ,L '^^^^^ Y - 2 cotang f- 

sm -^ sm -^ sm* il 

C'est ainsi que se déterminent les valeurs des coefficients 

i^l, i?2^ ^8» 

avec lesquelles la fonction 

Q;, a; -f- 1 ) |/i^ -4- 1;^ ^ -f-i?3 
s'écarte le moins de zéro entre 

a; = sin2^, a; = siu2^- 
En même temps, comme nous avons vu, les écarts de la fonction 

de zéro ne sortent pas au delà des limites 

""""^ sinf sinf sin^l ' ^~^ sin f sin ^ siu^ | ' 



— 510 — 
et cette fonction atteint ces limites 4 fois: pour 



x = sm^~j x = s\n^- 



elle atteint la première limite; pour 

a; = sin^|^, x = sm^^ 
la seconde. 

§ 9. Passant à la détermination des expressions pour 

r, d, Ofi, R, 

telles que, d'après le § 4, la différence 

se réduit à la fonction 

nous portons les valeurs trouvées des coefficients 
dans les équations (6), ce qui nous donne 



( ?2 "♦" 9 ) i sin 0) H- Oi C sin — 



,|3in2^ (d2_r2)OiC8ia|- 



sin ^ sin2 ^ (d» — r^) 0^0 sin ^ 

En outre, du triangle Âf^B^G (fig. 4). oii 

il vient 

d-^r = 2 sin Ç- 

En résolvant cette équation- simultanément avec les deux précédentes 
par rapport à 

r, d, 0,0, 



— 511 — 



nous trouvons 



(15) 



.(0.-..-I)' 



T • On ^ 



0,0= 






En introduisant ces valeurs dans l'équation (3), nous recevons pour la 
détermination de l'angle a la formule suivante: 



^0-?t . s,-n '^0-^'Pt 



(16) 






= fsia'-(.-,,-|)-sin^| 



Quant au rayon i?, il sera déterminé par l'équation (7), après qu'on y 
a introduit les expressions ci-dessus indiquées pour 

p,, d, r, Ofi, 

§ 10. Quand les valeurs de 

r, d, Ofi B, 

sont ainsi déterminées, la différence 

310,'— R' 
se réduit à la fonction 

K [{p, x-^l) |/î^ -*-p,x -+-P,'], 

{d2 — r2) O^Csin^ 



OÙ, d'après (5), 



K=:- 



par suite, selon ce qu'on a dit ci- dessus sur cette fonction, la différence 



-512 ■ 



entre cp = Qq, 9 = 9i ne sortira pas au delà des limites 



sic folpi sin2 ÎASIZll (^2 _ ^2) 0, C sin ^ 



2 8ia?-°sm|t8iu2^ 



2 ''*" 2 "'" 2 



• ?o~" 9i • o Ç2 — 9i 



A 6iu2 Ï2- -^ (d2 - r2) Oi c sin - 



2 sin ^ siu ^ sin^ ^ 



et atteindra la première limite, lorsque 



et la seconde, lorsque 



? = ?n ? = 1 



D'où il est clair que, pendant le mouvement du système considéré 
entre les limites 

le point 31 {ûg, 5) ne s'éloigne pas du centre 0^ plus qu'à la distance M^O^, 

Fig. 5. 




qu'il atteint pour 9 = 90, et ne s'approche de 0^ plus qu'à la distance 



— 513 — 

Mfij^, qu'il atteint, quand cp = Çj. Par conséquent le point ilf restera entre 
deux circonférences concentriques décrites du centre 0^ par les rayons 

(17) B, = MoO,, R, = Mfi,. 

Ces rayons représenteront les grandeurs limites de la distance du p oint 
M au centre 0^ . Comme, d'après ce qu'on a dit plus haut, la distance MO^ 
atteindra sa grandeur limite Bq = MqO^, sans la surpasser, quand 



le premier cercle sera tangent à la trajectoire du point ilf en un point placé 
sur l'axe de symétrie GMq, où 



et en deux autres points, de l'un et de l'autre côté de cet axe, où 



Quant à l'autre cercle, nous remarquons, qu'il sera aussi tangent à la 
trajectoire du point M en deux endroits, de l'un et de l'autre côté de l'axe 
de symétrie, où 

? = ?3; 

parce que pour cette valeur de l'angle 9 la distance O^M atteint la limite 
It = M^O^, sans la surpasser. Outre cela, sur ce cercle se trouveront les 
extrémités de la trajectoire du point Jf, où il arrive, quand cp atteint sa 
valeur limite c^^; car pour cette valeur de 9 la distance MO^ est égale à 
B^ = M^O^, Quant aux rayons Bq^ B^, ils sont liés par une équation très 
simple, qui peut être aisément déduite de ce que nous avons dit sur les va- 
leurs limites de la différence 

MO,^ — B\ 

En effet, on voit que, d'après les formules (§ 10) qui déterminent ces 
valeurs, entre ç = 90? ? = ?i la plus grande valeur de la différence 

MO,^—B^ 
est 

sin ÎOTLÎi 8in2 îlTllL (^2 _ r^) 0,C sin |- 



2 8m^8in^8in2^ 
2 2 2 



et la plus petite est 



— 514 — 



a^o-'P^sin' ^^^ (d2 - r2) 0,C sin |. 



2sin|sin^sin2| 



Mais, d'après ce qu'on a dit plus haut, on obtient la première valeur, 
lorsque 

et la seconde, lorsque 
et par suite 



D - ?1 „;„2 ?2 - ?1 



R^^ — R^ = - 



{d2 — r^)0iG3iii- 



. ?0 - ^I aîn2 'Pg ~ ^ 



(d2 — r2) OiCsin^ 





' 2sm|îsin^t8in2| 


d 


d'où 


'on déduit, en éliminant i?^: 




(18) 


7?2 r)2 2 2 


-f2)OiC8m|- 


' sin$sin?fsin2Î^ 
2 2 2 


d 



§11. Occupons nous à présent de l'application des formules trouvées 
à quelques cas particuliers et traitons d'abord les cas, oii la ligne brisée 
ABM devient une droite, ce qui arrive si, d'après notre notation, 



Comme l'équation (14), qui détermine l'angle cpj, ne contient pas 
l'angle w, elle reste invariable; les autres formules, après qu'on y a posé 
(0 = 7:, deviennent plus simples et seront: 



(19) 



2?2 

2 



-(,3-f) 



rf = smf - 



»(..*!) 



(20) GO^ = - 



— 515 — 



2Î1 

2 



.(..-. f) 



tang(cpj-.-f), 



(21) sin»-|- = . ? , '^ , ^ ^^ 

On obtient de ces formules des résultats très simples dans deux cas 
particuliers, à savoir: 
1) quand on suppose 

GO, = oo, 
et 2) quand on suppose 

Dans le premier cas le système considéré donne un mouvement, qui 
est très proche du mouvement rectiligne, dans le second cas le mouvement 
est proche du mouvement circulaire. 

En nous arrêtant au premier cas, nous remarquons que, d'après (20), 
GO, = oo seulement pour 

(22) Î.-Hf = -1-' 
d'où l'on a 

T2 2 2 

Eu mettant cette valeur de ©3 dans l'équation (19), nous trouvons 

(23) . = |sin|-|-, d = i-sin^-^i-; 



d'oii l'on reçoit, après avoir éliminé sin y, l'équation simple 
2 -*- r = 3 ^, 

à laquelle doivent satisfaire les valeurs de r, dj pour que le système consi- 
déré, étant composé de trois droites, pût donner un mouvement assez proche 
du mouvement rectiligne entre les limites plus ou moins larges. 
Comme le centre 0, pour 

0,G= 00 

s'éloigne à 00, les arcs des cercles concentriques, entre lesquels, d'après 
§ 10, restera le point M dans son mouvement, deviennent des droites pa- 

33* 



— 516 — 

rallèles, perpendiculaires à l'axe de symétrie CM^ et dont la distance mu- 
tuelle est égale à la grandeur limite de 

Bq — B^ 
pour 

(70j = oo. 

En déterminant cette limite au moyen de l'équation (18) et remar- 
quant (fig. 5) que le rapport 

OiÇ OiC o^c 

Bq MqOi OiC— CMq 

pour 

Ofi=oo 

se réduit à 1, nous trouvons que cette limite est égale à 

^ sin îo^ 8in2 fi:pl (d^ - r2) sin |- 
^ 8in^sin|8in2^ ^ 

Donc, représentant par D la distance mutuelle des parallèles, entre 
lesquelles est enfermée la trajectoire du point M dans le cas considéré, 
nous trouvons pour D la formule: 



Lila^n2 'P2— ?l 



D-- 



id!^ — r^)sm- 



. i0„;„9l,;„2?2 



qui, après qu'on y a introduit les valeurs de co, 93, r, d ci-dessus indiquées, 
devient 

(24) D=2^ ^ 2 4 

Quant à l'angle a, nous recevons de l'équation (21), en y mettant 
Y au lieu de 9, -+- ^, l'expression 

(25) 



2 sin2^-sm^ 



■-ii-'-i) 



§ 12. Les formules trouvées contiennent outre l'angle 90, qu'on sup- 
pose donné, encore l'angle 9^, qui doit être trouvé. 

Afin de déterminer cet angle nous déduisons des égalités (22), (12) 



?2 = -2 -Y» ?8 = -2-— 2' 



— 517 — 
ce qui doune 

1 — sin Î5 1 — sia - 



sin='^ = ^ — r^ir:^^ ^^, sm=^ 



2 2 2 '"""2 2 

En portant ces valeurs de 

sin^Y) sin^y 

dans la formule (13), nous recevons l'équation 

smf(l-sin|) = sin|(l-siD^), 



d'où il suit 



sin ^ = 1 — sin y- 



En nous fondant sur cette égalité et sur l'équation (23), qui donne 



. tpf) l-+-2r 



nous trouvons 



mais d'après les égalités 

, ?o 1_ 



(26) sin|=i^^sinf = 2i^ 



nous recevons 
cos 



= ||/(1— r)(2-*-r), cos| = |}/(5 — 2r)(l-f-2r), 
-2sm2^ = ô ' cos9i=l- 

in^(T-ï) = M^=- 



cos9o=l-2sin^|^ ^-^;-^^\ cos9,= l-2sin^| = ^:^iA6p±r^ 



sm^ 1^ — :^)=: )^ ^= ^ = iz:£ 



sin ^^ . sin ^^ = H£i^t^:^^^ = | (4r— 1), 
sin !L.=-i|=:ili . sin !^::i^|^:^ = l cos9,-i- cos (|-f) 

2 ~ 9 * 

D'après ces égalités et d'après les équations (26), qui donnent 



— 518 — 
nous pouvons représenter la formule (24) comme il suit: 

T._l (i -r)(4r-l)3 



o±_29i 



OÙ le numérateur ne contient pas les angles cp^, o^. Afin de les éliminer du 
dénominateur, nous remarquons que 

sinîo:p sin2^Lii^|:t^ = i-sin?^ [l ^cos ""^»^-"^^^ ] 

= -1 [sin f - sin^ f -+- 2 sin^ |] cos f -t- -^ [l -4- sin f\ sin ^ cos f ; 

d'où, après avoir porté les valeurs ci- dessus trouvées de 



nous déduisons 



sin^, sin^, cos^^, cos^ 



sm^o:t^sin^ "-^o-^^^-^^ = 

2 4 



i^ []/ (5 — 2rf (1 H- 2r) -*- 4 |/ (2 H- r)« (1 — r)]; 
par suite, l'expression précédente de D se réduit à la formule 



i) = 



(4r — 1)3 



" (2 -H r) [y(5 — 2r)3 (1 -i- 2r) -+- 4 y(2 -\-rf [l — r)] 

On détermine ainsi la distance mutuelle des deux parallèles, entre les- 
quelles reste le point M pendant le mouvement du système considéré, quand 
l'angle 9 ne sort au delà des limites 9 = cp^, 9 = cpi- Dans ce cas, comme 
nous l'avons vu, la valeur limite de l'angle AfiA se déduit de l'équation 
(25). En y introduisant les valeurs ci-dessus indiquées de 



^ ^i"lT-?). 



2 "'" 2 

et ayant égard à ce que, d'après (26j, 

lH-2r 



nous trouvons l'équation suivante pour l'angle a, la valeur limite de l'angle 
A fi A: 

^^" 2 — F(2TT) 



— 519 — 

On en voit que dans le système considéré le rayon r doit surpasser */, 
et qu'à mesure que r s'approche de ^j^^ la valeur de l'angle de rotation du 
rayon OA^ pour laquelle le point M reste entre les parallèles ci-dessus 
indiquées, décroit. De plus, comme on voit de la formule, qui détermine la 
distance D, ces parallèles se rapprochent rapidement, et par suite les dé- 
viations limites du point M de la ligne droite décroissent aussi rapidement. 

§ 13. Passant à la supposition 



a ^7c, 

nous remarquons que pour cette valeur de a les positions limites du rayon 
AO de l'un et de l'autre côté de la ligne des centres GOA^ coïncident avec 
cette dernière (fig. 6) ligne, et par conséquent les positions limites du point 
M sur chaque côté de l'axe de symétrie GM^^ doivent coïncider sur cette 
axe. Comme, d'après le § 10, les extrémités de la trajectoire du point M 

Fig. 6. 




se trouvent sur le cercle décrit du centre 0^ par le rayon B^ = Mfi^, leur 
coïncidence doit se faire sur ce cercle et en ce point le cercle sera tangent 
à la trajectoire. A cause de cela et tenant compte de ce qu'on a dit en gé- 
néral sur la trajectoire dans le § 10, nous concluons que dans le cas parti- 
culier, quand 

a = 71, 

le point M décrira une courbe fermée, restant entre deux cercles concentri- 



— 520 — 

que s décrits du centre 0^ par les rayons B^==M^O^^ Bq = M^O^', d'ailleurs 
on aura sur chacun d'eux trois points de tangence: un point sur l'axe de sy- 
métrie MOq et deux points de l'un et de l'autre côté de cet axe. Il est facile 
de voir que cette courbe ne peut s'éloigner du cercle décrit du centre 0^ 
par le rayon ^"'^ ' plus qu'à la distance °~ * , et sera par conséquent 
peu distincte de ce cercle, si "~ ' diffère assez peu de zéro. 

Pour appliquer à ce cas les formules déduites dans le § 11, posons 

a = TT. 

Pour cette valeur de a l'équation (21) donne 



, 90-^^1 aîn ^0~'Pt 



sin2 



^-^ = .. 



d'où il suit 

[sin^ f — sin ?^ sin ?^] sin^ (ç^-4-|) = sin* |, 



En y mettant au lieu de 



sin ^^ sin ^' 



la différence 

n2?0 



sm^ 2 ..^ 2 



on reçoit l'équation 

sin=^|-sin2(ç,-f-f)=:sin^f, 

qui donne l'une des deux relations: ou 

sinf sin(ç,-Hf) = sin^f, 
oa 

sin|-sin(ç,-i-f) = _sin^|. 
Cette dernière égalité donne, d'après (19), 

et alors le rayon r ne peut pas accomplir un tour complet autour du centre 
0; on doit donc admettre la première égalité: 

(27) sin^sin(93-4-f) = sin^f ; 



■521 — 



en remarquant que, d'après (12) et (13), 



92-i-^ = cp; 



| = ?3-f' 



on reçoit l'équation 

(28) sinf sm(î,H-|) = sin»|. 

En s'appuyant sur les deux dernières égalités, on peut trouver sans 
peine une formule pour déterminer l'angle 

(29) 6* = ç,-f=?3H-f 

d'après l'angle 

(30) f — T r~ ' 



au moyen duquel, comme nous le verrons, on reçoit des expressions très 
simples de toutes les grandeurs qui se présentent dans le cas considéré. 

En effet, les équations (27), (28), après qu'on y a introduit Û au 
lieu de 



9.-*-!, 93-I 



et 



(sin|sin6^ = sin^(4— ?), 
(31) 

[sin| sin ^ = sin^ (-|- — ^). 

En soustrayant ces égalités l'une de l'autre, nous trouvons 
(sin I- sin I) sin ^ = sin^ (l - t) " '^' (t " t)' 
ce qui se réduit à 

(sin ^ — sin ^j sin ô = (cos Ç — cos ^) cos â. 
Il s'ensuit de là que 

C03^-C0S^ 

'^°^^ = -^ | = -tangî4:^S 



— 522- 
ce qui suppose 



où w est un nombre entier. Pour déterminer ce nombre remarquons que, si 

?o^ cpi, 9a > ?3 sont positives et ne surpassent u, l'angle 

9o-^-9i 
4 

est compris entre et ^ ? ^t l'angle 
entre et -^; par conséquent la somme 



doit être comprise entre et 2 tt et dans l'égalité déduite le nombre n ne 
peut avoir d'autre valeur que celle-ci 

« = 1; 
donc 

ce qui se réduit, d'après (30), à l'égalité 
(32) = ^-^-^. 

En revenant aux équations (31), divisons les l'une par l'autre, après 
y avoir remplacé 

sin»(i-'f), é.%-^i) 
par 

l-cosfô-^j l_CO8(0~^) 
2 ' 2 

Nous trouvons ainsi 

sinf i_cos(e-|i) 



d'où il vient 



sin -1^ 1 — cos ( 



sin I - sin |i = cos [o - |) sin f - cos (^ — f ) sin f 
= ~ [sin (^ — oj) — sin (^ — cpo)], 



— 523 — 

ou encore 

sin |- sin ^ = cos {^0 — ^-^) sin ^-^, 
ce qui donne 

cos ?4^ = cos [â - '^-^) cos ^^ . 

Et comme, d'après (30) et (32), 

cette égalité se ramène à la suivante: 

sin t]; = sin 3^ . cos ^"~^^ » 
d'où nous trouvons 

^-; . 

I • <Po~?i l/i siii2 4^ sin 24^ ■/2 C08 2(]> 

\ siû —4— —y^ ^îE23^ — iîTs^î; 

§ 14. Afin de déterminer les valeurs de 

r, d, Ofi 

remarquons que dans le cas considéré en vertu de l'égalité (27), les équa- 
tions (19), (20) donnent, 

^ = sin §_sin ^= 2 cos ^qili sin ^^, 
22 44 

^ = sin ^ H- sin^ = 2 cos ^^^ sin ^^, 
22 44 

CO^ = - (sin f -H sin |) tang ^ == — 2 cos ?^ sin ?^ tang 6/; 
d'oii, après avoir introduit les valeurs ci-dessus trouvées de 



il résulte 



6, ?4iîi, cosî^S sin: 



2 sin 4^ sin 2^1^ V2 coa 2^ . sin 2^ ^ ^^ 2 cos» <]> 

sin34> ' ^~sin34>' ^^i — sin 34^ 

La dernière formule détermine la position du centre 0^ des deux 
cercles concentriques, entre lesquels est enfermée la trajectoire du point M. 
Les rayons i?^} ^i ^^ ces cercles ont, d'après le § 10, les valeurs suivantes 



— 524 — 

En remarquant que dans le cas actuel (fig. 6) 

0,M, = CO, — CM, , 0, M, = CM, — GO, , 
nous déduisons de ces égalités 

R^ = CO, — CM,, B, = CM, — (70,, 
ce qui nous donne 

2 ~ 2 ' 2 ~ ^^1 2 

Eu y introduisant la valeur de GO, ci-dessus indiquée et remarquant 
que les triangles GB^M^, GB,3Ï,, dans lesquels 

GB, = B,M,= GB, = B,M, = 1, 
GBoMo = 71 — A,Bfi= TT — 9o , GB,M, = ti — A.Bfi^ t: — cp,, 
donnent 

GM, = 2 cos f , C/i¥j = 2 cos |-, 
nous recevons 

^i±^' = cos 1 — cos 1 = 2 sin ?^ sin ?^», 
^ozL^i==i^_cos^-cos^ = ^4^-2cos^^'c 

2 sin 34j 2 2 sin S^* 4 4 

Après qu'on y a introduit les valeurs de 

?qi?i, cos?^7^, sin?^^, 

4 4 4 

ces formules se ramènent aux suivantes: 



Bq-^-Bi 2 cos 4^ sin 24^ V2 cos 24» Bq — Bi 2 cos 2<\> , 

2 sin 3^) ' 2 sin 3«i< ' 

d'oiî l'on voit que l'angle ^ ne doit surpasser ^, et que les valeurs de 

■^0 — -Ri 
2 
ainsi que de 



diminuent, à mesure que l'angle ^ s'approche de -J. 

D'ailleurs la première grandeur s'approche du zéro beaucoup plus 
vite que la seconde; donc, à mesure que ^ s'approche en croissant de -J, 
le rapport de la première grandeur à la seconde tend au zéro; à cause de 
cela la trajectoire de M, pour des valeurs de ^ assez proches de -J, repré- 
sente une courbe, qui diffère peu du cercle. À mesure que l'angle ^ devient 
plus petit, le rapport 

■Rq — -Ri . Bo-*-Bi 



— 525 — 



augmente, et la trajectoire du poiut M se modifie, passant d'une courbe, 
qui est peu distincte d'un cercle, à une courbe cordiforme (fig. 7). 



Fig. 7. 




§ 15. Nous avons montré dans les derniers §§ quelques applications 
des formules générales aux cas particuliers, quand la ligne brisée ABM 
devient une droite. Occupons- nous à présent de l'application de ces for- 
mules aux différents cas, oiî la ligne ABM reste une ligne brisée, et com- 
mençons par supposer que 

0^(7=00, 

ce qui a lieu, d'après (15), lorsque 

(34) a> = 2 (?,-*-!). 

Après avoir introduit cette valeur de co dans les formules (15), (16), 
nous trouvons 



(35) 



(36) 



(-f) 






^(»^-f)- 



011 Çg est un angle auxiliaire, qui peut être exprimé en fonction des angles 
9o» 9i par les équations déduites dans le § 7. 
Supposant en particulier 

a = u, 



— 526 — 
portons cette valeur de a dans la formule (36), ce qui nous donne 

sin^-^sia^-^sin^(9,-Hf) _ 
sina|sin2(9,--f)-8m4| ~ 

Cette équation est identique à celle que nous avons trouvée dans le 
§ 1 3 pour le cas co = ::, et au moyeu de laquelle nous avons déduit des for- 
mules générales les relations 

sin1sin(ç,-^f) = sin»|, .^ = ç^h-^ = |-h.^, 

OÙ 

I __ ^ <Po-'-9i 

T 2 4 ' 

nous concluons donc que ces égalités auront lieu aussi dans le cas actuel. 
En vertu de ces égalités on reçoit, d'après les équations (34), (35): 

co = 71-4- St];, 

^=: sinf -sin 1 = 2 cos î^^ ^^^ ,_^ ^l^n^^^r^^^S., 

d = sin^-Hsin^ = 2cos^^^^8in^q^ = $^. 

2 2 4 4 sm 3<v 

Dans le cas considéré, où 



les positions limites du rayon OA^ lorsqu'il tourne dans l'une et l'autre di- 
rection, coïncident, sur la ligne du centre OG (fig. 8), et par conséquent les 
extrémités de la trajectoire du point M coïncident à présent, de même que 
dans le cas précédent, sur l'axe de symétrie GM^^ et cette trajectoire re- 
présente une courbe fermée. Il est clair, de ce qu'on a montré dans le § 10, 
que cette courbe est limitée par deux droites parallèles, provenant, d'après 
l'égalité 

(70, = oo, 

des arcs circulaires décrites du centre 0, par les rayent B^^ B^, et que 
chacune de ces parallèles est tangente à la trajectoire du point M en trois 
points: sur l'axe de symétrie GM^ et de chaque côté de cet axe. Cette courbe 
est d'autant moins différente d'une droite, que les parallèles, entre lesquelles 



— 527 — 

elle est enfermée, sont plus proches l'une de l'autre. Pour déterminer leur 
distance mutuelle, remarquons qu'elle est égale à la distance des points Mq, 

Fig. 8. 




M^ de l'intersection des parallèles avec l'axe de symétrie GMq, où ces pa- 
rallèles sont tangentes à la trajectoire considérée. Des triangles isocèles 
GBoM^, GB^M,, où 

GB, = B^M, = GB, = B,M, = 1, 

OFo ^0 = w — A ^0 C' = w — (po , GB,M^ = (à — AJB^ = (0 — . (p 1 , 
on a 
(37) CWo = 2sin^^, Cif^ = 2 sin î?^; 

donc la distance des points M^M^ se détermine par la formule 
if;jf, = CMj — (7ilfo= 2 sin^î^— 2 siu ^î^^, 

qui se réduit à 

M,M, = 4 cos [j — ^^) sin ^ ; 

d'où, après qu'on y a introduit les valeurs ci-dessus montrées de 

co, 2i^, sin ?^:;^, 



— 528 — 
on trouve 

_ 4 sin 2^ ^/1 coa^ 24> 

On voit de cette formule que l'angle '| ne doit surpasser -^ et qu'à 
mesure qu'il s'approche de -^, la distance mutuelle des parallèles, entre 
lesquelles s'accomplit le mouvement du point M^ quand le rayon AO tourne 
autour du centre 0, diminue; à cause de cela, le point ilf, quand ^ est 
assez proche de -| , s'écarte peu de la droite, qui se trouve entre les paral- 
lèles à la même distance de chacune d'elles. 

§ 16. En parlant du cas, où le rayon AO accomplit un tour complet 
autour du centre 0, nous avons fait des suppositions particulières concer- 
nant l'angle entre les deux parties de la ligne brisée ABC ou la distance 
des centres (7, O^ Nous allons montrer maintenant l'application à ce cas des 
formules générales, en ne faisant aucune hypothèse spéciale. Les équations 
qu'on reçoit ici seront plus compliquées que les précédentes; mais elles se 
présenteront sous une forme, qui est commode pour le calcul. 

Afin d'appliquer les formules déduites dans le § 9 au cas, où le rayon 
AO accomplit un tour complet autour du centre 0, posons 



Pour cette valeur de a l'équation (16) donne 

singo:tlisingo^^sin^(a>-9,-|) _ 
sin^f 8ia2(co-ç,-f)-sm4| ~ 

En déterminant d'après cette équation la valeur de 



nous trouvons 



sin (w — 92 



sin2 % 



2 

Et comme, d'après (15), pour une valeur négative de 

sin(co-cp, — I) 
il vient 



--529 — 

ce qui empêche au rayon r d'accomplir un tour complet, nous conservons 
dans l'égalité obtenue seulement le signe -i- et prenons 



(38) 



'("-?.-f) = 






En introduisant cette valeur de sin ( w — Çg — y) ^^^^ l'équation (15), 
nous trouvons 



(39) 



r = sin Y - 



-sin^ = 2sin^^'cos- 

2 4 



<^= 


sin Ç -1- sin 


2 


= 2 


sin 


4 


cos 


50 


— 9i 
4 


Ofi 


sin ( (0 — 
sin (^<P2-+- 


92- 

2 


9o\ 


sin 


4 


COS 


90. 


T^' 



OÙ cp2 est un angle auxiliaire, dont la valeur peut être déterminée d'après 
les angles ©0, 9^ par les équations données dans le § 7, tandis que l'angle 
(0 se détermine par l'équation (38). Et comme pour l'angle w toutes les 
valeurs entre et 2tc sont possibles, on reçoit d'après cette équation deux 
valeurs de w, dont l'une donne 



tandis que l'autre fournit 



cos(<.-9,-f)<0, 
>(— ?.-f)>0- 



Pour ces deux valeurs de co on obtient deux systèmes, dans lesquels la 
trajectoire du point M reste entre deux cercles concentriques décrits du 
centre 0^ et tangents à la trajectoire en trois points. Mais ces trajectoires 
représentent des courbes de forme différente, selon que 

cos(co-9,-|) < ^.':^_:_::^,__±±^-.^ 

ou 

cos(co-9, — 1)>0. 



La diversité de forme de ces courbes apparaît clairement, quand on 
détermine la position du centre 0^ par rapport aux points de leur inter- 
section avec l'axe de symétrie GM^. 

§ 17. Pour évaluer la différence 



GO.^CM,, 



— 530- 

qui détermine la position du centre 0, par rapport au point iifo (fig. 9), nous 

Fig 0. 




déduisons du triangle isocèle CBJSÏq^ où 

CB,M, = A,B,M, — A,Bfi= co - 



la formule 



CM, = 2 sin ^:i^^ 



Cette égalité jointe à la valeur de 00^ donne, d'après (39): 

2 sia ^^ cos ?^ sin (co - ç,- |) 
_ 2 sin î^ ces ?i^ sin (o.-y,--f) - 2 sin ^^ sin (..^|-f) 



CO^ ~ (7ilfo : 



- — 2 sin — 2"^ 



Pour simplifier cette formule, remarquons que 

2 sin ^^^ sin (cp^ -i- ^ — y) = cos (w — 9^ — 90) — cos 93 

= cos (co — cpj — ^) cos ^ -4- sin (w — 93 — ^] sin ^ — cos 93, 

2 sin ?^4^ cos ?î^:=^ = sin ^« -*- sin '^: 



— 531 — 
ce qui la réduit à la forme: 

sin ^ sin ( w — Ço — ir)"*" ^^^ Çg — cos ^ cos (w — ?2 — ^) 

d'où, remplaçant, d'après (38), 

sin(co — 92 — f) 
par 



nous trouvons 

sin^ î^ H- cos 92 — C03 ^ cos ( 0) — 92 — ^ ) 

0.(7- CM, = -^ ^-^A M , 

et finalement 

(40) Ofi-GM, = '- ,/ ^. 

De la même manière nous trouvons 

C0S2 ^ _ COS ^ COS L - Ç2- ^) 

On voit directement d'après ces formules que, si 

cos((o-cp,— |)<0, 

les différences 

GO^ — GMo, GO^ — GM, 

ont le même signe. En remarquant que cela ne peut avoir lieu, si le centre 
Oj se trouve entre les points Mq, M^, nous concluons que ces points doivent 
être posés de l'un côté du centre 0^, si 

cos(co — 9, — 1)<0. 

Pour ce qui concerne le cas 

cos(co — 92 — f)>0, 

on voit d'après la composition des formules (40), (41), que pour les valeurs 
positives de 



; (w — 92 



cos ( (0 — 0,, — f j 



— 532 — 

les signes des différences 

CO^ _ GM„ GO, — CM, 

dépendent des limites, entre lesquelles sont enfermées ces grandeurs. 

Pour trouver ces limites, remarquons que, d'après ce qu'on a dit dans 
le § 5, les angles Çg, 93 doivent être compris entre les angles Ço, 9i, où 
?o ^ ?iî P^^' s^'^® "^"^ aurons 

D'où il vient 



smf <sin f , 



..r"-^4"'"»' 


2 


siof 


et comme, d'après (13), 




sin^l 


sio^l 


sin| 


Sta| 


la dernière égalité donne 






<sin|. 



En remarquant que, d'après (38), 



sin co-9,_f =-^ 
nous tirons de ces inégalités: 



sin 



("-?a-f)>sm|, sin(«-9,-|)<sin|, 



ce qui, pour 

cos(«-ç,-|)>0, 



donne 



COS ((O — 9^_|) <cos |-, cos (co — (p^— I) > cos |. 



D'après ces inégalités, qui déterminent la limite supérieure et la limite 
inférieure pour la valeur de 



cos (œ 
nous recevons 



(— ?.-ï), 



cos^ l — cos f cos (o3 — ç, — |)>cos2 ï — cos f • cos I 
cos»» I — cos I cos (to — çg— I) < cos=* |_cos |- • cos I 



— 533 — 

d'où il vient > -'■ ''-' 

cos« | — cos I cos (o) — 92— y) > 0, 

cos^ l-cos ^ cos ((0 — 9,-f ) < 0, 

parce que ?2<?o» ?3>?i- 

Les inégalités ci-dessus déduites font voir qu'en déterminant les dif- 
férences 

d'après les formules (40), (41), on reçoit pour elles, dans le cas 
cos((o — 9,— 1)>0, 

des valeurs de signes contraires; mais pour que cela soit ainsi, il faut, d'après 
la composition de ces différences, que le centre 0^ se trouve situé entre les 
points Mo, M^ (fig. 9). On en conclue que la position du centre 0^ par rapport 
aux points Jfo, ^x change avec le changement du signe de cos (w — opg — -^V 
Si 

cos(a)-9,-f)>0, 

le centre 0^ est situé entre les points Jfo» ^x-, mais si 
cos(.,-93-f)<0, 

les points Jf^, M^ se trouvent du même côté du centre 0^. 
■ 8 18. En nous arrêtant au cas 



cos(ca — 92 — f)<0. 



quand les points M^^ M^ se trouvent du même côté du centre Oj, et suppo- 
sant qu'ils sont situés plus bas que celui-ci (fig. 10), nous trouvons 

O^M^ = GO^ — GM^, O^M^^GO^ — GM^\ 

et en conséquence, d'après ce qu'on a dit dans le § 10 sur les cercles con- 
centriques, entre lesquels est enfermée la trajectoire considérée, nous rece- 
vons pour les rayons i?o> A les égalités suivantes: 



— 534 — 
d'où il vient 

2 — ^^1 2 ' 2 "~ 2 ' 

Fig. 10. 




Mettant ici les valeurs de 



(70„ CM,, CM^, 



nous recevons d'après (37), (39) 



h.^«. _ ^-'°^^'-'-^°'°(-^'-t) 



. / Ço «^ \ 

^oz:^ = siu ^!^ - sin îî^, 



2 ' 



ce qui se réduit aux formules suivantes: 

:?»z^ = 2 sin î^ cos (f — îî^pi). 



— 535 — 

Nous les avons trouvées en supposant que les points Mq, M^ sont situés 
plus bas que le centre 0^. Dans l'hypothèse contraire, nous recevons les 
mêmes formules, mais accompagnées du signe — . Donc, pour embrasser les 
deux cas, prenons les formules avec le double signe ±. Dans les formules 



^^^ = ± 2 sin 5 



/(^ cp0-»-9, \ 



ainsi obtenues il faut garder l'un ou l'autre signe, ce qui se détermine par 
la condition que la demi-somme 

2 

ne peut pas être négative. 
Passant au cas 

cos(<o-ç,-|)>0, 

quand, d'après le § 17, le centre 0^ est situé entre les points Mq, Mj_, et 
supposant (fig. 9) que le point Mq est au-dessous du point M^ , nous trouvons 

0,Mo = GO, — CM, , 0,M, = CM, — GO, , 

et par suite, d'après le § 10, nous aurons 

B, = GO, — GM^, B, = GM, — GO,, 
ce qui donne 

2 2 ' 2 ^^1 2 

Si nous comparons ces égalités avec celles que nous avons reçues pour le cas 



cosito — ?2 — f 



)<0, 



nous remarquons qu'ici on a pour la demi-somme 

Bq -*- Ry 

2 

la même expression, qu'on a trouvée plus haut pour la demi-dififérence 

Bq — -Ri 
2 ' 

et vice-versâ. Donc, en appliquant les formules ci-dessus trouvées au cas 
considéré, nous aurons 

^0^ = 2 sin ^^ cos (l- - 5^), 

Bo-B, _^ sm--cos 21^ sm (--9,-^1^) 
2 ~ . / 9o w \ 



— 536 — 

Ces formules concernent le cas, où le point M^^ est situé au-dessus du 
point Mq. Pour la position inverse des points M^, M^ on reçoit les mêmes 
formules, mais avec le signe — ; et par suite nous aurons en général 

^4^ = ± 2 sin ?i=ii cos (f -2^), 



M Ço — 9i 
sm — '^^'^ — — 



^.o(^-,,--=ll) 



('=-|-y) 



oii il faut retenir celui de deux signes ±, qui donne pour 

J?o -*- El 

2 

une valeur positive. 

Les formules déduites contiennent, comme cas particuliers, les for- 
mules que nous avons trouvées dans les §§ 13 et 14, en supposant que 
l'angle ABC est égal aux deux angles droits, et dans le § 15, oiî nous avons 
supposé que la distance O^G est infinie. Les premières de ces formules pro- 
viennent des formules générales, qui ont lieu pour 

cos(co — (p3— f)>0, 

et les autres dérivent des formules obtenues dans le cas 

COs(a,-9,-f)<0. 

On retrouve les premières formules pour 

et les secondes pour 

Nous avons vu que dans ces cas particuliers la trajectoire du point M 
présente deux formes différentes (fig. 6, 8). Dans le cas général on obtient 
aussi des trajectoires de deux formes différentes, selon le signe de 
cos(co — cp2 — f). Si 

cos(co-9,-|)>0, 

la trajectoire a la forme de la courbe, dont nous avons parlé dans les §§13 
et 14. Mais si 



■ ("-?.-!)< 0, 



la trajectoire sera une courbe semblable à celle, dont nous avons parlé dans 
le § 15, mais avec cette différence, qu'ici (fig. 10) les droites parallèles 



— 537 — 

sont remplacées par des arcs des cercles concentriques, décrits du centre 0^ 
avec les rayons Rq, B^. 

§ 19. Dans les §§ précédents nous avons considéré le cas, quand l'angle 
AqOA varie entre les limites les plus larges, passant de — ir à -h ir. 

Occupons nous à présent du cas contraire, en supposant que l'angle 
JqOA reste entre les limites infiniment proches de zéro. Supposons pour 
cela que a, la valeur limite de l'angle AfiA, reste infiniment petite. On voit 
de l'équation (16) que pour une valeur infiniment petite de a la différence 



est aussi infiniment petite; donc, en négligeant les grandeurs infiniment pe- 
tites devant les grandeurs finies, nous aurons dans le cas considéré 

et par suite 

parce que, d'après le § 5, l'angle cpg doit être compris entre les angles op^, cp^. 
Substituant ces valeurs de cp^, cpg dans les équations (15), nous recevons 
pour r, d, GO^ les formules suivantes: 



2 



.(!_,„) eo.(^-|) 



™.| 2 3in|cos(f-,„),io(|-f) 



co. 



(y-^o)''°(l-f) 



î sin ^ cos 



V 2 2) 



Si nous remarquons que pour ces valeurs de cp^, cpg il vient 



.^^^sia^(.-, 



i) _ sinçosia2(co-^) 



ition i 

sm9oSm2((o-^«) 



nous déduisons de l'équation (16) la relation suivante entre les angles infi- 
niment petits a et cp^ — 9,^: , . 



j_^\_ 



9o — 9i 
2 



— 538 



ce qui donne 

(42) ?o-?i= ^ /^,^, ^ a^= sm(co-ço)8m(co-2cpo)^ ^_,^ 



2 sin Çq sin' 



(-t) 



'{-m 



Passant à la détermination du rayon Bq d'après le § 10 et supposant 
(fig. 11) que le centre 0^ est au-dessus du point M^^ nous trouvons que 

Fig. 11. 
.0^ 




Introduisant ici la valeur de (70, ci-dessus trouvée et changeant, d'après 
(37), C!Mo en 2 sin ^"^^^j nous recevons 

7? _ 2 V 2 ^V V 2 2 / o ^- t^ - 9o 



: 2 sin - 



t(y-9o) 



Nous avons déduit cette formule, en supposant que le centre 0, se 
trouve au-dessus du point M^. Dans l'hypothèse contraire, nous trouverons 
la même formule, mais avec le signe — , de sorte que pour embrasser les 
deux cas, nous écrirons cette formule avec le signe double. 

Dans la formule 



(43) 



i?o = ± 2 sin ! 



-?-■ 2) 



— 539 — 

ainsi obtenue, il faut conserver le signe, qui donne pour Bq la valeur 
positive. 

Ayant le rayon Mq, on peut, d'après la formule (18), déterminer le 
rayon R^ par l'équation 



B' = IL'- 



sin 20^ sin2 22-11 (d2 _ r2) CO, sin |- 

I X". ain Zl. om lé. 



Dans le cas considéré les différences cp^ — cp^, cpg — Çi ont des valeurs 
infiniment petites. Pour trouver leur rapport, posons 

?o — ?i = A, 92 — 9i = A„ 
ce qui donne 

?i = ?o — A, 92 = ?o — A-t-A,, 

et par conséquent, on reçoit, d'après (14), l'équation suivante entre les 
grandeurs infiniment petites A et A^ : 



-Mi-- 

sm - |_ f^ SI 



eotang -^^^ =-^ | l/ -^ - cos A 



2 

Développant suivant les puissances de A, A^ et nous bornant aux infini- 
ment petites du premier ordre, nous recevons de cette équation 

ce qui, d'après notre notation, donne 

?2 — ?1==t(?0 — ?i). 

Substituant cette valeur de 92 — ?i ^^^^ l'expression 



sin f sin :^ sin2 :| 

etremarquant, d'après les valeurs ci-dessus trouvées de 9^, 9^, r, d, COi,que 

nous trouvons, exactement jusqu'aux puissances de 90 — 9^ du troisième 
degré inclusivement. 



, 'Po-^t sîn2 ^2-91 , 



Sin ^ sin 1 sin2 | 



'Cf-fj 



— 540 — 
par suite l'équation, qui détermine R^^, donne avec la même exactitude 

7? 2 7? 2 1 i_, 7? 7? i ^ 

Il suit de la dernière égalité 

2 128 . 90 . /39o «^\ -D ' 

ce qui présente la limite supérieure de la déviation du point M du cercle 
décrit par le rayon ^'^ ^ et ayant pour centre 0^ dans le mouvement du sy- 
stème considéré, quand l'angle a reste entre cp = tp^, cp = ç^. 

Substituant ici la valeur de ç^ — «p^ d'après (41) et la valeur du rayon 
Bq d'après (43), nous trouvons pour cette limite l'expression suivante: 

8in — siu2 ^ sin' (w — 9^) sia' (w — 290) 'x.'^ 



'16384 .90 . w — 9o . co — 290 .,/ 39o' 



■ cos« ^ sin ^^^-^-^ sin ri—TL" gia6 ( (o 



("-^") 



OÙ a est la valeur limite de l'angle A^OA. D'où l'on voit, qu'à mesure que 
l'angle a tend à s'annuler, ces déviations diminuent très rapidement, et par 
suite pour de petites valeurs de a la trajectoire du point M diffère très peu 
de l'arc du cercle décrit du centre 0^ par le rayon ""^ ^ 

Les formules que nous avons démontrées représentent la limite, à la- 
quelle s'approchent les formules générales, quand l'angle a tend à s'annuler et 
peuvent servir à la résolution approximative de diverses problèmes qui con- 
cernent le système considéré, quand l'angle a est assez petit. 



26, 

SUR LES EXPRESSIONS APPROCHÉES 

DE LA RACINE CARRÉE D'ONE VARIABLE 

PAR DES FRACTIONS SIMPLES. 

(TRADUIT PAR G. A. POSSÉ.) 



(Lu le 14 mars 



(Traduit par A. Vassilief, à Kasan. Annales scientifiques de l'Ecole Normale supé- 
rieure. III série, XV, 1898, p. 463—480.) 



6 npuSAUojcdUHUxis êupa:^cHi^coià Madpamuazo âopu^ 
ncpcM^hunoû X'Cpcsh npoomuji dpoSu. 

IIpHjioKeHie k-bLXI TOMy SanHCCKt HsinepaTopcKofi AKa;i,eMiH HayKi., JVà 1, 1889 r.) 



(Ûbersetzt von O. Backlund. Acta mathematica. XVIII, 1894, p. 113—132.) 



Sur les expressions approchées de la racine 
carrée d'une variable par des fractions simples. 



§ 1. Dans l'évaluation des quadratures on est souvent obligé de rem- 
placer les fonctions offrant des difficultés à l'intégration par leurs expres- 
sions approchées. Lorsqu'une difficulté pareille provient de la présence d'un 
radical du second degré, on pourra employer très utilement l'expression 
approchée du radical 

yi 

par une fonction de la forme 

Gi-i-x C^-t-x ' ' • Gn-t-x 

qu'on obtient à l'aide du premier théorème démontré dans notre Mémoire, 
sous le titre: Sur les questions de minima qui se rattachent à la représen- 
tation approximative des fonctions'^). Quand on se propose de diminuer 
autant que possible la limite de l'erreur relative pour toutes les valeurs 
de a;, de a; = 1 à ic = 7i > 1 , la meilleure représentation du radical 



par une fonction de la forme 



A-+- 



Sj . B, 



C'i-f-a; Cj- 

sera celle, pour laquelle les rapports 

Vï 






A-^^,^^-^ 



^1 . ^2 . . A'n 



Ci^x^C2-i-x^"'~^Gn-^x \ -^ 

s'écartent le moins possible de 1 entre a; = 1 , x = li. 



*) T. I, p. 273—378. 



— 544 — 
Nous pouvons trouver une telle représentation du radical 

au moyen du théorème mentionnée ci-dessus, en l'appliquant à la détermi- 
nation des valeurs 

pour lesquelles le logarithme du rapport 

VI 

Cl-»- a; Cz-i-cc C„-t-x 

ou 

A-t-yz — * »-77-^^ *-'---^7r-^ — 

Ci-i-x Cg ~*~ ^ Cff-t-x 



Vi 



s'écarte le moins de 0, x variant de ic = 1 à x = li. Supposant que dans 
l'intervalle a; = 1 , a; = /j les valeurs extrêmes de ces rapports soient 

nous nous convainquons, en vertu du théorème mentionné, de la possibilité 
d'approcher ces limites à 1 par un changement convenable des 2w -+- 1 
quantités 

A^ P,, ^2,...^„, Cj, Cgj.-.C^, 

qui figurent dans la fonction 

Bi Bo Bn 

C2-*-X 

si, dans l'intervalle de x=l à x = h, elle atteint les valeurs extrêmes 

moins de 2n-*-2 fois. 

Il en résulte que la plus grande approximation des limites 






— 545 — 
à l'unité ne peut avoir lieu que pour de telles valeurs 

A, B„ B„...B^, C\, C„...G„, 
pour lesquelles la fonction 

(1) J,= yï[^H-^-H,-^^-H...-H^J 

dans l'intervalle 

x= 1, x = h 

atteint au moins 2n-*-2 fois les valeurs l, y, sans les franchir. 

Nous allons montrer maintenant comment d'après cela se détermine la 
quantité / et la fonction y, qui donnent la solution de nôtre problème. 

§ 2. Comme la fonction y, se réduisant à / ou y pour une valeur de 
X entre x= 1 et x=: h qui ne rend pas 

1 = 
et qui est différente de 

x=l, a; = /2, 

dépassera évidemment les limites Z, y, ils doivent exister, d'après ce qui 
précède, au moins 2w -h 2 différentes valeurs de x, dans l'intervalle de 
x= l â x = h, susceptibles à vérifier l'équation 

en même temps que l'équation 

dont les premiers membres représentent d'après (1) des fractions rationnelles 
au dénominateur commun 

{G,-^xy iG,-t-x)\..{G^-^xy 

et aux numérateurs de degré An-\-2. 

Or d'après la constitution de ces équations il est clair que leurs racines 
communes autres que 

rr= 1, x:=h, 

doivent être racines multiples; par conséquent ces équations ne peuvent 
avoir lieu simultanément pour 2w -h 2 différentes valeurs de x, sans avoir 
4w -+- 2 racines communes, égales ou inégales, ce qui suppose leur identité, 
card'après ce qui précède, elles se réduisent à des équations de degré 4w-+-2. 
Or ces équations ne peuvent être identiques que sous la condition 

(P -y^){l-P f) = G (ly x{l—x)ih- x), 

35 



— 546 — 
où 6' est une constante; d'où il résulte l'équation différentielle: 
(2) VG- '-^ '-^ 



Parmi les diverses fonctions y^ qui satisfont à cette équation pour des 
valeurs quelconques des constantes l et (7, il est facile de distinguer celle 
qui donne la solution de nôtre problême. 

Remarquons dans ce but que d'après (1) l'égalité 

ax 

se réduit à une équation de degré 2n, et par conséquent la dérivée ^ ne 
peut s'annuler plus de 2w fois, depuis rc = jusqu'à rr = h- oo. 

Or d'après ce qui précède elle se réduit à zéro au moins 2w fois dans 
l'intervalle 

a; = 1 , x = h- 

donc elle ne peut point s'annuler dans les intervalles 

iC > /ï, X = -t- CXD, 

tandis que dans l'intervalle 

x= 1, x = h 
elle doit s'annuler 2n fois. 

En vertu de cela, l'équation (2) donne entre les intégrales définies 

dx dx 

I Vx (l — x) {h - X)' Vx {X — 1) {h — x)^ 

*^ *^ 1 

r ày n ày 

la relation suivante 

r^ 1 

ày r dx 

jA'^'~y'){i~l^y'^) Vx{l-x){h~x) 
(3) -V - = (2n-Hl)'A 

J y(y2-i2)(l_î2y2) J^VX(X-1)(A_X) 



— 547 — 

§ 3. A l'aide de cette égalité il est facile de calculer la valeur de l 
d'après la valeur du rapport des intégrales 

j dx I dx 

Vx{l—x) {h — x)^ Vx {X —i){h — x)' 

Jq Jj 

Parmi ^les diverses formules, dont on peut faire usage, nous allons 
choisir dans le cas actuel celle qui suit: 

(4) 1^=1 — iQq^' 



= 1—162^' 



où 



1 


-f- g4n-i-2 


_l-gl2nH-6_H../ 


1 


H- gzn-t-i 


H- j6n-*-3 _,_ . . 


• 


= -00 

s g2(2n 


-t-1) » (2Î-I-1) \ 


i 


= + 00 


\ 



J^ Vxil — x){h-x) 



q-^e 'i Vx{x-i)(h-x)^ 

Cette formule fait bien voir avec quelle rapidité, lorsque le nombre n 
augmente, les quantités Z, y s'approchent de l'unité, et par suite l'erreur re- 
lative de la formule 



qui donne la valeur approchée du radical 

dans l'intervalle de.a; = 1 k x = h, diminue. 

Désignant par â une quantité moyenne entre et 1, nous trouvons 
pour représenter toutes les quantités renfermées entre l, y la formule Z^®~^ ; 
par conséquent, d'après ce que nous avons montré à l'égard de la fonction 

on aura l'équation suivante pour la détermination du radical l/^: 
(5) •i/I=:Z^-^«r^H__A__^_i__^ H— ^1 

yx l^ G,-i-x^ C^-^x^" '^Cn-^-xJ- 

35* 



— 548 — 
§ 4. Les quantités 

qui figurent dans cette formule se déduisent facilement de l'expression de 
l'intégrale de l'équation (2), qu'on obtient supposant que l'équation (3) ait 
lieu. 

Représentant cette intégrale sous la forme 

nous trouvons que les quantités 

A, B„ B„...JB„, C„ C„...G„, 
se déterminent à l'aide des fonctions elliptiques au module 

(6) , * = "|/^- 

et 

^=P ^ 



Vl—k^ sin2 o 




par les formules suivantes 



L 2n-»-l 2n-i-l 2nH-lJ 

2Vhdn cn2 

D 2n-\-l ^ 2w-Hl , 

^m— 2mi: r ^^ 2^ „, 2n^ H ' ^m ~ „ 2m£: ''* 

' sw2 1 -+- 2 cZn r H- ... -4- 2d» r sn^ 

2n -H 1 L 2« -t- 1 2n H- 1 J 2n -h 1 

Remarquant que la fonction 



-, 2mK 

an K : 

se réduit à l'unité pour m = et ne change pas par le changement de m 
en — m nous pouvons représenter la somme 

sous la forme 

> an r Tj 

le signe de la somme étant étendu- sur les valeurs 

m = — w, — (w— 1),. . .— 1, 0, l,...n — 1, n. 



— 549 — 
D'après cela nous aurons 



2 Vh dn 

■r, 2n-+- 1 



2mK m ^ ^ 2mK X? j 2mg 

" 2» -H 1 



j^ 2n -H 1 2n -I- 1 ^d 



et 



2 y /} dn - 

2n-+- 1 



^2 



«^ 2W7^ 

2dn 

2n-+- 1 



2mK , 2mir 

2n -t- 1 2n -+- 1 , 

n T7 ^-Ho; 

„ 2mS: 

sw 

2n-+-l 



'2 

Comme l'expression 



2mK , 2mZ , , 2mir 

on r xsn^ -, -t-hcn^ ^ 

2n H- 1 2n -»- 1 2n -+- 1 



, 2mK 
^^2^^ Vh 



7 X^ j 2»J^ „ 2?n^ , , 2m^ 

* y "^ ?; r ^sw 7ï T -*-hcrfi 

j^ 2n -+- 1 2n -♦- 1 2n -i- 1 

se réduit pour m = à 



,^ 2n-\- 1 

ce qui est égal à A^ et ne change pas de valeur par le changement du 
signe de m, on voit qu'en prenant la somme de ces expressions pour les 
valeurs suivantes de m: 

w = — w, — (n— 1),..., ^1, 0, 1,..., w— 1, n, 

on obtient l'expression de la somme 

Ci-+-x Cg-t-a; G„-*-x 

Par conséquent, d'après (5) on aura la formule suivante pour l'éva- 
luation du radical 

pas les limites x=l et x = h: 

2 



.-r , 2mK 

Vhdn 

2n-H 1 



„ 2niK , , 2mK 
2n -H 1 2n -»- 1 



^^ 2nH- 1 



• 550 — 



§ 5. L'égalité que nous avons obtenue donne le moyen de déduire fa- 
cilement une formule qui fournit les limites de la valeur de l'intégrale 



Jfr' 



à l'aide des intégrales contenant la fonction V hors du signe du radical. 

Il est nécessaire pour cela que les fonctions Z7, F restent positives 
pour toutes les valeurs de la variable sur lesquelles s'étend l'intégration. 

Désignant par 

M, M,<M 

les limites que la fonction V ne peut franchir, nous remarquons que l'ex- 
pression 

_F 
Mo 

restera entre les limites 

M 
^' Mo' 

et par conséquent entre les limites 

1, h, 
si 

L M 

Mo 

D'où l'on voit que pour les valeurs de w, sur lesquelles s'étend l'inté- 
grale 



l'égalité (7) est applicable à 
en supposant 



J 



Vv ' 



^=1;' 



M^ 

''Mo' 



En substituant ces valeurs de rr et ^ dans l'égalité (7) nous obtenons 

2- 



V-M^^^^ 



2n -*- 1 2n -t- 1 



1/*= 

.^ 2n + l 



— 551 — 
ce qui donne après la réduction du facteur commun VMq: 



,— , 2mK 



)/?■ 



^^ „ 2mK -. „ 2mK 



Z2e y dn - 

- ■ 2n-H 1 

D'ailleurs la fonction U restant, par supposition, positive pour les 
valeurs de u sur lesquelles s'étend l'intégrale 



1 



Udu 
Vf' 



on aura, d'après l'égalité précédente, où â est une quantité inconnue entre 
et 1, la formule 

r nri , 2mK ^^. 



^. „ 2mJr _- , 2mK 
2n -t- 1 2n -H 1 



Udu 

W^^ „«X^ , 2mF 



Z2» V cfn - 

^ 2n-+-l 



Cette formule a été obtenue en supposant 
h = ~- 

Mo' 

par suite d'après (6) nous aurons 

(9) M,=:M{\—h^). 

Ce qui nous donne une relation entre les quantités M, M^ que la 
fonction F ne doit dépasser dans les limites de l'intégration, et le module fc, 
dont on se sert pour former la formule (8) et l'équation (4). 

Désignant pour abréger 

2mK 
2W-I-1 

par s^ nous trouvons 

2mK _-,/:; — ^. , 2mK 



et d'après cela, en posant 



(10) iS=l-f-2 Vl— &3Si2-i-2 Vi—fe^Sa^ -+-... H-2 Vl— fe*s„^ 



— 552 — 
et 

,, ,. ^, . VM Vl - k^ .s2 r ?7<)u 

(11) -Z^(5)= s J Fs=-^itf(l-s2)' 

nous aurons en vertu de (8): 

(12) j" 5| = ^ [^(0) -H 2F(«,) -^ 2F(s,) H- , . . -h2F(s„)]. 

La quantité â étant comprise entre et 1 , cette égalité donnera pour 
^ ^ et ^ = 1 les deux limites de la valeur de l'intégrale f -^ du: 



^du^ F{0) H- 2Fis,) -4- 2F (s,) -f- . . -t- 2F (s^), 

^ du^} [F{0)-^-2F{s,)-^2Fis,)-^ . .h-2F(sJ], 



où l est une quantité déterminée par l'égalité (4) dont la composition montre 
que l s'approche rapidement de l'unité lorsque le nombre n augmente. 

§ 6. Passant aux applications des formules que nous avons déduites, 
commençons par le cas: 

U==\, V=l — X^sin^w, 

où X < 1 . En prenant pour limite inférieure dans l'intégrale 

Ç Udu__ f du 

J 'i^V'~J Vl — X^sin^u 

nous trouvons que la plus grande valeur de la fonction 

V= 1— X2 sin2 u 

dans les limites de l'intégration est 1, et par suite d'après notre notation 
nous pouvons prendre 

Pour cette valeur de M l'équation (9) donne 

Mq étant la limite inférieure de la quantité 

F=l— X^sin^w, 
que celle-ci ne doit dépasser pour que la formule (12) soit appliquable. 



— 553 — 

Or la fonction V ne devant pas franchir la limite M^ pour toutes les 
valeurs de u sur lesquelles s'étend l'intégrale 



n 



"^0 

pour toutes ces valeurs de u^ on doit avoir 

1 — X^ sin^ w > 1 — Â;'', 
et par conséquent 

sin w <y 

Si 

cette condition sera évidemment remplie pour toutes les valeurs réelles de 
m; donc dans le cas de 

on pourra appliquer la formule (12) à l'intégrale 

Vl — X2sin2M' 


XI étant aussi grand qu'on le veut. 
Quant au cas de 

la condition précédente ne sera remplie que pour des valeurs de u qui ne 
surpassent pas 

. k 

arcsin y; 

par conséquent dans le cas actuel nos formules ne sont applicables à l'in- 
tégrale 






du 



Vl — X2 8in2 u 

que sous la condition 

= . k 
u < arcsm y 

Substituant dans la formule (11) 



U=l, F=l— X^sin^î^, M=l, 



— 554 — 

et prenant pour limite inférieure de l'intégration, nous trouvons que dans 
le cas considéré 



Fis) 



— S I (1- 



X2 sin2 u) s2 H- 1 — «2 



= "^l-^l"' arc tang (Vl — X^ s' tang u), 
A l'aide de cette fonction et les quantités 

qui se déterminent (§ 5) par la fonction elliptique au module h, nous obte- 
nons d'après (12) une équation donnant les limites de la valeur de l'intégrale 



du 



r. 

Vl _ X2 sin2 M ' 
^0 



qui se rapprochent rapidement lorsque le nombre n augmente. 
§ 7. En nous arrêtant à la supposition particulière 



.=]/i-, 



nous trouvons 

et par conséquent l'équation (4), qui détermine la valeur de l pour diverses 
valeurs de w, se réduit à la suivante: 

74 _ 1 1 a^— (2n-f-i) % / lH-e-(^»-t-2)-g-He-(i2n-*-6)iCH-. . . \8 

Cette équation pour 

^ = 1,2,..., 
donne 

^2 = 0,9993546; 

/2 = 0,9999988; 



D'où l'on voit avec quelle rapidité se rapprochent, pour des valeurs 
croissantes de w, les deux limites de la valeur de l'intégrale 



>/l_X2 8m2 m' 
^0 



fournies par la formule (12). 



— 555 — 
En posant dans cette formule n=l, nous obtenons 



L'équation qui détermine S se réduisant pour 



à l'égalité 

^=l-*-2|/l— |s,^ 




et 



sn ^ = s,==: 0,9002272, 



nous trouvons 

5=2,5424598, 



en vertu de quoi, d'après (11), pour A; = j/y il résulte 
F {s 



l/ 1 — 4- «2 arc tang {Yl~l^s^ tang u) 

') = - — : 



2,5424598 Vl — X2 s2 

En faisant ici 

s=0, s = Si = 0,9002272, 
nous trouvons 

F(0) = 0,3933199 w, 

_ 0,3033401 arc tang (/l — 0,8104089 X^ tang m) 



Fis,)-- 



yi— 0,8104089X2 



ce qui, étant substitué dans l'égalité (12), donne la formule suivante pour 
l'évaluation de l'intégrale 

/.M 

du 



f. 

I yi— X^sin^M 
•^0 



J_r^QûQ3|ûg 0,6066801 arc tang (Vl — 0,8104089 X^ tang u) ! 

ï*^ L ' ~^ yi— 0,8104089X2 J* 

Posant w = 2, nous trouvons que dans le cas considéré l'égalité (12) 
se réduit à la suivante: 

j^g- LdM-i-^ arc tang (Bj tang u)-*-^ arc tang {E^ tang a) L 



— 556 — 

où 

^ = 0,2360679; 5^ = 0,4188063; ^3 = 0,3451258; 



J?^=yi — 0,4262988 X^; J?2= Vl —0,9313131 X^ 
Des formules semblables par rapport à l'intégrale 

u 

l -*-p sin2 u du 



r . 

-^0 



s'obtiennent de l'égalité (12) eu y posant 

TT 1 -H P Sin* u T7- 1 -i 9 • 9 

U = -, — ■ o ■> V=l —Af mn^ U. 

1 -f- g 8111'' M 

§ 8. En substituant dans l'égalité (12) au lieu de C/ et F diverses 
fonctions, nous obtenons des formules qui donnent les limites des valeurs 
des intégrales de la forme 



r Udu 

Jvf' 



dont l'évaluation présente souvent de grandes difficultés. 
Ainsi, posant 

F= 1 — X^ sin^ u; U=0 (tang u), 

où 0{tg II) est une fonction qui conserve le signe -+- dans les limites de 
l'intégration, nous trouvons 



(tang m) 

Vl — X2siii2 




= àu=:^ [F(0) -I- 2F{s,) -*- 2Fis,) h- ... -h 2F(s„)], 



7^-, . K Vl — k^s'^ (tang u) c)w 

-'o 
Ces formules, d'après ce qu'on a remarqué dans le § 6, auront lieu pour 
toutes les valeurs de w, si 

En supposant cette condition remplie et prenant — V^^^ ^^ limite 
supérieure de l'intégration, nous tirons de ces formules: 



Ç^ <Z> (tang u) du 

J ^ 

*^0 



^1^ = ^ [F(0) -^ 2F(s,) -^ 2F(s,) ^ . . . ^ 2^(0], 

TT 

p/ >>_ >^1— fc^fiZ f ^ (g (tang «) du 



— 557 — 

Posant dans la dernière intégrale 

tang u = ^, 
nous trouvons qu'elle se transforme en 



(P(g)c 



f 

•^0 



en vertu de quoi l'égalité (11), qui détermine la fonction F {s) dans le cas 
considéré, se réduit à la suivante 

^0 

D'oii l'on voit que la formule qu'on obtient pour l'évaluation de 
l'intégrale 

JO (tang u) du 
Vl — X2 siu2 u ' 


ne contiendra que des intégrales de la forme 

Q {z) dz 

1-H(1— X2s2)22' 
^0 

dont la valeur est connue pour certaines formes particulières de la fonction 
Ainsi, dans le cas où 

nous trouvons 



O (z) dz zP—'^ dz 

1 -♦- (1 — X2 S2j 2-2 1 -H (1 — X2 «2^ ^2 = 

n 'A 



^0 ''O 2sin Ç (l-X2s2^2 

et d'après cela, en déterminant l'intégrale 

(tang m) du " tangP i u du 



Vl—l^sia^u /l— X2sin2M 

-^0 



au moyen de l'égalité (12), nous aurons 



F(s) = - -"'-^^^^ 



2 sin Ç (l— X^s^jz S 



— 558 — 
par coDséquent cette égalité donne 






1" 1,21/ ^-/"^^'~ , ... 2 1/ '-^"'-" 



yi — X2 8in2 t 



Z2«^8inÇ 



d'où, en substituant la valeur de S, tirée de (10), nous obtenons 



1:, 1 , 2l/ i-^'^i' , , 01/ i-fc^% 
p-i«^» _ 2 "^ ^^^ V (l-X2V)P^---^^ K (1-X2 V)P 



yi— X2sin2tt ^26910^ lH-2 yi— ;c2 5^2_^_._^_2 yi_fc2g^2 

•^0 2 

Dans le cas particulier, où l'on prend k = y— et w = 1, cette éga- 
lité, en y portant la valeur 

s^=sn ^=0,9002272, 
donnera pour la détermination de l'intégrale 



^ tangP— ^ u du 
yi — X2 ain^w' 



pour ^ < l/y, ïa formule suivante: 



0,3933199 -+- 



1 

^^^^'""-Y (1 -0,8104089X2^3 

OÙ ^2=09993549. 

Posant n = 2, pour la même valeur du module k, nous trouverons pour 
l'évaluation de l'intégrale 



pour a; 



i]/h la 



J'^ tangP— 1 u d u 
Vl — X2 siii2 u ' 
n 



formule: 



Î2« 9ia ^ 
2 



0,2360679 H o^4i88063_ 



0,3451258 



f 1 — 0,4262988 X2V ( 1—0,9313131 X*]^ 



OÙ ^2 = 0,9999988. 



27, 

SDR LES SOMMES COMPOSÉES DES VALEDRS 

DE MONÔMES SJMPLES MULTÎPHÉS PAR DNE 

FONCTION QDÎ RESTE TODJODRS POSITIVE. 

(TRADUIT PAR ». SÉLIVANOrr.) 



(Lu le 9 octobre 1890.) 



mopast ocma&inojv noAOchumcAïaHOio. 



(npHJioKenie Kt LXIV-My Toiay SanHCOKi, IlMnepaTopcKOÔ AnaneMia HayKt, A's 7, 

1891 r.) 



Sur les sommes composées des valeurs de mo- 
nômes simples multipliés par une fonction qui 
reste toujours positive. 

§ 1. En développant une fonction f{x) suivant les puissances ascen- 
dantes de la différence 

x — X, 

on obtient une formule servant à exprimer approximativ ement la fonction 
f{x) sous la forme d'un polynôme dont les coefficients se déterminent par les 
valeurs de la fonction primitive 

et ses dérivées 

f(x), f"{x),.... 

pour X =X. En développant f{x) en une série de forme plus compliquée 

(1) E,U,-^K,U,-*-K,U,-^,..., 

où 

sont des fonctions de la variable x indépendantes de f{x)y on obtient pour 
la détermination des coefficients 

des formules pouvant généralement être présentées sous la forme suivante 

Les fonctions 

?oW, ?l(^), ?2W' , 



— 562 — 

qui y entrent, et les valeurs de la variable x^ aux quelles s'étendeut les som- 
mes, dépendent de la nature des fonctions 

u,, u„ u,,...., 

servant à la formation de la série (1). 

Dans les cas singulièrement simples, quand les fonctions 

?o(^), ?i(^), ?2W, 

sont des polynômes des degrés 

0, 1, 2,...., 

ces sommes se décomposent en sommes élémentaires 

et alors les expressions approximatives de f{x) données par la formule 

(3) fix) = K, U,-*-K, U.-ir-K, U,-^. . . . 

s'obtiennent à l'aide des sommes (2) formées avec les valeurs de monômes 

multipliées par f{x-). 

Les expressions approchées de la fonction f{x) ainsi obtenues diffèrent 
essentiellement de celles qu'on déduit par le développement de la fonction 
t\x) suivant les puissances de la différence x — X et qui donnent des poly- 
nômes les plus rapprochés à f(x) dans le voisinage de x = X 

Ayant un moindre degré de précision, quand il s'agit de calculer f{x) 
dans le voisinage de x = X, ces expressions approchées donnent en cer- 
tains cas une meilleure représentation de la fonction f{x) pour les valeurs 
de X variant entre des limites plus ou moins étendues. 

Ainsi il résulte de notre Mémoire «-Sw l'interpolation par la méthode 
des moindres carrés» '^), que la série (3) avec les fonctions 

déterminées par le développement de la somme 

^^^ X — Xi 

eu fraction continue, et avec les coefficients 

/iTo, K^, Kr,,. . , , 

*) T. I, p. 473-498. 



— 563 — 
composés Iméairement à l'aide des sommes 

donne l'expression approchée de la fonction f{x) sous forme d'un polynôme 
du degré plus ou moins élevé se distinguant de tous les autres polynômes 
du même degré par la moindre valeur de la somme qu'on obtient en addi- 
tionnant les carrés des écarts des valeurs de ce polynôme des valeurs de 
f{x.) servant à développer f{x) en série (3). En passant à la limite, quand 
toutes ces valeurs f{x.) se confondent avec f (X), ce polynôme se réduit à 
l'expression approchée de la fonction f(x) qu'on obtient en développant 
cette fonction en série suivant les puissances ascendantes de la différence 
X — X. Cette expression représente f{x) avec la plus grande approximation 
pour X infiniment voisin de X 

On obtient une formule plus générale pour le calcul approché de la 
fonction f{x) au moyen des sommes 



2^i°A^.-), y,^<fi^i), '^'^i'^i), 



par la méthode que nous avons indiquée dans le Mémoire (^Sur les fractions 
continues» *). Cette formule se présente sous forme d'une fraction 

F{x) 
Foixf 

dont le dénominateur F^ {x) est une fonction arbitraire positive pour toutes 
les valeurs x = x.; le numérateur F{x) est un polynôme du degré plus ou 
moins élevé. La fraction ainsi obtenue pour l'expression approchée de la 
fonction f{x) se distingue de toutes les autres fractions ayant le même dé- 
nominateur Fq{x) et le numérateur F{x) du même degré par la moindre 
valeur de la somme 

Il en résulte que les sommes 
de même que les dérivées 

f\x), f'ix), rw,...., 

peuvent servir à déterminer la valeur approchée de la fonction f{x) pour 
les valeurs de la variable x contenues entre des limites plus ou moins 
éloignées. 



*) T. I, pag. 203—230. 



— 564 — 
D'après ce que nous avons indiqué*) sur les intégrales 

[ f{x) dx, J xf{x) dx, J x^f{x) dx, , 

aux quelles se réduisent en limite les sommes 

^^'.'•m), ^^im, Xo'^'fi^ù, 

ou voit que ces sommes, de même que les dérivées 

f(x), f{x),f"(x) , 

peuvent servir à la résolution des questions concernant la fonction f{x)^ 
essentiellement différentes du calcul par approximation des valeurs de la 
fonction pour les différentes valeurs de la variable x. Les résultats obtenus 
ont lieu aussi pour la fonction discontinue f{x)\ il est cependant nécessaire 
que cette fonction ne devienne pas négative pour les valeurs considérées de 
la variable œ. Cette condition se trouve réalisée dans plusieurs questions des 
Mathématiques pures et appliqués présentant, à cause de la discontinuité, des 
difficultés insurmontables pour l'application du calcul différentiel. 
Pour cette raison les sommes 

formées des produits des quantités positives 

et des différentes puissances des quantités réelles 

sont bien dignes d'attention. Nous allons montrer maintenant, comment, eu 
connaissant les valeurs de ces sommes, on peut déterminer la limite infé- 
rieure de la plus grande des quantités 

^0) ^IJ ^25 • • • '^n—\1 

et la limite supérieure de la plus petite de ces quantités. 

En supposant données les limites entre lesquelles sont contenues les 
quantités 

^Oj ^15 ^2» • • • '^n — \ 

*] Sur les valeurs limites des intégrales. T. II, pag. 183—185. Sur la représentation des 
valeurs limites des intégrales par les résidus intégraux. T. II, pag. 421—440, Sur les résidus 
intégraux qui donnent des valeurs approchées des intégrales. T. II, pag. 443—478. Sur les som- 
mes composées des coefficients des séries à termes positifs. A la fin du T. II. 



— 565 — 
dans les sommes 

n n n 



nous ferons voir, comment par les valeurs de ces sommes on peut déter- 
miner les maxima des sommes qu'on obtient par addition des termes de la 
série 

fW, fi^i), fW. — fK-i)' 

correspondant aux termes consécutifs de la série 

Xq, a?j, X^, . . . .X^_^j 

n'atteignant pas plus ou moins l'une de ses limites. D'après les formules 
pour ces maxima on obtient facilement les valeurs limites de l'intégrale 



I 



f{x) dx 
i 

dans le cas, où l'on connaît les valeurs des intégrales 

f{x) dx, X f{x) dx,. . . . x^~^ f{x) dx, 

la fonction f{x) ne devenant pas négative entre x = a ei x=^'b et la quan- 
tité u étant supérieure à a et inférieure à h. 

§ 2. En posant 

f W = 2/o 1 fi^i) = Vi , fW = ^2 , . . . . , fK-l) = yn-ii 
n n n n 



on trouve que les quantités 

x„ x^, x^,....x^_^, 

Voi yi, 2/25 Vn-i 

sont liées par l relations 

n n n n 

(4) 2^'°2'.-=^«' 2^'%=ci. ^x<'yi=o, 2*/~'î'<=^'-.' 



— 566 — 
où, d'après le § précèdent, les quantités 

Xq, a^j , ^2 5 • ■ • • ^n — 1 

ne sont pas imaginaires et les quantités 

ne sont pas négatives. 

En développant la somme 

n 

^^ X — Xi 



suivant les puissances descendantes de x^ on obtient l'égalité 



qui prend, au moyen des équations (4), la forme suivante 

^ X — Xi X X2 ^l ^Z-f-1 ^^ t ^t 



Il en résulte clairement que pour satisfaire aux équations (4) par des 
valeurs de 

Xq, X^, X^j , . . . x^ ^ , 

Po^ 2/n 2/25 Pn-i 

il est nécessaire et suffisant que la somme 



soit égale à l'expression 

X x^ x' x'' 

au terme contenant \ près. 

D'autre part, à cause des propriétés indiquées des quantités 

^0 ? ^1 5 ^2 5 • • • • ^n—\ > 
2/o: Pi. y^l 2/n-i» 

la somme 

n ■ 

^^ X — X{ 



— 567 — 
dans l'intervalle deic = — oo à x = -^oo devient infinie pour n valeurs 

^Oj ^i> ^3'* • • '^n— 1' 

en passant toujours de — oo à -*-cxd. 

En se servant de la notation de Cauchy*) on obtient 



-♦- oo n 

= n. 

X Xf 

-oo O 



6/ ^m^ X — Xi 

— OO O 

En appliquant la méthode de Cauchy pour la détermination de l'indice 

-t- oo n 



— oo 

et remarquant que la somme 



2 yi 
X — CL 



se réduit à une fraction avec le dénominateur du degré w, on conclut que 
cet indice pour les limites a; = — oo et ic = oo ne peut atteindre la va- 
leur w, égale au degré du dénominateur, que si dans la fraction continue 






provenant du développement de cette somme, tous les quotients incomplets 

sont des fonctions linéaires de x avec des coefficients positifs. 

Donc la condition nécessaire et suffisante, pour qu'aucune des quantités 

Xqj X^, ^2 ' • • • • "^n 1 

ne fût imaginaire et les quantités 

2/0, 2/1, 2/2, 2/n_i 

fussent positives, peut être représenter par l'égalité 






*) Journal de l'École Polytechnique. Cahier 25. 



— 568 — 

réunie avec les inégalités 

ai>0, a,>0, a3>0,....a„>0. 

Il résulte de ce que nous avons dit plus haut sur les équations (4), 
que les quantités 

^0» ^l> ^2' • • • '^W— 1' 

y,, 2/n 2/25 Vn-i 

ne peuvent satisfaire à ces équations que dans le cas, où la fraction con- 
tinue 



a„a;-i-p„' 

provenant du développement de la somme 

n 


représente l'expression 

au terme de l'ordre —.■ près. 

a;' 

Par cette raison, en connaissant le développement de l'expression 
^ _. ^ _. ^ _. , Q— 1 

a; a;2 a;3 ~*~ • • • • "^ a;' 

en fraction continue 

il est facile de déterminer les premiers quotients incomplets de la fraction 
continue 

1 1 







a, x -4- p, „ ,- _^ F, ^ 




^'^-^-^-f^^ a,a.-^P3--.. 


1 


qui résulte du développement de la somme 


a„a;-Hft„ 


ji^X-Xi' 






si les quantités 




^0, ^1, a;2,....a;„_,, 




2/o, ^n y^i'-'-Vn-x^ 




y contenues, satisfont aux équations (4). 





— 569 — 

§ 3. En désignant par h le nombre entier obtenu par la division de l 
par 2 et arrêtant la fraction continue 



au quotient incomplet 

on obtient pour elle l'expression approchée 
1 



1 «^i a2 ic -t- [ig — • . . 1 

exacte au terme de l'ordre — r près. 

Avec le même degré de précision la fraction ci -dessus représente 
l'expression 

^0 _.9i_. _. Q— I. 



car, d'après ce que nous avons dit, cette expression ne diffère pas de la 
fraction continue 

1 



par les termes de l'ordre plus élevé que —, — ? l étant égale à 2^ ou2â;-*-1, 
suivant que l est divisible par 2 ou non. 
Il en résulte que la fraction continue 



avec h quotients incomplets doit donner l'expression 

X a;2 • • • • ; 7(7) ^^ 1 

exacte jusqu'aux termes de l'ordre -^ inclusivement; cela suppose les rela- 
tions suivantes 



(5) 



a^") = n 



é'^=H^-^k' 



— 570 — 
Si toutes ces équations ont lieu, la fraction continue 
_î 1 



«2 ;*- -t- tJ2 



donne l'expression 

X a;2 • ► • • ^i 

exacte jusqu'aux termes de l'ordre -^ inclusivement, quels que soient les 
quotiens incomplets qui suivent 

dans les fractions continues provenant du développement de cette expression 
et de la somme 

n 

^^ X — Xf 



Pour l pair, d'après ce que nous avons dit sur le nombre k, on a 
1 j_ 

Il en résulte que pour un tel l la fraction continue 
' 1 

a„x-f-(3„' 

provenant du développement de la somme 





donne l'expression 

X X^ ^l 

exacte jusqu'au terme de l'ordre -y- inclusivement et par cette raison, d'a- 
près le § 2, les équations (4) doivent êtres satisfaites par les quantités 

2/o, 2/i, 2/2. 2/„_i, 



contenues dans la somme 

n 

^^ X — Xi 



— 571 — 

§ 4. En passant au cas de l impair, quand / = 2fe -+- 1, on remarque 
que, à cause des relations (5), la différence des fractions continues 



^ , 1 \ 


1 1 


«'i^-^-^i-a.a.H-P,-... 1 '^^^ 


^n^-^K' 




enant du développement des fonctions 




^X — Xi X x^ x^ ' ' ' 




-¥• 


du même degré que l'expression 









Il en résulte que cette différence peut être du degré moins élevé 
que — l, comme cela doit être d'après le § 2 pour satisfaire aux équations 
(4), seulement dans le cas, où la différence 

est du degré zéro et par conséquent, quand le quotient incomplet 2^*"*"^' 
contient x en première puissance avec le coefficient égal à a^^^. 

Si cela a lieu et si les relations (5) sont satisfaites, la différence des 
expressions 

ji^ X — Xi X X^ X^ x'' 



pour l impair = 2k-*-l est du degré inférieur à — ^ et par conséquent, 
d'après le § 2, les équations (4) sont satisfaites. 
Ainsi par le développement de l'expression 



en fraction continue 



X X^ X^ /rt 






on détermine les premiers quotients incomplets de la fraction continue 



a, an- p, — - 



— 572 — 
égale à la somme 

n 

.^^ X — Xi 



les quantités 

Vo, «/n 2/25 Vn-i 

satisfaisant aux équations (4). Mais pour qu'aucune des quantités 

^oj ^1) ^25* • • '^n—i 
ne fût imaginaire et que toutes les quantités 

Vo, Vi, 2/2. 2/„_i 

fussent positives, il faut et il suffit, comme nous avons vu (§ 2), que les 
quantités 

«n «2, , a„ 

soient plus grandes que zéro. 

En parlant des solutions des équations (5), nous avons supposé que 
la fraction continue 

1 



provenant du développement de la somme 

n 

a; — a-,- ' 


contient le quotient incomplet 

pour l pair = 2^, et le quotient incomplet 

pour l impair = 2^-i- 1. Puisque le nombre des équations (4) est ?, égal à 
2^ ou 2fc -H 1 , et le nombre des inconnues 

^01 ^1) ^2>- • • -^n— 1» 
2/o, 2/i, 2/2... -.^/n-i 

est 2w, cette condition a toujours lieu, si ?, le nombre des équations (4), ne 
surpasse pas 2n^ le nombre des inconnues y contenues. 



— 573 — 
Dans le cas contraire ces équations ne sont possibles que si les valeurs 

satisfont aux certaines conditions. Pour déduire ces conditions et indiquer 
les singularités que présentent dans ce cas les solutions des équations (4), 
nous remarquons que, d'après le § 2, ces équations étant satisfaites, la frac- 
tion continue 



ai œ-f-Pj- 


aj a; H- 32 — • • . 

de la somme 


1 


provenant du développement 


a„a;H-3„ 




n 





doit produire l'expression 






§- 


â-â--- 





exacte jusqu'au terme de l'ordre — inclusivement. 

Cela n'est possible pour w < y que si l'expression ci-dessus est déve- 
loppable en fraction continue 



(toX-*-^., — • . 



la quantité ([^'^^^ étant du degré supérieur à l — 2n. C'est précisément la 
condition de possibilité des équations (4) pour l > 2n. Puisque dans ce 
cas se déterminent complètement et le nombre n, et les quotients incomplets 

de la fraction continue provenant du développement de la somme 

n 

^^^ X — Xi 


les équations (4) auront une solution unique. 

Dans tout autre cas ces équations, si elles sont possibles, admettent 
une infinité de solutions se distinguant et par le nombre des inconnus 

.Vo, 2/n 2/2. Vn-i 



— 574 — 

et par les limites entre lesquelles les quantités 

sont contenues. 

§ 5. Eu supposant les quantités 

Xq, a^j, x^, . . . .x^ j 

rangées dans l'ordre croissant, nous indiquerons maintenant, de quelle ma- 
nière on obtient les solutions des équations (4), dans lesquelles x^ a la plus 
grande valeur ou x^_^ la plus petite valeur. 
En désignant par 

les réduites qu'on obtient en arrêtant la fraction continue 
^ 1 

a^x-i-(i„ — • . ^ 

au 1-er, 2-me, 3-me. . . ., w-me, . . . . quotient incomplet, on aura 

1 



9n Jx) __ 1 



Par cette raison, les équations (4) à 2n inconnues 
'^o? *^n *^2' • • • ••^M— 1' 

étant résolues, l'équation 

n 


sera satisfaite d'après le § 2. 

Il en résulte que dans cette solution les inconnues 

^05 ^1' ^2' • • • •^n— i 

sont racines de l'équation 

^^{x) = 0] 

par conséquent la moindre racine de cette équation donne la valeur de Xq 
et la plus grande celle de x^_^. Pour obtenir les conditions dans lesquelles 



— 575 — 

iCo atteint la plus grande valeur ou x^_^ la plus petite, nous remarquons que, 
d'après les propriétés des réduites, les fonctions 

■ 'Il (^), +2 (^), • • . 4m (^). Im-i-i W. 

dans le cas considéré, sont déterminées par les équations 

'\>2 W = («2 ^" -^ P2) Il W — 1 , 



(6) lm(^) = K ^-^U •L_.(^)-|«_.(^), 

(7) lm^.(^) = K^» ^H-?^^J ,^^(^)_^_^(a;), 
et d'après le § 2 on a 

(8) a,>0, a,>0,....a^>0, a^^^>0. 
La première de ces équations fait voir que l'équation 

|,(^) = 
a une solution 

Eu portant cette quantité dans la seconde équation et remarquant que 

on obtient 

Mais en posant consécutivement 

x= — 00, a; = -4- 00, 
et remarquant que d'après les conditions (8) 

a, > 0, «2 > 0, 

on trouve 

I2 (— ^) = -^, I2 (-H 00) = -4-. 

On voit d'après ces valeurs de la fonction '^^{x) pour 
x = — 00, x = — ^, a; = H-oo 
que ic = — ^, racine de l'équation 

li(^) = 0, 



— 576 — 
est contenue entre la plus grande et la plus petite racine de l'équation 

Pour étendre ce raisonnement à toutes les équations formées au moyen 
de deux fonctions consécutives de la série 

nous allons maintenant démontrer que toutes les racines de l'équation 

+„(*) = 
sont contenues entre la plus grande et la plus petite racine de Téquation 

si cette propriété a lieu par rapport aux équations 

En effet, en désignant par Jiq la plus petite racine de l'équation 

et par Ji la plus grande racine et supposant démontré que toutes les racines 
de l'équation 

sont contenues entre la plus petite et la plus grande racine de l'équation 
on remarque que l'équation 

ne contient pas de racines ni entre x = — oo, x = î1q, ni entre x = -i-ooj 
x = h et que par conséquent les valeurs 

sont de même signe que 

Cela étant, de l'équation (7), en y posant successivement 
x = \, x = h, 



— 577 — 
et remarquant que 

d'après la définition des quantités h^ et ^, on trouvera les valeurs de 

avec des signes contraires à ceux de 

Puisque ces quantités, d'après les relations (6), (7), (8), ont les mêmes 
signes que les quantités 

on conclut que dans l'hypothèse admise la fonction '^^_^_^{x) change son 
signe entre x = — oo et x = 1iq^ ainsi que dans l'intervalle x^=Ti Qi 
x = oo; par conséquent, l'équation 

a une racine inférieure hh^^X^ plus petite racine de l'équation 

et une racine supérieure à /z, la plus grande racine de cette dernière équa- 
tion. Il en résulte que toutes les racines de l'équation 

sont contenues entre la plus petite et la plus grande racine de l'équation 

si cette propriété a lieu par rapport aux équations 

Cela posé, en passant successivement des équations 
aux équations 

+3(^)=0, 4^4^ = 0, 



on remarque que généralement avec l'augmentation de l'indice v la plus 
petite racine de l'équation 

diminue et la plus grande racine augmente. 



— 578 — 
§ 6. Cette propriété de l'équation 

'\>, W = 

permet sans difficulté d'indiquer la condition dans laquelle, en résolvant 
les équations (4), on obtient la plus petite valeur pour x^_^ ou la plus grande 
valeur pour Xq. 

Nous avons vu (§ 3) que dans la résolution des équations (4) il est 
nécessaire de distinguer deux cas: le cas de l pair et celui de l impair. 

Dans le cas de l pair, en posant l=2k, nous avons montré que les so- 
lutions des équations (4) résultent de l'égalité 



(Q) V yj ^ l 



- - a^aj-t-Pj — • 



OÙ les fe premiers quotients incomplets 

sont les mêmes qu!on obtient en développant l'expression 
^ H- — H- — H- -f- ^^~^ 

X x^ x'^ . . . • ^i 

en fraction continue 



le nombre des autres quotients incomplets et leurs valeurs restant arbitraires; 
d'après le § 2 il est cependant nécessaire que tous les quotients incomplets 
soient des fonctions linéaires en x, aux coefficients de x positifs. 

Il en résulte que dans le cas considéré le nombre n ne peut pas être 
inférieur à Je. 

Puisque d'après le § 3 la quantité Xq est la plus petite racine de l'é- 
quation 

^Jx) = 

et x^_^ la plus grande racine, et puisque, comme nous l'avons démontré 
tout à l'heure, x^ diminue et x^_^ augmente, lorsque n augmente, on 
obtient la solution des équations (4), où x^ a la plus grande valeur et x^_^ 
a la plus petite valeur, en admettant que w a la plus petite valeur possible, 
qui est égale à k, comme nous l'avons vu. Cela posé, en désignant par Mq 
la plus petite racine de l'équation 



— 579 — 

et par M la plus grande racine, on a dans les solutions considérées des 
équations (4) _ _ 

quel que soit le nombre n. 

En passant au cas de l impair, on remarque, d'après le § 3, que pour 
l = 2k-t-l la fraction continue, servant à obtenir les solutions des équa- 
tions (4), ne peut pas être arrêtée au quotient incomplet 

Pour cette raison, d'après ce que nous avons dit sur la détermination 
des quantités 

et sur la variation des racines limites de l'équation 

^^„(^) = 0, 

quand n augmente, dans le cas considéré, oiî w > fc, auront lieu les inéga- 
lités ^ 

Il est facile de démontrer en outre que pour l = 2k-t-l les quan- 
tités Xq , x^_^ satisfont à l'inégalité 

Pour cela remarquons que d'après le § 5 pour w>A;-f-l ni l'équation 
ni requation 

'^,ix)=:0 

n'ont pas de racines hors des limites des racines de l'équation 

Puisque la plus petite racine de cette équation est Xq et la plus grande 
a;„_^, les équations 

n'ont pas déracines ni entre x= — cx3, x=Xq^ ni entre x = x^_^^ x = oo; 
par conséquent, la fraction 

pour 



— 580 — 

a les mêmes signes que pour 

x = — cx>, a; = 00. 

Mais, en posant dans les formules (7), (8) m=k, a;= — 00, aJ=-f-cxD, 
on trouve, que cette fraction est négative pour x = — 00 et positive pour 
a? = 00 ; par conséquent, on a 

En y portant les valeurs 

déduites de l'équation (7) dans l'hypothèse m=Â;, a; = a;o, x = x^_^^ on 
obtient les inégalités 

d'où, en soustrayant la seconde inégalité de la première et divisant par 
x^_^ — iCo, on obtient l'inégalité indiquée plus haut. Cette inégalité a lieu 
pour ^ = 2fe -H 1 , quel que soit le nombre n dans la solution considérée des 
équations (4). 

§ 7. Nous avons considéré jusqu'à présent les sommes 

n n n n 



en nous bornant au cas particulier, quand toutes les quantités 

2/0, 2/1, 2/2, Vn-y 

sont positives. En passant au cas plus général, quand parmi ces quantités 
se rencontrent des zéros, nous supposerons, qu'on obtient la série des quan- 
tités 

2/0, 2/1) 2/a, Vn-i^ 

contenues dans les sommes, que nous avons considérées, en chassant de la 
série des carrés des quantités réelles 



les termes égaux à zéro. En supposant que 

(11) w«5o = 2/o» A = 2/n w% = 2/2,....w\_x = «/„_, 



— 581 — 
et que , , 

est une série croissante de quantités réelles, où 

(12) ^.0 = ^0, ^S| = ^n ^S2 = ^2»---"S'^n-i = ^n-i' 

on remarque que les sommes 



se réduisent à 

n n n n 

2 ^'yi^ 2 ^* ^»' 2 ^»-' ^«' • • • • 2 ^i~' y^' 



et par conséquent les équations (4) donnent 

(13) J;vv=Q.. 2^'''<"=^" 2^*'"'"=^» 2^/"'«/=c,_,. 



Il en résulte que ce que nous avons démontré dans les paragraphes 
antérieurs peut nous servir pour étudier les équations (13), dans lesquelles 

%, Wi, «*2, W^_j 

sont des quantités réelles quelconques, égales ou non à zéro, et 

^o> ^n ^2)' • • '^p—i 

est une série de quantités croissantes. 

En désignant par h le nombre entier contenu dans y, par 

les réduites de l'expression 






développée en fraction continue 



" a^ a; -f- Pft — • 



— 582 — 
par Mq la plus petite racine de l'équation 

et par M la plus grande racine, nous avons démontré que les équations (4) 
ne peuvent être satisfaites que dans le cas, où 

(14) a:o<J/o; ^n-i>^- 

Puisque la somme 



g-f-l 


...--V. 


pour q < s^_j contient le terme 
et la somme 






^ w,.^ = V-f-w/-»-w/-i-.. . 


.-HwVi 





pour gj > Sq contient le terme 

et ces termes, d'après (11), sont égaux à ^„_i, 2/05 quantités que nous avons 
supposées supérieures à zéro, les sommes 

2-Hl 

ne peuvent se réduire à zéro que dans le cas 

ce qui suppose 

parce que les quantités 

forment une série croissante. 

En remplaçant, d'après (12), les quantités 

par 

nous réduisons ces relations à la forme suivante 

^î^^n— 1' %i^^o? 

et d'après (14) on aura 



— 583 — 



Donc les sommes 














P 





u^ 


surpassent le zéro, si 




^a<M, 


^gx>^o, 


et par conséquent, d'après les égalités 











p 




e«/- 


p 

3-Hl 




p 

3i 


p 




ul- 


Si 



pour ces valeurs de ^g 


^?i 


es sommes 











p 


«,» 


ne peuvent pas atteindre leur limite 










■2 


V- 





Maintenant nous allons nous occuper de la détermination de la limite 
supérieure des sommes 

g-t-l p 

Qi 

lorsqu'elles restent inférieures à la somme 



• 2»A 



Ces limites diffèrent plus ou moins de cette dernière somme selon les 
valeurs 

des termes de la série 
correspondants aux termes 



de la série 



V, <, </--"WV-i' 



— 584 — 
lesquels avec les valeurs 

représentent les termes-limites des sommes considérées. 

Nous désignerons les valeurs des termes ^g, ^g^ par v, w, en posant 

(15) ^g = ^, ^qi = ^; 

nous poserons en même temps 

(15f« ^, = a, ^p_=h, 

a et b étant des quantités données. Pour la possibilité des équations (4) et 
(12) dans les conditions posées il faut que les quantités a, 6, comme limites 
entre lesquelles sont contenues les quantités 

a?o, a^i, oc^, a;^_i, 

satisfassent aux inégalités 

a<M,, h>M; 

mais les quantités v, w, étant, d'après (15), contenues dans la série 

ne peuvent pas sortir hors des limites z^^a et z == &. 
§ 8. Pour obtenir la limite supérieure de la somme 

g-i-l 


dans les conditions supposées, nous chercherons, parmi tous les systèmes de 
quantités 

Wo, w„ %2, «*p_i, 

satisfaisant aux équations (13) et aux conditions 

celui pour lequel la somme 

2 **/ = «^o' -»- ^i' -*- Wa' -^ -^ V 





— 585 — 

atteint la plus grande valeur. Dans cette recherche nous ne ferons aucune 
hypothèse particulière sur les nombres jp, q\ ces nombres, comme nous ver- 
rons, se déterminent complètement dans la recherche du maximum de la 
somme 

V _^ ^^2 -H Wg' -*- H- W^^ , 

si seulement dans la série 
tous les termes 

diffèrent de zéro. Cette condition peut être toujours réalisée dans la for- 
mation de la série 

comme cela est indiqué dans le § 7. De cette manière on éloigne la possi- 
bilité d'augmenter infiniment les nombres ^, q en ajoutant à cette série les 
termes égaux à zéro. 

Pour obtenir la plus grande valeur de la somme 

"V W^.2 = Uq^ _|_ w^2 _,_ ^^2 _,_ ^ ^ ^ _,_ ^3 


dans les conditions supposées, appliquons la méthode connue pour la re- 
cherche du maximum relatif et remarquons que les inconnues 

et les données 

^OJ ^H ^2> ^Z-i> 

sont liées par l équations (13), En introduisant l quantités auxiliaires 

et posant pour abrégé 

2-*-i P P P 

(16) 2 v=^, 2 ^*°«.- --s.- 2^.- v=5'. 2^/"" «<'=«,-.. 



on obtient pour la détermination des quantités 



— 586 — 
donnant le maximum cherché, les équations suivantes 

^ ôUq i duQ a duQ l—i duQ ôuq ' 

^ dwp_i ' ^«p— 1 2 ^"p— 1 *— 1 ^Wp— 1 ^î*p— 1 ' 

An ^ H À, 5 H À„ ^ 1- . . . . -f- A, , ^-- i T = 0, 

> ^^0 . \ àS^ . dS^ . dSi_i àX _^ 

^ azp_2 1 dzp_2 2 a^p_2 /— 1 dZp_^ àzp^2 ' 

mais au moyen des équations (16) on trouve 

^-^ = nzp-'u.', pour 7] = 0, 1, 2, ^— 1, 

è-= 1, 2, 3,....,2— 1, 2-Hl, 2-^2,....2>-2, 






:2zp Ui, pour 73 = 0, 1, 2, ^— 1, i=0, 1, 2, p—\. 



^â| = 2w., pour ^ = 0, 1,2,.... g, 

^ = 0, pour i = g-+-l, q-A-2, iJ— 1, 

^ = 0, pour ê = l, 2, 2 — 1, 2-*-l, g-t-2, i?— 2; 

donc les équations qu'on vient d'écrire prennent la forme suivante 

2 {\-^\ Zi-*-\ ^/-4-. . . .-^-\_, ^/~'— 1) w.- = 0, 
pour 

i = 0, 1, 2,....^, 

2 p^o -H \ Zi -^\ z.^-i- -+- X^_j ^/~^) w,. •■= 0, 

pour 

i = g-+-l, 2-1-2,....^ — 1, 
et enfin 

(1 .\-^2\ ^.-f-. . . .-H(^- 1) X^_^ ^/-^ w/ = 0, 
pour 

è=l, 2,....g— 1, g-4-1, ^-h2 p — 2, 



— 587 — 
ce qu'on peut abréger de la manière suivante 

2 {6 {z,)—\) w< = 0, pour « = 0, 1, 2, 2, 

2 (0.) M,. = 0, pour i==g-i- 1, 2-*- 2, ^ — 1, 

â' {z^ u? = 0, pour i=l, 2,. ...g— 1, g-i-l,....2> — 2, 
en désignant par ^ {z^ la fonction entière 
(1 7) {z) = \_^ i-^ -H \_^ é-^-^- ....-t-l.z^-i-l^z^'Ko' 

Supposant, comme nous l'avons fait ci-dessus, qu'aucune des quan- 
tités 

n'est égale à zéro, et supprimant 2w^. et w/, on déduit de ces équations 

û (z^) — 1=0, pour i = 1, 2, ... .5, 

(z^)z=0^ pour i = g-Hl, q-t-2,. . . .p — 2, 

6''(^^.) = 0, pour i=l, 2,....g— 1, g-i-l, ...._?) — 2. 

Mais dans le cas ê ^ ou ê =_29 — 1, quand m,, peut être nulle, ces 
équations donnent 

[û w -i]u,^o, â {z^_;) u^_^ = 0. 

Il en résulte que 
si îIq est différente de zéro, et 

si M est différente de zéro. 

§ 9. Au riioyen des égalités obtenues on peut indiquer, comment la li- 
mite inférieure du nombre des racines de l'équation 

6'{z) = 

dépend du nombre jp, ce qui donne le moyen d'obtenir la limite supérieure 
de ce nombre. 

Remarquons pour cela que, d'après le § 8, les équations 

6{z)-\=0, 6{z) = 0, 

outre les racines égales à 

^1 , ^2 » • • • • ^2 ) 



— ob« 

peuvent avoir des racines égales à 

Pour embrasser tous les cas possibles, nous désignerons par a- le nombre 
1 ou 0, suivant que l'équation 

a une racine égale à Sq ou non, et par Œj le nombre 1 ou 0, suivant que 
l'équation 

â {^) = 

est satisfaite par 2 = ^ ou non. Au moyen des quantités a, o-j le nombre 
des différentes racines de l'équation 

contenues dans la série 
s'exprime par la somme 

2 -H (7, 

et le nombre des différentes racines de l'équation 

6{z) = 0, 
contenues dans la série 

s'exprime par la somme 

(^ — 2 — g)-i-c7j. 

En remarquant que la dérivée O' {3) doit se réduire à zéro entre deux 
racines consécutives de l'une et de l'autre équation, on conclut que dans 
les intervalles entre deux termes des séries 

^0> ^1> ^21 ^^1 

^g-f-i) ^3-t-2)' • • •%— 2j ^p — 1 
on aura au moins 

c[-\-(S' — 1 -ï-p — 2 — 2-*-o"i — 1 =^-i-o--H(7, — 4 

différentes racines de l'équation 

d' {z) = 0. 

Puisque, d'après le § 8, à cette équation satisfont encore p — 3 quan- 
tités 

^1, ^2J-«°«^7_iï ^jH-i? -^p-a» 



— 589 — 
elle doit avoir au moins 

racines différentes, et par conséquent son degré ne peut pas être inférieur à 
ce nombre, ce qui d'après (17) suppose 

l — 2 > 2jp -4- 0- -H CTj — 7; 
il en résulte 
(18) 2i?<^ — or — 0-1-1-5, 

p étant, d'après notre notation, le nombre des quantités 
pour lesquelles on obtient le maximum cherché de la somme 



les nombres a, o-^ signifiant 1 ou 0, suivant que is = Zq satisfait à l'équation 

et ^ = ^ 1 à l'équation 

6 (^) = 0, 



ou non. Puisque d'après le § 8 l'é 

peut ne pas avoir lieu que dans le cas u^ = 0, et l'égalité 





*(^p-,) = 


dans le cas u 


^ = 0, on conclut que l'égalité 




(7 = 


suppose 
et l'égalité 




suppose 


%-.=o. 



D'après la formule (18), en désignant par le symbole E la partie 
entière de la fraction, on trouve 



— 590 — 

Cette formule détermine la limite supérieure de ^, du nombre d'in- 
connues 

î(0, Wi, t^2» Wp-1- 

Puisque le cas de p plus grand comprend tous les cas où p a. une va- 
leur plus petite, nous supposerons que p ait la plus grande valeur possible, 
donnée par la formule 

(19) ^ = ^izi^L±i. 

§ 10. En s'arrêtant au cas de l pair et posant 1 = 2k^ on trouve d'a- 
près la formule (19) 

(20) p^e '"-'-"'*' , 

les nombres o-, o-^ ayant, comme nous avons vu, les valeurs 0, 1. 
En supposant o- = 0, (t^ = 0, on obtient d'après cette formule 

p = E^^ = k-i-2', 

mais, d'après ce que nous avons dit dans le § 9 sur les égalités 

(1 = 0, ^1 = 0, 

on conclut que dans le cas considéré les quantités u^^ u^_^ s'annullent; par 
conséquent le nombre de termes de la série 

Wo, Wj, Wg, «*p_j, Mp_p 

différents de zéro, est 

p — 2=fc. 

Pour cette raison les équations (13), en y supprimant les termes avec 
les facteurs m^, u égals à zéro et en y remplaçant 

par 

se réduisent aux équations (4) dont le nombre est n = k. Pour cette valeur 
de n ces équations n'ont d'après le § 5 qu'une solution, dans laquelle 



— 591 — 
satisfont à l'équation 

En remarquant, d'après la formule (15), que 

est une des quantités 

on conclut que l'hypothèse considérée 

<T = 0, 0-1 = 

ne peut avoir lieu que dans le cas, lorsque la quantité donnée v est égale à 
une des racines de l'équation 

Dans le cas contraire nous devons chercher la solution de notre pro- 
blème en faisant d'autres hypothèses sur les nombres o-, cr^ . 

Supposant 

cr = l, <7i=l, 

on trouve d'après la formule (20) 

p = E — 2 — = ^-*- 1. 

Il en résulte que dans cette hypothèse les équations (13) contiendront 
2{Jc-+-l) inconnues 

0Q, ^1 , . . . . ^^ , 

Wo , Mj . . . .w^ ; 
par conséquent ces équations, lorsqu'on y remplace 



par 

2/0, Vi, Vki 

se ramènent aux équations (4) dont le nombre est w = ^-i-l. 

En résolvant ces équations, d'après le § 5 on trouve que les quantités 

doivent satisfaire à l'équation 



4^,^,W = 0, 



— 592 — 
et, puisque d'après le formules (15) et (15)^'' on a 

cela suppose les égalités 

Pour indiquer à quoi se réduisent ces égalités, nous y portons l'expres- 
sion de la fonction '^j^_^^{x) par les fonctions '^,^{x) et '^,^_^{x) qu'on obtient 
de la formule (7) pour m = k. De cette manière on trouve trois équations 

(21) («,^, a-Hp,^,) 4'*(«) — 1'*-,(«) = 0, 

(2 2) («,^, «> H- P,^,) 4-, W — -f/i-, W = 0, 

(23) (a,^, l H- p,^,) .J., (J) - ^,_, (h) = 0. 

Il suit de l'équation (22) que 

(24) P*.. = ^'-«..,-- 

En portant cette valeur de [B^^^ dans les équations (21) et (23) et les 
resolvant par rapport à o^^-*-!^ ^° obtient deux formules pour la détermi- 
nation de ce coefficient 

V^^^ ^k^x — a-v L ^a(«) ^aW J' 

Il en résulte que l'hypothèse considérée 
a=l, a,= l 

ne peut pas avoir lieu, si les deux valeurs de a^^^ obtenues par ces for- 
mules sont différentes entre elles. 
§ 11. Passant à l'hypothèse 

a = 0, a,= 1. 
on obtient d'après la formule (20) 

p = 'k-\-.2; 
mais il résulte de l'égalité 

a = 
que (§ 9) 

. Wo = 0. 
Donc pour 

(7 = a, = 1 



— 593 — 
le nombre de quantités 

différentes de zéro est Jc-+-\; par conséquent, les équations (18), en y sup- 
primant le terme avec le facteur u^^ égal à zéro, ne contiendront que 
2 (A; H- 1) inconnues 

^1' ^a» • • • • ^k-i-i^ 

En posant 

V = 2/o, < = 2/i,- . . -S'^^/ç-i'- • • •^'*-.-i = 2/a, 
on ramène ces équations au système (4), dans lequel n = k-i-l, et par con- 
séquent d'après le § 5 les quantités 

sont racines de l'équation 

Puisque d'après les formules (15) et (15)^'' on a 

à cette équation doivent satisfaire les quantités 

a; = V, a; = 6, 
ce qui suppose les égalités 

En y portant l'expression de la fonction '^4^i(^) par ^j;j^(a;), 4'ft_i(^) 
donnée par la formule (7) pour m = k, on obtient les équations identiques 
aux (22), (23) donnant, comme nous avons vu, pour la détermination des 
constantes inconnues 

contenues dans la fonction '\'i^_^^ix), les formules suivantes 



^ft-4-l 






D'après ce que nous avons dit dans le § 5 et le § 7, la quantité a^^^ 
doit surpasser zéro et aucune des quantités 

ne peut être inférieure à a. 



— 594 — 
La première condition suppose que la formule obtenue donne 

«j+i > 0; 

de la deuxième condition il résulte que l'équation 
ayant les racines 

^15 -2^2 > • • • • -^A-Hi 5 

n'a pas de racines entre x = — oo et a; == a. 

Il n'est pas difficile de démontrer que, quand la première condition 
est remplie, la seconde ne peut avoir lieu que dans le cas 

^y^-4-i(«) ^ A 

Pour démontrer cela, remarquons que d'après la formule (7) dans le 

cas 

la fraction 

a une valeur négative pour x = — cx^; mais son signe ne peut pas chan- 
ger entre x= ^— oo, x = a, si l'équation 

n'a pas déracine inférieure ha, car en même temps d'après le§ 5 l'équation 

n'a pas non plus de racine inférieure à a. 

Donc l'hypothèse considérée sur les nombres a, c-j ne peut avoir lieu 
que si la condition 

est remplie. 

En y portant, d'après la formule (7), l'expression de la fonction '\'/^^^(x) 
par 'l'i^ix), '\j^_^{x) et, d'après la formule (24), la valeur de la constante %,_^, 
on ramène cette inégalité à la suivante 

Puisque v est contenue entre a et ?^ > a, la différence a — v est né- 
gative; par conséquent, après avoir divisé la dernière inégalité par a — v, 
on obtient 

-, -> __!_ f ^A^iJiL) s^*— 1 (t>n 



— 595 — 

En remarquant que le second membre de cette formule a la même va- 
leur que dans l'équation (25), on conclut que l'hypothèse 

(T = 0, (Tj = 1 

peut convenir aux demandes de notre problème seulement dans le cas, quand 
la formule (26) donne pour a^^^ une valeur, qui ne serait pas inférieure à 
celle qu'on obtient par la formule (25). 

En considérant de la même manière la solution de notre problème dans 
l'hypothèse 

quand d'après le § 9 

%- = o. 

on ramène les équations (13) aux équations (4), en posant 
En répétant ce que nous avons fait eu considérant le cas 

(T = 0, (Ti=l, 

nous déduisons que la constante a^_^^ doit se déterminer par l'équation (25) 
et qu'elle ne doit pas être inférieure à celle, qu'on obtient par la formule (2 6). 

Il en résulte que l'une des deux hypothèses 

a = 0, (7^=1, 
(T=l, cr = 

peut satisfaire aux demandes de notre problème, suivant que l'équation (25) 
ou (26) donne la plus grande valeur de a^_^,. Dans le cas particulier, quand 
ces équations donnent la même valeur dea^^^^, les formules, qui déterminent 
la fonction 

se ramènent à celles que nous avons obtenues en posant 

a=l, (71= 1. 
Quant à l'hypothèse 



— 596 — 
elle n'est possible que si 

sous cette condition les deux équations (25) et (26) donnent 
par conséquent, la fraction continue 



-■x--^^i „^^_^p^_..^ j 



H-^-i X ■+- P/f-i-i 

se réduit à la fraction 

_i ^^ 

a/, a;-t-Pjt' 

servant, d'après ce que nous avons dit, à la solution de notre problème dans 
l'hypothèse 

a = 0, (Tj = 0. 

§ 12. D'après ce que nous avons démontré sur la détermination des 
valeurs de 

qui donnent le maximum cherché de la somme 

V H- Wi^ -^ -+- Wç^ 

pour l paire = 2A;, on voit que, malgré la possibilité de différentes hypo- 
thèses sur les nombres cr, a^ , ils ne peuvent pas exister deux systèmes diffé- 
rents de valeurs 

satisfaisant aux demandes de notre problème. 

Eu remarquant, d'après la forme de la somme 



que sous les conditions posées elle doit avoir un maximum, on conclut que 
ce maximum aura lieu pour les valeurs 



données par les formules obtenues. 

Par ces formules, comme nous avons vu, on obtient les valeurs 



— 597 — 
au moyen de la fraction continue 



a, ar -I- p, — 



ttj a; -H ^2 ~ 



«n ^» «a» l^a. «*, P* 

se déterminent par le développement de l'expression 

X x^ x^ • . • • ^i 

en fraction continue 
1 



^^ V.^X-t-^2. • . 



«A a? -^ 3jt — • . . 

• j 

OÙ le coefficient a^_^, est égal à la plus grande des quantités 

j_ r ^k-, («) _ ^A-i m 1 [ H-xi^ ^k-im 

a-v \_ ^k{<^) <l>ft(u) J' h-v[_ ^k{^ ^*(f) J' 

et le nombre p^_^j se détermine par l'égalité 
a ^k—x {y) 

?k-^x — -j;j^) «ft-i-i ^' 

En désignant par 

9A-H jx) 
h-i-x (^) 

la fraction ordinaire égale à la fraction continue 
1 



a, sr-t-P, — - 



et par 

^0 5 ^1 J • • • • ^^ 

les racines de l'équation 

disposées en ordre croissant, on aura, d'après le § 1 1 , ou 

avec l'égalité 

^0 = 0, 
ou 



— 598 — 
avec l'égalité 

D'après ce que nous avons dit sur les quantités 

V, V,....w^p_p «/o, 2/1,. -..^/n-i, 
ou voit que dans le premier cas on aura 

«0^=0, u,' = yo,- ' "%' = yg-v "^k=yk-v^ ^'ft-f-i = 2/A, 
et dans le second 

V = 2/o, V = 2'u----V = 2/ç,....V = %' wVi=0. 
Eu remarquant que d'après notre notation 

et que d'après la formule (15) 

on obtient que dans le premier cas auront lieu les relations 

et dans le second cas les relations 

En posant dans le premier cas q — 1 = f'-j ^t dans le second g = [/., 
ou aura dans les deux cas 

(27) X = «/o-H2/i-f- -f-2/^, oc^ = v. 

Pour déterminer les quantités 

2/0, 2/1, Vy., 

contenues dans cette formule, on remarque que, d'après le § 5 pour 
n = k-i- l, on aura 



2 yi __ n-t-i (^) 
a; — Xi ^k^ 





d'où il résulte que 

En déterminant par cette formule les quantités 
2/0, 2/,, y^ 



— 599 — 
et les portant dans l'égalité 

^ = 2/0-^2/1 H- -^-2/^, 

on trouve que cette somme se compose des valeurs de la fraction 

H-t-i jx) 
pour 

racines successives de l'équation 

la plus grande de ces racines x d'après la formule (27), étant égale à v, et 
la plus petite x^^ (d'après le § 8) étant > a; cette somme au moyen du 
symbole ^, introduit par Cauchy, se représente par la formule 






où (0 est une quantité positive infiniment petite *). Ainsi, pour déterminer 
la valeur du maximum cherché pour l = 2fc, on obtient l'égalité 



% 



X^ / fh±±^, 



§ 13. Passons au cas de l impaire et posons l=2k~i-l; par la formule 
(19) on trouve 

^-, 2k -t- 6 — a — G. 

P = E 2 ^, 

où, comme nous avons vu, 

a- = ou 1 , 0-^ = ou 1 . 

En s'arrêtant à l'hypothèse 

a = 0, crj = 0, 

on obtient d'après cette formule 

d'après ce que nous avons dit dans le § 9 sur le cas 



*) Pour simplifier nos formules nous n'indiquons pas près du signe ^ les limites de la 
partie imaginaire de x, comme le faisait Cauchy; dans les questions que nous traitons les par- 
ties imaginaires de x sont nulles. 



— 600 — 
on a 

Pour ces valeurs de 

après la réduction des termes multipliés par u^ = 0, u = m^^^=: et 
après le remplacement des inconnues 



j)ar les inconnues 

on ramène les équations (13) aux équations (4), dans lesquelles w=:A;-f- 1. 
Dans la solution de ces équations, comme nous avons démontré dans le § 5, 
les quantités 

sont les racines de l'équation 

cette fonction ^^_^^{x) se détermine, comme nous avons dit dans le § 4 dans 
le cas / = 2^ H- 1 , par l'égalité 



h^ii^) «i^-*-3i-a^^H- &,-... 



H^-*-h — -a 



«t 



<*!> Kn '^a? V27 '^A? Ka' '^A-f-i 

sont les mêmes que dans la fraction continue 

1 



a, a;-+-p, — 



1 



i""-*-^^ ^iT^n: 



2 ^ -♦- P2 • • , 1 



H^-^-h- 



H-t-i X -*- PA-t 



et Y est une constante inconnue. 

Pour déterminer la quantité y et la fonction 'i^^_^^{x) qui contient y, 
on remarque que la série de quantités 

^, = h^ x^,=z„. . . .x^_^ = z^,. . , .x^ = ^^_^^ 
contiendra la quantité 

q—l 7' 

égale à v, d'après la formule (15); par conséquent, l'équation 



— 601 — 
doit être satisfaite par a; = «;, ce qui suppose l'égalité 

Par cette raison, pour déterminer y, on remarque que l'équation (7) 
pour p^^j = Y, m = ^ donne 

(28) +A_H,W = K-.-i ^-*-^) '\'M~'h-A'')^ 

ce qui fournit, en vertu de l'égalité qu'on vient d'écrire, 
d'où Ton obtient 



En portant cette valeur de y dans la formule (28), on trouve 

(29) l**,W=[«*^.(^-^)-^^] 'l'iW-lA-.W- 

Cette formule donne le premier membre de l'équation 

qui détermine les quantités 

Puisque d'après le § 7 les quantités 

forment une série ascendante, oii, d'après la formule (15)^*^, 

l'hypothèse considérée 

cr = 0, 0-1 = 

est impossible, si l'équation •^^^^{x)=0 a une racine hors des limites x=a, 
x = h; mais cela aura lieu, comme il n'est pas difficile de démontrer, si la 
fraction 

h-^.l (a) h jb) 

hi») ^/t-4-i(6) 
a une valeur positive. 

En effet, si toutes les racines de l'équation 



— 602 — 

sont contenues entre a;=a, 'X=h, la même propriété a lieu, d'après le § 5, 
par rapport à l'équation 

par conséquent, les quantités 
ont les mêmes signes que 

'h^A—^)^ ^a(— ^X '1*^1 M, i'k(^), 

et, à cause de cela, la fraction 

doit avoir pour a; =: oo le même signe que la quantité 
'l'k-,-1 («) i>k Q>) 

4'A (a) h-*-i if>) ' 

Mais d'après la formule (7) on voit que cette fraction pour a; = cx3 se 
réduit à — 1. 

De cette manière nous nous persuadons que pour la possibilité de 
l'hypothèse 

a = 0, 0-1 = 

dans la solution de notre problème, il est nécessaire que la fraction 
h-t-i («) h jb) 

'l'kia) ^>k~t-iib) 

soit négative. 

En y portant l'expression de la fonction ^j^^^^ (x) par la formule (29), 
ou trouve que cette fraction est égale à 

En décomposant cette expression en deux facteurs 

1 [ h-i («) ^*-i m _ ^ 
^-^' 1 r 4>A-i(b) 4^fe-i(pn ,^ ' 

h-vl ^kib) h{v) J *-^» 

et remarquant que le premier facteur pour 

a une valeur négative, on conclut que l'hypothèse 
(7 = 0, ai = 



— 603 — 
pour 

ne peut avoir lieu que dans le cas, où 

1 r h-i («) ^k-x m _ ^ 

. &-f L hm ^ki^) J *-*-» 

§ 14. En passant à l'hypothèse 

cr=l, (Ti=l, 
pour 

on trouve, d'après la formule (19), 

p = E ^ =fc-t-2. 

Il en résulte que dans le cas considéré les équations (13) contiendront 
2 (fc H- 2) inconnues 



et que ces équations se ramènent aux équations (4), le nombre n étant 
égal à /c H- 2, si l'on pose 

Mais dans la solution de ces équations, d'après le § 5, comme nous 



avons vu, les inconnues 

sont les racines de l'équation 

la fonction ^i^^,{x) étant le dénominateur de la fraction ordinaire, à laquelle 
se réduit la fraction continue 



«i"--*-"! a,a;- 



H-t-i a? -t- T - 



Ti aï -«- Y2 

Dans cette fraction continue les quantités 



a,, a»,. . . .a., a. 



— 604 — 
se déterminent d'après le § 4 par le développement de l'expression 



X X2 X* • • • • j 



en fraction continue 
1 



''> aj a; -f- 



et 

T. ïi, Ta 

sont trois constantes inconnues qu'il faut déterminer. 

Pour obtenir les équations qui déterminent ces constantes, nous remar- 
quons que parmi les quantités 

satisfaisant à l'équation 
se trouvent les quantités 



égales, d'après le § 7, à 

a, V, h; 

par conséquent, auront lieu les égalités 

(30) ^,^,(«) = 0, ^,^^{v) = 0, ^,_^^{b) = 0, 

où ^f^_^_^{x) est la fonction, dont on obtient facilement l'expression par ^l/^ioc) 
et ^^_j (a?) au moyen de l'équation (7). 

En effet, en posant dans cette équation 

on trouve 
mais en posant 
on obtient 

'J^*-^-^ (^) = (yi ^ ^- Ta) 'J^A-^i (^) — i'k (^); . 

il en résulte après l'élimination de '\'k_^_^{x): 

+*-H. (^) = [(Ti ^ -*- Ta) («A-Hi ^ -+- t) — 1] +* (^) — (Ti ^ -*- Ta) ••1^*-, (^)- 
En déterminant par cette formule les valeurs 

+*^.(«). ^.-.M +**.(») 



— 605 — 

et les portant dans les égalités (30), on obtient les trois équations suivantes: 

[(Ti ^-^Ta) K-^i «^-^T)— 1] ^ft(«) — (ïi^-^-ïa) i>&_i(«) = 0, 
[(Ti^-»-T2) K-^1 v-^-j)—1] ^a(«^) — (Ti^-^ïa) ^*-x(^) = 0, 

Mais en résolvant ces équations par rapport à 

Tj Yi' Ta» 

on obtient pour la détermination de ces quantités les formules qu'on peut 
présenter de la manière suivante: 

.._ h-i{a) (b-«)PPi ^ „ ^ _ a-p)^ ^ _ (l-p)(ap-b) 

T— 4,^(a) 1-p °'*-4-i "' Ti — (b_a)2pp^' Ta— (& - «)2 pp^ ' 

OÙ 

6-« L 4'ft(6) ^k{v) J *-»-i 

Pi — 6_a L -l'ftW 'î'ftla) J ^*'«-i' 

En comparant la dernière formule avec l'inégalité (10) et remarquant 
que 

on conclut que 

Pi<0, 

et, à cause de cela, d'après la formule qui détermine la constante Yj , cette 
quantité aura le signe contraire à celui de la quantité p, égale, comme nous 
avons vu, à la fraction 



1 [ H-M H-xm ^ 

b~V L hib) h{v) J ^*-4-l 



En remarquant que y^, étant le coefficient de x dans un des quotients 
incomplets de la fraction continue résultante du développement de la somme 



^^ X — Xi 



doit, d'après le § 2, avoir une valeur positive, on conclut que pour la pos- 
sibilité de l'hypothèse considérée 

a=l, a, = l 



— 606 — 

cette fraction doit être inférieure à zéro, ce qui est directement contraire 
au résultat obtenu dans l'hypothèse 

a = 0, (7j = 0. 
Quant aux hypothèses 

a = 0, a,:=l, 

(7=1, or, = 0, 

on aura pour ces valeurs de a-, o-^ et pour l==2k-*-l, d'après la formule (19), 

p = E —2— = A; -4- 2. 

Il en résulte que dans ces hypothèses les équations (13) contiendront 
le même nombre d'inconnues que dans l'hypothèse 

a=l, C7, = l; 

par conséquent, leurs solutions, si elles sont seulement possibles, s'obtien- 
dront par les formules que nous avons trouvées pour le cas 

a=l, a,= \. 

§ 15. On voit, de ce que nous avons démontré, que dans le cas de l 
impair ils n'existent pas non plus deux systèmes différents de quantités 

satisfaisant aux demandes de notre problème; par conséquent, les valeurs de 
ces inconnues obtenues par les formules démontrées doivent donner le ma- 
ximum cherché de la somme 

X = Uq-^U^-^. . . . -f- M^ . 

D'après ces formules, pour ?=2fc-i-l, la résolution des équations (13) 
se ramène, comme nous avons vu, aux équations (4), le nombre n étant 
égal ou à /:-f-l, ou à h^-2. Le premier cas a lieu, si la valeur de la fraction 



1 [ ^k—l («) '^k-v W "] 

h-vl ^a(&) ^A(tJ) J ""k^i 



est plus grande que zéro, le second cas, si elle est inférieure à zéro. 
Dans le premier cas on a 

V = 0, V = 2/0, . . . . «^/ = 2/,_, , . . . . ^\^, = y,, u\_^,^- 0; 



— 607- 
dans le second 



'-^„ 



^A-^| — -^ft-*-!' 



< = ^o, W,' = 2/n. . . -V^^?'- • • -^Vi^^ft-*-.' 
OÙ pour 

w = ifc-i- 1, 
de même que pour 

on détermine les quantités 



par l'égalité 

n 
y-^L_^_J__ 1 



1 



Dans cette égalité les quantités 

a,, a^, a^, a^,^,, p^, ^3, ^^ 

sont égales à celles, qui sont contenues dans la fraction continue 
1 



ttj rc -+- P, — 



a^ a; -f- fij ~ • • . 1 



• j 
résultante du développement de l'expression 

^_. ^_, ;^_. , Q— i . 

œ «2 a;3 ~*~ • • • • ~*~ g./ ' 

la détermination des autres quantités est différente, suivant que w = A; -h 1 
ou >i = A; -+- 2. Dans le premier cas on a 

ft ^A— 1 («) 



dans le sec(md cas 

ft _ ^ k~x («) (fe - «) PPi ^ „ ^ _ (1-p)^ û _ (l-p)(ap-?)) 

rw~i ^,.{a) 1 — p ""A-f-i "' %— (ft_a)2pp^' P„— (5_o)2pp^ ' 

OÙ les quantités auxiliaires p, Pj sont déterminées par les formules indiquées 
dans le § 14. 

En portant les quantités indiquées plus haut 

<, <, u^\ z^ 

dans la formule 

X = M^'^ -f- w,^ H- . . . . -H u} 



— 608 — 

et dans l'équation (15), on aura dans le premier cas 

^ = 2/0 -^2/1 -+-.... -i-t/ç_,, Xq_, = V, 
et dans le second cas 

^ = 2/o-+-2/i-^-...-*-2/,, ^g = v- 
En posant dans le premier cas 

et dans le second cas 

on conclut que dans les deux cas auront lieu les égalités 

il en résulte, comme cela était indiqué dans le § 12, la formule suivante pour 
la détermination de la somme X au moyen du symbole £,: 

a — <i) 

§ 16. La méthode que nous avons employée pour déterminer le ma- 
ximum de la somme 

x=2 ^.^= v-^ V-»-. . . .-»- V 


peut être aussi appliquée à la recherche de la plus grande valeur de la 
somme 

2 ^.' = w^g^ -+- u\^^^ H- -I- M«p_^ . 

En désignant la dernière somme par X^, on a 

Cette somme, comme il n'est pas difficile de remarquer, se ramène à 
celle que nous avons considérée, en y mettant^ — i — 1 au lieu de i et posant 

Il en résulte que les formules obtenues antérieurement se ramènent 
à celles, qui ont lieu pour la nouvelle somme, en y effectuant tous les 
changements produits par le remplacement de i par p — i — 1. 

En posant 



— 609 — 

on trouve, que la somme 
p 

se ramène à la somme 

ayant la même forme que la somme 

les équations (15) donnent 

les équations (15)^^3 deviennent 

mais les équations (13) conservent leur forme avec le seul changement de 
g, u en Z, U, 

Il en résulte qu'en changeant a en &, 6 en a et i; en ^^; dans les for- 
mules obtenues pour 

donnant le maximum de la somme 

X = u^-v-u^-\- . . . .-^u^ 
pour 

on obtient les formules, qui donnent les valeurs 
Zq, z,,. . . . -Zp_j, 

Cq , Cj , . . . . C ^_p 

correspondant au maximum de la somme 

pour 

Z^ = w;. 

Puisqu'il est clair d'après la composition des formules obtenues dans 
les §§ 8, 9, 10, 11, 12, 13, que les équations qui déterminent les quantités 

restent invariables, quand on y change « en &, & en a, on conclut que tout 



— 610 — 

ce que nous avons dit sur la détermination de ces quantités est aussi appli- 
cable à la détermination des quantités 

Zq, Zi, ... .Zp_i, 

Pour cette raison les valeurs des inconnues donnant le maximum 
cherché pour l=2U ou l=2k-^\ seront déterminées au moyeu de la fraction 
continue 

^ 1 

• 1 

résultante du développement de l'expression 

Cette fraction, comme nous avons montré dans les §§ 8, 9, 10, 11, 
12, 13, 14, 15, détermine la fraction continue 



donnant la solution de notre problème, n étant égal à 7^ h- 1 ou /c-i- 2. 
En désignant par 

la fraction simple égale à la fraction continue, on obtient l'équation 

servant à déterminer 

Zo, Zj, Zp_j 

et la formule 

7-7-2 9 [Zj) 

pour la détermination de 77/. 

Passant à la détermination de la somme 

et remarquant, d'après ce que nous avons dit plus haut, que les quantités 

Zq, Zj,. . . .z^ 
forment une série décroissante, depuis Z^ =: 6 jusqu'à Z = w^ on trouve au 
moyen de cette formule que le maximum cherché se présente à l'aide du 
symbole ^ de la manière suivante : 

w — (a 



28. 

SUR LE DÉVELOPPEMENT EN FRACTIONS CON- 
TINUES DES SÉRIES PROCÉDANT SUIVANT LES 
PUISSANCES DÉCROISSANTES DE LA VARIABLE. 

(TRADUIT PAR ]8". G. KLODXDSJEVSXY.) 



(Lu le 13 mai 1892.) 



& pasAOoIccuiii Su Hcnpcpuényio dpoSt pji9oê'ô, pacno* 
Ao:^cHnux'6 no uucooodjïiHiUM^ cfitcncujîMiè ncpcMf&uuoû. 



(IIpBjioiKenie kt, LXXI-iiy TOMy SanucoKt TiMnepaTopcKoô AKa?i,eMiH HayKt, A*! 8.) ] 

I 



Sur le développement en fractions continues 
des séries procédant suivant les puissances dé- 
croissantes de la variable. 



§ 1. D'après ce que nous avons montré au sujet des valeurs limites 
(les intégrales et des sommes *), sous les signes desquelles la fonction inconnue 
ne devient pas inférieure à zéro, on voit que ces valeurs s'obtiennent au 
moyen des fractions réduites que l'on obtient en développant la série 



en fraction continue. 
Les coefficients 






^o> Qj <^2>' 



dans cette série sont des quantités données, d'après lesquelles on cherche 
les valeurs limites des intégrales ou des sommes. 

Lorsque le nombre des données augmente, la difficulté de déterminer 
les réduites nécessaires de la série 

X x^ x^ ' ' "> 

en la développant en fraction continue, croit rapidement; elle devient même 
insurmontable si l'on veut avoir des formules générales fournissant les li- 
mites cherchées pour un nombre des données arbitrairement grand. 

Jusqu'à présent ces formules ne peuvent être trouvées que dans les 
cas exceptionnels, où, grâce à la forme des coefficients 



*) Sur la représentation des valeurs limites des intégrales par des résidus intégraux. T. II, 
pag. 421—440. 

Sur les sommes composées des valeurs de monômes simples multipliés par une fonction qui 
reste toujours positive. T. II, pag. 561—610. 



^614 — 

la série 

X x^ Z^ " '^ 

appartient au petit nombre des expressions dont les réduites peuvent être 
obtenues, à l'état actuel de l'Analyse, sans le secours des fractions conti- 
nues. Dans chacun de ces ces toutes les réduites de la série 

» «2 a;3 "^ • • • ' 

peuvent être représentées par une formule unique dépendant d'un nombre 
entier positif arbitraire qui est déterminé par le degré du dénominateur. 
En prenant successivement pour ce nombre 

1, 2, 3,..., 

nous trouvons au moyen de cette formule une série de fractions réduites 
qui peut être prolongée aussi loin qu'on le veut. En supposant que ces ré- 
duites, qui s'obtiennent par la formule générale unique, correspondent au 
cas particulier, oii dans la série 



les coefficients 
ont les valeurs 



a;2 x^ 






nous allons montrer ici, comment on pourra en faire usage pour déterminer 
les réduites de la série 

« «2 -çS • * • > 

lorsque les coefficients 

^Oj C*!, (73,. . . 

diffèrent plus ou moins de c^, c^, Cg,. . . 

En nous reportant à ce que nous avons montré sur les fractions con- 
tinues provenant du développement des séries, qui se présentent dans la re- 
cherche des valeurs limites des sommes et des intégrales, nous supposerons 
que la série 

X x^ ■ x^ * • • ) 

pour 

^0 = ^0 ) ^1 = <^l J ^3 = 03,... 



— 615- 
peut être développée eu fraction continue 



aj>0, a2>0, a3>0, < ^^y-: . .-, 
En désignant par 

les réduites, nous observons, d'après ce que nous avons montré dans les 
Mémoires cités, que les équations 

^iW = 0, 'Wi^) = 0, '^;3(^) = 0,... 
seront des degrés 

1, 2, 3,..., 

que leurs racines seront réelles et qu'entre deux racines successives de l'é- 
quation 

se trouvera une racine de l'équation 

pour toute valeur de w. 

Afin de simplifier nos formules, nous nous bornerons à la supposition 
que les racines de toutes ces équations sont toutes plus grandes que zéro, 
comme cela a lieu dans les cas les plus intéressants par leurs applications 
et comme cela peut être toujours réalisé par un changement convenable de 
la variable x. Dans cette supposition toutes les racines des équations 

+iW = 0, ^,{x) = 0, ^,{x) = 0,... 

auront des valeurs réelles positives, et par suite leurs premiers membres 

seront des polynômes à termes alternés dont les premiers termes auront le 
signe -+- , puisque dans la fraction continue 



a. aj-*- p. — 



ttj a; H- ^2 



l'on a, comme nous l'avons dit plus haut, 

(1) ai>0, oi,>0, a3>0,... 

D'après cela, en déterminant les signes des fonctions 

4^1 W, 'hi^\ i'si^),'" 



— 616 — 
pour 

X:=0, X= /i < 0, X = OO, 

nous trouvons que pour toutes les valeurs de n, l'on aura 
(2) (- ir 1(0) > 0; (-ir 1(- h) > 0; (- If i>„(— oo) > 0. 
§ 2. Passant au cas, où les coefficients 

(le la série 

a; a;2 a;3 

diffèrent plus ou moins de 
nous poserons 

et nous désignerons par W, W^ les fonctions définies par les égalités 





" — ¥^^^^-^---' 


(3) 




d'où il vient 




^-^fi_^fi_^ 


_Co-eo Cl -+-61 02-^2 


X ^x^^x^^ ' 


a; ' a» ' «8 ' 



Pour déterminer celle des réduites de l'expression 

^ X x^ x^ ' 

dont le dénominateur est du degré m (si une telle réduite existe), désig- 
nons-la par 

Puisque, comme nous l'avons dit, les fonctions 

sont des degrés 

1, 2, 3,..., 
la fonction 

sera du même degré que ^^ (a?) et par conséquent nous aurons 



— 617 — 

g^ étant uue constante différente de zéro et 6^{x) un polynôme dont le 
degré ne dépasse pas m — 1 . Avec cette décomposition du dénominateur 
la réduite cherchée prendra la forme 



9m ^mi^)-^^m^'^) 

En calculant la différence entre cette fraction et la fonction 
nous trouvons qu'elle est égale à l'expression fractionnaire 

W^m [x] - Q^ (X) - {gm i'm (^) -h Qm (^)) ^o "*- 9m ^m (^) W 
9m'^mi<^)-^^mi^) 

Comme le dénominateur est ici du degré m et que l'expression elle- 
même, représentant la différence entre la fonction 

et sa réduite 

doit être d'un degré inférieur à — 2m, il s'ensuit que le degré du numérateur 

doit être inférieur à — m; or, pour cela il faut et il suffit que la différence 

donne l'expression de la fonction 

exacte jusqu'aux termes en x~^ inclusivement. D'après cela, par les for- 
mules énoncées par nous dans une lettre au professeur Braschmann *) et 
démontrées dans un Mémoire intitulé: Sur le développement des fonctions 
en séries au moyen des fractions continues **), on peut trouver le dévelop- 
pement du polynôme â^ (x) suivant les fonctions 

En effet, en appliquant les formules obtenues dans le § 10 du Mé- 
moire cité à la détermination du polynôme 0^ (x) de degré m — 1 au plus, 
avec lequel l'expression 

*) T. I, pag. 611-614. 
**) T. I, pag. 617—686. 



— 618 — 

Q^(ic) étant iiue fonction entière, puisse représenter le plus exactement 
possible une fonction quelconque F{x) et en supposant que W se développe 
en fraction continue 

1 



A. 



»^-*-^i-*"371^ 



^2 



"2 ^3 a; H- ^3 H-' . ^ 

dont les réduites soient 

^ :^ ^ 

Çi' ^2' Ça''"' 

nous trouvons 

(5) <9„w=AAe,-Ai,<3.-^...-(-ir^„i„e„, 

oii 

désignent les coefficients des termes en — dans les produits 

Q,F{x\ Q,F{x\..,Q^F{x). 

Le polynôme 0^ {x) étant déterminé par cette formule et iï^ {x) étant 
convenablement choisi, l'expression 

représentera la fonction F(x) avec la plus grande exactitude qui soit pos- 
sible lorsque le degré de 6^ (m) ne dépasse pas m — 1 . Puisque la formule 

Wû^ix)-Q^{x) 
donne la fonction 

Fix) 

au moins jusqu'au terme en x~"^ inclusivement et puisque pour tout autre 
polynôme, dont le degré ne dépasse par m — 1, l'exactitude de cette formule 
ne peut pas atteindre cette limite, nous concluons de ce qui a été dit sur 
la détermination du polynôme 0^{x) entrant dans l'expression (4) de ^(x) 
que 0^ (x) doit satisfaire à l'égalité (5) dans le cas, où 

(6) F {X) = {g^ ^^ (X) ^ 0^ {X)) W, - g^ ^^ (x) W 

et 

' 1 . = ' 1 



A,x^B,^ ,^_^j^ ^ 1 ^ _ a,x-H|5i- 



On voit de la dernière égalité que l'on a ici 
et que les dénominateurs 

Vd ^2J HÎ8> • • • ) 



— 619--- 
des réduites de la fraction continue 

l 1 

ont les valeurs 

En trouvant d'après cela 

nous concluons de la définition des quantités 

A> ^25 ^35- • • 

que les coefficients 

^iL,, A^L^, Ahy . . 

dans l'égalité (5) sont les coefficients de — dans les produits 

cc,^,{x)F{xl -^,^,{x)F{x), —<x,^,{x)F{x),,.., 

et qu'ils peuvent par conséquent être représentés par les expressions 

A,L,= [ccM^)F(z)l, A,L,=-[^Mz)F(,)l AL,=—[^M^)F{z)l,,.., 

si nous convenons de désigner le coefficient de — dans le développement 
d'une fonction quelconque F suivant les puissances descendantes de z par 

[VI. 
En portant dans l'équation (5) ces valeurs des coefficients 

ainsi que les expressions obtenues plus haut pour les fonctions ft, ^a, ft-.., 
nous trouvons que cette équation devient 

^m W = [«x -f (^) F{^)1 ^0 W -*- [«2 '^. (^) Pi^)l ^1 (^) -^ 

et, en posant 

(7) ^m (^, ^) = «i +0 (^) 4^0 W -*- °^2 +1 (^) U^) -*-"-*- «m k-i (^) *m-i (^), 

nous trouvons 



— C20 — 

d'où, en y portaut l'cxpressiou de la fonction F{x) définie par la formule 
(6), nous obtenons pour déterminer le polynôme cherché 0^ (x) cette 
équation 

<'«. (^) = [<Pm i^> ') [iHrn -P„ (^) -^ 0„ W) W, - g„ |„ (z) W)\ 

OU bien 

0,, W = l'K (^. ') {9n, +», W -^- *m W) TF.], - [i/„ '/'„ (a;, ^) 4.„ (^) }f ].. 

Dans cette égalité le produit 

d'après la propriété des réduites, ne différera de la fonction entière ç„j {z) 
que par les termes de degrés inférieurs à — m, tandis que la fonction 
(Z>^ (rc, z)^ d'après (7), est du degré m — 1; donc l'expression 

ne contiendra pas de terme en — ; par suite l'on aura 

et l'équation que nous avons obtenue se réduira à celle-ci 

(9) O^{œ) = [0^{x,z) {9^^^{^)-^0^(z)) W,\,, 

où, d'après la formule (7), la fonction ^^ (a;, z) est exprimée par 

*oW» +l(^)>-.4m-,(^) 

sous la forme d'une somme de m termes symétriques par rapport h. x^ z 
et dont les degrés par rapport à chacune de ces deux variables ne dépassent 
pas m — 1. 

Il n'est pas difficile de trouver l'expression de cette fonction sous la 
forme d'une fraction très simple ne contenant que 4^^_j (ic), ^j>^ {x). 

Pour cela nous observons que l'équation (7) multipliée par x donne 

X0^ {x, z) = CL^ 4o W +0 (^) -+- «2 4l i^) +1 (^)-*-- • •-+- «m ^+m-i (^) "J^m-. W' 

Comme les dénominateurs 
des réduites de la fraction continue 



v.,x- 



jX-f-Pa-- 



satisfont aux égalités 



— 621 — 
d'où il résulte 

«2^1 W = +2 W — P3 +1 W -*- +0 W. 

«m 4m_i W = k (^) — Pm ^-i W ^ +m-2 W; 

cette équation se réduit à la suivante 

• • • -^ »« (*) - K +«-, W -*- 'k-. W] l-»-, W- I 

En calculant de même le produit 
nous trouvons 

ce qui, retranché de l'égalité précédente, donne 

(^ — ') ^m i^, ^) = K_i (^) 'l^m W — K W k-i W- 

En divisant par ic — 2, nous obtenons pour déterminer la fonction 
^m i^> ^) ^^ formule 

(10) (x z) = ^^—^ ^^^ '^"* ^""^ ~ "^^ ^^^ '^"*-* ^^^ - 

§ 3. Passant aux applications des formules que nous venons d'obtenir, 
nous commencerons par le cas particulier où la série 

W ^ £L_4_?21 

^^ ^ X x^ x^ ' ' ' 

se réduit à la fraction 

1 

H{x-*-h)* 

ce qui a lieu pour 

Nous supposerons la quantité h toujours positive et H quelconque. 
En posant dans ce cas particulier dans la formule (9) 

''''0 HixH-h) 



— 622 — 
nous obtenons pour déterminer le polynôme 0^ {%) l'équation 

Om W = [^m (^, ^) (^m 4^. (^) "*- K W) H(i^)]/ 

Pour en déduire l'expression du polynôme cherché 0^{x), nous obser- 
vons que la fonction 

9m 'l'm (^) ■+■ ^m (^) 

après que l'on en a retranché la partie entière 

9m ^m (^) -*- Qm (^) -ffm ^m (- ^) - ^m (- ^) 
H[z-\-h) 

qui n'influe pas sur la quantité 

[*„ (^, ^) (P» *» (^) -H «» (^)) HF^],. 
se réduit à la fraction 

9m^m{—^)-*-^mi-^) 
Hiz-^ h) ' 

ce qui donne 

Si de même nous retranchons ici de la fonction 





0rn («. z) 






z-^-h 




sa partie entière 








0^{x,z)-0,ni^> 


~h) 




g-+-h 




nous aurons 







L^m (^5 ^) (^m 4^«i (^) -^- ^^m (^)) g(.H-fe) J,— S [ z-*-h J/ 

D'où, en vertu de l'égalité 
il vient 

par suite, l'expression du polynôme 0^(x) que nous venons d'obtenir se ré- 
duit à celle-ci 

0^ (^-j ^ 9m^mi-hh^^mi-h) ^,^ ^^^ _ j^y 

Nous déterminerons la constante inconnue qui figure dans cette exprès- . 

sion de la fonction 0^{x), en observant que pour x=^ — h elle donne l'é- ' 

quation 



— 623 — 
d'où l'on obtient 

/; / ]A - ffm ^m (- ^) ^m (~ ^> - ^) . 

En posant pour abréger 

(11) '?*„(-''. -^) = -9». 
nous avons d'après cette formule 

et l'expression obtenue pour 0^{x) se réduit à la suivante 

(12) ^^(a;)=:=: ^^^^(-^^^(^'-') . 

En portant cette expression du polynôme 6^ {x) dans l'égalité (4) qui 
détermine le dénominateur ^^ (x) de la réduite 

QmM r 

de l'expression 

dont le degré est égal à m, nous trouvons que dans le cas particulier que 
nous considérons, où 

ce dénominateur est déterminé par la formule 

(13) ^,.{x)=g„'i/,^{x)^ o-^'^^-l%f '-"'' ■ 

Quant au numérateur O.^ (x) de cette fraction, nous le trouverons en 
multipliant W — TF^ par ^J;^ {x) et en négligeant dans le produit les termes 
de degrés négatifs. 

§ 4. Les formules que l'on obtient de cette manière pour 

contiennent le facteur constant g^ qui reste indéterminé. 
Comme c'est un facteur commun des fonctions 

il disparait dans la fraction 

il reste donc complètement arbitraire, si, en déterminant les fonctions 



— 624 — 



on n'a en vue que de faire approcher le plus possible la fraction 
de la fonction 



'' H{x-*-hy 

comme nous l'avons fait jusqu'ici. Passons maintenant à la supposition que 
la fraction que nous considérons 

s'obtient du développement de la fonction 
W- 



H{x-*-h) 

en fraction continue 



-M-.., 




où 




sont des fonctions entières. 




En désignant par 

Po Px P2 

ses réduites, où 




(14) Q,= l, Q, = q,, Q,= Q,q,- 


-ft,..., 



nous observons que parmi elles il doit se trouver une fraction dont le déno- 
minateur est du degré m, si la différence 

m 

n'est pas nulle. En effet, on pourra déterminer ici par la formule (13) un 
dénominateur du degré m tel que la fraction 

donne l'expression de la fonction 



à la quantité 



W ^ — j 



inclusivement près, et cela ne peut pas avoir lieu si la fraction 
n'appartient pas à la série 

Po, Pi P^ 



— 625 — 
des réduites de la fonction 



H(x-t-hy 

obtenues par le développement de cette fonction en fraction continue 






^^-Ts- 



Il en résulte que, le facteur constant g^ étant convenablement choisi 
dans la formule (13), cette formule fournit la fonction ^„{x) égale à l'un 
des dénominateurs 

De là, en répétant le même raisonnement après avoir remplacé m par 
1, 2,. . .w — 1, nous concluons que, les facteurs 

étant convenablement choisis, la formule (13) fera connaître les fonctions 

qui ont leurs égales dans la série des dénominateurs 

lorsque aucune des équations 

(15) H=H„ H = H„. . .H=H^^, H=H„ 
n'est satisfaite. 

Puisque les degrés de ces dénominateurs forment une série croissante 
et que les fonctions 

d'après la formule (13), sont des degrés 

1, 2,. . .m — 1, w, 
les deux séries de fonctions ne peuvent coïncider que si l'on a 

(16) ^,{x)=^Q„ 'r,(^) = «„...^„_,(^) = <?_„ rp^(x) = Q„; 
ces égalités nous serviront à déterminer les facteurs constants 

qui entrent dans les expressions des fonctions 

"ï-,(^), <*•,(*),•••"*■„_.(*), ^Jx). 



— 626 — 

§ 5. Passant à la détermination de ces facteurs, nous observons que, 
d'après (14), les égalités (16) ne peuvent avoir lieu que dans le cas, où les 
quotients incomplets 

contiennent x au premier degré et où, par conséquent, g^ est représenté par 
la formule 

p^, 0-^ étant des constantes. En portant cette expression de q^ dans l'é- 
quation 

à laquelle d'après (14) doivent satisfaire les dénominateurs Q^_^^ Qn—x") ^n' 
nous trouvons pour n<.m, la relation 

Qn = ^„-i (P„ ^ -*- O — ^n-2' 

qui donne d'après (16) 

'F» W = V„_, W (P„ ^ -^ %) - <*•„_, (X). 
Pour en déduire les équations qui déterminent les quantités 

9l, 92^' • '9m-iy 9m^ 

introduisons-y les expressions des fonctions 

que nous tirerons de (13), en y remplaçant 

par leurs expressions que nous obtiendrons de (10), en y posant m = n^ 
n — 1, n — 2. Cela nous fournira l'équation 

n r.L M . ^n (- h) K- i (- h) K ( ^) - K (- h) K-l m 

/ \V\ r\ W—i(—h)']fn—2{-h)\n-l{x)-K—\{-h)^n—2{xn 

= 9n.^, {?n ^ -^ ^n) [^n-, C'^^) -^ W^kz, x-Jh ' ^ -^^^^^ j 

n i .!; ^'T^ -^ V-2(-^) '}>n-3 (- ^0 ^n-2 (^) - 4^«-2 (- ^) 4^n -3 (a-ri . 

— ^n-2 L^'î-2^^^-^i/-^„__2 ~ ^oZli ~ J' 

d'où, en multipliant par x-+-h, nous déduisons 

l9n ^n (^) - 9n-,(9n « "^ ^n) l-i (^) -^- ^n_2 +n-2 Wl (^ -^- '^) 
-^^n-. ^^-^^. [k-3(~^0 k-2(^)-+«-^2(-^) k-3(^)l = 0. 



— 627 — 
Dans cette formule les fonctions 

étant les dénominateurs des réduites 

de l'expression 

W= 1 1 



a, a; -4- Pa — • . ^^ 

sont liées par l'équation 

(17) 4,„W = (a„:ï-HpJ |„_,(^) -<!/„_, W. 

Par suite, le facteur qui multiplie x-i-h devient par l'élimination de ^^ {x) 

En observant que le produit du premier terme de cette expression par 
x-i-h est du degré w h- 1 et que les degrés de tous les autres termes de 
l'égalité que nous considérons sont inférieurs à w -+- 1 , nous concluons 
que cette égalité ne peut avoir lieu que si ce terme disparait et que par 
conséquent on doit avoir 

(18) «„?„-p„^„_, = 0. 

Cela posé, l'égalité dont ils'agit se réduit à celle-ci: 

[p„^„ - ^„i/„-- ^"^''-Vi'H„'!!"-''~*'] 4„^. w 

Pour en chasser les produits 

nous trouvons d'après (17) 

aA) (x) — '^^ ^"^^ ~ ^" '^"-^ ^^^ "^ '*'"-» ^^^ , 
et, en remplaçant n par n — 1 , 



— 628 — 
En portant ces valeurs des produits 

dans l'égalité en question nous obtenons 

l?nfJn—<^ndn-i H-H^-, J ^ ~~ 

. F/; rr-i n _ rr /7 ^ fi[nJ^i!?Lt±) <^n 9n-x ^n-lJziMn^ïill^l ,1, C2;^ 

-+- Y ^ ^^ •^" ^n ^„-i^ U- H^ H - //„_! J rn-i i^^ 

Le premier membre de cette égalité est la somme algébrique des fonc- 
tions 

+n(^). ^«-,(^)' 4^n-2(=^)' +n-3(^)' 

multipliées par des constantes qui doivent se réduire à zéro pour que cette 
somme formée des fonctions 

^n(^\ i^n-iW, +n-2(^). 4^n_,(^)> 

de degrés 

w, n — 1, n — 2, n — 3, 
s'annule identiquement. 

D'après cela, en rassemblant les termes en 

et en égalant leurs coefficients à zéro, nous obtenons ces deux équations 

K9n-'^n9n-\ Pn 9n-\ K-\ (" ^0 ^n—2 (~ ^ _. 9n^n(-^) K-iJ—^') _ n 

9n—2 - 9n _. 9n 9n~i '\>\~i (— ^) ffn— 2 '1^'n— 2 (- ^0 _ A 

En y mettant, d'après (18), 

9n—i " 

à la place de p„, nous avons deux équations qui nous donnent 

rorn ^n _ H—Hn^i H - Hn--.^ — a»— i 'l^'^n— 2 (- fe) . 



— 629 — 
Les quantités 

qui y entrent s'obtiendront par la formule (11) pour m = n, n — 1, n — 2. 
En portant dans cette formule l'expression (7) de la fonction 

et en y posant m = n, nous trouvons que H^ est déterminé par la formule 

(21) ^„ = a, ^o' (- ^) -*-^A'i~^)-*-'"-^ «n f n-, (- ^)- 

En remplaçant ici n par n — 1, n — 2 et en comparant les expressions 
de H^, H^_i, Ii^_^ obtenues de ces formules, nous observons qu'elles satis- 
font aux équations 

Hn = ^„-, -*- «„f „-, (-'0, i^-, = -Ef„_.-H a„_, f „_,(- h), 
qui donnent 

par conséquent l'expression du rapport 

On— 2^ 

se réduit après l'élimination des quantités 
à celle qui suit: 

On _ {H-H^_,f _ 



gn-2 — {H~Hn_^(H-H„) 

En y posant successivement 

n = m, m — 2, m — 4,...w — 2jp-i-4 

et en multipliant entre elles les égalités résultantes, nous obtenons, les ré- 
ductions faites, 

Om—2p-^2 {H — H^) {ii — H^n—if (^ — ^wi— 4)^ ...{H— Hjn—zp-i-2) 

En posant ici 

m = 2^?, m = 2^ — 1 , 
nous trouvons 

g,p __ {H-H^p_,f (g- H,p_3)'» ' -JS-H,)^ 

g, (H- H,j,) [H-H^p^^f {H-H^p_,)\ . .{H- H,)' 

g^ —iH-H^p^,){H-H^p_,fiH-H,p^,)\..{H-H0' 



— 630 — 

§ 6. Les quantités g^, g^, qui entrent dans ces formules sont détermi- 
nées, d'après (16), par les égalités 

qui donnent d'après (13) 

En observant que, d'après (7), les degrés des fonctions 

0^{x, — h), 0^{x, —h) 
sont inférieurs à ceux de 

nous concluons de ces égalités 

g, = lim. [^^^ ; g, = lim. rT%l 

Cela montre que les quantités g^ , g^ sont égales aux rapports des coef- 
ficients des plus hautes puissances de x dans les fonctions 

que nous obtenons, d'après le § 4, eu développant les fonctions 

en fractions continues. 
Comme on a ici 



co' 



C0C2 — Cl* 

w w — — — 



Co H~ 1 (co H- 1)2 {CpH-lf , 

H{CqH~ 1) (C2 Jî— /l2) - H (Cl IZ-+- 7l)2 ' 

nous avons dans ce cas d'après nos notations 



_ J_. CqS 



;a;2- 



Hx H{CiH-*-h) ^ ^_ (coH-l)2a;g 

■ Co if — 1 (Co if— 1)* ' ^a jï [(Co cj — Ci2) H— cq h'^ — 'ÀCi h — c^]' 



— 631 — 
D'où il vieut, d'après ce que uous avons dit sur la détermination de 

n — __^Q^_. n — (cog-l)McoC2-gi') 

i'i ~ Co H— V 92— c^2 ir^ico C2 - c,2) H-Coh^-2cih — CaJ ' 

et d'après (21) 

^. = a. 'j^o' (— /^) -t- a, 4^,^ (— /^) =: - -4- ^'" ^ "^ '^^' ♦ 

2 1 TO V / 2 Tl V ^ Cq Cq{CqC2 — Ci*) 

En tirant de ces dernières égalités 
et en portant ces expressions dans celles de </i, ^a, nous aurons 






Oi — H—H\ ' 9^~~ H(H— H2) 



après quoi les formules obtenues au § précèdent pour les rapports 

92 

donnent 



(22) 



[ 1 p/- Il2p~i) (tf- H,p^,). . .{H-H,) Y 

J ^2p H (H - H,p) \{H - iZ,p__2) (H - H,p_,) ...{H- hJ ' 

I _ !£ ( JH- H2P-2) i^I- IÏ2p~4)' ' -(g- g2) f 

( ^2p-. ~'H- B,p_, \{H- H,p_^) (H- H,p^,). . .{H-hJ ' 

Ces formules déterminent les facteurs constants 



qui entrent dans les expressions (13) des fonctions 
lorsque les réduites 

Qj W ^2M Qm(^) 

de l'expression 

fo._. ^_. j^_. 1 

se déduisent de son développement eu fraction continue 
^ i__ 

h^-^'^i p^ a; -+- (72 - . . 1 



— 632 — 

Quant à la détermination des quotients incomplets de cette fraction, 
nous tirons de (18) pour w = 2p, m = 2p — 1 

9%p 92p — 1 

P2p — ^tp ^2p _ , ' Pîp— 1 ~~ *2P-1 Qip — i 

et il vient de (22) 

P2p — ^2p m [H- H^p) \{H - gjp-,). . .{H-H^) (H- hJ 

— IPjS-H^p-^)' / (H- g,p-4)- • -(g- gJ (g- g2) Y 

P2p_, — %-, H- H,p^, \{H- H,p_3). .{H -H,) (H-hJ • 

Ayant ainsi déterminé le coefficient p^ dans le quotient incomplet 
nous trouverons o-^ par la formule 
qui s'obtient de l'égalité (19), en y portant d'après (18) ^ à la place de -^^ 

^n 9n — 1 

et en remplaçant n par m. 

§ 7. Dans le cas que nous considérons les quantités 



sont positives, d'après le § 1 ; donc les formules que nous venons d'obtenir 
donnent, comme on le voit aisément, 

Pi>0, P3>0,...p„>0, 

si ^ a une valeur quelconque, négative ou positive, supérieure à 

fi.- S„..H„. 

En nous bornant à ces valeurs de H^ nous concluons de ce qui a été 
dit au § 1 sur les fractions continues dont les quotients ne contiennent que 
la première puissance de x avec des coefficients positifs, que toutes les ra- 
cines des équations 

sont réelles et qu'entre deux racines voisines de l'une quelconque d'entre 
elles 



— 633 — 

se trouve une racine de l'équation 

On voit de là qu'aucune de ces équations n'aura de racines négatives si 
dans la dernière équation 

qui, d'après (13) et (10), se réduit à 

/0q^ ,. (^x , K (- h) K~i (- ft) ^m (^) - 4^m (- ft) ^m-i (^) _ a 

toutes les racines sont plus grandes que zéro. 

Pour trouver les conditions sous lesquelles cela a lieu, nous observons 
que, d'après le § 1 , entre deux racines voisines de l'équation 

se trouve toujours une racine de l'équation 

et que par conséquent la fonction '\'^_^ (x) doit changer de signe dans cet 
intervalle; mais comme la fonction ^^(a;) s'annule aux extrémités de l'in- 
tervalle et que ']>„j_j (x) change de signe, le premier membre de l'équation 
(23) change évidemment de signe dans cet intervalle. Il en suit que dans 
chaque intervalle entre deux racines voisines de l'équation 

se trouvera au moins une racine de l'équation (23). Cela posé et eu égard à 
ce que l'équation 

a m racines qui sont toutes positives d'après le § 1 , nous concluons que 
l'équation (23) a au moins m — 1 racines positives; donc, étant du degré m, 
elle ne peut avoir qu'une racine négative. Mais l'équation (23) ne peut pas 
avoir une seule racine négative, si son premier membre a pour ic = — oo 
le même signe que l'expression 






xjP) 



qui représente sa valeur pour a; = 0. 

En observant d'après sa composition que pour x= — oo il a le même 
signe que son terme le plus élevé '\>^ (x) et que, d'après (2), ^^ ( — oo) et 



— 634 — 

t}^^(0) ont le même signe, nous concluons que l'équation (23) n'a pas de 
racine négative, si le rapport des quantités 

est positif et si, par conséquent, a lieu l'inégalité 

1 , ^m (— ^) h>k 

Comme on a, d'après (2), 






et que, d'après (7), (10), la fraction 

^,n~-x (- fe) ^m (0) - ^m (- ft) 'l^m-. W 
/t 

est égale à la somme 

«i'lo(-/0 +o(O)-*-a,^>,(-/0 4^,(0)-^, . .-^-a^'k-.(-^0 4^.-,(0), 
dont tous les termes son positifs d'après (1), (2), on peut diviser cette iné- 
galité par le produit 

iml-'O ^rn-i (- fe) ^m (Q) " ^m (- ^*) ^m-x (») . 
']>o(0) /» 

après quoi elle donne, en transportant le premier terme au second membre, 
(<1A.\ 1 -^ _ ^m(O) ^ 

y^^^f H-Hm^ ^m (- h) ^m~x H ^) ^m (0) - ^m (- '0 ^m-i (0) 



En observant que, lorsque cette inégalité est satisfaite, l'équation 

,!, (rr'\ _i- ^m (— ^0 ^m—y (— ^) "^wz (^) — 'l^w 



. ^m (— ^0 4^m— 1 (— ^) "^wz (^) — ^m (— ^0 ^m-i (a^) _ q 



n'aura pas de racines négatives, nous concluons que pas une seule variation 
de signes dans l'équation 

ne sera perdue par l'addition au premier membre des termes qui forment le 
polynôme 

rmK fi) x-i-h ' 

multiplié par 

1 

si cette dernière quantité est plus grande que 

^mJO) JL 

K (- h) -l^^-i (- h) ^^ (G) - ^^ (- h) i>m-i (0) 

§ 8. En revenant au cas général, lorsque les coefficients 
^o> ^u ^2? • • • 



— 635 — 

de la série 

W — io, lï _. ^ 

sont complètemeut indépendants entre eux, nous désignerons par 

les valeurs absolues des coefficients qui multiplient 

x\ x\ x\...x'' 
dans la fonction 

pour n quelconque. 

Comme, d'après le § 1, dans les polynômes 

les termes ont alternativement les signes -h et — et que les termes le plus 
élevés ont le signe h-, la fonction ^„(ic) sera représentée pour une valeur 
quelconque de n par la formule 

(2 5) ^„ (x) = /i: j") x"" - Kl:L, x""-' -f- K^% a;"-^ — . . . =t K^'"'^ 

=2 (- 1)"~' ^t- "^ ^^' (i = 0, 1 , 2, . . . n). 

En calculant d'après cette formule les produits 

«1 1^0 (^) i^O (^). «2 ^1 {^) ^^1 (^)» • • • «m 4^m -1 (^) 'J^m-i (^). 

oîî, d'après (1), on a 

a,>0, a,>0,...a^>0, 

nous observons qu'ils se réduisent à des sommes algébriques de ternies 
qui contiennent x à des puissances inférieures à m et que le signe du 
terme en 

est défini par le signe de 

(— 1)"-*' (— If-i" = (— 1)».+*,,. 

D'où l'on voit qu'eu portant les expressions de ces produits dans la 
formule (7), on obtiendra une équation que l'on pourra écrire ainsi 

(26) 0^ (x, z) =2 2 (- 1^''"^'" (^' ' *-) ^'' ''" 

(i, = 0, 1, 2,...m— 1; i„ = 0, 1, 2,...m— 1), 

en désignant par 

(in h,) 



— 636 — 

la valeur absolue du coefficient de x^' x*» . Si nous portons cette expression 
de la fonction 0^ {x, z) dans l'équation (9) et si nous observons que l'on 
a ici 

(«' = 0, 1, 2,. ..; « = 0, 1, 2,. . .»0, 
nous trouverons 

0^ w = &„ 2222 (_ir ^"*»-'-^' (,„ i„) ., xr é- 1'^-'-^ 

Mais en représentant les coefficients du polynôme cherché 0^{z) sous 
la forme 

(- ir~' 9,, i;.-. (- 1)""^ 9m i'»-., ...,(- 1)» ?„ r„. 

nous avons 

(27) tf„(.;) = <,m2(-^'''^-i^''- (1 = 0, 1, 2,...m-l), 

ce qui, porté dans l'équation précédente, donne 

= [2222 (—1)*'*'""-'"-'"^'' (i,, j„) ei' ^/"' / /-^•"-•'-']^ 
-*- [2222 (-ir'"""""' (i, «.) «' i; ^•' ^""'"-''"l- 

Pour trouver les valeurs des termes du second membre de cette éga- 
lité, nous observons que dans les sommes contenues sous les signes [ \ les 
termes en — qui en déterminent les valeurs s'obtiennent dans la première 
somme 

2222 (~i )*>'""-'"-*■-"*' (i„ è„) Ci' kp x'' /-*"-^'-^ 

pour i =i~\- i„ et dans la seconde 

2222 (- ir'"^-^' a, i.d ei' Y^ / ^^'■^'-' 

pour i' = y) -t- i„ . Mais en écartant tous les termes pour lesquels ces rela- 
tions n'ont pas lieu, nous trouvons que la formule que nous considérons se 
réduit à 

2 (- »)' ^1 ^^ =222(-i)"""''' ('" '") 'i-.i., ^'"^ ="'■ 
-222(-i)'('"'")v^„^'.''"- 



— 637 — 

Les deux membres de cette formule sont des polynômes en x du degré 
m — 1 qui doivent être identiques. En déterminant les termes en 



dans les deux polynômes et en égalant entre eux les coefficients des puis- 
sances égales, nous obtenons les m équations suivantes 

F =(_i)"»yy(w-i,ue. . z/'")-+-yy(m-i,v)e . r, 

F =(_!)"» Vy(w_2,Ue. . s:/"')-Hyy(m-2,ê„)e . F, 



(28) 



ï;=(- ir 22 (1. ^") «.-.,„ ^r-22 d- ^") ^-.-v ^v 
r.=(- ir 22 (0' '") ^..-.■„ ^r-^22 («' *") ^*^„ ^.' 

qui déterminent toutes les m inconnues 

Y Y Y Y 

qui, d'après (27), figurent dans l'expression du polynôme cherché 0^{x). 
On voit d'après la composition de ces équations que si 

sont infiniment petits, les quantités 

Y Y Y Y 

■^m — 15 -^m — 2''** 1' 

auront également des valeurs infiniment petites dont l'ordre par rapport à 

^0? ^n ^2) • • '^sm— 1 
ne sera pas inférieur à un; donc pour ces valeurs de 



les dimensions des derniers termes dans les équations précédentes ne seront 
pas inférieures à deux; par conséquent, en les écartant, nous obtiendrons 
de (28) ces expressions, exactes jusqu'aux termes du premier degré en 

o> 1) • • • 2tn-~i 



— 638 — 
inclusivement: 

y„_, = (- ir 2 2 (» - ' ' ^") 'i*i.. ^■•""'' 

Eu portant ensuite ces valeurs approchées de 

Y Y Y Y 

dans les derniers termes des équations (28), nous obtenons pour exprimer 
ces inconnues des formules exactes jusqu'aux termes du deuxième ordre. 

En poursuivant ces substitutions, nous pouvons trouver les expres- 
sions de 

Y Y Y Y 

exactes jusqu'à tel degré que nous voudrons. 

§ 9. Mais au lieu de nous y arrêter, nous allons montrer à présent 
comment on pourra obtenir une limite supérieure des erreurs provenant de 
la suppression des derniers termes dans les équations (28), pourvu que les 
quantités 

ne dépassent pas certaines limites, qui, comme nous le verrons, s'obtiennent 
aisément dans chaque cas particulier. 

En désignant les valeurs absolues des sommes 

y y (n, i,) e. . K^'''\ y y (w, i,) e ^. Y^ 

pour n quelconque par 

n' n' 

les valeurs absolues des inconnues 

Y Y Y Y 
par 

par M la limite supérieure de ces dernières quantités et par 

celle des inconnues 

Y Y Y Y 



— 639 — 
dont la valeur absolue atteint la limite M, nous observons que Tégalité 

que l'on obtient de (28), ne peut avoir lieu que si 

(29) M<T^-i-U^. 

Comme, d'après le § 8, l'on a 

(n, e„)^0, 
la valeur absolue de la somme 

y s (n, i,) c . t; 

ne diminuera pas, si nous y mettons à la place de e-r^-x-i,, sa valeur absolue et 
à la place de Y la quantité ilf, qui représente d'après nos notations la li- 
mite supérieure des valeurs absolues des inconnues 

Y Y Y Y 

Par conséquent nous avons 

(30) U^<S^M, 
en désignant par 8^ la somme 

que l'on obtient lorsque des deux signes d= l'on garde celui pour lequel on 

D'après cela, en désignant par 

S, T 
les limites supérieures de 

T T T T 

nous avons 

L\<SM; T^<T- 
ce qui donne d'après (29) 

M<T-\-SM. 
De cette formule pour 

il vient 

(31) ^<îés' 



— 640 — 

ce qui, d'après la signification de M, détermine la limite supérieure des va- 
leurs absolues des inconnues 

Y Y Y Y 

Quant à l'inégalité 

5<1, 

dont, comme on l'a vu, nous avons supposé l'existence en déterminant la li- 
mite supérieure M, et où S est la limite supérieure des quantités 

cette inégalité aura lieu si les quantités 

^0) ^1? ^2> ' ' * 

ne dépassent pas les limites pour lesquelles 

S„_.<1- S„_,<1,...S,<1, S„<1. 

Quant à ces dernières limites, elles peuvent être trouvées dans chaque 
cas particulier, puisque les sommes 

s'annulent évidemment pour 

^0 = 0, e, = 0, ^2 = 0,..., e^^_^ = 0. 

En supposant que les quantités e^, e^, e^,. . . ne dépassent pas ces li- 
mites nous aurons 



d'où l'on trouve d'après (30) 

(32) U.<h^- 

Comme d'après nos notations U^ désigne la valeur absolue de la somme 

y y (n, i,) e . r , 

cette somme sera contenue entre 

et par suite, d'après (32), entre 

Sn T Sn T 



— 641 — 
Cela montre que l'équation 

(33) r„ = (- ir 2 2 (». i.') <=i^i„ -K-r' -h2 2 (»' '") %+c ^v 

que l'on obtient de (28), donne 

à 

près. En posant successivement 

w = m — 1, m — 2,...l, 0, 
nous trouverons ainsi, pourvu que 

^0 ' 1 » ^2 ' • • • 

satisfassent à l'inégalité 

les valeurs approchées des inconnues 

Y Y Y Y 

et les limites de leurs erreurs. Nous concluons de là que sous cette condition 
l'on pourra satisfaire aux équations (28) par des valeurs finies de 

Y Y Y Y 

et que par suite, d'après le § 2, on pourra déterminer le polynôme 

du degré m tel que la fraction 

£i^ étant convenablement choisi, représente la fonction 

jusqu'au terme en ^^ inclusivement. 
Cela montre que 

sera une des réduites de cette expression; par suite, si 

S<1, 

il doit se trouver dans la série de ces réduites une fraction dont le dénomi- 
nateur sera du degré m. 



— 642 -^ 

§ 10. Nous allons nous occuper maintenant de l'application des for- 
mules obtenues au cas où les quantités 

sont renfermées entre les limites 



l 


h 

^0 




• • > 


h^m-i 


1 


^0 


i^o^ 


' -ffo 



H, h étant positifs. Nous admettrons que la condition 

soit satisfaite, ce qui exige, comme nous le verrons, que la quantité H^ ne 
soit pas inférieure à une certaine limite qui sera indiquée plus loin. 
Comme, d'après le § 8, les quantités 

(n, ^„), Z/'") 

ne sont pas plus petites queO, le maximum de la valeur absolue de la somme 

lorsque 

^0 5 ^1) ^2»* • •^2TO— l' 

ne dépassent pas les limites 

1^ h^ 7i^ _ h^fn—i 

Hq i/o i/o -^0 

1 7i h^ /i2m-i 

Hq Hq JtJq JJq 

s'obtiendra pour 

_ 1 h h^ _ h'^m—i ^ 

^o~^' ^i~âô' ^2— i^g'---' ^2m-i— /7o î 

nous aurons donc d'après le § 9 
ce qui donne 

Pour trouver la somme 

2 ^/") /^' 

observons que de l'équation (25) oh obtient pour n = m, a;= — h 



— 643 — 
d'où il vient 

2 xrA'=(-ir +«(-'')• 

Pour trouver la somme 

2 (»*, «//) '^'" > 

posons z = — Il dans l'équation (7) et portons dans l'égalité résultante 

les expressions (25) des fonctions 

Nous trouvons ainsi 
(35) 0„(rr, _A) = (-1)"— [Lïl. x'-'-'-iL-i, ^"-^-^ilria ^"-"— .], 
où l'on a posé pour abréger 

ii:i.=(-ir-' [«™k-(-'o /e-.''-«„_,'^„_,(-^) ^r-f ], 
(36) |iï2.,=(-ir-' K*„_,(-'o ^e-a"- «„_,+„_, (-A) iiTir-i"' 



En observant que cette expression de la fonction ^^ {x, — li) doit être 
identique à 

ri>„(a;, -A) =2 2 (-1)''"'" (i> »•") (-''/■' ^''', 

que l'on obtient de (26) pour z=^ — A, et que x^ entre dans ces expressions 
avec les coefficients 

(-i)"i„"">, (-ir^o». '")/''", 

nous obtenons l'égalité 

(37) L;f^='^{n,i,;)Ù\ 

En portant dans l'inégalité (34) les expressions qu'on vient de trouver 
pour les sommes 

41* 



— 644 — 

nous obtenons 

(38) T^^C-ir^^C-A)?;^'; 

d'où nous déduisons à fortiori 

(38)"' 2"„<(-ir4'».(-*)^'' 

en désignant par L^^^ la limite supérieure des quantités 

Jim) T(m) T (m) j (m) 

En passant à la recherche du maximum de la somme 

dans le cas oii 

ne sortent pas des limites 



1 




7*2 


7i2m-i 


1 


h 


/l2 





et oii tous les termes de la somme sont pris avec les signes qui rendent 
leurs valeurs positives, remarquons que ce maximum s'obtient pour 

^0— Hq' ^1 ~ i/o' ^2 — H^5 • • • ^2m-i — Ho 

tous les signes étant -*-. Il s'ensuit que la quantité que nous avons désignée 
par S ne dépassera pas la somme 

et que par conséquent 
Comme on a 

et que d'après (37) 
cette inégalité donne 

d'où, pour 

n = m — 1, m — 2,...l, 0, 
on obtient 



— 645 — 
Ces formules montrent que S, la plus grande des quantités 

ne surpassera pas 

Hq h—l ' 

puisque d'après nos notations L'-^^ est la limite supérieure des quantités 
On a doue 

On voit d'après cette formule que la condition 

(41) S<\, 

dont il a été question plus haut, sera satisfaite si l'on a 

(42) /r„>i<'")^. 

Dans la discussion du cas qui nous occupe nous nous bornerons aux 
valeurs de H^ qui satisfont à cette inégalité; nous aurons donc 

S<1. 

§ 11. D'après le § 9, si l'on a 

la limite supérieure des valeurs absolues des inconnues 
Y Y Y Y 

m — 1' m — 2' * • • 1) 0> 

que nous avons désignée par ilf, satisfait à l'inégalité 

En observant que cette inégalité n'est pas altérée lorsqu'on y rem- 
place 

T, S 
par les quantités 

(-1) K(-^0-â^' S^T^' 

qui, d'après (38)bi3, (40), ne peuvent pas être inférieures à T, S^ nous en 
obtenons par cette substitution 



— 646 — 
de là nous trouvons par (39) 

S„M< 



(-l)-i(-)i„(m)^,,j_7,)^^ 



et d'après (30) 



OÙ U^ est, d'après nos notations (§ 9), la valeur absolue de la somme 

En vertu de cette relation et de l'inégalité (38), d'après laquelle T^, 
valeur absolue de la somme 

ne dépasse pas 

nous concluons de l'équation (33) que la valeur absolue de Y^ ne dépasse 
pas la somme 

qui est égale à 

11 s'ensuit que Y^ est contenue entre les limites suivantes 

En posant dans ces formules 

n = m — 1, m — 2,...l, 0, 

nous trouverons les limites entre lesquelles sont contenues les valeurs de 
toutes les m inconnues 

Y Y Y Y 

qui entrent dans les équations (28);- d'où nous concluons que, la condition 



— 647 — 

étant supposée satisfaite, les équations (28) auront dans le cas que nous traitons 
des solutions finies, et que par conséquent on pourra trouver le polynôme 

=?» ['kW-i- ir (i-»-, ^•"-'- r„_, ^"-^-+-. . .)] 

du degré w, pour lequel la fraction 

^mW étant convenablement choisi, donne l'expression de 

W—Wo 
exacte jusqu'aux termes en ^^ inclusivement. En observant que pour que 
cela soit ainsi, la fraction 

doit avoir son égale dans la série des fractions réduites 

Çi ' «2 ' <?3 ' " * 
de l'expression W — Wq^ obtenues par son développement en fraction con- 
tinue, nous concluons que si Hq satisfait à l'inégalité (42), il doit se trouver 
dans cette série une fraction dont le dénominateur est du degré m. 

En répétant les mêmes raisonnements, après avoir remplacé m par les 
nombres 

m — 1, m — 2,. . .1, 

nous arrivons à la conclusion que dans la série 

A A A 
Qi' Qz' <?3 " * * 

des réduites de l'expression W — Wq se trouvent nécessairement des frac- 
tions dont les dénominateurs sont des degrés 

m, m — 1, m — 2,. . . 1, 

si Hq satisfait aux inégalités 

(44) if.>i<-)^, ff„>i<»-')'i9;pi,...,F„>X«5^, 

où, d'après notre notation, 

sont les limites supérieures des quantités 

r (m) r (m-i) T (l) 

-^n > -^n J • • • 3 -^n 5 

que nous obtenons des équations (3 6), en les laissant d'abord sous leur forme 
actuelle et en remplaçant ensuite le nombre m par m — 1, m — 2 .... 1. 



— 648 — 

Puisque ces équations, eu y remplaçaut 7n par [;l, [a — 1 , donnent 

i„<'" = (-lf-' [%%-A-h) K„^~'^-«^_, 4.^_,(-A) £•„»"-" -H...], 

il en vient 

Mais en observant, d'après (1), (2), que 

a^>0, (-lf-',^^_,(_A)>0, 
nous déduisons de cette égalité 

Il en suit que L^^\ limite supérieure des quantités 

ne peut pas être plus petite que L''^~^\ limite supérieure des quantités 

T(\>—1) T(l>—1) T (fi— 1) 

■'^[i-2 ) -'-n-3 J • • • > -^0 ) 

et que par conséquent on aura 

De là et considérant que 

/jH-i _ /tt^— i-i , ji_i hi^—i - 1 
/i-i~ /i-i "*"^ -^ A-i ' 
nous trouvons 

^ h — l^-^ 7t - 1 



D'après cela les seconds membres des inégalités (44) forment une série 
décroissante; donc toutes ces inégalités seront satisfaites lorsque Z^o satisfait 
à la première d'entre elles 

et par conséquent, d'après ce qui précède, il doit se trouver pour cette va- 
leur de Hfi des fractions aux dénominateurs des degrés 

m^ m — ],...., 1 

dans la série des réduites de l'expression 



— 649 — 



tirées du développement 



En remarquant que cela n'est possible que si 

sont du premier degré, nous en concluons que dans le cas que nous considé- 
rons, Hq satisfaisant à l'inégalité (42), la fraction continue provenant du 
développement de l'expression 

sera de la forme 

_J_ 1 



P2 a; -»- (Jg 



9m x-*-^m ~ 



Comme elle doit conserver cette forme pour toutes les variations de 
l'expression W — Wq qui laissent subsister l'inégalité (41), les coefficients 

Pu p2>* • M Pm 

ne peuvent ni s'annuler ni devenir infinies, tant que l'inégalité (41) reste sa- 
tisfaite; par suite, étant des fonctions rationnelles des coefficients de l'ex- 
pression W — Wq, ils ne peuvent pas changer de signe tant que H^ ne dé- 
passe pas la limite assignée par l'inégalité (41). 
En remarquant que pour 

^0 = 00 
on obtient, d'après le § 10, 

et que par conséquent la fraction 
1 



Pi a;-+-ffi- 



se transforme en 



où, d'après (1), l'on a 

a,>0 a2>0,...,a^>0, 

on voit de ce qui précède que, dans les suppositions que nous avons faites, 
les coefficients 

Pu p2J' • «J Pm 

auront des valeurs positives. 



— 650 — 
§ 12. Nous avons ainsi établi que lorsque 

ne dépassent pas les limites 





1 


h 7t2 

Ho' Ho'"' 


Ji2m—i 




Ho 




-^h 


h /l2 


him-x 


et qu'on admet 


' Ho 










la série 









W W — ^o~^" -+_ ^'"*~^i 

rr rr — ^ ^^ x^ 

se laisse développer en la fraction continue 



■^1 ' P2 X -H (Jg — • . -^ 

Où * Pm«^-^Om--.., 

Px>0, P2>0,...,p^>0; 
donc en désignant par 

les réduites, nous voyons, d'après ce qui a été dit au § 1 sur les fractions 
continues de cette forme, que toutes les racines des équations 

ont des valeurs réelles et que ces valeurs sont toutes positives si l'équation 

W^ {x) = 

n'a pas de racine négative. Pour trouver la condition sous laquelle cette 
dernière circonstance a lieu, observons que l'équation 

se réduit en vertu de (4) et (27) à celle-ci 



le coefficient 



^n 



étant, d'après (43), pour y)=w contenu entre les limites 



— 651 — 

De là et considérant que d'après (35), (10) on a 
0^(x, _*) = (-])"*-' [i«,a:"— -i«.^"'-^H-...-H(-ir-i.W], 

nous arrivons à la conclusion que dans la somme 

2 (- 1)^ i; ^'' 

les coefficients des différentes puissances de x sont contenus entre les coef- 
ficients des puissances correspondantes de x dans les fonctions 






En comparant ces fonctions avec la fonction 

H— Ujn x-t-h ' 

qui figure dans l'équation (23), et en observant que l'inégalité (24) dont le 
second membre est < est satisfaite, si 



ne sort pas des limites 



4^m(Q) T^ 

^7» (- ^ ^m-i (- ^0 ^m (0) - ^m (" ^ ^m-i (0)' 

.AûM l 

+m (- ^*) ^m-x (- ^) 4',» (0) - ^,n (- /^) 'l^wî-i (0)' 



nous concluons, d'après le § 7, que si 
1 






ne dépassent pas les limites 



<]>?» (- ?») 4>m-i (- '0 i'm (0) - 4^m (- h) i>ni-i (0)' 
^OT (0) ^ 



r équation 



4',-.W--2(-i)'^')^' = o 



ne contiendra que des variations des signes et par suite ne pourra pas avoir 
de racines négatives. 



— 652 — 
Comme les quantités 



1 



ne dépassent pas les limites indiquées ci-dessus pour 
et que d'après (10), (35) on a 

^ /Q M _ 2; W = 'l^m— 1 (— ^0 4^m (0) - 'l'm (— ^0 'l^m-i (Q) ^ 

nous concluons que si H^ est plus grand que la somme 



ni 7('») . K(— ^) 7- (m) 
-1 ^^ -*- 4-^(0) ^0 » 



l'équation 

n'aura pas de racines négatives et qu'alors, comme nous l'avons vu, le 
équations 

n'auront pas non plus de racines négatives. 

De là, ainsi que des résultats des paragraphes précédents, en posant 

^0 — ^0 "= ^0 > Cj -t- gj = C/i , . . . , c^j 
nous obtenons le théorème suivant. 

Théorème. 

Si la série 

Cq ____ £i_ - _£2 

X X- a;3 

est développaUe en fraction continue 



oit Von a 

a,>0, a2>0,..., a^>0, 

et si toutes les racines des égtiations 

formées avec les dénominateurs des m de ses réduites 

çijx) 92 (x) 9ffl— 1 (a;) Tm W 



— G53 — 

ont des valeurs positives, la même propriété avec le même nombre m a lieu 
pour la fraction continue provenant du développement de la série 

Cn Cl Co 

et pour ses m premières réduites, lorsque les coefficients 

ne dépassent pas les limites 

1 



J_ ^ _^ /t'"^— 1 

o?i Ji est une quantité positive quelconque et Hq une quantité positive plus 
grande que la somme 

h^—\ j (m) _. ^m (— ^') T (m) 

dans laquelle L^^^ est la limite supérieure des valeurs absolues des coefficients 
du polynôme 

x-+-h 

et Lq^ en est le terme constant. 

§ 13. En passant à l'étude des racines de l'équation 

(45) ^,n(^) = 0. 
lorsque dans la série 

a; x* a;3 * * * 

les quantités 

sont complètement indépendantes entre elles, nous observons que d'après le 
§ 12 cette équation se réduit à l'équation 

(46) ^^(^)^-2(-l)T,=t'' = 0, 
dont les coefficients 

sont déterminés par les équations (28). En posant dans ces équations 

eo = 0, 6^ = 0, ^2 = 0,..., e^^__^ = 0, 
nous trouvons 

r„_, = o, r„_,=o,..., r, = o, r„=o; 



— 654 — 
après quoi l'équation (46) se chauge en l'équation 

Il en suit que les racines de l'équation (46) sont des fonctions des 
quantités 

qui pour 

eo = 0, ej = 0, ^2 = 0,..., e^,„_i = 

sont égales aux racines de l'équation 

En désignant par 

les racines de cette dernière équation disposées dans l'ordre croissant, et 
par 

«. (o) ^ (o) ^ (o) ^ (0) 

les racines de l'équation (46) disposées de manière qu'on ait 

x,^''^ <x^^'^ < . . . <a;/°) < . . . <xj^ 
pour 

e, = e, = 0, e, = 0,..., e^,„_^ = 0, 

nous aurons pour ces valeurs de Cq, e,, e^. . . e^, d'après ce que nous avons 
vu plus haut, 

^ (o) ^ ^ (o) ^ ^ (o) ^ ^ (o) ^ 

D'après (3) et (28) tous les coefficients des fonctions 

s'annullent pour 

^0=0' ^1 = 0» ^2 = 0,... 
et l'on a 

dei 2*-*-i 

Par conséquent, eu différentiant l'équation (9) suivant e^ et en posant 
^0 = 0,61 = 0,62 = 0,..., 
nous obtenons dans le voisinage de ces valeurs de e^, e^, e^. . . 

à±mM — ( 1 ^«■ n [^miP^jAhlM] 

En portant ici les expressions (27), (10) des fonctions 



— 655 
et en divisant par g^^ nous trouvons 



d^{-\y\ r^x^ 






ce qui pour 

x^ étant une racine de l'équation 

donne 

de,- ~~^ '^ L (a:^ — ^) ^t'-^l Js' 

d'où, en observant que Y^ s'annule pour ^o = 0, e^ = 0, e, = . . . , nous 
obtenons 

(47) 2 (-1)^ "f (^'»^ = (- !)'■ +«-. (^'* [(T^'^a- 

Puisque les racines 
de l'équation 

ont, d'après le § 1 , des valeurs réelles et positives, les termes du polynôme 

(72 ^2 — x,f. ,.(z — x). . .(z — xj\ 
auquel se réduit la fraction 

Z — Xi Z — Xl 

ont alternativement les signes -\~ et — . Si nous observons que le premier 
terme (7^ /'"~^ a un coefficient positif, nous trouverons que le coefficient de 
/ sera représenté par la formule 

-(-ir/f, 

où 

/f>0. 

Par conséquent il vient 



[,7:^a=-(-^)'^. 



\-{z—xj)z 

et l'équation (47) donne 

(48) 2 (- 1)" ^ K^'= - '^#»-. (^<)- 

Cette égalité aura lieu pour 



— 656 — 
qui sont racines de l'équation 

taudis que pour les racines de l'équation (46) que nous avons désignées par 



.(0) 



nous aurons 



^m (^/°') -^2 (-1)'^. «')"=«' 



d'où nous obtenons, en différentiant par rapport à e. 

En appliquant cette équation au cas, où 
et en observant qu'on a ici, d'après ce qu'on a vu plus haut, 

K-, = o, i'„-,= o,-.-- 1^1 = 0, ro = o, xl'^^x,, 

nous trouvons que dans le voisinage de 

e, = ^1 = 0, 63 = 0,... 
aura lieu l'égalité 

d'où il suit 



ce qui, d'après (48), donne 

Cette relation détermine la valeur de la dérivée 

dans le voisinage de 

^0 == 0, Cj = Oj ^2 == . . . , 

et il est aisé de montrer que dans le cas cou sidéré on en obtient 

^'>o. 



— 657 — 

En effet, de ce que nous avons montré au § 1 relativement aux équa- 
tions 

+i(^) = 0, +3^ = 0, ^3(a;) = 0,... 

on voit qu'entre deux racines voisines de l'équation 

se trouve une racine de l'équation 

en même temps qu'une racine de l'équation 
donc la fraction 

change de signe deux fois dans chacune de ces intervalles, en reprenant le 
même signe pour 

x = x^, iCg,..., aîp. . ., x^ 

En observant que, pour la même raison, les équations 

n'ont pas de racines entre x=^x^^ a; = -»-cxD, nous en concluons que les 
fractions 

ont le même signe que la fraction 

Il en suit 

puisque, d'après § 1 , on doit avoir 

+;n_i(-*-^)>0, f„(-*-oo)>0. 
Ayant ainsi établi que 

nous obtenons de (49), où l'on a, comme on l'a vu, ff > 0, 

(50) '■^>0, 

ce qu'il fallait démontrer. 



— 658 — 

L'inégalité que nous venons de démontrer fournit la limite inférieure 
de la dérivée 

dcf 

dans le voisinage de 

e^ = 0, e, = 0, 62 = 0,... 

Pour déduire de l'équation (49) la limite supérieure de cette dérivée, 
déterminons '\'^_^{x) par (25), en y posant 

n = m — 1, x = Xj^ 
ce qui donne 

De cette même formule, en y posant n = m et eu observant que les 
racines de l'équation 

sont égales à 

nous avons 

+'m N = ^J^^ (^/ — ^1) . . . (^i — ^i- i K — ^/^,) . . . i^i — <^J' 

Par conséquent il vient de l'équation (49) 

â^ K^(— l)ffl— «-1 Kj^^n— 1)1^x1)* 

dei ^^("») {XI — oîi) . . . (XI - a;/_i) (a;^ — xi^{) ...(«/ — a;^) * 

En observant que d'après (25) ^^^'"^ est différent de zéro, lorsque 
^m W ^^^ ^^ degré w^, et que d'après § 1 les quantités 

racines de l'équation 

sont toutes différentes entre elles, nous concluons de cette égalité, où 

K, X-/"— ', x„ 
sont des quantités finies, que la dérivée 

dans le cas considéré ne surpasse pas une certaine limite finie qui peut être 
trouvée d'après les coefficients des fonctions 

^„_,(a;), +«(^) 
et les racines de l'équation 



— 659 — 

On voit de là que lorsque les quantités 

subissent une variation continue dans le voisinage de 

eo = 0, «1 = 0, ^2 = 0, 

toutes les racines de l'équation (46) subiront aussi des variations continues 
et que d'après (50) ces racines croîtront avec e^, e^, e^, , . 
§ 14. Pour étendre ces résultats au cas, où 

^OJ ^1) ^2> • • • 

diffèrent plus ou moins de zéro, nous remarquons que les propriétés des 
fonctions 

qui ont servi de fondement à tous nos raisonnements, subsistent, d'après le 
théorème que nous avons démontré, si au lieu de la série 



on prend la série 




C, G, G^ G,m-, 




OÙ les quantités 


-1 


ue dépassent pas les limites 




1 h h^ 




1 h /l2 
/?- -i 1 . C — 1 — C — 1 


j,2m-x 


''O^Bo* 1 -»o' ^2-^flo'---' 


2m— i • JT y 



h, Hq satisfaisant aux conditions indiquées dans ce théorème. 
Il en suit que pour ces valeurs de 

Co, Cj, C'a,. . . 
on peut répéter pour la série 

X x^ x^ 

tout ce qui a été démontré pour la série 

X xi x^^^' ' '> 

et que par suite, en remplaçant la séri(3 



— 660 — 
par la série 

X x^ x^ * * * 

dans la formation de l'équation 

par la méthode du§ 9, nous n'altérerons pas les propriétés de cette équation 
déduites au paragraphe précédent et d'après lesquelles toutes ses racines 
croissent d'une manière continuée, lorsque les quantités 

^0) ^1) ^2' • • • 

dans le voisinage de 

^o = Oj 6^ = 0, ^2 = 0... 

croissent également d'une manière continue. 
Par conséquent, en observant que pour 

J5Ji = Cj — Cj -H Cj , 



l'on obtient 

Cq — gp _^ Ci^ei _^ G 2—^2 _j_ _ go--go _^_ Cj-^-^i _j_ Cz — -^2 _^ 

X a;2 a;3 * * * x x^ x^ • • • ? 

ôEq = deo , ôEi = de^ , dE^ = de^,. . , 
et qu'aux valeurs de 

^0) ^1) ^25 • • • 

voisines de 

^0=0, ei==0, 62 = 0,.. . 

correspondent les valeurs de 

Eo, JE^i, ^25' • • 
voisines de 

■^0 = ^0 — ^0 -^1 = Q — ^n ^2 =.^2 — Gj, . . . , 
nous en concluons qu'en remplaçant la série 

Cq — gp , Ci-^-gj , Cg — g^ , 
a; a;* a;' • • • 

par la série 

X x^ x^ • • • 

dans la formation de l'équation 

d'après les méthodes du § 9, nous obtiendrons une équation dont toutes les 
racines croissent d'une manière continue en même temps que Eqj E^j E^,,.. 
dans le voisinage de 

E, = c,— Go, E, = G,~c,, E,= c,— C, 



— 661 — 
Quant à ces quantités 

les 2m premières entre elles ne peuvent pas dépasser les limites 



1 


h 


h-i 


Jtîm—i 


^o' 


W 


— ^'•••' 


So » 


-h 


h 


^Ho'---' 


hint—i 


' ^0 » 



puisque d'après les conditions du théorème du § 12 les coefficients 

^0> ^IJ ^2>« • •> ^2m— l 

sont supposés ne pas dépasser les limites 





7» 


^2 
^2-flô'-- 

7l2 




hîtn—i 


' ^0 • 



§ 15. Dans le cas particulier lorsque l'on a 

777 J_ p _^ 77T ft^ 

^0— Ho' -^1 — iV -^2— iTo'"*' 

la série 

Cq — ^0 ^ C|-*-JEi ^ Cj — Ej ^ 

X x^ x^ ' ' ' 

est égale à 



a? œ* a;' * * * HQ[x-^-h) 

Par conséquent, d'après le § 9, l'équation 

se réduit pour ces valeurs de ^(,, ^j, JEg. . . à l'équation 

(51) 'h ix) \ ^^ ^~ ^^ ^^~^ ^~^^^ ^^ ^^^ ~ '^^ ^~^^ "^^—^ ^^^ = 

\ / Tm\ / Hq—Hjji x-t-h 

En observant que ces valeurs de 

pour /î > 0, i?o > 0, croissent en même temps que -^j nous voyons d'après 

■"0 

le paragraphe précédent que les racines de cette équation croissent avec ^. 

■"0 

De même, en posant 

77- L w ^ 7? ^ 



— 662 — 
nous nous convainquons que les racines de l'équation 

décroissent lorsque -^ croît. 

D'après cela il n'est pas difficile d'obtenir les limites des racines des 
équations (51), (52), racines que nous désignerons par 

iCj , iTg , . . . , iCp . . . , a; ^ , 
eu les supposant disposées de manière que l'on ait pour 4- = 

En observant que ces équations se réduisent pourZro=oo à l'équation 
dont les racines disposées dans l'ordre croissant forment la série 

^1 > ^2 ) • • • 5 ^/ j • • • 5 ^m ' 

nous concluons que pour 

i = o 

l'on aura généralement 

Puisque ainsi la racine x^ de l'équation (51) se réduit à la racine a;^ 
de l'équation 

pour 

et qu'elle croit avec cette dernière quantité, qui, d'après le § 10, ne peut pas 
être inférieure à 0, il en suit que la limite inférieure de la racine x^ est Xj. 
Quant à la limite supérieure de a;/, cette racine, en augmentant avec ■g^, 
n'atteint jamais la valeur x^^^ de la racine de l'équation 

qui suit Xj dans la série 



— 663 — 

parce que, comme il est aisé de le montrer, l'équation (51) n'est pas satis- 
faite pour x = Xj_^_^, tant que H^^ n'est pas infini. En effet, en posant 

x = x, 
i-t-i 

dans le premier membre de cette équation et en observant que 

')'„(^,-.,) = 0, 
nous trouvons qu'il se réduit à la fraction 

qui ne peut pas s'annuler pour une valeur finie de Z/^ puisque, d'après le § 1, 
l'équation 

ne peut pas être satisfaite par la valeur négative ic = — h, et sa racine 
x^^^ ne peut pas donner 

On voit de là que la racine x^ de l'équation (51) sera contenue entre 
les racines x^, x^^^ de l'équation 

et que par conséquent 

(54) Xi<x'i<0Ci^y' 

En répétant le même raisonnement pour la racine 

de l'équation (52), qui, comme on l'a vu, se réduit à x^ pour ^ = et di- 
minue lorsque ■g- croit, nous trouvons 

(55) x^_^<xl'<Xi. 

Ainsi s'obtiennent les limites des racines des équations (51), (52) et 
au moyen de ces racines l'on pourra trouver, comme nous le verrons, les li- 
mites des racines de l'équation 

que l'on obtient d'après le § 9, en remplaçant dans la série 

Cq — Cq ^ C| -«- g[ , Cj — ej ^ 

X iC* x^ ' ' ' 

les quantités 



^0 > ^1 > ^2 



' • • • ' ^2m— i 



— 664 — 
par les quantités 

ne dépassant pas les limites 

1_ ft_ h^ h'^ni—i 

^o' W i^o'*' •' i/o ' 

]_ ±_ h^ /t'"*— ^ 

"*"ifo' ■*"i/o' "*"l/o'*"' "*" i/o » 

OÙ ^ est une quantité positive quelconque et Z/q une quantité positive qui 
n'est pas inférieure à la limite trouvée au § 12. 
Dans le cas particulier, où l'on a 

ces limites se réduisent à zéro et nous avons 

E, = 0, JB, = 0, E,= -E,„_, = 0; 

l'équation 

devient donc ici 

et nous avons d'après § 1 3 



En passant au cas, où -g- dififère de zéro, et se rappelant, comme nous 
Vavons montré, que les racines de l'équation 



croissent avec les quantités 








-^05 -^IJ 


^.,... 


■^2m-n 




nous en concluons que lorsque 








■^0, ^ly 


^.,... 


^2m-i> 




ne sortent pas des limites 








1 h 


/»2 

^o' 




h^m—i 


Ho^ i/o' 


. . . , 


i/o ' 


1 7» 






ft2m-i 


-*-2fo' "^i/o' 


. . ., -*- 


i/o ' 


le maximum de la racine 


,(0) 







correspondra à 



— 665 — 
Mais puisque, comme ou l'a vu, pour ces valeurs de 

l'équation 

se réduit à l'équation (51) dont les racines sont 

^1 > ^2 ï • • • > ^p • • • ) ^ m ' 

il en suit qu'une de ces quantités fournira le maximum de la racine x^^^K 

Il est aisé de reconnaître celle d'entre ces quantités qui donne le ma- 
ximum de la racine Xi^\ si -^ est infiniment petit. Dans ce cas on voit, 
d'après les formules qui déterminent les limites des quantités 

Eq, E^, ^2»- • •» -^îm-i' 

que ces quantités restent voisines de zéro et par suite toutes les valeurs de 
la racine ic/°) restent voisines de x^^ à laquelle elles se réduisent pour ^=0. 
Par conséquent le maximum de la racine ic/°^ pour ^ infiniment petit ne 
peut être égal qu'à celle des quantités 

qui se réduit à ic^ pour -^ et cette quantité est, comme, on l'a vu, x[. 

D'après cela et observant que dans le cas que nous discutons le maxi- 
mum de la racine x^^^ augmente d'une manière continue avec la croissance 
continue de -^, nous concluons que pour toutes les valeurs de ^ qui satis- 
font aux conditions du théorème du § 1 2 ce maximum sera représenté par 
la même racine x^ de l'équation (51), puisque autrement pour une certaine 
valeur de -^, à laquelle s'appliquent toutes les formules obtenues, ce maxi- 
mum passerait brusquement de la valeur a;/ à une autre valeur prise dans 
la série 

^1 ) ^2 ) • • • 5 ^/ j • • • > ^ m ' 
ce qui est impossible. 

On voit de là que lorsque 



— 666 — 
ne dépassent pas les limites 





1 

Ho' 


h 

i/o' 


i/o'-* 


/i2m— 1 




Ho ' 


-*- 


1 

i/o' 


-h 




/i2m— 1 
' ' Ho ' 



la racine x^^^ de l'équation 

ne peut pas être plus grande que x^ et que par conséquent 

Xi^'^<x;. 

En déterminant de même la plus petite valeur de la racine 

lorsque 

■^05 ^n -^2J-"» -^2m-i' 
ne dépassent pas les limites 

1 h 7i2 h^m—i 



^o' ^o' -&o'***' ^0 ' 

JL A ^ ^^'''"~^ 

~*"ZZo' "^-H-o' ~*"lZo'""' "*~ So » 

nous trouvons que ce minimum est égal à la racine x^' de l'équation (52) et 
que par conséquent l'on a 

Comme on a par (54) 

et que par (55) 

les inégalités que nous venons d'obtenir donnent 

D'après cela, conuaissant les racines de l'équation 

nous pouvons trouver les limites des racines de l'équation 

lorsque 

ne dépassent pas les limites indiquées ci-dessus. 



29. 



SUR LES POLYNOMES REPRESENTANT LE MÏEUX 
LES VALEURS DES FONCTIONS FRACTIONNAIRES 
ÉLÉMENTAIRES POUR LES VALEURS DE LA 
VARIABLE CONTENUES ENTRE DEUX LIMITES 
DONNÉES. 

XKADUXX PAK B. C. KLODXBJEVSKY. 



(Lu le 2 décembre 1892.) 



Q noAunoMaoo'&^ uauAuziac npadcfnaêAJiiomux'6 snazcuÎM 

fipocmr&ûiuuxis dpoSuuxis chunâniû npii écAuzuuaccô nc^ 

pcMT&HHOÛf saÂAiox^aicmuoccji Mc:Jcdu dêuMsv dauuuMU 

npcdf&Aajnu. 



(IIpHjioaceHie k-b LXXII TOMy SanecoK-B HMnepaTopcKoô AKa^eMin HayKi., JV» 7.) 



UNIVERSITY 

OF 



Sur les polynômes représentant le mieux les 
valeurs des fonctions fractionnaires élémentai- 
res pour les valeurs de la variable contenues 
entre deux limités données. 



§ 1. Dans plusieurs cas les calculs approchés se simplifient consi- 
dérablement, en remplaçant les expressions fractionnaires par des fonctions 
entières qui en représentent avec une exactitude suffisante toutes les va- 
leurs dont dépend le résultat cherché. Les expressions approchées de cette 
sorte pour les fonctions fractionnaires se déterminent au moyen des théo- 
rèmes que nous avons démontrés dans notre Mémoire Sur les questions de 
minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions *). 
Nous allons montrer à présent, comment au moyen de ces théorèmes on 
trouve les polynômes de difî'érents degrés qui représentent le mieux les 
valeurs de la fraction élémentaire 

1 

H—x 

pour les valeurs de la variable x, ne dépassant pas les limites 



Nous supposons les quantités H, h positives et pour que la fraction 
reste finie entre 

x = — h, x = -t-1i, 
nous prenons 

H>h. 
En désignant par 

Po -+-P, ic -f- . . . H- p^_^ a;"-'-i-^„_^ x""-' 



*) T. I, pag. 273-378. 



— 670 — 

le polynôme cherché, nous observons que l'erreur absolue qu'on commet en 
représentant par ce polynôme les valeurs de la fraction 

1 

H— a; 

est égale à la différence 

shc—î'o—Pi a; - . . .— 2?n_2 ^"~'— 2>„_, ^"~'. 

Puisque le quotient de la division de cette différence par 

1 

H — x 

se réduit à l'expression 

l-i-{x~H) {p^_^ a;"-'-+-i?„_, a;"~'-+-. . .-*-p, oc-t-p^), 
l'erreur relative de la représentation approchée de la fraction 

1 

H~x 

par le polynôme 

Po ~^Pi a; -+- . . . -^Pn-2 ^""'-^-i^n-i ^"~' 

sera d'autant plus petite que l'expression 

l-^(x — H) {p^_^ x''-'-^p^_^ a;"-' -H. . .-^p^ x-^p^), 

différera moins de zéro. Par conséquent, pour abaisser autant que possible 
la limite supérieure de cette erreur entre 

x^= — h, x = -i-hj 

il faut donner aux coefficients 

Po, Px,"'Pn-z, Pn-x 

les valeurs pour lesquelles l'expression 

s'éloigne le moins possible de zéro entre 

x = — h, x = -\-Ji 
Les quantités 

Po, P,,"'Pn-,, Pn-i, 

qui satisfont à cette condition s'obtiennent aisément au moyen des théo- 
rèmes démontrés dans le Mémoire cité plus haut, comme on le voit dans 
notre Mémoire Sur les fonctions s'éloignant peu de zéro pour certaines 



— 671 — 

valeurs de la variable *), où, au moyen de ces formules, sont déterminés les 
coefficients 

avec lesquels la fonction 

s'éloigne le moins de zéro, x étant contenu entre a; = — ^, x = -^h. La 
quantité M est supposée ici connue et pouvant recevoir une valeur quel- 
conque. 

En posant 

ilf=l, 

nous obtenons d'après les formules de ce Mémoire que l'expression 

s'éloigne le moins de zéro entre 

x = — hj x^-^-h 
si les coefficients 

Vn — 1> Pn—2f • 'Pi} Pof 

sont déterminés par l'égalité 

l-+-(x — H) {p^_^ a="-^-*-i?n-2 ^"~'-*-- • '-*-Pi x-*-Po) 



^^ ^ (x -+- Vx^ — h^T -+-(x- Vx^ — ft2)" 



{H-t-Vm — ^2)» H_ {R — VRi _ A2)«' 

et que l'expression 

formée avec ces coefficients 

atteint dans l'intervalle x = — ^, x = -*-h, les limites 

2hn 2/t» 



(JÏ-+- yiif» - h^y -+■ (if— Vif 2 _ h^y ' (ja--+- yna _ /i2)» ^_ (^f _ vw^zj^if^ 

sans les dépasser. 

Il s'ensuit que toutes les valeurs de la fraction 



*) T. II, pag. 335-356. 



— 672 — 

de x = — h à x = ~\-h ne peuvent être représentées par aucun polynôme 
du degré n — 1 avec une telle approximation que l'erreur relative n'at- 
teigne ni la limite 



ni la limite 

2h^ 



{H-i-vm — h^f-^{H— vm-h^y' 



et qu'elle ne dépasse pas ces limites seulement dans le cas où les coeffi- 
cients iJ„_i,p„_2,. . -Pi-) Pq satisfont à l'égalité (1), ce qui détermine le 
polynôme 

Pn-x ^''~'-*-Pn-2 ^"~'-^- . '-^Pi ^-*-Po 

du degré {n — 1) qui représente le mieux la valeur de la fraction 

1 

H — x 

dans l'intervalle 

x=: — h, x = -\-h, 

§ 2. En déterminant le polynôme cherché 
au moyen de l'égalité (1), nous voyons qu'il est représenté par la fraction 

{H-i- vm — h^T -<- (h - vw^^j^T — (x -f- Vx'^ — h^T — (x— yj^^^i»)" 

1{H H- VH^ — hP-T -\-{R—Vm — /j2)"J [H — x) 

Pour obtenir le polynôme 
auquel se réduit cette fraction, observons que, la somme 

{e -^Ve^ — h^'T -t- {h—Vip — h^r, 

étant une fonction homogène du degré n — 1 des quantités E, h, en ouvrant 
les parenthèses, elle prendra la forme 

(2) {E-^ylP^^''AE-YW-R'T=Ajr^A^_Ji^E''-'-^^^ 
les coefficients 

ne dépendant pas de ZT, h. 



— 673 — 
En remplaçant dans cette égalité E par x, on trouve 

{x -^.y^:^la)% {^ _y^ri^3)"== a^ ^"-*- A-^ ^' ^"~'-*- A-4^* ^""'-^ • • 

ce qui, retranché de l'égalité précédente, donne 

{u-v-Vip—'h^T-^ {h—Vw—iv'T— {x-^-y^^^^Y— {x—'V¥^^\ 

en divisant par H — a;, on a 

(g -4- yga — ft2)** -^ (g— T/Hâ^Tftâ)" - (a; -t- y^â^Tp)^ — (a; - Vx"^ - h^)" 
H—x 



icore 


Pfn 


^{H-VH 








5 

(x-Vx' 




{H-*- vm - 


^-h^f- 


-{x-^Vx-^ 


-h^f- 


-A')" 








H— 


X 








= A 


^n- 


-'--A- 


_^h^ir'- 


-'-^A- 


.4^'^"" 


-'-*-.. 




-(^. 


j^U- 


-'--A- 


_^¥H''- 


-'-^A- 


.4^*5" 


~'-f- 


.)X 


-*-K 


H^- 


-'--A- 


JÎ'H''- 


-'-^A- 


^¥H'' 


-'-H.. 


.)x-> 


-*- . . 

















En comparant les expressions qui multiplient ici 
x^^ X, a;^, . . . j 
avec le développement (2) de la fonction 

nous observons qu'elles représentent les parties entières des quotients de la 
division de cette fonction par 

H, EP, E\,,,. 

On a donc, en désignant par le symbole E ces parties entières des 
quotients, 

(g-t- Vm - h^Y -t- (H- Vm - h^T -(x-*- Vi^^^P)" -{x- ■j/^â^rp)'» 

— H—x 



— 674 — 

ce qui, divisé par 

(H-i-yiP — ¥T -*- {u—VlP^-f^T, 
donne 

(g -4- ve^ — h^f -4- (g— vm — h^T —{oc-^- Vx^-h^f —{x— y^«^rp)» 

[(g -*- Vm — h^T -t- (g — /g 2 - 7i2)n] (g — a;) 

E [(g-t- >/g2 - A2)" -t- (g - yg2 - A2)"] ^ 



(g-t-yg2 — ft2)'*_H(i/- 


-Vm — h-^f 


E L(a-»-T/H2__;,2)"H_(H- 


-Vm-K^r\ i, 


(H_^yH2_;,2f-+-(g- 


-Vm-u'^r ^ ' 


E l(H-^Vm-h^r-^{H- 


-vg-/.^rji. 


{H-t-VE» — h^)"-+-{H- 


-Vm-h^y " ■ 



Par conséquent, d'après ce qui a été démontré sur le polynôme 
représentant le mieux la fraction 



Po-^Pi^-+-"'-*-Pn-2^*' '-+-JP„_i^" ' 



1 

H — x 

dans l'intervalle 

a; = — h, x=^ -\-li, 

ce polynôme sera représenté par la formule 

E [(g-t-ygâ=p)V (g_yg2=:p)"] -1 E \iR-*-VW^=¥-T-^ (g-yg2=^2)**] ^ 

(g -4- yg23^^)" -+- (g - /g2 - /»2)"~ (g -♦- yg2"=^)'' -4- (g — T/g2 — /ia)"~ 

E [(g-*-vg^=^r-H(g-yg2^ip)"] ^ 



a;2- 



(g-+- /gî — hP-T -*- (g — yg2 — /i2)« 
Si nous comparons cette expression approchée de la fraction 



1 

H — x 



sous la forme d'un polynôme du degré n — 1 avec l'expression 



1 X ie"~~2 a-n i 

H~^ W~^ * ' ' ~*~g«— 1 ~*~ g« ' 

que l'on obtient en développant cette fraction en série suivant les puissan- 
ces croissantes de ic, nous voyons que cette dernière est la limite vers la- 
quelle tend la première expression lorsque h converge vers zéro. 
Comme la formule 

1 X a;"— 2 ^n—y 



-675 — 



diffère de la fraction 


1 

R—x 










par la quantité 


x" 


)' 










Jî« {H— X, 




l'erreur relative que l'on 


commet en représentant 


par 


cette formule 


la 


fraction 


1 

H-x 




















entre 


X=: Tl^ X- 


= -l-A 








peut atteindre les limites 













tandis que pour la formule que nous venons d'obtenir cette erreur ne dé- 
passe pas les limites 

2A^» W^ 

(H H- ^/m — Wf -t- {R— VH^ — h^f ' (if -+- VH» — h^f -+- (H— VE^ - /»2)" ' 

§ 3. L'expression approchée de la fraction 
1 

K — x 

que nous avons obtenue peut être utilement employée dans plusieurs cas. 

Pour donner un exemple, nous allons en montrer l'application à l'éva- 
luation approchée de l'intégrale 

—h 

Nous supposerons que la fonction f{x)^ de même que B. — x^ ne de- 
vient pas négative entre a; = — h^ x^-*-h. 

En désignant par F l'erreur relative de notre expression approchée 
pour les différentes valeurs de la fraction 

nous trouvons que son erreur absolue sera donnée par la formule 

F . 

H — x' 

par suite, nous obtenons, d'après la formule du§ 2, pour la valeur exacte de 

1 

H — x 



— 676 — 
l'expression 

E [(£r-f- Vm - h^T -i-{H- vm - h-^f] ^ 

(H H- VW^^^T -f- (fl- — Vm — /i2)" 
E [(g-4-yg2-fe2f -4-(g-yg2-7^')"] ^ 2 F 

(fi--*- /Ifï — h^f -+-{h- vh^^^^T " " s — x' 

En multipliant les deux membres de cette égalité par f{x) dx et en 
intégrant dea; = — h h x^= -+-h, nous avons 

— ft 

1 -»-* 






1 -f-/i 






— 7t 



Is^A^)^^, 



-t- 

j 



ce qui peut s'écrire plus succinctement ainsi 

— /» -?l 

en posant 

l X X^ x'"' 1 ^ o 

g" -*" ^ ~*~ ^ ~*~ • . . -H -^ô" '^• 

En observant que cette égalité donne 

o 1 a;" 



^~H—x H^{H—xy 

où le terme 



H'^iH-x) 

est du degré inférieur à — n par rapport à H, nous trouvons 
£ [(H-i-VlP — h'T-^ {H—VlP — h^r'] S = 



— 677 — 
par conséquent, l'expression précédente de l'intégrale 
-*-h 



\ê. 



se réduit à celle-ci: 

—h —h 

En observant que, F étant l'erreur relative de l'expression approchée 

de la fraction 

1 

H — x' 

cette quantité, d'après le § 2, ne peut pas dépasser les limites 

2h» 2h^ 



(H-t- VM^ — h^f H- {R— Vif 2 — /i2)" {R-^ VR^ — h^f -*- {R~ VR^ — h^r ' 

et que les fonctions 

d'après nos suppositions, restent positives entre x = — h, x = -t-hj nous 
trouvons que le dernier terme 



j^F(x)dx 



-h 

de l'égalité précédente ne pourra pas sortir des limites 



2h^ 



(R-i- VR^ — h^T -i-{R— vr2 — h^y 

2h^ 



( f(x)dx 
]r-x^ 



[ f(x)dx 



{R-\- VR^ — hPf' -+- {R~VW 

—h 

Il s'en suit que la fraction 

+* 
V [iR^VW^:rh2f -^{R-VRz^=T^r] \fM^ 

■'-' J R — X 

_, -A 

(R-i- Vm:^^f -i- {R~ vW—hPp ' 



— 678 — 
dont le dénominateur est le polynôme 

{H-^VlP — h'T-+-(H—VlP — h^)", 
donne l'expression approchée de l'intégrale 

( fix)dx 
—h 

avec une erreur relative ne dépassant pas les limites 

2hn 



(if-*- VH^ — hP-T -+- (H— VE^ — h^T 

^ 

" {H -H vm — h^T -+- (-H"— Vm — h^T 



80. 



SOR LES SOMMES QUI DEPENDENT DES VALEURS 
POSITIVES D'UNE FONCTION QUELCONQUE. 

(TKADUIT PAR ï. PTASXYGXÏ.) 



(Lu le 16 février 1894.) 



cujiAiaoo'i)^ 3aSucjiiiiU0Qis om^ noAo:JcumcA'bmioo'ô sua- 
zeniu fiaâoû Atiâb (^unâtiiii. 



(SanHCKH IlMnepaTopcKou AKa^eMin HayKi., VIII cepia, T. I, Aa 7^ 1896 t.) 



Sur les sommes qui dépendent des valeurs 
positives d'une fonction quelconque. 

§ 1 . De notre Mémoire Sur les sommes composées des valeurs de mo- 
nômes simples multipliés par une fonction qui reste toujours positive '^) on 
voit quel intérêt se rattache aux valeurs réelles des inconnues 

^05 ^IJ ^2> • ' -^p— 11 

propres à fournir des valeurs données aux sommes 



La recherche des inconnues 

^0, ^15 ^2i ' • "^p—n 
u^, u,, u„...u^_^ 

sous de telles conditions se ramène à la résolution des équations 

(1) 2«/=p.. 2^,'«/=c„ i;,v»<'=^a.- • • i;^.-^-«.-'=q._„ 



où 

sont des quantités données. 
En faisant 



*) T. II, pag. 561—610. 



— 682 — 
nous pouvons remplacer ces équations par les suivantes 



plus simples, en ayant toutefois en vue que les valeurs réelles des incon- 
nues 

ne s'obtiennent que pour 

Y Y Y Y 

positifs. 

En écrivant les valeurs des inconnues 

•^0' ^11 ^i) • • "^p— 1' 

dans une solution quelconque des équations (1), nous les supposerons tou- 
jours rangées de sorte que les quantités 

^05 ^1? ^25- • -^p—l 

présentent une série croissante. Après avoir fixé ainsi l'ordre de disposition 
des quantités 

^05 ^15 ^25' • '^p—iy 

pour toutes les solutions des équations, remarquons que, d'après le § 3 du 
Mémoire précité, pour p = k^ quand le nombre des inconnues ne surpasse 
pas celui des équations, celles-ci ne peuvent avoir qu'une seule solution que 
l'on obtient à l'aide du développement de l'expression 



X X^ 



xik 



en fraction continue; nous en concluons que, dans ce cas particulier, les 
quantités 

•^0 J ^1 J -^2 5 • • • ^p—l 5 

se déterminent complètement par leurs indices et peuvent être trouvées 
sans difficulté. Pour distinguer ces quantités de toutes les autres qui satis- 
font aux équations (1) pour^> k^ nous conviendrons de les désigner 

V=2/o, V=2/i, <= 



— 683 — 

Les quantités z^^ u? fournissant la solution des équations (1), pour 
p=z]c on. aura 



où, d'après ce qu'on a posé concernant ^^j, z^, z^^. . .z ^^, on doit avoir 

«o<^i<^2---<^*-,- 

Nous allons maintenant montrer que de ces inégalités et des équations 
(2) on peut déduire les inégalités auxquelles satisfont toutes les solutions 
réelles des équations (1), quelque grand que soit le nombre des inconnues 

C'est de là qu'on tire les valeurs limites des intégrales et des sommes 
qui ont fait le sujet de nos Mémoires intitulés: 1) Sur la représentation des 
valeurs limites des intégrales par des résidus intégraux *), 2) Sur les résidus 
intégraux qui donnent des valeurs approchées des intégrales **), ainsi que de 
notre Mémoire précité Sur les sommes. 

Quant aux quantités 

^0 ' ^15 ^2 ' • • • ^A— i » 

qui se déterminent par les équations (2), elles s'obtiennent, comme nous 
l'avons dit, à l'aide de la fraction continue résultant du développement de 
l'expression 

X X^ X^ • • • ^2K 

En présentant cette fraction sous la forme 

nous trouvons que, d'après le § 2 du Mémoire précité, on doit y avoir 

g^ = a^a; H- S^, q^ = cl^x-^%, • . -î* = «^^j-h (3^, 
a,>0, a2>0,...a^>0, 



*) T. II, pag. 421—440. 
*♦) T. II, pag. 443-478. 



— 684 — 
si les équations (1) peuvent être satisfaites par les valeurs réelles 

pour un certain p. 

En supposant ces conditions remplies, et en désignant par 

les réduites résultant du développement de l'expression 

Gq Oi Go ^2 a 1 

a; a;2 a;' * ' * a;''^ 

en fraction continue 

nous concluons, en vertu de ce qu'on a démontré dans le Mémoire précité, 
que les inconnues 

Xq, X^, X^, . . . Xj^_^ 

dans les équations (2) sont égales aux racines de l'équation 

et que, d'après ces racines, les inconnues 

2/0, 2/i, 2/2, '-.^/a-i 
se déterminent par la formule générale que voici 

§ 2. En posant 

3^0 = <^ Vx = <> 2/2 = K^ ' • • yk-i = ^\-i ' 

de la solution des équations (2) nous déduisons celle des équations (1) pour 
le cas p = A;, quand le nombre des inconnues ne surpasse pas celui des 
équations. En passant au cas du nombre plus grand des inconnues, quand 
les équations (1) deviennent indéterminées, nous remarquons que, pour 
toutes les solutions réelles de ces équations, la somme 



— 685 — 

où q désigne l'un des nombres 

0, 1, 2,...2?-l, 

ne dépassera pas une certaine limite qui peut être obtenue en s'appuyant 
sur le résultat du § 8 du Mémoire précité concernant la détermination du 
maximum de la somme 

U^ H- U^ -I- 11^ -t- . . . H- U^. 

Ce maximum, dans l'hypothèse 
s'obtient pour z^^ s^^ -sfa,...^ i, satisfaisant à l'équation 

OÙ ^j;^_^^ (s) désigne le dénominateur de la fraction ordinaire 
n-*-i (^) 

à laquelle se réduit la fraction continue 
—1— 1 



quand on y met à la place de a^^^ la plus grande des deux quantités 

a-vl ^ft(a) ^k{v) J' b-vl i>k{b) 4'aW J' 



et l'on pose 



En faisant ici 



-a^^,«^. 



où Xf désigne, d'après notre notation, une racine de l'équation ^^(x) = 0, 
nous trouvons 

en vertu de quoi, et d'après ce que nous venons de dire sur le coefficient 
«A-f-u 00 obtient 

et par conséquent la fraction continue 
_J_ 1 



— 686 — 
qui détermine la fraction ordinaire 

se réduit à la fraction 

1 



égale, d'après le § 1, à 

n (^) . 

Comme cette fraction est composée des mêmes fonctions que la fraction 

£LË), 

qui détermine, d'après le § 1, la solution des équations (2), nous en con- 
cluons que, dans le cas considéré, quand 



les quantités 

Uq , ^t^ , Wg , . , . , 

qui donnent le maximum de la somme 

%^ H- Mi^ -f- Wg" -*-••• -^ Wg^ 

seront trouvées d'après les formules 

V = 2/o, V = 2/i, < = «/25---V^^g' 

pour 2 = i. 

On voit par là que la somme 

est la limite supérieure que ne peut dépasser la somme 

U^ -♦- 11^ -+- U^ -4- . . . -f- U^^ 

qui s'obtient pour la solution réelle quelconque des équations (1), quand 
Or, d'après ce qui a été dit (§ 1) sur la série 

^0) ^1> ^25- • '^p—Y 



— 687 — 

on voit qu'en général ne peut être inférieur à z que pour y)<g, et comme 
dans ce cas la somme 

est évidemment moindre que celle-ci 

Uq^ -^u^ -\-u^ -^ , . . -t- uj^^ 

dont la limite supérieure est 

2/0 -+- 2/1-*- 2/2-*-- •.-*-«/,•, 
nous en concluons que pour 

on doit avoir 

En répétant les mêmes raisonnements par rapport au maximum de la 
somme 

le maximum qui s'obtient d'après le § 1 6 du Mémoire précité, nous trou- 
vons que pour 

\ > ^i 

on aura l'inégalité 

(5) u\ -t- u\_^^ -f- . . . -^- u\_^ < 2/, -♦- Vi^^ -*-... -4- 2/;i_, . 

Or, en remarquant d'après (1), (2) que 

V H- u,^ -I- < -*-...-«- u\_^ = Q, 

2/0 -*- 2/1 -+-2/2 -+-••• -+-2/fc_i = <%î 
nous déduisons 

^,^2 _^ ,,. H- w,« -f- . . . -^ t.^2 = q, - u\^^ - n\_^^ - ... - u'^_^ , 
2/0 -»- 2/1 -^- 2/2 -»-...-»- 2/, = Ci — 2/,-_, — 2/,--4-2 — ... — 2/a_i ; 
en vertu de quoi l'inégalité (4) donne 

^^\-^i -*- <-.^ H- . . . -^ t.^^_^ > 2/,^, -H 2/,^^ -H . . . -t- 1/^_^ . 
D'où l'on voit que pour 

outre l'inégalité (4), on aura encore 



— 688 — 
et à plus forte raison 

Ce résultat, joint à l'inégalité (5), nous donne le moyen de déterminer 
les limites entre lesquelles doit rester la somme 

pour toutes les solutions réelles des équations (1), quelque grand que soit 
le nombre des inconnues. 

§ 3. D'après ce que nous venons d'établir, les limites de la somme 

pour chaque nombre des inconnues dans les équations (1) peuvent être 
trouvées à l'aide de leur solution correspondant au nombre le plus petit 
possible des inconnues. Dans le dernier cas, comme nous l'avons déjà dit, 
les équations (1) se ramènent aux équations (2) qu'on résout aisément à 
l'aide du développement de l'expression 

en fraction continue. Nous allons maintenant examiner ce que devient cette 
fraction et les quantités qui en dépendent, lorsqu'on varie, plus ou moins 
considérablement, les coefficients 

Nous profiterons ici du théorème démontré dans notre Mémoire inti- 
tulé: Sur le développement en fractions continues des séries procédant sui- 
vant les puissances décroissantes de la variable*); et à cet effet nous sup- 
posons que toutes les hypothèses de ce théorème sont remplies dans le cas 
présent, savoir, les suivantes: 

1) pour 

Co = Co, G, = c^, C\ = c^,. 
l'expression 

^0 _i_ ^1 _*_ ^2 _. _. pik—i 

X X* x* x^'* 

se développe eu fraction continue 



1 



«A a; -+- pjfe - 



*) T. II, pag. 613-666. 



—-689 — 
où 

2) Les équations 

+0 W = 0, ^,{x) = 0, +, {X) = 0, . . .vp,(a;) = 0, 
formées par les dénominateurs des réduites de cette fraction 

9o(j?) <Pi(a;) 92(x) TitCx) 

n'ont pas de racines négatives. 

3) Les quantités 

restent comprises entre les limites 

1_ Ti_ h^ 7t2^-i 

et 

J_ A ^ ^^'^^~^ 

où /î est une quantité positive quelconque et Hq une quantité supérieure à 
la somme 

dans laquelle Z^^'^ désigne la limite supérieure de la valeur absolue des coef- 
ficients du polynôme 

h-i (- h) h (^) - h (- ^) h-i (^) 

et i^^ ' son terme constant. 

Dans ces hypothèses, comme nous l'avons vu, les équations 

formées par les dénominateurs des réduites 

9i(a:) 92 W uM 

de 1 expression 

ont toutes leurs racines réelles et positives. 
En désignant par 

^ (o) ^ (o) ^ (o) ^(0) 

les racines de l'équation 
par 

y(0) . (0) .(0) 



— 690 — 
les quantités 

et posant 

nous obtenons, d'après ce qui a été dit au § 1, les équations suivantes: 



...2(^.-T-'2//»>=<'.„_.-^-^.,._.. 



Or, d'après les limites entre lesquelles doivent être comprises les 
quantités 

et en vertu des équations (6), on voit que les limites supérieures des quantités 

^0> ^l> ^25 • • •^2k—l 

sont égales à 

Fo' I/o' IZ^j'** * i/o ' 

et les limites inférieures sont égales à 

i_ h^ ^2 /t^A-i 

Hq Bq Hq Hq 

En désignant par 

Xq, ^1 ) X^,. . .X j^_^ , 
// ^/ ff tl 

^0 ) ^1 > iZ^a 5 • • • ^ k—\ 
les valeurs des inconnues 

rr (o) ^ (o) ^ (o) ^(0^ 

dans les équations (7) correspondant aux valeurs limites Cq , Cj , Cj ,.. . e^^__^ , et par 
2/o', «//, 2/a'5- • -/it-ii 

les valeurs respectives des inconnues y^^\ y^^\ y<^^\. . 'y^^\^^i nous obte- 
nons d'après (7) 

(8) %:=c.-è-^ i<2/;=«:-^|,' %^ifyi=c-w,'-- ■ 




i & Jl 



• ' • ^ V^,- J 2/,- — SA-1 iTo 



— 691 — 

Ces équations jointes aux équations (7) vont nous servir à déterminer 
le maximum et le minimum de la somme 

pour la solution des équations (7) auxquelles se réduisent les équations (2). 
Et, cette somme-là, comme nous l'avons vu, pour (A=i, (jt, = i-Hl, va nous 
fournir les limites entre lesquelles reste comprise la somme 



pour toutes les solutions réelles des équations (1), quelque grand que soit 
le nombre des inconnues. 

§ 4. Pour trouver le maximum et le minimum de la somme 

composée des quantités 2/^*^^^? 2/%h_i)- • «y^^A—i données par les équations 
(7) pour Sq, e^, e^,. . .e^f^_^ qui restent entre les limites 

1_ _^ h^ ^ ft2A-i 

Hq i/o Sq Hq 

et 

_L A -^ . . . ^^^~^ 

-Hq Hq Hq Hq 



cherchons la différentielle de la somme 



2/^-^»V-^----^2/n- 



par rapport aux quantités Cq, gj, e^^. . .e^j^__^. 

En désignant par o- un des nombres 0, 1, 2,, . .2k — 1, nous voyons 
que les équations (7), différentiées par rapport à e^, nous donnent les éga- 
lités suivantes 

2^'.<«)-.2i../»'(-r)»^'=o. 



— 692 — 

(e = 0, 1, 2,...k—l). 
En multipliant ces équations par les constantes arbitraires 

et les additionnant, nous trouvons 

ce qu'on peut présenter, plus succinctement, comme il suit 

2^'^(^,'»')-H22//»'tf'(^..<")^=-(-i)°\, 

à l'aide de la fonction entière 6 (x) définie par l'égalité 
Pour déduire de là l'expression de la dérivée 

a[y(oV-t-y(oV^l-^-...H-y(o);^_^] 
des 

donnons aux constantes arbitraires 

de telles valeurs que la fonction 

0{x) = 'ko-^\x-i~\x^-i-.. .-^\k_^x'^~' 
satisfasse aux 2lc conditions qui la déterminent complètement 

(10) 6' (0^0^"^) = ^' (^/'^) = . . . = ô'(x\_,) = 0, 

(11) 6 ((tJ^)) = â (:r/«)) =.., = â (:r Vi) = ^' 

(12) 6{x^^') = ^(^Vi) = • • • = ^(A-i) = 1- 

Toutes ces conditions remplies à l'égard de la fonction â{x), l'équation 
obtenue ci-dessus se réduira à l'égalité 

qui donne l'expression de la dérivée cherchée d'après un des coefficients de 
la fonction entière 

6{x) = \-i-\x-i-...-ir- \^_^ x'''-', 



— 693 — 

déterminée par les équations (10), (11), (12)*). Pour déterminer le signe 
de cette dérivée, défini à l'aide de celui du coefficient X^ de la fonction 6(x)j 
remarquons que d'après (10) on satisfait à l'équation 

6'(x)=:0 

par les Je quantités 

^ (o) ^ (o) ^ (o) 3.(0) 

De plus, on y doit satisfaire par certaines autres quantités situées 
dans chacun des p, — 1 intervalles entre 

et dans chacun des â; — (jl — 1 intervalles entre 

/y.(0) ^(0) JO) «.(0) 

car d'après (11), (12) on a 

6 (^o^«)) = â (a;/«)) = ô (x,^') = .,.==6 ix\_,), 
6 {x\) = 6 {x^\_^;) = ô (x^\^^) = . . . = ^ (^ Vi)- 

En remarquant que le nombre de ces intervalles plus le nombre des 
quantités 

j. (OJ ^ (0) ^ (0) ^(0) 

donne la somme 2k — 2, égale au degré de l'équation 

ô'{x)=^0, 
nous en concluons que 

1) toutes les racines de l'équation 

6'{x) = 
ont de valeurs réelles; 

2) toutes ces racines sont simples; 

3) k de ces racines sont égales aux quantités 

^ (0) ^ (0) ^ (0) ^(0) 



*} Ce polynôme 6 (x) peut être présenté par la formule 



^ ' ^ {X — Xi^f [0' (a;,.(o))]3 ' 
O (x) = (a; — XoO)) (x — a;i(o)). . .(a; — x^%_{). 



— 694-- 

et h — 2 autres sont situées séparément dans chacun des intervalles entre 
les quantités 

^ (0) ^ (0) ^ (0) ^(0) 





..x^ 


D'où l'on voit que l'équation 




0'{x)^Q 




n'aura pas de racines ni hors des limites 





rr .v (0) rr /y(O) 

ni dans l'intervalle entre a;^^^ j, ic^°^^ et, comme, d'après ce qui a été dit, 

il s'en suit que toutes les racines de cette équation ont de valeurs positives. 

En s'appuyant sur ce résultat, il n'est pas difficile de déterminer les 

signes des coefficients 

\^ \'> \,' • '\k—i 
dans le polynôme 









Oix) = \-i-\ 


x-i-\x^ 


-i-. 




-+- 






De ce 


que l'équation 


0\x) = 


= 






n 


'a 


pas de 


racines entre 
















x = 


= ^^ o 


X=: 


■X, 


(0) 



il s'en suit que dans cet intervalle la dérivée o'{x) ne change pas de signe; 
de ce que d'après (11), (12) 

le signe constant de ù'{x) dans cet intervalle doit être -h. D'où l'on voit 
que la fonction o\x), en s'annulant pour a; = ri;^^^ , va nous présenter la 

variation de signes suivante: 1-. 

Il en est de même, lorsque x franchit 

^ ^ (0) ^ (0) ^ (0) ^(0) 

X — Xq , X^ , X^ f...X ^_^, 

les racines simples de l'équation 

'6\X)=:0, 

car dans chacun des intervalles entre ces racines il se trouve une racine 



— 695 — 

simple de notre équation. On voit de là que, x franchissant x=:Xq^ la 
fonction 6' {x) passe de — à -i-, et comme l'équation 

0'{x) = Q 

n'a pas de racines hors des limites x^=x^^\ x = x^^\_^^ il en résulte que 
la dérivée (/ {x) reste négative pour toutes les valeurs de x inférieures à Xq^^\ 
D'oiî il suit que la dérivée 0'{x), pour a? = 0, a une valeur négative et que 
la fonction primitive ô{x) décroît entre x = 0^ x=x^^\ Et cela, en vertu 
des égalités (11) qui donnent 

ne peut avoir lieu que pour 0{o) > 0. 

Après avoir établi ainsi que d' {o) < 0, 0{o) > 0, nous en concluons 
que dans la fonction 

0{x) = \-^\x-^\x''-^..,-^\j^_^x^''-^ 

le premier terme est positif et le deuxième est négatif. Quant à ses autres 
termes, leurs signes se déterminent aisément d'après celui de \^ en s'ap- 
pyant sur ce fait que toutes les racines de l'équation 

0' {x)=z\-^-2\x -*-.,, -^ {2k— l)\^_^x'^-\ 

comme nous l'avons vu, ont de valeurs positives, et en conséquence la série 

ne présente que des variations de signes. Nous trouvons ainsi que le coef- 
ficient Xg, quelque soit cr, doit avoir le même signe que ( — \f. 

§ 5. D'après ce que nous venons d'établir à l'égard du signe de X , 
l'équation (13) donne pour toutes les valeurs de <j 

a(y^(0)-^-y(oV_^^-^.■.-H^/(o);^_^) 

D'où l'on voit que, lorsque les quantités e^,, e^, e^,. . ,e^j^_^ croissent 
entre les limites considérées 



la somme 



1 h IC- 


;.!''-! 


H'o' Ho' i/o' 


■Ho 


1 h 7*2 
i/o Hq Eq 


hit—i 


C-^î/'V,-^-- 


•-^-A-, 



— 696 — 
diminue; on trouvera donc son minimum entre ces limites pour 

1 h h^ 7*^*— 1 



'■ Ho' ^^~ H.^ e^ — jj^,*"(^2k-x— H^ 



ou maximum pour 



h h^ 7»2A-i 



"iTo' ''i" Ho' ^2— Ho'' ' -^2^ 



Comme, d'après notre notation (§ 3), 
donnent les quantités auxquelles se réduisent 



n, (0) ., (0) ,. (0) 


..^v. 




pour 






1 ?» h^ 




_/t^-l 


^0 — Ho' ^i — ^o' ^2 — iTo' 


•••^2*-! 




et 






// '/ V 


•2/Vi 




ses mêmes quantités pour 







_ 1 _ A — — ^ p — ^^^~^ 

^0 — flô' ^^ "~ ITo' ^2 — ITo' * * * 2ft-ï ~ ITo ' 

nous en déduisons, en vertu de ce qu'on a établi à l'égard du maximum et 
du minimum de la somme 

les inégalités 

(14) 2/%-*- 2/%-^! -H ... -H 2/ Vi > 2/V -^-2/V_, -«-...-*- 2/;_„ 

(1 5) V'^-t- 2/ Vi -^ • • • -*- A-. < 2/;'-^2/ Vi-*- • • • -^ 2/ V. . 

En passant aux solutions des équations (1) correspondant au nombre 
arbitrairement grand des inconnues, posons d'après (6) 

où 

sont des quantités comprises entre les limites indiquées dans le § 3. 
Comme, d'après notre notation, pour ces valeurs de 

on a 



— 697 — 
nous eu concluons, d'après le § 2, que pour z^ < xf^ on doit avoir 

et dans le cas z^ > xf^ on doit avoir 



V- 



Or, en remarquant que pour (i. = î-t-l l'inégalité (14) donne 
et pour [A = i l'inégalité (15) donne 

- ^%_i < y"i -+- /.-^x H- . . . -f- y;_^ , 

- u\_^ > 2/',.^, -H 2/'..^2 H- . . . -♦- y;_, 

Mais, d'après ce qu'on a démontré à la fin du Mémoire mentionnée 
dans le § 3, on a dans nos hypothèses, pour chaque l, 

xp^xP, xl'^>Xi^"\ 

donc l'inégalité (16) aura lieu nécessairement pour z^<,x!'\ ainsi que l'iné- 
galité (17) pour z^ > x^. 

Par conséquent nous aurons l'inégalité 

V -*- «*\^, -*-...-*- u\_^ > y',_^^ -*- y',_^^ H- . . . -»- y\_^ 

toutes les fois que z^ < x!' et l'inégalité 

V -*- ^^-i-i -*-...-*- ^'p-i < yï -*- /.--Hi -*-... -^ /a_i , 

dans le cas z^ > a?/. 

Ainsi, de la solution des équations (8), (9) aux 21c inconnues on peut 
déduire les limites supérieure et inférieure de la somme 





yr-^y' 


i-t-\ 


nous 


en tirons 






W^2_|_wS 


Y]-4-l 


pour 


le cas 




(16) 






et 








V"»-^ 


2 


pour 


le cas 




(17) 







— 698 — 
composée des carrés des valeurs des inconnues 



pour toutes les solutions réelles des équations, quelque grand que soit le 
nombre des inconnues. Les quantités données Co, (7,, Cg,. . . G^j._^ peuvent 
plus ou moins différer ici des quantités Cq, Cj, Cg,. . »c^k_i, pourvu que les 
différences 

(7o — Co , G^~c^, C\ — Cg , . . . G^j,_^ — c^j,_^ 

restent comprises respectivement entre les limites 



et 



où h, Hq sont des quantités positives assujetties aux conditions énoncées 
dans le § 3. Quant aux quantités 

Xq, Xj^j X^, . . .X f.__^ , 

2/o', Vi, 2//, "-y'k-i, 
Il II II II 

elles s'obtiennent aisément, comme nous l'avons déjà dit dans le § 1, à l'aide 
du développement des expressions 

1 h /i2 /t'fe — 1 



1 


h 






]i2k — \ 


So' 




Bo 


1 


h 
H,' 




?l2A — 1 


5 



a;2* 



1 h h^ 7^2^ — 1 



en fractions continues qui, à leur tour, en vertu de ce qu'on a montré dans 
le Mémoire cité dans le § 3, s'obtiennent bien facilement à l'aide de la 
fraction continue résultant du développement de l'expression 



C2k—\ 



NOTES ET EXTRAITS. 



Sur la limite du degré de la fonction entière 
qui satisfait à certaines conditions. 



Bulletin de la société mathématique de France, tome troisième, III, année 1874—75, p. 165, 
Séance du 21 juillet 1875. 



Si une fonction entière, entre deux limites quelconques de la variable, 
s'écarte peu de zéro, et qu'elle ait une valeur considérable en dehors de 
ces limites, il est certain que la fonction est d'un degré élevé. Quelle est 
donc la formule qui donne la limite du degré de la fonction entière, d'après 
ces écarts de zéro, pour des valeurs de la variable comprises entre certaines 
limites, et de sa valeur au delà de ce champ. En cherchant à résoudre ce 
problème d'après les méthodes exposées dans notre Mémoire Sur les que- 
stions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des 
fonctions, nous sommes parvenu à ce théorème très-simple. 

Théorème. Si f{x) est une fonction entière du degré n, qui, depuis a;= — l 
jusqu'à a; = -f-?, ne sorte des limites — L et -h-L et que pour toutes les 
valeurs de x en dehors des limites nommées x = — l, x = -i-l\es valeurs 
de la fonction f{x) soient en dehors des limites — L et -+- L, on aura 

en donnant aux radicaux les valeurs positives. 



— 702 — 



Sur la généralisation de la formule de M. Ca- 
talan et sur une formule arithmétique qui en 
résulte. 



Association française pour l'avancement des sciences. Compte rendu de la 5-me session. Cler- 

mont-Ferrand. 1876. Séance du 22 août, p. 114—117. Nouvelle correspondance mathématique 

rédigée par Eugène Catalan. T. II). 



M. Catalan vient de faire cette remarque importante que la limite de 

la somme 

1 1 j_ 

n-*-l n -+-2 • • • • 2n 

pour n =oo, qu'on trouve égale à log 2, résulte de l'identité 

, i_ j_ j_ 1 1 j_ 

2~*"3 •••• 2n WH-l~*~nH-2 "*"••••"*" 2n' 

facile à vérifier. Cette identité, remarquée par M. Catalan, et qui rend très- 
nette la convergence de la somme 

1 1 j_ 

w -H 1 n-i-2 • • • • 2n 

vers log 2, quand n croit indéfiniment, mérite d'autant plus d'attention 
qu'elle peut être facilement généralisée, et donner lieu à une formule arith- 
métique d'un genre tout nouveau. C'est ce que nous nous proposons de 
montrer dans cette communication. 

En effet, si dans les fractions qui composent le premier membre de 
l'identité 

_i j_ j_ 1^ 1 1 2. 

1 2~*~3 •••■ 2n w-i-l~*~n-t-2~*~'*''~*~2n' 

on remplace les unités par les termes d'une série quelconque 

u^, u^, «3, , w^^, 

on trouve que le second membre se réduit à 



D'où il suit qu'en faisant 

■y = w — u . 

X X 2X » 



— 703 — 
on aura cette identité 

1 2 3 •'•• 2n w-f-1 w-i-2 2n 1 2 2n 

Passant au cas de n=: oo, et en observant que, pour cette valeur de 
n, la somme 



te. 



'2n-4-2 , "2ra-f-4 _ 



n -*- 1 n -*- 2 • • • • 2» 

devient 

lim i—^-i ^s -^- ....-»- ^V lÎHi w„=Wr^log2, 

\n-*-l n-+-2 2n/ n oo o j 

on trouve 

(1) .^iog2=a_|-^|_...._(^^|-.|H-....), 

OÙ les quantités «^i, «^a? ^3- • • •> sont déterminées par la relation 

(2) ^X = ''x-''2X' 

Pour montrer le parti qu'on peut tirer de la formule (1), nous poserons 

Ejax) 

X a; ' 

OÙ a est une quantité positive quelconque, et le signe E désigne à l'ordi- 
naire la partie entière de la quantité placée sous ce signe. 
Pour cette valeur de u^, nous trouvons, d'après (2), 

__ E (ax) E {2ax) 2E {ax) — E {2ax) ^ 

X X 2x 2x ' 

d'ailleurs la différence 

2E{ax) — E{2ax) 

se réduit évidemment à ou à — 1 , suivant que le nombre E {2ax) est 
pair ou impair; par conséquent, on a 

, , ,.E[2ax) 

2E{ax)—E(2ax) = --±^=^ , 

et, par suite, 

i_r_n-2^(2«^) 
V = !^ — . 

X Ax 

En portant ces valeurs de u^ et v^ dans la formule (1), et en obser- 
vant que pour x infini 



— 704 — 
devient a, on obtient cette formule 

1 _ (_ i)J^(2«) 1 _ (_ i)-E:(4a) j _ ^_ j^£(6a) 
~* TTP ' ï~22 • 4732 H .... , 

qui se réduit à celle-ci: 

a 10g 1 — FTP 4 . 22 4 . 32 .... 

Mais on a 
il en résulte 
aïog^— ^-^2 j-^5 H 4 33 ••••-»-24- 

D'après cette formule nous trouvons 

A.W9 ^'_ 4^(a)-(-l)^('^ ) 4^(2aM-l)^(^") , 4^(3a)-(-l)^M ^ 

^ttlUg^ -g- p 22 ^ 32 ' 

et, en posant ici 

4alog2— ^==X, 
ce qui suppose 

6Z-*-7r2 



nous parvenons à ce développement de la quantité X en série composée de 
fractions ayant pour dénominateurs P, 2^, 3^, . . . . 






— 705- 



Sur une transformation de séries numériques. 



(Association fraaçaise pour l'avancement des sciences. Congrès de Paris. Séance da 26 août 1878 
Nouvelle correspondance mathématique rédigée par Eugène Catalan. T. IV. 1878, p. 305—308). 



1. Il y a déjà plus d'un quart de siècle, Alphonse de Polignac et moi, 
nous avons publié nos recherches sur la Répartition des nombres premiers. 
Ces recherches diffèrent, essentiellement, de ce qu'on a fait, avant nous, 
sur le même sujet. Nous avons donné des valeurs limitatives de fonctions 
dont on n'avait que des valeurs asymptotiques. La base de ces recherches 
est une formule qui remplace la somme des logarithmes de tous les nombres 
entiers (jusqu'à une certaine limite) par des sommes relatives à des nombres 
premiers. Voici cette formule: 

log 2-i-log3-f-log4-t-. ..-*-log(a) = t);(a)-f- ^(|-)-hi];(|-)h-... (A) 
Dans le second membre, 

(k) désignant, en général, la somme des logarithmes de tous les nombres 
premiers qui ne surpassent pas Je. 

La formule (A) diffère essentiellement, nous venons de le dire, de 
celles que l'on connaissait autrefois. Parmi celles-ci, l'une des plus impor- 
tantes* est la relation 

dont le second membre ne contient que les nombres premiers. 

2. En cherchant à rapprocher les formules (A) et (C), je suis parvenu 
à reconnaître qu'elles découlent d'une même égalité: 

log2.f(2)-f-log3./'(3)-+-log4./"(4)-i-log5./'(5)-+-... \ 
= log2.i^(2)-i-log3.F(3)-4-log5.F(5)-i-log7.F(7)-H...J 



— 706 — 

les fonctions f{x)^ F{x) ayant une relation convenable. Cette relation, très- 
simple, est 

n=oo în=oo 

3. Soit /'(a;) = ^, la variable x et l'exposant p étant supérieurs à 
l'unité. Nous aurons 

puis 



I x"^ 



m=2è2^^ 



Comme 

oo 
,iij x^9 a;? ~*~ .x»? ~*~ P? ~^ • * • ^P"^^ ' 



la valeur de F{x) se réduit à 

co 

1 \r^ 1 

x9 — 1 ^^ ^ ' 

1 

et l'égalité (D) devient 

I0g2 log3 Iog4 log5 _ r Iog2 log 3 log 5 log 7 "1 X? Jl 

"IT"""^ 3P "*~ 4? "* 5? ^* • •"" L2P — l"^3? — l"* 5P — l"*~7P — l"^'"J ^ nP*. 

1 

00 

Le premier membre est, au signe près, la dérivée de ^ ^, par rap- 

1 
port à p. Ainsi 

00 



jLà «P 



_ log 2 log 3 ]og 5 log 7 

2P — 1 3P — 1 5P — 1 7P — r 



Intégrant, de p quelconque à p infini, on a donc 

'»g2^ = ->"g(i-è)-'og(i-è)-'°g(i-À)-- 



= log- 



'(l-^)0-À)(l-à)---' 

puis la formule (C). 



*) Les fonctions /(a;), F{a^ peuvent être continues ou discontinues: il suffit que les séries 
résultantes soient convergentes. 



■707 — 



4. Si l'ou suppose 
pour a;<«, et 



fix) = l 

fix)=:0 

pour ic > a, nous trouvons que la somme 

log 2 f{2) -I- log 3 /"(S) -*- log 4 /■(4) -i- . . . 

se réduit à la somme des logarithmes des nombres 2, 3, 4,. . . . E{ay, et 
alors notre formule (D) donne la décomposition de aette somme en plusieurs 
sommes composées des se.uls nombres premiers, décomposition qui était la 
base des recherches faites sur les nombres premiers par A. de Polignac 
et moi. 

5. En donnant d'autres valeurs à la fonction /"(rr), on obtient de nou- 
velles formules, qui peuvent avoir d'utiles applications. On trouve, par 
exemple, que la somme 



croît indéfiniment, quand c tend vers zéro. 

Comme les termes de la série, pour c = 0, se réduisent à ±1, selon 
que les facteurs correspondants ont la forme 4»^ -*- 3 ou la forme 4w h- 1 , 
on est conduit à cette conclusion: Il y a une différence notable dans la ré- 
partition des nombres premiers des deux formes 4n-t-3, An-*- 1: la pre- 
mière forme en contient beaucoup plus que la seconde. 



■708 — 



Sur la coupe des vêtements. 



(Association française pour l'avancement des sciences. 7 session. Paris. Séance du 28 août 1878). 



Après avoir indiqué que l'idée de cette étude lui est venue lors de la 
communication faite, il y a deux ans, au Congrès de Clermont-Ferrand, par 
M. Edouard Lucas, sur la géométrie du tissage des étoffes à fils rectilignes, 
M. Tchébichef pose les principes généraux pour déterminer les courbes 
suivant lesquelles on doit couper les différents morceaux d'une étoffe, 
pour en faire une gaine bien ajustée, servant à envelopper un corps de 
forme quelconque. 

En prenant pour point de départ ce principe d'observation que dans 
la déformation d'un tissu on ne doit considérer d'abord, dans une pre- 
mière approximation, que l'altération des angles respectifs formés par les 
fils de chaîne et les fils de trame, sans tenir compte de l'allongement 
des fils, il donne les formules qui permettent de déterminer les contours 
imposés à deux, trois ou quatre morceaux d'étoffe pour recouvrir la sur- 
face d'une sphère, avec la meilleure approximation désirable. M. Tché- 
bichef présente à la section une balle de caoutchouc recouverte d'une étoffe 
dont les deux morceaux ont été coupés suivant ses indications; il fait obser- 
ver que le problème différerait essentiellement si l'on remplaçait l'étoffe par 
une peau. D'ailleurs les formules proposées par M. Tchébichef donnent 
aussi la méthode à suivre pour la juxtaposition des pièces par la couture. 



Conformément à la volonté de Tchebychef, l'étude «Sur la coupe des 
habits» trouvée dans ses papiers ne doit pas être imprimée, car le manuscrit 
ne porte pas l'inscription: (dmpritner». 



■709 — 



Sur les parallélogrammes les plus simples sy- 
métriques autour d'un axe. 



(Association française pour l'avancement des sciences. Congrès de Paris. Séance du 29 août 1878 
IIlKOJia MaTenaTHKH hhctoh h npHKJiaAHoft 1885). 



§ 1. A l'Exposition universelle on peut voir actuellement les diffé- 
rentes applications d'un parallélogramme articulé, que j'ai trouvé d'après un 
théorème sur les fonctions qui s'approchent le plus de zéro. Ce parallélo- 
gramme, ne contenant que trois tiges droites, donne le mouvement rectiligne 
avec une approximation très-notable, qui surpasse celle qu'on obtient par 
les parallélogrammes composés des mêmes éléments, c'est-à-dire par le pa- 
rallélogramme simple de Watt et le mécanisme d'Evans. 

§ 2. Ce parallélogramme est composé de deux tiges AG, A^C\j d'égale 
longueur, qui tournent autour de deux points « M ^ 

fixes (7, Cl et sont reliées à leurs bouts A, A^ '\ 7 

par une troisième tige AA^ (fig. 1). C'est le mi- \z 

lieu M de cette dernière tige qui décrit une ./\ 

ligne droite avec une précision considérable, tou- / \ 

tes les fois que les longueurs des tiges AG, A^G^ / \ 

et la distance GG^ des points fixes (7, G^ remplis- / \ 

sent les conditions suivantes: ^ ~ ^i 

1. La distance GG^ doit être rigoureusement égale au tiers de la somme 
de lignes AG, AA^, ^i^i- 

J9. La longueur de la tige AA^ doit surpasser le quart de celle des tiges 
AGy Afi^ , mais ne doit pas différer notablement de cette limite. 

A mesure que la différence AA^ — -j AG tend vers zéro, la longueur 
de la portion sensiblement rectiligne de la courbe décrite par le point M 
diminue, mais en même temps la rigueur avec laquelle elle représente une 
ligne droite croît plus rapidement que ne diminue sa longueur. 



— 710 — 

§ 3. Je vais montrer maintenant les résultats auxquels je suis parvenu 
^ K , en examinant un mécanisme un peu plus compli- 

Z\ 1 7 <l"é que le précédent. Ce mécanisme est com- 
X M / 

2 \/ posé des mêmes éléments, cependant le point 

/\ qui décrit sensiblement une ligne droite ne se 

^ \ trouve plus sur la ligne AA^, mais sur une per- 

\ pendiculaire NM^ menée de son milieu (fig. 2). 
\^ D'après la méthode que nous venons de 

^ ^1 mentionner, on reconnaît que pour la précision du 

jeu de ce mécanisme, il est indispensable que c=il/iV ait la valeur suivante: 

Dans cette formule r et a désignent les longueurs des lignes AG=Afi^ 
et AA^, et ç la valeur commune des angles AGC^, Afi^C, A^AG, AAfi^ 
dans la position moyenne du mécanisme. 

§ 4. Toutes les fois que le lieu du point 31 est choisi conformément 
à la formule (1) et que la différence 



(2) ^ 2.coscp-a _^g. 

^ p^ r cos cp — a ~ 

ne s'éloigne pas trop de zéro, ce mécanisme donne le mouvement rectiligne 
avec une précision notable. Cette précision croit à mesure que la différence 
(2) s'approche de zéro, mais en même temps la longueur de l'arc qui jouit 
de cette précision diminue. 

Dans le cas oii l'on a rigoureusement 



(3) ^ 2rco3cp-a _ . Q 

^^ r r cos 9 — a i ' 

cette longueur se réduit à zéro, et alors la courbe décrite par le point M a 
un contact du 5™^ ordre avec une ligue droite. 

Nous allons nous arrêter sur ce cas-limite, vers lequel converge notre 
mécanisme à mesure que la précision de son jeu va en augmentant, et dont 
il diffère peu, si cette précision est suffisante. 

§ 5. Pour ce cas-limite, d'après les équations (1), (3), nous trouvons: 

2 cos'^ 9 C03 29 . cos2 9 cos 29 tang 89 

cos 39 ' cos 39 

En partant de ces valeurs de AA^ = a, MN= c et remarquant que 
l'on a AG=Afii = r, on trouve au moyen des triangles GDG^ et ADA^ la 
formule suivante pour la détermination de GG^ = h, k savoir 

^ cos 39 **• 



— 711 — 

Ces expressions des quantités a, h, c ne changent de signe que pour 
les valeurs de l'angle 9 qui annulent 



et qui seront 



sin 2cp, cos 2cp, sin 89, cos 3© 
0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 




d'oii il suit que notre mécanisme ne peut changer d'aspect entre les limites 
indiquées, c. à d. 

de 9 = 0° jusqu'à cp = 30°; de op = 45° jusqu'à 9 = 60°; 
» 9 = 30°, » 9 = 45°; » 9 = 60° » 9 = 90°. 

Pour rendre bien compte de toutes les modifications que ce mécanisme 
peut subir, nous avons calculé, d'après les formules précédentes, les éléments 
pour quatre valeurs de 9, prises à égales distances de ces limites, savoir: 

9=15°; 37° 30'; 52° 30'; 75°. 



— 712 — 

Les figures (3), (4), (5), (6) représentent notre mécanisme avec les élé- 
ments qu'on trouve comme nous le venons de dire, et eu prenant r égal à 
0.05 mètre. 

Toutes ces modifications donnent le mouvement rectiligne avec le 
même degré de précision; notamment la courbe décrite par le point M a 
toujours un contact du 5° ordre avec une ligne droite. Sous ce rapport, 
toutes ces modifications sont également bonnes; mais on remarque une 
grande différence entre elles, quand on passe au cas oii l'on cherche à 
obtenir le mouvement rectiligne pour une course plus ou moins grande. 

§ 6. Dans le cas oii la différence 



fi 



■ sin 2cp, 

ne se réduit pas à zéro, mais en diffère peu, le mécanisme articulé, pour 
lequel c a la valeur (1), donne le mouvement rectiligne avec une grande pré- 
cision, et cette précision aura lieu le long d'une courbe d'une certaine lon- 
gueur. La détermination de la longueur de cette courbe se fera de la ma- 
nière suivante. En posant 



f 



2r C03 ç — a 
r C03 ç — a ' 



et en désignant par t celle des racines de l'équation 

2 sin 9 (1 -^f)-t-t id-*-t^) — {l — t^) T=0, 
qui se rapproche le plus de 0, on cherche l'angle a^ d'après la formule 

COSa^— 1 J2(2 — T^') L\i— 2rsmç-«-r2/ -^j* 

Cet angle, pris avec les signes -i- et — , donne les inclinaisons-limites 
de la ligne AA^ sur la ligne CG^ pour le commencement et pour la fin de la 
course en question. Ayant trouvé l'angle a^, nous aurons la longueur de la 
course cherchée par la formule 

(A\ 7— 2(2-r') r r-siny 2 {1 -^ 2t sin <? ^ t^) f l . 

\^) ^ 1_ 2^2 [_ J2_l ' (1 _ t2j2 J ' ^^" "l- 

Le long de toute cette course, les écarts dé la courbe tracées par le point 
M d'une droite restent comprises entre -*- jB/ et — jEJ, la valeur E étant 
déterminée par la relation 

^^f (2 sin ç -*- 3i -»- 2<* sin 9 -♦- t^f 

§ 7. Dans le cas oii l'on se propose d'obtenir une précision et une 
course préalablement données, on prendra pour «, r, cp, c des valeurs qui 
satisfont aux équations (1), (4), (5), et dans lesquelles i, E doivent avoir 



— 713 — 



des valeurs données. Comme l'on doit vérifier seulement trois équations, on 
pourra choisir l'angle cp à volonté. Dans ce cas, en donnant à l'angle op les 
valeurs que nous avons indiquées ci-dessus, on aura les quatre formes diffé- 
rentes du mécanisme que nous avons déjà vues. Toutes ces formes jouiront 
de la même précision le long de la même course\ mais elles différeront 
notablement entre elles par la longueur de leurs éléments et par leur 
disposition. 

§ 8. Pour comparer entre elles ces quatre modifications, nous allons 
chercher les expressions approximatives de leurs éléments, en supposant 




Cl ^d 

que le rapport y a une valeur très-petite, ce qui a lieu toujours dans les 
mécanismes à grande précision. 

En cherchant, dans cette hypothèse, le développement de r, a, &, c en 
série, on trouve que ces développements, arrêtés aux premiers termes, 
donnent : 

f 2 coa 39 l ^ 
C03 ç . cosS 2<p !Ë ' 



_ l C03 89 • 

' 8 sin 29 

l CO32 q 



' 4 tang 29 
— Zsin 






2 coa 39 l_^ 
coa 9 . coa' 29 E ' 



2 coa 39 l 
coa 9 . coa' 29 E ' 



. Z coa' 9 . tang 89 -^Z _ 
8 tang 29 Y c< 



2 coa 89 l 
a 9 . coa3 29 E' 



— 714 — 

Les figures (7), (8), (9), (10) représentent les quatre formes du méca- 
nisme en question avec leurs éléments déduits des formules précédentes en 
y faisant 

ç=15°; 37° 30'; 52^ 30'; 75° 
et en posant 



— 715- 



Théorème relatif a la courbe de W^att. 



(Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, II série, T. V, 1881, p. 216). 



Si deux sommets A, A^ du triangle AA^M glissent respectivement sur 
deux circonférences de centres G, C\ , la courbe décrite par le sommet M ne 
peut avoir avec sa tangente un contact d'ordre 5 (limite qui ne pourra ja- 



mais être dépassée) que dans le cas où les angles GAA^, G^A^A ont les va- 
leurs 



GAÂ, = ^^^^f^, G,A,A=^^^^f^^^, 
où n, Wj sont des nombres entiers quelconques. 



Avec ces valeurs des angles GAA^, G^A^A le contact est toujours de 
l'ordre 5 lorsque les rayons AG^ Afi^ des deux cercles ont les valeurs sui- 
vantes 



COS -j- 



AG= AM — ? , <^^4Pi^, 



T 

COS -7- 



' \os (2^,^—1) cosMC.4,4-ï) 

où Y est l'angle sous lequel se coupent la ligne AAi et la tangente en M. 



-716 — 



Sur les expressions approximatives des inté- 
grales définies par les autres prises entre les 
mêmes limites. 



Cooôuxemn a npoTOKOJM sacÉ^aHiS MaTCMaTHMecKaro oômecTBa npii HunepaTopcKOMt Xapt- 
kobckomtj yiiHBepcHTeTii 1882 r., II, crp. 93—98. 



(Traduit par M. A. Ticliomandritsky). 

Lorsqu'on connait les valeurs de la fonction F(x) pour toutes les va- 
leurs de la variable x de x = a jusqu'à a; = 6, la dernière des formules que 
nous avons déduites dans le Mémoire Sur les fractions continues *), après le 
changement des sommes en intégrales, donne le développement de la fonction 
F{x): 

^(^) = JvmT "*'«-*- Jv^ '^'^JÎJ^ -1',-^ • ■ • M 

où d est une fonction quelconque, continue ou discontinue, qui conserve le 
signe -+- entre les limites x = a, x=:h, entre lesquelles sont prises toutes 
les intégrales, et («pg, 4^^, ^g, . . . . sont les dénominateurs des réduites qu'on 
obtient, en développant l'intégrale 

J X — s 
a 

en fraction continue. 

En développant d'après cette formule deux fonctions quelconques w, v, 
et en intégrant le produit iw^dx depuis x = a jusqu'à x = b, on trouve 
que l'intégrale 

b 

J uvbdx 

a 

se ramène à une série composée de termes de la forme: 

OÙ les nombres m, n prennent toutes les valeurs depuis jusqu'à o». 

*) T. I, pag. 203—230. 



— 717 — 

En remarquant que par la propriété connue des fonctions ^q, ^^, 4^j,.... 
l'intégrale 

s*évanouit pour des valeurs différentes de m, n, on déduit de cette série le 
développement suivant de l'intégrale juvèdx : 



/• 



&rtiC = ^ j: ^ V- 7; H •^- 1^ ^^ • - 

^^Ô^Mx ^^y^Mx J <};/ Mx 

En arrêtant cette série sur le terme 



et en désignant par R^ le terme complémentaire, nous aurons l'égalité: 



1 



^, f ««l'a ^«^^ • r »^0 ^^^ fw^iin— I ■^^^ • f'^'l'n— 1 ^«?a; _ 

wî;ôc?rc = ■^- jr- — ^ — ^! ^ . . . . -i- ■- — ^-4 — h B . 

^W^dx ^^\^yMx 



En déterminant l'expression de B^ dans ce développement de l'inté- 
grale ^uv^dx, nous avons trouvé qu'il possède les propriétés suivantes: 

1) Sa valeur numérique ne surpasse pas 

\ dx^ I 

OÙ A, B^ sont les plus grandes valeurs numériques des dérivées ^, |^^ 
entre les limites d'intégration. 

2) Si entre les mêmes limites les dérivées ^, Ç^ '^le changent pas 
de signes, le reste B^ a le même signe que le produit |^ • |^. 

Pour en faire une application, considérons le cas de )^ ^ 1 . 
Comme les premières réduites de l'intégrale 

6 



J X — 3 



qu'on reçoit par son développement en fraction continue sont 



^^dx 

1 ^Mx.x—^x^dx* 



— 718 — 
les fonctions '^g, ^^, qui entrent dans nos formules, seront 

'];q = 1 ; '^1 = J ^dX . X J Xbdx. 

En posant dans nos formules 
et en y portant ces valeurs des fonctions -^o? 'W^ i^ous obtenons l'égalité 

f I uyidx . 1 tjdda; 

J J»"^ 

et pour la limite supérieure de valeur numérique du terme complémentaire 
l'expression 

J Mx . J x^ Mx - ( J xMxf 

Jïctx ^^' 

oii ^, B sont les plus grandes valeurs numériques des dérivées ^, ~ 
entre les limites d'intégration. Dans le cas, où les dérivées ^, ^ 
ne changent pas de signes entre les limites d'intégration, le reste B^ aura, 
d'après ce que nous avons dit plus haut, le même signe que le produit ^ • ^. 
En posant ^ = 1 et en prenant et 1 pour les limites des intégra- 
tions, nous aurons par la formule trouvée plus haut l'égalité 



J uvdx =J udx. I vdx -+- B^^ 



où la limite supérieure de la valeur numérique du reste B^ sera 

Pour une autre application considérons le cas, où 

d = l 

et les limites des intégrations sont — 1 et -i- 1 . Dans ce cas les fonctions 
^0, t{>j, ^2, . . . . se réduisent, comme on le sait, aux fonctions X^, X^, Xj,.... 
de Legendre, en vertu de quoi on obtient d'après notre formule l'égalité: 



J uXq dx . J v'Xq dx J wX„_i dx . j «Z„_i dx 
uvdx= -' ,. -' -H....-H=J :^^-^ H-i?„ 



— 719 — 
d'où l'on tire, après y avoir porté les valeurs des intégrales 

-Hl -Hl H-l 

—1 —1 -1 

la formule 

J iwdx = y f w^o ^^ • [ ^^0 dx-i-...-t- — ^ f wX^_j dx . j* «^X„_j dx-*-R^. 
—1 —1 —1 —1 —1 

En rémarquant que dans le cas considéré on a 
f '\>\Mx=^\ X\ dx = ,r-^, 

Jin J n 2n-\-\ 

—1 —1 

%<î) = ^ = 1.3.5....(2«-l), 

nous trouvons, d'après l'expression ci-dessus de la limite supérieure de la 
valeur numérique du reste 22„, que dans le développement trouvé par nous 
de l'intégrale 

^ uvdx 

la valeur numérique du reste ne surpassera pas la quantité 

^AB 

12. 32. 52.... (2n — 1)2 {2n-i-l)' 

OÙ A, B sont les plus grandes valeurs numériques des dérivées ^, ^ 
entre x = — 1 eta; = -t-l. Quant au signe du reste, il sera certainement 
le même que celui du produit ^ • — ,si les dérivées ^^ -^^^ changent 
pas de signes entre x = — letaî = -Hl. 

Remarquons en terminant, que ce que nous avons montré par rapport 
au reste du développement de l'intégrale 

J uvMx 

peut servir à la détermination du degré d'exactitude, avec laquelle le déve- 
loppement cité de la fonction F{x), arrêté à un terme quelconque, donne 
la valeur de la fonction. 



— 720 — 



Sur la rectification des courbes. 



Association française pour l'avancement des sciences. 11 Session, La Rochelle. Séance du 
25 août 1882. 



M. Tchebichef montre dans cette communication le parti que l'on peut 
tirer, pour la rectification des courbes, de l'emploi des points dont les or- 
données servent à trouver l'aire d'après la méthode de quadrature qu'il a 
communiquée au Congrès de Lyon, méthode qui vient d'être enrichie par 
les recherches très intéressantes de M. Radau. En traitant de cette façon 
le cas le plus simple, on parvient à reconnaître que l'arc d'une courbe peut 
être représenté, avec une approximation notable par la somme des deux 
côtés égaux du triangle isocèle construit sur la corde de l'arc comme base, 

et ayant pour hauteur les (|/-|-y^°^^^ de la flèche élevée perpendiculai- 
rement au milieu de la corde jusqu'à sa rencontre avec l'arc. 



— 721 — 



Une machine arithmétique à mouvement 
continu. 



La JRevue Scientifique de la France et de l'étranger. Troisième Série, Tome IV (XXX de la 
collection). Numéro 13 du 23 septembre 1882. 



Quelque simple que soit la règle de l'addition, il n'est pas facile de 
l'effectuer par des moyens mécaniques. La difficulté que la mécanique y 
rencontre vient du changement brusque des chiffres de la somme, qui ne 
peut être réalisé qu'à l'aide des organes compliqués et délicats. Les nom- 
breuses tentatives, faites avant le docteur Roth pour construire une machine 
pouvant produire le changement brusque de plusieurs chiffres dans la somme, 
et la machine du docteur Roth elle-même qui a pu le faire, ont montré 
clairement combien il est important, pour la simplification des addition- 
neurs, de les délivrer de la nécessité de changer brusquement leurs indi- 
cations. Il n'y a aucun doute que ces machines, aussi bien que toutes les 
autres machines arithmétiques qui ne font que répéter l'addition ou la sous- 
traction, deviendraient bien plus faciles à exécuter, si l'on se contentait des 
changements continuels dans leurs indications. Mais la lecture des chiffres 
devenant alors plus difficile, il se présente la question suivante: N'est-il 
pas possible d'affaiblir l'inconvénient provenant de la continuité des chan- 
gements des indications dans l'additionneur au point où il peut être admis 
sans risques, en raison des avantages que cette continuité offre pour la con- 
struction? 

Dans la machine à additionner que j'ai eu l'honneur de présenter au 
congrès de Clermont-Ferrand, et qui est maintenant complétée par un mé- 
canisme pour opérer la multiplication et la division, cet inconvénient est 
presque écarté. Dans les lucarnes de cette machine on voit les bandes 

46 



— 722 — 

blanches, parmi lesquelles on distingue aisément la principale qui paraît 
dans toutes les lucarnes. Comme dans la première lucarne à droite il n'y a 
que le commencement de cette bande, il est facile de la suivre en allant de 
droite à gauche. C'est cette bande qui contient tous lescliififres de la somme. 

Passons maintenant aux conditions qui doivent être remplies par le 
mouvement des tambours qui portent les chiffres de la somme. Nous nom- 
merons réceptrices les roues dentées que l'on tourne pour ajouter des nom- 
bres et dont chacune correspond à l'unité d'un certain ordre. Confor- 
mément à la règle de l'addition, le mouvement de chaque tambour doit 
être composé de deux autres: du mouvement déterminé par le chiffre du 
rang correspondant du nombre ajouté et de celui déterminé par le report 
des chiffres des rangs inférieurs. La vitesse du premier mouvement doit 
être en rapport constant avec celle de la réceptrice correspondante; ce rap- 
port sera égal à celui du nombre de dents de la réceptrice et du nombre 
total des chiffres gravés sur le tambour. Eu vertu du second mouvement ce 
tambour tournera d'un angle égal à la distance de deux chiffres, quand le 
tambour qui le précède tourne d'un angle dix fois plus grand. Donc, dans 
le cas du mouvement continu et uniforme, ce mouvement d'un tambour 
quelconque doit être dix foix plus lent que celui du tambour qui le précède. 
Par conséquent, la vitesse de chaque tambour doit être composée de la vi- 
tesse de la réceptrice correspondante, multipliée par un coefficient constant, 
et de la dixième partie de celle du tambour précédent Or, le mouvement 
des tambours composé de cette manière est facile à réaliser au moyen des 
trains épicycloïdaux, si toutes les roues réceptrices et tous les tambours sont 
montés sur le même axe et si chaque roue réceptrice se trouve entre le tam- 
bour qui lui correspond et celui qui la précède. Pour y parvenir on n'a 
qu'à faire porter à chaque roue réceptrice un train épicycloïdal dont les 
roues engrènent avec les roues solidaires aux tambours entre lesquelles elle 
est placée. 

D'après la propriété de ce rouage on trouve que pour donner aux tam- 
bours une vitesse, composée conformément à ce que nous venons de voir, il 
est nécessaire et suffisant de remplir ces deux conditions: 

1) Le nombre de dents sur les roues réceptrices et celui des chiffres 
des tambours doivent être dans le rapport 9 à 10. 

2) Le rapport des nombres de dents des roues qui composent chacun 
des trains épicycloïdaux doit être dix fois plus grand que celui de dents des 
roues avec lesquelles elles engrènent. 

Ces conditions sont très faciles à remplir. Dans la machine que j'ai 
fait construire, la première condition est remplie, en donnant aux roues ré- 
ceptrices 27 dents et en gravant trois fois les dix chiffres 0, 1, 2,. . ., 9 



— 723 — 

sur les tambours. Conformément à la seconde condition, les roues compo- 
santes des trains épicycloïdaux ont 48 et 12 dents, et les roues avec les- 
quelles elles engrènent portent 24 et 60 dents. De cette façon les échap- 
pements qui produisent les changements brusques des chiffres de la somme 
provenant du report sont remplacés par les trains épicycloïdaux qui pro- 
duisent le même effet graduellement. 

La différence entre la vraie valeur du report et celle que donnent les 
trains épicycloïdaux étant toujours au-dessous de 1, les écarts angulaires 
entre la position des tambours dans cette machine et celle qu'ils occupe- 
raient dans une machine à mouvements brusques restent plus petits que la 
distance de deux chiffres. Par conséquent, en faisant les lucarnes assez 
grandes pour qu'on puisse y voir à la fois deux chiffres du tambour, il est 
certain que les vrais chiffres de la somme ne peuvent manquer d'y paraître. 
Quant à l'ambiguïté qui se présente toutes les fois qu'on voit dans la même 
lucarne deux chiffres, elle est aisément écartée, comme nous l'avons dit, au 
moyen des bandes qui sont tracées sur chaque tambour, en ayant égard 
aux écarts angulaires dans la position des chiffres du tambour suivant. 

Telle est la partie essentielle de la machine à additionner. Les 
organes accessoires sont les suivants: 

1) Des arrêts avec des ressorts qui obligent les roues réceptrices de 
revenir toujours dans leurs positions normales et d'y rester jusqu'à ce qu'on 
les fasse tourner, ce qui est important pour la justesse du jeu de la machine. 

2) Une barre munie de griffes qui arrêtent successivement tous les 
tambours sur 0, en commençant par le premier à droite, et qu'on fait agir 
en ramenant vers soi le bouton que l'on voit au côté gauche de la machine. 
On s'en sert pour réduire à zéro le nombre que l'on lit sur les tambours, 
après quoi on doit pousser le bouton en arrière pour rendre mobiles tous 
les tambours et toutes les roues réceptrices. 

En considérant le mouvement des tambours nous n'avons parlé que de 
l'additton; mais il est clair que pour opérer la soustraction on n'a qu'à 
tourner les roues réceptrices en sens inverse. 

En complétant cette machine par un mécanisme qui ferait ajouter ou 
soustraire le nombre donné autant de fois que l'on veut, ou pourra s'en 
servir pour opérer la multiplication ou la division. Un tel mécanisme est 
facile à composer à l'aide des roues dentées qui peuvent engrener avec les 
roues réceptrices^ en montant sur les prolongements de leurs axes des pi- 
gnons qui peuvent glisser le long de ces axes et qui, à leur tour, suivant la 
place qu'ils occupent, engrènent avec les roues munies de 9, 8, 7, 6, 5, 4, 
8, 2, 1, dents et collées ensemble, de manière à présenter un cylindre 
denté. Il est clair qu'en faisant tourner ce cylindre une fois dans l'un ou 



— 724 — 

l'autre sens, ou ajoutera ou on soustraira le nombre dont les chiffres de dif- 
férents rangs sont égaux aux nombres de dents qui pousseront les pignons 
correspondants. 

Pour l'exactitude du jeu de ce mécanisme il est important que les 
pignons s'arrêtent aussitôt que les dents du cylindre cessent de les pousser. 
En cherchant à rendre absolument impossibles les fautes qui naissent de ce 
que les pignons ne s'arrêtent pas toujours assez vite, même sous l'action 
des ressorts, nous avons donné aux dents des pignons et du cylindre une 
forme telle que les pignons ne restent jamais libres et, par conséquent, ces- 
sent de tourner au moment où les dents du cylindre ne les poussent plus. 



— 725 



Sur les fractions algébriques qui représentent 
approximativement la racine carrée d'une va- 
riable, comprise entre les limites données. 

Bulletin de la société mathématique de France. T. XII, 1884, p. 167—168. 

Quand on cherche parmi toutes les fractions de la forme 

m 

f{x), F{x) n'étant pas d'un degré supérieur à m, celle dont le logarithme, 
depuis it; = — < 1 jusqu'à a; = a > 1, s'écarte le moins du logarithme de 
Vx, on trouve une fraction qui peut être présentée de la manière suivante: 

F{x) ^ (Yi^ax) <? i—Vl—ax) 

OÙ. ç (x) est une fonction d'un degré m, qui, à un facteur constant près (tout 
à fait arbitraire), peut être déterminée à l'aide de cette équation 

9 {Vl — ax) 9 {—Vl—ax) 

Ainsi, en prenant m = 1, on trouve, pour l'expression aproximative de 
Vx entre a; = — , a; = a, la fraction 

l-X-i- 1 

x-^Jc^ 

où k est une constante dont la valeur est donnée par l'équation 

^* _ 6A;2 — 4 (a-+- -^) ^ — 3 = 0, 
et d'où, en posant 

on tire, pour l'expression approximative de VZ entre Z=A, Z= B, cette 
formule 

fis "^-y^. 

Z-hkVAB 



— 726 — 



Sur la transformation du mouvement rotatolre 

en mouvement sur certaines lig'nes, à l'aide de 

systèmes articulés. 



Bulletin de la société mathématique de France. T. II, 1884. p. 179—187. IllKOJia MaxeiiaTiiKH 
HHCTon H npiiK-ia^Hofi. 1885. 



1. Soient (fig. 1) ABC, ABM deux triangles isocèles, ayant un côté 
commun AB, égal aux côtés AG, AM. Si l'on fait mouvoir les sommets A, 
B du triangle ABM sur les cercles décrits du sommet G du triangle ABG 
et d'un point quelconque C, pris sur son côté BG, le sommet M du triangle 
ABM décrit, comme il n'est pas difficile de s'en assurer, une courbe sy- 
métrique autour de l'axe passant par les points M, G. Si la ligne BG^ 
n'est pas trop longue, elle peut faire un tour complet autour du centre Q, 
et alors le point M décrit une courbe fermée, symétrique autour d'un axe, 
comme nous venons de le dire. Ceci nous présente une transformation très 




-^B 



simple du mouvement rotatoire en mouvement sur les lignes fermées, de 
formes très variées et symétriques autour de certains axes. Une telle trans- 
formation du mouvement rotatoire pourra être avantageusement employée 
dans la pratique, si l'on trouve les conditions sous lesquelles la courbe 
décrite par le point ilf s'approche suffisamment près de celles qui donnent la 
solution de quelques problèmes cinématiques. C'est ce que nous allons faire 
maintenant pour les cas les plus simples et les plus fréquents dans la pra- 
tique: à savoir, quand on cherche à avoir le mouvement sur un cercle ou sur 
une ligne droite. 



— 727 — 

2. Arrêtons-nous d'abord au cas où le point M doit décrire approxi- 
mativement le cercle complet, quand la ligne BG^^ tourne une fois autour du 
centre G^. Nous supposerons données les longueurs ^46' = ^5, BGi et la 
distance GG^ des centres (7, G^, et nous chercherons le cercle duquel, par 
un choix convenable de l'angle BAM, s'approche le plus la courbe décrite 
par le point M. D'après l'expression de la limite des écarts que présentera 
cette courbe avec le cercle duquel elle s'approche le plus possible, il sera 
aisé de voir les conditions que doivent remplir la longueur des lignes AG=AB, 
BG^ et la distance des centres G, C^, pour que ces écarts soient admissibles 
dans la pratique. 

Pour y parvenir, nous calculons d'abord les inclinaisons de la ligne 
AG sur GG^ (ligue des centres G, G^ pour deux positions qui correspondent 
aux moments où le point B se trouve sur la ligne (76\ ou son prolongement. 

En désignant par ç^, 9 les angles de ces inclinaisons, on les trouvera 
à l'aide des formules 

^^^?= 2AC ' C0S9,=— L^^. 

D'après les angles cp, cp^, on cherchera deux angles auxiliaires 0, ^, 
qui se déterminent ainsi: 

sin {2û~ 



Au moyen des angles cp, Çj, â, ^ on trouve aisément tout ce qu'il est 
important de savoir: 

1) L'angle BAM avec lequel le triangle ABM, par son sommet ilf, 
décrit la courbe la plus proche possible d'un cercle; 2) le rayon du cercle 
auquel s'approche le plus cette courbe; 3) la distance de son centre du point 
C; 4) enfin la limite des écarts de ce cercle et de la courbe décrite par le 
sommet M. On y parvient à l'aide des formules suivantes: 

BAM=2t. — 2Ô — (^ — ^, 

sm -^ ï 

B = BG,, 



-'T' 


COS ({^ 


C0S2 


cos^7^' 


COSÇi 



^^— ; ^:^r^ 2d^o-^ -^^n 



sm ^ ^ sin 1 ^ 

E= ± — - ■ BG 

sin ii 1. tancr Li 1 rnn 1 1. 



— 728 — 

où R (fig. 2) est le rayon du cercle décrit approximativement par le sommet 
i¥, OG la distance de son centre du point C, et E la limite des écarts 
de cette courbe. 

4>Hr. 2. 




3. D'après la valeur de E et les équations qui déterminent les angles 
auxiliaires 0^ o, il est clair que la courbe décrite par le sommet M s'ap- 
proche très près d'un cercle toutes les fois que la différence des angles Oj , 
9 est très petite. Pour appliquer les formules précédentes à ce cas particu- 
lier, qui est le plus intéressant pour la pratique, nous ferons 



2 



en supposant que o ait une petite valeur. D'après ces égalités, on a 

?i^^?o~*~*^» ? ^^ ?o — '^• 

En portant ces valeurs de 9, o^ dans les formules précédentes, nous 
obtenons, en développant en série et ne tenant compte que des premiers 
termes avec 0, 

1JA31—Iu 4^0 4tangço ' ^ — \^^ 8 tang^ ?o ^ j ^^i' 

OG = l^^ H- ' 7 ' ^^°g' ^° g) Ba , E=±-^BC,. 

\ ù 24 tang ço / ^ sin 2 Oq ^ 

Ces formules nous donnent, au S^ prés, 



E 



R sin 2 9o 

D'un autre côté, en cherchant la différence 

cos ç — cos 9,, 



— 729 — 
d'après les formules qui (létormiu(Mit les angles 9, cpj, on obtient 

BC. 

cos cp — cos cpj = —r^ ; 

d'où, eu substituant les valeurs de cp, cp^, on tire, à ^^ près, 

ne. ,.-. . 

xJ=2ôsin9o. 

D'après cela, ou voit que les rapports 

E B(\ 
E ' AG 

teudent eu même temps vers zéro quand la différence cp^ — 9 = S, s'approche 
elle-même de zéro, et comme on trouve, en divisant l'un de ces rapports 
par l'autre, 

E ^ BC_i ,_ 1 

M ' AC 2 sin 2 çq sin çq ' 

il est clair que, pour diminuer autant que possible les valeurs du rapport -^^ 

correspondant avec les valeurs données de -—^ voisines de zéro, on doit 

prendre, pour ç^, l'angle qui rend maximum la valeur numérique de la 
fonction 

sin 2 Ço sin 9^- 

Ainsi l'on parvient à un système articulé, oiî le mouvement circulaire 
du point B autour du centre G^ se transforme en un autre mouvement du 
point M sur une ligne différant peu du cercle décrit du centre 0. En re- 
marquant que, dans ce système, les points M, B se meuvent autour des 
centres 0, C^ dans les sens opposés, on conclut que ce système donne la so- 
lution du même problème que les manivelles antirotatives. Dans cette trans- 
formation de rotation, on ne rencontre pas du tout de points morts, et l'on 
peut faire varier la loi qui lie entre elles les vitesses de deux manivelles, 
en transportant le centre d'oscillation de l'élément AG. 

4. Passons au cas où l'on cherche à rapprocher, le plus près possible, 
d'une ligue droite toute la courbe fermée, décrite par le sommet M. Nous 
supposserons que le triangle MAB est placé, comme on le voit, sur la 
fig. 3. Dans cette hypothèse, et en désignant par t une quantité auxiliaire 
plus grande que 0, on trouve AG= AB = BM, GG^ et la limite des écarts 
E se déterminant par les formules suivantes: 

AG^AB = AM= ^^H^ BG,, cos MAB = — ^ t\ 

Ga=~À= BG ^ino = ''^'^^-'^*"-*-^\ E=±-£= BG,. 



— 730 — 

La ligue droite que le sommet M décrira approximativement est nor- 
male à l'axe de symétrie CM, et sa distance du centre G a pour valeur 

Eu cherchant la loi du mouvement du sommet M par rapport à l'axe 
de symétrie MG, ou trouve que la distance de M à cet axe s'exprime par 
la formule 

-+- 7?r dn ^ |/ taDg'9-^-P^(l-co3«) i/ÏEË. 




où a désigne l'angle variable que fait la ligne BG^ pendant sa rotation avec 
le prolongement de la ligne des centres C(7, , et F une quantité constante 
égale à 

2t V2 — t^ 
(l ■+- 1 V~2^^f 

D'après cette formule, il n'est pas difficile d'assigner les limites entre 
lesquelles reste le point M pendant son mouvement, et qui déterminent la 
longueur de la ligne droite décrite approximativement. 

D'autre part, cette formule fait voir que les courses d'aller et de re- 
tour du point M ne correspondent pas aux mêmes angles de rotation de la 
ligne BG, autour du centre G,, et que la différence entre ces deux angles 
est d'autant plus grande que la quantité t s'éloigne plus de 0; par consé- 
quent, ce système présente une transformation directe d'un mouvement ro- 
tatoire continu en mouvement rectiligne alternatif, et vice versa, où les 
courses d'aller et de retour se feront dans des temps inégaux, la vitesse de 
rotation étant constante. Ce système -peut donc être employé comme un mé- 
canisme à retour rapide. De plus, comme le point M effectue une de ses 
courses, presque rectiligne, dans le temps où la ligne BG, fait autour du 



— 731 — 

centre G^ plus d'un demi-tour, ce système peut être avantageusement 
employé pour faire tourner un axe à l'aide d'un pied. En appliquant de tels 
systèmes à deux manivelles coudées à un axe sous l'angle 180°, on obtiendra 
un mécanisme pour tourner l'axe avec deux pieds, qui aura l'avantage de 
ne pas présenter de points morts, 

5. Dans le cas précédent, nous avons cherché à rapprocher le plus 
près possible d'une ligne droite toute la courbe fermée décrite par le point 
M, quand la ligne BG^ fait un tour complet autour du centre G^. Nous 
allons nous occuper maintenant du cas où l'on cherche ce rapprochement 
pour une partie de cette courbe correspondant à un demitour de la ligne 
56\ autour du centre (7^, savoir: depuis a = — |- jusqu'à a = -t- -J. 

Nous nous bornerons au cas le plus simple, oii le triangle MAB se 
réduit à une ligne droite 3IAB (fig. 4), ce qui revient à donner à l'angle 




MAB une valeur égale à 180^. Dans ce cas, les lignes AG = AB=A3I, 
GG^ et la limite des écarts E se déterminent par les formules suivantes: 

AG=AB==AM^Î:^BG,, GG, = '-^ BG„ 

. y 272 -t- 104 V7 — y 305 -+- 92 Vï 



E=-±i- 



BG,. 



D'après l'équation de la courbe que décrit le point M dans ce système, 
on reconnaît aisément que la partie qui correspond à la rotation de la ligne 
BG^ d'un quart de tour en haut et en bas de sa position primitive est presque 
rectiligne. Après avoir parcouru cette partie de sa trajectoire, le point M 
se lève et fait sa marche de retour, en montant peu à peu jusqu'au milieu 
de sa course et en s'abaissant suivant la même loi, après avoir dépassé ce 



— 732 — 

milieu. Un tel mouvement du point M, dans lequel se transforme directe- 
ment le mouvement rotatoire de la ligne BG^, dans notre système, peut 
avoir des applications utiles. Si l'on applique de tels systèmes à deux ma- 
nivelles coudées à un axe sous l'angle 180°, on obtient un mécanisme où la 
rotation d'un axe se transforme en mouvement de deux points qui, tour à 
tour, parcourent la même ligne presque droite, et dont chacun se lève 
au-dessus de cette ligne après l'avoir parcouru quand l'autre s'abaisse sur 
elle pour la parcourir à son tour. En ne considérant que l'espace oiï se 
trouve la partie presque rectiligne de la trajectoire de ces points, on re- 
connaît aisément qu'ils produisent approximativement le même effet que 
les points équidistants de la circonférence d'une roue tournante quand son 
rayon est infiniment grand. Donc, sous ce rapport, le système dont nous 
venons de parler peut bien jouer le rôle d'une roue infiniment grande. 



•733 — 



Sur les sommes composées des eoeffleients des 
séries à termes positifs. 

Lettre adresse'e à M-me Sophie Kowalevski. 
(Acta mathematica. Journal rédigé par G. Mittag-Leffler, t. 9, 1887, p. 182—184). 

Je ne peux trop me féliciter de l'honneur que vous m'avez fait, eu 
ayant bien voulu traduire ma Note sur les valeurs limites des intégrales. 
L'intérêt que vous avez porté à mes recherches sur ce sujet m'engage de 
vous présenter un résultat que je viens d'en tirer par rapport à la déter- 
mination des limites entre lesquelles reste comprise la somme d'un nombre 
quelconque de premiers coefficients de la série 

Aq -i~ A^x -*- A^x^ -+- A^x^ -^ . , . . , 
ou 

^ _i_ :^2 , ^3 ■ 

dans le cas, où tous les termes sont positifs. Pour la détermination de ces 
limites d'après les valeurs réelles des séries infinies 

Aq-^- A^x -^ Aç^x^ -^ A^x^ -i- . . , . , 

^i Bi B^ 

■^x ' 2>^ ' gX ' • . • • 5 

j'ai cherché les valeurs limites de l'intégrale 



en supposant que F{z) est une fonction qui ne devient pas négative pour 
^ > et que l'on connaît la valeur de l'intégrale 

fe-'' F(z) dz 



pour t réel et positif. 



— 734 — 
Parmi les différentes valeurs limites de l'intégrale 



b 



que j'ai obtenues, les plus remarquables par leur simplicité peuvent être 
présentées par les formules suivantes: 



où p, 0- sont des quantités positives quelconques, et ^{t) est une fonction 
déterminée, pour t > 0, par l'équation 

co 


et qui se réduit à oo pour t =: 0. 

D'après ces formules on trouve aisément les valeurs limites de l'in- 
tégrale 

J F{z) dz 



pour u quelconque, en donnant à p et a des valeurs qui remplissent ces con- 
ditions: 

Pour appliquer ces formules à la détermination des limites, entre les- 
quelles reste comprise la somme de n premiers coefficients de la série 

on prendra 

0{t) = A,-*-A,e-'-i-A,G~''-i-A^e-'^-^ 

et 

u = n — 1. 
En prenant 

et 

u = log n, 

on trouvera les limites de la somme de n premiers coefficients de la série 



— 735 — 
Ainsi, par exemple, en prenant pour 0{t) une série infinie 

1 1 i 1 1 

liH-f ~*~ 21-+-' "*" 3i-»-< "*" 51-*-' ~*~ 71-»-* "•"••••> 

composée seulement des nombres premiers, on obtiendra des formules pour 
évaluer les limites de la somme finie 

111111 1 

^H- — -+--^-1- — H- — -Hr-7-4-. . . .H 

1 2 3 5 7 11 n 

d'après les séries infinies de la forme 



1 

Iog2 



Iog2 2 Iog2 3 log^S log»7 
2i-»-f 31-*-' ô^"*-' 71-*-' ~ 



1 

2H-f 


-+- 


1 


-f- 


1 
51-' 


logS 
3i-*-< 


-+- 


log5 
51-^' 


H- 


log7 
71-Hf 



St.-Pétersbourg. 
20 sept. (2 oct.) 188 



736- 



Règle de Tehebyehef pour l'évaluation appro- 
ximative des distances sur la surface de la 
Terre. 



(Micflu.ecjioBt Ha 1869 roAt, cip. 128. Hs^aHie HiinErAxorcKou AKa^CMin HayKt). 

1) Exprimez eu minutes les différences des longitudes et des latitudes 
des deux lieux; 

2) doublez la différence des latitudes; 

3) des deux nombres, à savoir, la différence des longitudes et la 
double différence des latitudes, multipliez le plus petit par 3, le plus grand 
par 7, et additionnez les résultats; 

4) la somme divisée par 8 donnera la distance cherchée en verstes. 



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UNIVERSiTY 

OF 



14 DAY USE 

RETURN TO DESK FROM WHICH BORROWED 

ASTRO^JCMY, MÂTKE/AATICS. 

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on the date to which renewed. 

Renewed books are subject to immédiate recall. 


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